BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thy Trân LIÊN THƠNG ĐỊA PHƯƠNG TRONG CÁC NHĨM TƠPƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thy Trân LIÊN THƠNG ĐỊA PHƯƠNG TRONG CÁC NHĨM TƠPƠ Chun ngành: Hình học tôpô Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CÁM ƠN Luận văn thạc sĩ hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Hà Thanh Trong trình viết luận văn, Thầy nhiệt tình, tận tụy, trang bị nhiều kiến thức, tài liệu, dạy biết phương pháp viết luận văn nghiên cứu khoa học Qua đây, xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy, tơi xin chúc Thầy gia đình sức khỏe dồi thành công nghiệp giáo dục Tôi xin trân trọng cảm ơn: + Q Thầy Cơ Khoa Tốn – Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, giúp đỡ tơi nâng cao trình độ chun mơn suốt q trình học cao học, động viên, nhắc nhở học tập làm tốt luận văn Tôi xin chân thành biết ơn Thầy Cơ, xin chúc Thầy Cơ gia đình sức khỏe dồi dào, thành công nghiệp giáo dục đạt nhiều kết cơng trình nghiên cứu + Ban giám hiệu, q Thầy Cơ phịng sau đại học giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho học tập hai năm qua + Bạn bè lớp Hình học tơpơ K24 chia sẻ với nhiều kiến thức, kinh nghiệm học tập viết luận văn Trần Thy Trân Mục lục Lời cám ơn Mục lục Chương 1.1 Không gian tôpô 1.4 Không gian mêtric 16 1.6 Nhóm tơpơ 21 Chương 23 2.1 Điều kiện tổng quát cho liên thông địa phương 23 2.1.1 Một số khái niệm liên quan 23 2.1.2 Một số điều kiện tổng qt cho nhóm tơpơ liên thông địa phương 24 2.2 Ánh xạ vào tập liên thông địa phương 27 2.2.1 Một số ký hiệu quy ước 27 2.2.2 Một số khái niệm liên quan 28 2.2.3 Một số tính chất ánh xạ nhóm tơpơ liên thơng địa phương 30 2.3 Các thành phần liên thông đường 36 2.3.1 Một số khái niệm liên quan 36 2.3.2 Một số điều kiện cho nhóm tơpơ liên thông đường, liên thông đường địa phương 37 2.4 Lớp liên hợp 46 2.4.1 Một số khái niệm liên quan 46 2.4.2 Một số tính chất lớp liên hợp để tạo nên tính liên thơng địa phương cho nhóm tơpơ 47 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khi nghiên cứu lời giải cho toán thứ năm Hilbert (trong [3,5]), nhà toán học đưa điều kiện nhóm compact địa phương liên thông đường địa phương nhóm khơng gian Euclide địa phương nhóm Lie Những năm sau đó, với nhiều tính chất liên quan đến nhóm compact địa phương bổ sung, nhà toán học ý đến nhóm tơpơ tổng qt Đã có nhiều nghiên cứu toán trên, mặt cấu trúc ta xem nhóm Polish hay nhóm tơpơ, nhiên tính đầy đủ cịn tốn mở Năm 1975, G.S Ungar chứng minh tất nhóm tôpô Polish liên thông đường liên thông đường địa phương Năm 2001, K Whittington chứng minh với nhóm tơpơ thỏa thành phần liên thơng đường phạm trù thứ hai tiên đề đếm thứ hai liên thông địa phương Nối tiếp hướng nghiên cứu trên, luận văn bao gồm vấn đề liên quan đến liên thông địa phương, liên thơng đường địa phương nhóm tơpơ nhìn góc độ tổng thể Cụ thể, nội dung luận văn đề cập điều kiện để nhóm liên thơng địa phương liên thơng đường mối liên hệ chúng với kết cổ điển đưa Nội dung luận văn dựa báo liên quan đến chủ đề quan tâm đặc biệt báo “Local connectedness in topological groups” tác giả Keith Whittington, xuất năm 2014 nhằm để làm rõ vấn đề đặt Đó lý tơi chọn đề tài “Liên thơng địa phương nhóm tơpơ” 2 Mục đích đề tài Nghiên cứu liên thơng địa phương nhóm tơpơ Cho vài điều kiện đủ để nhóm tơpơ liên thông địa phương, liên thông đường địa phương Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Liên thơng địa phương nhóm tơpơ • Liên thơng địa phương, liên thông đường địa phương, hầu liên thông đường địa phương, nhóm tơpơ Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, đọc hiểu, trình bày chi tiết lại kết từ báo có, tài liệu khoa học có liên quan tới vấn đề cần nghiên cứu chứng minh chi tiết Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương phần kết luận Phần mở đầu: Nêu số vấn đề lịch sử phạm vi nghiên cứu Chương 1: Trình bày khái niệm khơng gian tơpơ, nhóm tơpơ, ánh xạ khơng gian tơpơ, tính compact, tính liên thơng Phần trình bày kiến thức cần thiết liên quan đến nội dung luận văn Chương 2: Trình bày cụ thể điều kiện để nhóm liên thông địa phương liên thông đường mối liên hệ chúng với kết cổ điển đưa Phần trình bày nội dung sau: Trình bày điều kiện tổng quát cho nhóm tơpơ liên thơng địa phương Trình bày số tính chất liên quan đến ánh xạ nhóm tơpơ liên thơng địa phương Trình bày số điều kiện cho nhóm tơpơ liên thơng đường, liên thơng đường địa phương Trình bày số tính chất lớp liên hợp để tạo nên tính liên thơng địa phương cho nhóm tơpơ Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày sơ lược khái niệm cần thiết nhất, liên quan đến luận văn, cụ thể kiến thức liên quan đến khơng gian tơpơ, tính liên thơng, tính compact, nhóm tơpơ 1.1 Khơng gian tơpơ 1.1.1 Khơng gian tơpơ, tập mở tập đóng, bao đóng phần trong, lân cận 1.1.1.1 Định nghĩa Cho X tập hợp ( ≠ ∅ )  họ tập X cho: i ∅, X ∈  ii U ,V ∈  ⇒ U  V ∈  iii Vα ∈ II , ∀α ∈ I ⇒  Vα ∈ , I tập số tùy ý α ∈I Khi  gọi tôpô X ( X ,  ) không gian tôpô Mỗi phần tử  gọi  - mở hay đơn giản tập mở 1.1.1.2 Định nghĩa Cho ( X ,  ) không gian tôpô, x điểm thuộc X Một tập V X gọi  - lân cận (hay đơn giản lân cận) x tồn  - tập mở U cho x ∈U U ⊂ V 1.1.1.3 Định lý Một tập A ⊂ X mở với x ∈ A tồn lân cận mở U x điểm x cho U x ⊂ A 1.1.1.4 Tính chất Giao hữu hạn tập mở tập mở 1.1.1.5 Định nghĩa Cho X không gian tôpô Một tập A ⊂ X gọi đóng X phần bù X \ A mở 1.1.1.6 Tính chất Tập rỗng tồn khơng gian X tập đóng X Hợp hữu hạn tập đóng tập đóng Giao tập đóng tập đóng (bao gồm giao vơ hạn tập đóng) 1.1.1.7 Mệnh đề Cho U tập mở không gian tôpô X , A tập X Khi đó: (1) U ∩ A = ∅ ∅ U ∩ A = (2) U ∩ A = U ∩ A 1.1.1.8 Định nghĩa x0 ∈ A điểm tồn tập mở U chứa x0 nằm A Tập tất điểm A gọi phần A , kí hiệu Int ( A) hay Ao Phần A hợp tất tập mở X mà chứa A (nghĩa tập mở lớn A ), kí hiệu IntI ( A ) hay Int ( A ) Bao đóng A giao tất tập đóng chứa A (nghĩa tập đóng nhỏ chứa A ), kí hiệu Cl ( A ) hay Cl ( A ) hay A x0 ∈ A điểm dính với U mở chứa x0 có giao với A Tập tất điểm dính A gọi bao đóng A , kí hiệu Cl ( A) hay A x0 ∈ A điểm tụ A  − lân cận x0 mà bỏ x0 có giao với A khác rỗng x0 ∈ A ω − điểm tụ A  − lân cận x0 chứa vô hạn điểm A x0 ∈ A điểm cô đọng A  − lân cận x0 chứa không đếm điểm thuộc A x0 ∈ A điểm biên A  − lân cận x0 có giao khác rỗng với A X \ A x0 ∈ A gọi điểm cô lập A x0 không điểm tụ A 1.1.1.9 Định lý Nếu A ⊆ X tập đóng X A chứa tất điểm tụ (nếu có) dãy A 1.1.2 Cơ sở, đặc trưng, không gian thỏa tiên đề đếm thứ nhất, không gian thỏa tiên đề đếm thứ hai 1.1.2.1 Định nghĩa Một họ  tôpô  (trên X ) gọi sở với x chứa V (với V tập mở  ) có tập mở G  cho x ∈ G ⊂ V Một họ tập mở chứa x gọi sở địa phương x tập mở chứa x có chứa phần tử họ 1.1.2.2 Định nghĩa Đặc trưng điểm x khơng gian tơpơ X kí hiệu χ ( x, X ) với χ ( x, X ) = {  :  sở địa phương x X } Tương tự, đặc trưng tập F kí hiệu χ ( F , X ) với χ ( F , X ) = {  :  sở lân cận F X } Đặc trưng X kí hiệu χ ( X ) 1.1.2.3 Định nghĩa Không gian tôpô X không gian thỏa tiên đề đếm thứ điểm X có sở địa phương đếm (hay không đếm được) X không gian thỏa tiên đề đếm thứ χ ( X ) ≤ m Mọi không gian không gian thỏa tiên đề đếm thứ thỏa tiên đề đếm thứ Tích đếm không gian thỏa tiên đề đếm thứ không gian thỏa tiên đề đếm thứ 1.1.2.4 Định lý Nếu X không gian thỏa tiên đề đếm thứ điểm x ∈ X có sở địa phương quy x = (U n )n theo nghĩa: (1) Mỗi U n tập mở chứa x (2) U n +1 ⊂ U n , với n (3) Nếu xn ∈U n , với n dãy ( xn )n hội tụ x 1.1.2.5 Định lý Nếu X không gian tôpô thỏa tiên đề đếm thứ tập A ⊆ X chứa tất điểm tụ (nếu có) dãy A A đóng 38 Những điều sau tìm thấy [4, p.634] Trong không gian tôpô Hausdorff ( X ,τ ) , thành phần liên thông đường tập mở có dạng sở tơpơ τ α , tôpô tốt τ Không gian ( X ,τ α ) liên thông đường địa phương thành phần liên thông đường tập mở U ( X ,τ ) trở thành thành phần liên thông U ( X ,τ α ) Các không gian ( X ,τ ) ( X ,τ α ) có đường liên thơng Nếu ( X ,τ ) thỏa tiên đề đếm thứ ( X ,τ α ) Nếu ( X ,τ ) nhóm tơpơ ( X ,τ α ) , trường hợp này, hàm đồng i : ( X ,τ α ) → ( X ,τ ) đơn cấu liên tục Nhóm (G,τ α ) gọi nhóm liên thơng đường địa phương tương thích G Vì G T0 nên (G,τ α ) T0 Mặc dù phát biểu không rõ ràng, phát biểu sau dễ dàng suy từ Bổ đề 2.3.1.6, là: Với thành phần liên thơng đường S G µα ( S ) = µα ([ e ]G ) ≤ dα ([ e ]G ) ≤ W ([ e ]G ) 2.3.2.2 Bổ đề Nếu G thỏa tiền đề đếm thứ hai liên thơng đường (G,τ α ) thỏa tiên đề đếm thứ hai Chứng minh Theo Bổ đề 2.3.1.6, d ((G,τ α )) ≤ w(G ) , (G,τ α ) tách Vì G thỏa tiên đề đếm thứ nên (G,τ α ) thỏa tiên đề đếm thứ hai mêtric Vì (G,τ α ) mêtric tách nên thỏa tiên đề đếm thứ hai  39 2.3.2.3 Hệ Nếu G liên thông đường, thỏa tiên đề đếm thứ hai phạm trù thứ hai G liên thông đường địa phương với U ∈ e , [e]U hầu mở Chứng minh Đầu tiên giả sử [e]U hầu mở Theo Định lý 2.3.2.1, để kết luận G liên thông đường địa phương, ta cần chứng minh [e]U phạm trù thứ hai Giả sử [e]U phạm trù thứ Chọn V ∈ e đối xứng cho V ⊆ U Khi thành phần liên thông đường V phạn trù thứ nhất, tức với p ∈V = [ p ]V p.[e] p−1V ⊆ p.[e]U Vì G nhóm thỏa phạm trù thứ hai nên tất tập mở khác rỗng phạm trù thứ hai Vì V có thành phần liên thơng đường khơng đếm Do đó, (G,τ α ) không tách được, mâu thuẫn với Bổ đề 2.3.2.2 Do đó, [e]U phạm trù thứ hai Ngược lại, G liên thơng đường địa phương, [e]U mở hầu mở  Ta ký hiệu tập G I gồm tất đường G nhóm tơpơ tơpơ compact mở (tương đương tôpô hội tụ đều) phép nhân theo chiều kim đồng hồ fg (t ) = f (t ) g (t ) Ta dùng eˆ cho phần tử trung hòa: eˆ(t ) = e Nếu G mêtric hoàn toàn (tương ứng với phạm trù đếm thứ hai) G G I Cho C tập đường σ ∈ G I cho σ (O) = e Khi C nhóm đóng G I Ta có C (1) = [ e]G thành phần liên thông đường đơn vị G Nó nhóm thơng thường G hàm toàn ánh T (σ ) = σ (1) đồng cấu nhóm liên tục từ C vào [e]G 40 2.3.2.4 Bổ đề Với U ∈ e , [ e ]U = T ( WU L [ eˆ ]) Chứng minh Cho U ∈ e x ∈ [ e]U Khi tồn đường σ U từ e vào x cho với t ∈ [ 0,1] , σ ( t ) ∈U ( e, σ ( t ) ) ∈U L Do đó, σ ∈WU L [ eˆ ] x ∈ T (WU L [ eˆ ]) Điều chứng tỏ [ e ]U ⊆ T (WU L [ eˆ ]) Tương tự, x ∈ T (WU L [ eˆ ]) x = σ (1) với σ ∈WU L [ eˆ ] , x ∈ [ e]U  2.3.2.5 Định lý Các phát biểu sau tương đương: (1) T : C → G mở (2) i : ( G,τ α ) → G mở (do đồng cấu) (3) G liên thơng đường địa phương (do liên thơng đường) (4) T toàn ánh ánh xạ tự nhiên từ C / Ker (T ) vào G biến σ Ker (T ) thành T (σ ) đồng cấu Chứng minh Đầu tiên giả sử có (1) Theo Bổ đề 2.3.2.4, tập [ e ]U có dạng sở lân cận e G liên thơng đường địa phương Do ta có ( 3) Bây giả sử có ( 3) Nếu U ∈ e [ e ]U sở lân cận mở e ( G ,τ α ) [ e ]U mở G G liên thơng đường địa phương Do i mở theo Bổ đề 2.2.2.3 ta có ( ) 41 Nếu có ( ) , với U ∈ e [ e ]U mở T mở theo Bổ đề 2.3.2.4 Do (1) suy từ ( ) (1) với ( 3) tương đương Nếu có (1) theo ( 3) , G liên thơng đường T tồn ánh Do T mở nên từ định lý tiêu chuẩn đồng cấu ta suy (4) Cuối cùng, giả sử có ( ) cho Tˆ ánh xạ tự nhiên từ C / Ker (T ) vào G với C / Ker (T ) cho tôpô thương thông thường Phép chiếu tự nhiên π : C → C / Ker (T ) mở T = Tˆ  π , T mở ta có (1)  2.3.2.6 Định lý Nếu G Polish, phát biểu sau tương đương (1) G liên thông địa phương (2) G liên thông đường (3) G có thành phần liên thơng đường phạm trù thứ hai trù mật hầu khắp G (4) G liên thông đường địa phương Hơn nữa, G hữu hạn chiều, ta thêm vào: (5) G compact địa phương liên thơng đường (6) G nhóm Lie Chứng minh Theo Định lý 2.3.1.3 (định lý Mazurkeiwicz – Moore – Menger) , G liên thông địa phương liên thơng đường địa phương Do (1) ⇒ ( ) Vì G liên thông nên ( ) ⇒ ( ) Phát biểu ( 3) suy từ ( ) Do để chứng minh bốn phát biểu tương đương, ta cần chứng minh ( 3) suy (1) 42 Giả sử có ( 3) Bởi tính đồng G , ta giả sử [ e ]G không gầy trù mật hầu khắp G Vì C G Polish nên T mở theo Bổ đề 2.2.3.14 Từ Định lý 2.3.2.5 ta suy ( ) suy (1) Theo Định lý 2.3.1.4, G hữu hạn chiều liên thơng đường địa phương compact địa phương nên ta có ( ) ⇒ ( ) Ta có ( ) ⇒ ( ) từ Định lý 2.3.1.5 Ở chứng minh khác Nếu có ( ) , ( ) ⇒ (1) nên G liên thơng đường địa phương Một nhóm liên thông địa phương, compact địa phương, hữu hạn chiều nhóm Lie theo [6,p.185] Cuối cùng, ta có (1) ⇒ ( ) nhóm Lie Euclide địa phương  Sau kết luận Rickert (ta thêm vào chiều ngược lại, điều có G liên thơng) 2.3.2.7 Định lý [13] Nếu G compact địa phương G liên thơng đường liên thơng đường địa phương 2.3.2.8 Hệ Nếu G liên thơng đường compact địa phương đồng phôi vào ( G ,τ α ) Chứng minh Theo định lý Rickert (Định lý 2.3.2.7), G liên thơng đường địa phương đồng phôi vào ( G,τ α ) theo Định lý 2.3.2.5  Chứng minh Rickert phức tạp Việc chứng minh hệ 2.3.2.8 cho ta cách chứng minh cho định lý Rickert Tuy nhiên, ta chứng minh định lý Rickert trường hợp đơn giản G thỏa tiên đề đếm thứ với đồng quy yếu giả thiết G liên thông đường 2.3.2.9 Hệ 43 Nếu G thỏa tiên đề đếm thứ nhất, compact địa phương có thành phần liên thơng đường mà thỏa phạm trù thứ hai trù mật hầu khắp G G liên thơng đường địa phương Chứng minh Vì G thỏa tiên đề đếm thứ nên mêtric Vì G liên thơng compact địa phương nên σ − compact Lindelưf Do G Lindelưf mêtric nên tách Các khơng gian mêtric compact địa phương mêtric hồn tồn (một điều dễ dàng cho nhóm tơpơ mêtric chọn bất biến trái), nên G Polish Từ Định lý 2.3.2.6 ta có điều phải chứng minh  Những điều sau tóm tắt kết cổ điển cho nhóm hữu hạn chiều 2.3.2.10 Định lý Nếu G hữu hạn chiều, phát biểu sau tương đương: (1) G compact địa phương liên thông đường (2) G compact địa phương liên thông địa phương (3) G nhóm Lie (4) G liên thông đường địa phương Chứng minh (1) ⇒ ( ) định lý Rickert Một nhóm liên thông địa phương, compact địa phương hữu hạn chiều nhóm Lie theo [6,p.185], nên ta có ( ) ⇒ ( 3) Các nhóm Lie liên thơng đường địa phương nên ta có ( 3) ⇒ ( ) Giả sử có ( ) Khi G liên thơng đường địa phương hữu hạn chiều nên compact địa phương theo Định lý 2.3.1.4 Vì G liên thơng đường địa phương liên thơng nên liên thơng đường, ta có (1)  44 2.3.2.11 Định nghĩa Ta nói G hầu liên thông đường địa phương với W mở G C thành phần liên thông đường W ta có C ⊆ ( C )  2.3.2.12 Mệnh đề Nếu G hầu liên thơng đường địa phương G liên thơng địa phương tất thành phần liên thông đường G trù mật G Chứng minh Nếu G hầu liên thông đường địa phương hiển nhiên liên thơng địa phương Hơn nữa, nhóm [ e]G có phần tương đương với G G liên thơng, [ e ]G trù mật G Các thành phần liên thông đường khác lớp [ e ]G trù mật G  2.3.2.13 Định lý Các phát biểu sau tương đương: (1) T : C → G hầu mở (2) i : ( G,τ α ) → G hầu mở (3) G hầu liên thơng đường địa phương Chứng minh Giả sử có (1) Khi theo Bổ đề 2.3.2.4, tập [ e]U với U ∈ e sở lân cận e ∈ G Cho W tập mở G , C thành phần liên thông đường W x ∈ C Tồn lân cận đối xứng V e cho xV ⊆ W Do x [ e ]V = x[ e ]V ⊆ xV ⊆ W Do x [ e ]V liên thông đường nên x [ e ]V ⊆ C Do x [ e ]V ( ) lân cận x chứa C Vì C ⊆ C  nên ta có ( 3) 45 Bây giả sử có ( 3) cho a [ e ]U tập mở sở ( G, π α ) Vì a [ e ]U = [ a ]aU hợp thành phần liên thông đường tập mở nên ( a [ e ]U ⊆ a [ e ]U ) Do i hầu mở ta có ( 2) o Bây giả sử có ( ) Khi với U ∈ e , ( ([e]U ) o lân cận e Theo ) Bổ đề 2.3.2.4, [ e]U = T WU e  , suy T hầu mở nên ta có (1)  L 2.3.2.14 Hệ Nếu G có thành phần liên thơng đường thỏa tiên đề đếm thứ hai mà phạm trù thứ hai trù mật hầu khắp G G hầu liên thơng đường địa phương Chứng minh Từ giả thiết ta có [ e ]G phạm trù thứ hai, thỏa tiên đề đếm thứ hai trù mật hầu khắp G Vì thỏa tiên đề đếm thứ hai nên C Do T hầu mở theo Bổ đề 2.2.3.13 Theo Định lý 2.3.2.13 ta có điều phải chứng minh  46 2.4 Lớp liên hợp Trong phần ta đưa kết trường hợp xác định, tính phổ biến lớp liên hợp (thực chất phạm trù thứ hai phạm trù thứ hai trù mật hầu khắp nơi) tạo nên tính liên thông địa phương cho G Các kết xem định lý lớp liên hợp nhóm liên thơng khơng địa phương 2.4.1 Một số khái niệm liên quan 2.4.1.1 Định nghĩa Một lân cận V e nhóm tơpơ H bất biến xVx −1 ⊆ V với x ∈ H Nếu V bất biến V ∩ V −1 lân cận đối xứng 2.4.1.2 Định nghĩa Một nhóm tơpơ H cân (hay SIN–nhóm ) lân cận bất biến có dạng sở lân cận e ∈ H 2.4.1.3 Tính chất Các nhóm compact nhóm Abel cân Tổng quát hơn, G cân cấu trúc phải trái tương đương 2.4.1.4 Định nghĩa Với a ∈ G , cho ia tự đẳng cấu trong: ia ( x ) = axa −1 Cho  ký hiệu tập tự đẳng cấu G Với a, p ∈ G phép tốn a • p = ia ( p ) tác động liên tục G Ta xem ( G , G ) nhóm biến đổi tơpơ Quỹ đạo G • p ta ký hiệu iG ( p ) lớp liên hợp p Do đó, ( G , G • p ) nhóm biến đổi tơpơ Với p ∈ G , ta có hai hàm sau: Tp :  → G Ep : G → G ; Tp ( ia ) = ia ( p ) ; E p ( a ) = a • p = ia ( p ) 47 Ở  trang bị tôpô hội tụ G giữ tính chất tơpơ thơng thường 2.4.2 Một số tính chất lớp liên hợp để tạo nên tính liên thơng địa phương cho nhóm tơpơ Theo Hệ 2.2.3.17, ta có định lý sau: 2.4.2.1 Định lý Nếu G thỏa tiên đề đếm thứ hai tồn continuum B G chứa e cho lớp liên hợp điểm B thỏa phạm trù thứ hai trù mật hầu khắp G , G liên thơng địa phương 2.4.2.2 Bổ đề Nếu G cân p ∈ G , hàm Tp :  → G • p (tương ứng vào G ) mở hầu mở E p : G → G • p (tương ứng vào G ) mở hầu mở Chứng minh Cho ia ∈  WU L [ia ] sở lân cận ia với U ∈ e Vì G cân nên tồn lận cận V bất biến, đối xứng e cho V ⊆ U Cho = iVa {iua | u ∈V } Ta chứng minh iVa ⊆ WU [ia ] L Nếu u ∈V x ∈ G , (i ( x )) a −1 iua ( x ) = ax −1a −1uaxa −1u −1 −1 = ( ax −1a −1 ) u ( ax −1a −1 )  u −1   ∈V ⊆ U Do iVa ⊆ WU L [ia ] Từ E= Tp ( iVa ) ⊆ Tp (WU L [ia ]) ta có điều phải p (Va ) chứng minh  2.4.2.3 Mệnh đề Nếu G cân với p ∈ G 48 E p : G → G hầu mở E p : G → G • p hầu mở G • p trù mật hầu khắp nơi G , G liên thơng địa phương Chứng minh Điều suy từ Bổ đề 2.4.2.2 Định lý 2.2.3.3  2.4.2.4 Định lý Nếu G cân bằng, ω -hẹp (ví dụ Lindelưf hay tách được) với p ∈ G , lớp liên hợp p phạm trù thứ hai G phạm trù thứ hai trù mật hầu khắp G G liên thơng địa phương Chứng minh Giả sử G cân ω -hẹp Nếu G • p phạm trù thứ hai G theo Hệ 2.2.3.10, E p : G → G hầu mở ta có điều (1) Mệnh đề 2.4.2.3 Mặt khác, G • p phạm trù thứ hai trù mật hầu khắp G theo Hệ 2.2.3.10, E p : G → G • p hầu mở ta có điều ( ) Mệnh đề 2.4.2.3  49 KẾT LUẬN “Liên thông địa phương nhóm tơpơ” đề tài mang tính chất thời nhiều nhà Tốn học quan tâm, nghiên cứu tìm hiểu Trong luận văn này, chúng tơi trình bày nội dung sau: Chương 1: Nêu kiến thức sở tôpô cần thiết quan trọng nhằm phục vụ việc nghiên cứu luận văn, bao gồm: - Các kiến thức khơng gian tơpơ - Tính liên thơng - Tính compact - Một số khái niệm khơng gian mêtric - Một số tính chất nhóm tơpơ - Định nghĩa nhóm, nhóm con, nhóm Lie Chương 2: Trình bày điều kiện để nhóm tơpơ liên thông địa phương liên thông đường mối liên hệ chúng với kết cổ điển đưa Cụ thể chương trình bày nội dung sau: Điều kiện tổng qt cho nhóm tơpơ liên thơng địa phương Ánh xạ vào tập liên thông địa phương Điều kiện cho nhóm tơpơ liên thơng đường, liên thơng đường địa phương Tính chất lớp liên hợp tạo nên tính liên thơng địa phương cho nhóm tơpơ 50 Với nội dung trình bày luận văn đề cập đến điều kiện để nhóm liên thơng địa phương liên thông đường Tuy nhiên, luận văn số vấn đề mở như: Kết luận Hệ 2.3.2.14 làm mạnh cho tính liên thơng đường địa phương hay khơng? Có thể tìm cách chứng minh trực tiếp cho Hệ 2.3.2.8 mà không dùng định lý Rickert hay không? Qua luận văn giúp biết điều kiện tổng qt để nhóm liên thơng địa phương, số tính chất liên quan đến ánh xạ nhóm tơpơ liên thơng địa phương; nắm số điều kiện nhóm tơpơ liên thơng đường, liên thơng đường địa phương tính liên thơng địa phương liên quan đến lớp liên hợp Mặc dù cố gắng việc soạn thảo, trình bày nội dung thời gian có hạn trình độ nghiên cứu cịn hạn chế nên thiếu sót luận văn tránh khỏi, cần góp ý để hồn thiện thêm Tơi mong đọc giả nói chung q Thầy Cơ nói riêng xem xét, góp ý thiếu sót để luận văn tốt 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO Alexander Arhangel’skii, Mikhail Tkachenko (2008), Topological Groups and Related Structures, Atlantis Press/World Scientific Publishing Co Pte Ltd., Paris/Hackensack, NJ, xiv + pp 781 Andrew M Gleason (1950), Arcs in locally compact groups, Proc Natl Acad Sci USA 36, pp 663-667 Andrew M Gleason (1952), Groups without small subgroups, Ann Math, 56, pp 193-212 Andrew M Gleason, Richard S Palais (1957), On a class of transformation groups, Am J Math, 79, pp 631-648 Deane Montgomery, Leo Zippin (1952), Small subgroups of finite-dimensional groups, Ann Math, 56(2), pp 213-241 Deane Montgomery, Leo Zippin (1955), Topological Transformation Groups, Interscience Publishers, New York/London, xi + pp 282 John C Oxtoby (1980), Measure and Category, A Survey of the Analogies Between Topological and Measure Spaces, 2nd edition, Graduate Texts in Mathematics, vol 2, Springer-Verlag, New York/Berlin, x + pp 106 John L Kelley (1955), General Topology, D Van Nostrand Company, Inc., Toronto/New York/London, xiv + pp 298 K Kuratowski (1968), Topology, vol II, New edition, revised and augmented, Translated from the Wydawnictwo French by A Kirkor Academic Press/Państwowe Naukowe Polish Scientific Publishers, New York/London/Warsaw, xiv + pp 608 10 K Whittington (2001), Local connectedness in transformation groups, Proc Am Math Soc, 130(3), pp 903-907 52 11 Keith Whittington (2015), “Local connectedness in topological groups”, Topology and its Applications, 180, pp 111-123 12 Markus Stroppel (2006), Locally Compact Groups, EMS Textbooks in Mathematics, European Mathematical Society (EMS), Zürich, x + pp 302 13 Neil W Rickert (1967), Arcs in locally compact groups, Math Ann, 172, pp 222228 14 R.F Arens (1946), A topology for spaces of transformations, Ann Math, 47(2), pp 480-495 15 Ryszard Engelking (1989), General Topology, Translated from the Polish by the author, 2nd edition, Sigma Series in Pure Mathematics, vol 6, Heldermann Verlag, Berlin, viii + pp 529 ... liên quan đến liên thông địa phương, liên thơng đường địa phương nhóm tơpơ nhìn góc độ tổng thể Cụ thể, nội dung luận văn đề cập điều kiện để nhóm liên thơng địa phương liên thông đường mối liên. .. tượng phạm vi nghiên cứu • Liên thơng địa phương nhóm tơpơ • Liên thơng địa phương, liên thông đường địa phương, hầu liên thông đường địa phương, nhóm tơpơ Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, đọc... phương nhóm tơpơ” 2 Mục đích đề tài Nghiên cứu liên thơng địa phương nhóm tơpơ Cho vài điều kiện đủ để nhóm tơpơ liên thông địa phương, liên thông đường địa phương Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Liên