BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Phạm Ngọc Tuấn ĐỊNH LÝ LEVY-STEINITZ VỀ MIỀN TỔNG CỦA CHUỖI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2009 LỜI CẢM ƠN Qua luận văn em xin bày tỏ biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Đậu Thế Cấp, người thầy tận tình hướng dẫn giúp em tích lũy kinh nghiệm bổ ích để hồn thành luận văn Trong suốt trình học tập, em nhận kiến thức quý báu từ thầy khoa Tốn-Tin trường Đại học Sư Phạm Tp.HCM trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Qua luận văn em xin gửi đến thầy lịng tri ân thành kính Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn thầy cô làm việc phịng KHCN-SĐH giúp em nhiều q trình học tập thực luận văn *********************** Phạm Ngọc Tuấn MỤC LỤC trang MỞ ĐẦU Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ánh xạ hạch không gian hạch 1.2 Các kiến thức chuỗi 12 1.3 Một số kiến thức bổ sung 13 Chương ĐỊNH LÝ LEVY-STEINITZ TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU Chương 15 ĐỊNH LÝ LEVY-STEINITZ TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG KHẢ MÊTRIC Chương 24 ĐỊNH LÝ LEVY-STEINITZ TRONG KHÔNG GIAN HẠCH 36 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết chuỗi đóng vai trị quan trọng giải tích tốn học Các loại chuỗi khác chuỗi số, chuỗi hàm hay chuỗi vectơ áp dụng nhiều lĩnh vực toán học công cụ để xấp xỉ số đối tượng tốn học Ví dụ chuỗi lũy thừa cho phép ta xấp xỉ hàm giải tích đa thức Nhờ có chuỗi Fourier hàm tuần hồn xấp xỉ đa thức lượng giác đa thức mũ Nghiệm toán vật lý, hóa học trình bày dạng chuỗi hàm đặc biệt Trong giải tích, khái niệm chuỗi nảy sinh lấy tổng vô hạn phần tử tính chất đơn giản tổng hữu hạn chuỗi Ngoại trừ tính chất giao hoán, thay đổi thứ tự số hạng chuỗi tổng thay đổi Hai câu hỏi đặt là: thứ nhất, chuỗi tổng chuỗi không thay đổi thay đổi thứ tự phần tử tổng; thứ hai, tổng chuỗi thay đổi thay đổi nào? Hai câu hỏi đặt giải Riemann chuỗi số thực Cụ thể R miền tổng chuỗi điểm toàn R Trong không gian hữu hạn chiều (với số chiều lớn 1) Levy-Steinitz chứng minh định lý "Giả sử chuỗi ∞ i=1 xi hội tụ s khơng gian m chiều E Khi miền tổng chuỗi DS( xi đa tạp n chiều (n ≤ m), cụ thể xi ) = s + Γ◦ " Định lý cho ta miêu tả đầy đủ miền tổng chuỗi hội tụ đa tạp tuyến tính, lồi đóng Sau W Banasczyk, J Bonet, A Defant chứng minh kết tương tự Định lý Levy-Steinitz không gian vô hạn chiều Nhận thấy ý nghĩa Định lý Levy-Steinitz, chọn "Định lý Levy-Steinitz miền tổng chuỗi" làm chủ đề cho luận văn thạc sĩ Mục đích Nghiên cứu Định lý Levy-Steinitz không gian hữu hạn chiều định lý tương tự Định lý Levy-Steinitz không gian vô hạn chiều với điều kiện thu hẹp đặt lên chuỗi lên không gian Đối tượng phạm vi nghiên cứu Trong luận văn chúng tơi trình bày miền tổng chuỗi không gian Rn , không gian vectơ tôpô lồi địa phương khả mêtric (kèm theo điều kiện đặt lên chuỗi) không gian hạch Luận văn gồm chương, chương trình bày số kiến thức không gian hạch, chuỗi số kiến thức bổ sung Trong chương trình bày Định lý Levy-Steinitz khơng gian hữu hạn chiều Rn Giả sử ∞ k=1 xk chuỗi không gian Rn Theo Định lý Riemann, n = DS( ∞ k=1 xk ) = R với chuỗi hội tụ có điều kiện R Nhưng n > 1, miền tổng chuỗi hội tụ có điều kiện khơng thiết tồn khơng gian Chẳng hạn, tất số hạng chuỗi hội tụ có điều kiện điều phụ thuộc tuyến tính vơi vectơ e miền tổng chuỗi phụ thuộc tuyến tính với e Trong trường hợp miền tổng chuỗi đường thẳng qua e Định lý Levy-Steinitz cho mô tả đầy đủ miền tổng chuỗi không gian hữu hạn chiều (miền tổng chuỗi đa tạp tuyến tính, đóng lồi) Trong khơng gian vơ hạn chiều mong muốn có kết tương tự Định lý Levy-Steinitz Tuy nhiên dùng kết không gian hữu hạn chiều để áp lên không gian vô hạn chiều Trong [6] có ví dụ miền tổng chuỗi hội tụ có điều kiện khơng gian vơ hạn chiều điểm; khơng lồi; khơng đóng khơng tuyến tính Vì để đạt định lý tương tự Định lý Levy-Steinitz ta cần phải đặt thêm điều kiện lên chuỗi lên không gian Trong chương 3, ta chứng minh kết tương tự Định lý Levy-Steinitz không gian vectơ tơpơ lồi địa phương khả mêtríc với điều kiện thu hẹp đặt lên chuỗi: điều kiện (σ, θ) Một chuỗi không gian vectơ tôpô E gọi thỏa điều kiện (σ, θ) với phép hốn vị σ : N → N, ln tồn dãy (θi )∞ i=1 với θi ∈ {−1, 1} cho chuỗi ∞ i=1 aσ(i) θi hội tụ E Trong chương 4, ta chứng minh Định lý Levy-Steinitz không gian hạch khả mêtric mà không cần điều kiện đặt lên chuỗi Ý nghĩa khoa học thực tiễn Định Lý Levy-Steinitz cho ta miêu tả đầy đủ miền tổng chuỗi không gian hữu hạn chiều Hơn Định lý Levy-Steinitz tiền đề cho nhà tốn học có sở để nghiên cứu sâu miền tổng chuỗi hay tổng quát chuỗi không gian vô hạn chiều Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ánh xạ hạch không gian hạch Cho E Eα (α ∈ A) không gian vectơ trường K, fα ánh xạ tuyến tính từ E vào Eα , Tα tôpô lồi địa phương Eα (α ∈ A) Tôpô xạ ảnh T E tương ứng với họ {(Eα , Tα , fα ) : α ∈ A} tôpô thô E cho ánh xạ fα (α ∈ A) từ E vào (Eα , Tα ) liên tục Từ định nghĩa ta có x ∈ E xα = fα (x) ∈ Eα sở T -lân cận x cho họ α∈H fα−1 (Uα ), với Uα lân cận tùy ý xα tương ứng với Tα H tập hữu hạn tùy ý A Vì fα ánh xạ tuyến tính Tα tơpơ lồi địa phương Eα nên T tôpô lồi địa phương E Định lý 1.1 [8] Tôpô xạ ảnh E tương ứng với họ {(Eα , Tα , fα ) : α ∈ A} tôpô Hausdorff với = x ∈ E, tồn α ∈ A lân cận Uα Eα cho fα (x) ∈ / Uα Định lý 1.2 [8] Một ánh xạ u từ không gian vectơ F vào không gian vectơ E, với tôpô E tôpô xạ ảnh cảm sinh họ {(Eα , Tα , fα ) : α ∈ A}, liên tục với α ∈ A, fα ◦ u liên tục từ F vào (Eα , Tα ) Cho A tập số với quan hệ thứ tự ” ” Cho {Eα : α ∈ A} họ không gian lồi địa phương K với α β, gαβ ánh xạ tuyến tính liên tục từ Eβ vào Eα E không gian α Eα thỏa với x = (xα ) ∈ E xα = gαβ (xβ ) với α β; E gọi giới hạn xạ ảnh họ {Eα : α ∈ A} tương ứng với ánh xạ gα,β (α, β ∈ A; α β), ký hiệu limgαβ (Eβ ) Hiển nhiên tôpô ← E tôpô xạ ảnh E tương ứng với họ {(Eα , Tα , fα ) : α ∈ A} với Tα tôpô Eα fα thu hẹp lên E ánh xạ chiếu pα : β : Eβ → Eα Định lý 1.3 [8] Giới hạn xạ ảnh họ không gian lồi địa phương tựa đầy đủ (đầy đủ) tựa đầy đủ (đầy đủ) Định lý 1.4 [8] Mỗi không gian vectơ tôpô lồi địa phương đầy đủ E đẳng cấu với giới hạn xạ ảnh họ không gian Banach; họ chọn cho lực lượng với lực lượng sở lân cận E Hệ 1.1 [8] Mỗi không gian Frechet đẳng cấu với giới hạn xạ ảnh một dãy không gian Banach Hệ 1.2 [8] Mỗi khơng gian lồi địa phương đẳng cấu với khơng gian tích không gian Banach Cho E không gian vectơ trường K V tập lồi, cân hấp thụ E Khi {n−1 V : n ∈ N} sở lân cận tôpô lồi địa phương (E, V) V E Không gian vectơ tôpô Haudorff kết hợp với không gian thương (E, V )/p −1 (0), với p hàm cở V ; không gian thương khả chuẩn với chuẩn xˆ → ||ˆ x|| = p(x), x ∈ xˆ Ta ký hiệu EV không gian định chuẩn (E/p−1 (0), ||.||) vừa giới thiệu E˜V đầy đủ hóa (E˜V khơng gian Banach) Nếu E không gian lồi địa phương V lân cận lồi cân tơpơ không gian thương E/p−1 (0) mịn tôpô EV Do ánh xạ thương (ánh xạ tắc) liên tục từ E vào E˜V ; ký hiệu ánh xạ ΦV Đối ngẫu lại, E không gian lồi địa phương B = ∅ tập lồi, cân bị chặn E E1 = ∞ n=1 nB khơng gian E Hàm cở pB B E1 chuẩn E1 ; Không gian định chuẩn (E1 , pB ) ký hiệu EB Rõ ràng phép nhúng (chính tắc) ΨB : EB → E liên tục Hơn B đầy đủ E EB khơng gian đầy đủ Trong trường hợp V = B tập lồi, cân, hấp thụ bị chặn EV EB đồng Nếu U V tập lồi, cân hấp thụ E với hàm cở tương ứng p, q thỏa U ⊂ V , p−1 (0) ⊂ q −1 (0) lớp tương đương xˆ mod p−1 (0) chứa lớp tương đương yˆ mod q −1 (0); xˆ → yˆ ánh xạ tuyến tính ΦV,U gọi ánh xạ 38 Gọi T : Rn → Rn tốn tử tuyến tính với T (C) = Un Ký hiệu D = T (Un ), N = T (M ), N0 = T (M0 ) w = T u Gọi v1 ≥ · · · ≥ bán trục D Khi vk = λ−1 k với k = 1, · · · , n từ (4.1) ta có: v12 + · · · + vn2 ≤ (4.6) Gọi P hình hộp chữ nhật ngoại tiếp D có mặt (n − 1)-chiều P song song với N0 Gọi π : Rn → N0 phép chiếu vng góc (trực giao) Từ (4.6) Bổ đề 4.1 ta suy diam P ≤ P ⊂ Un Mặt khác theo (4.2) N ∩ D = ∅ Vì vậy, π(P ) ⊂ (Un ∩ N ) − w (4.7) Rõ ràng π(P ) hình hộp chữ nhật (n − 1)-chiều ngoại tiếp ellipsoid π(D) (n−1)-chiều Khơng tính tổng qt ta giả sử N0 = Rn−1 Theo (4.7) Bổ đề 4.1, ta viết n−1 d2k (π(D), (Un ∩ N ) − w) ≤ k=1 Điều dẫn tới n−1 d2k (D ∩ N0 , (Un ∩ N ) − w) ≤ (4.8) k=1 D ∩ N0 ⊂ π(D) Mặt khác, dk (D ∩ N0 , (Un ∩ N ) − w) = dk (Un ∩ M0 , (C ∩ M ) − u) với k = 1, · · · , n − Từ (4.8) (4.5) ta có (4.3) Bổ đề 4.3 [1] Cho A không gian affine n-chiều P hình hộp n-chiều A có cạnh không dài Cho C ellipsoid 39 −2 n-chiều A với bán trục λ1 , · · · , λn thỏa λ−2 + · · · + λn ≤ Khi đó, P chứa tâm C C chứa cạnh chiều P Chứng minh Ta chứng minh qui nạp theo n Với n = 1, bổ đề tầm thường Giả sử bổ đề với không gian (n − 1)-chiều (n ≥ 2) Gọi u tâm C Ta tìm phép đẳng cấu affine T : A → Rn với T u = Đặt s = sup{r > : rT (C) ⊂ T (P )} Gọi F mặt (n1 )-chiều T (P ) mà tiếp xúc với ellipsoid sT (C) Gọi w điểm chung F sT (C) đặt M siêu phẳng (n − 1)chiều Rn chứa F Do T (P ) chứa O cạnh chiều khơng dài nên ta có M ∩ Un = Khi theo bổ để (4.2) ta có T (C) ∩ M ellipsoid (n − 1)-chiều µ1 , · · · , µn−1 bán trục −2 µ−2 + · · · + µn−1 ≤ Dễ thấy w tâm T (C) ∩ M Vì theo giả thiết qui nạp, tồn cạnh chiều F chứa T (C) ∩ M Nghĩa T (C) chứa cạnh T (P ) hay C chứa cạnh F Với s ∈ N, ta ký hiệu Ps họ tất tập khác rỗng {1, · · · , s} Bổ đề 4.4 [1] Cho p ≥ q hai nửa chuẩn tiền Hilbert không gian 40 vectơ E cho ∞ d2k (Bp , Bq ) ≤ (4.9) k=1 Lấy b ∈ E tùy ý v1 , · · · , vs ∈ Bp tùy ý với s ≥ Nếu y ∈ E y ∈ conv{b+ b + J i∈I vi : I ∈ Ps }, tồn J ∈ Ps cho ≤ |J| ≤ s−1 vi ∈ Bq + y Chứng minh Khơng tính tổng qt ta giả sử p, q chuẩn v1 , · · · , vs độc lập tuyến tính Khi đó, ta giả sử E = Rs Bp = Us Vì P = conv{b + i∈I vi : I ∈ Ps } hình hộp s-chiều Bq + y bán trục Bq + y theo (4.9) ta có −2 λ−2 + · · · + λx ≤ Theo Bổ đề 4.3 tồn cạnh chiều P chứa Bq + y Do s ≥ 2, nên Bq + y chứa đỉnh P khác với b b + Ta ý thêm đỉnh có dạng b + i∈J s i=1 ui vi với J ∈ Ps ≤ |J| ≤ s1 Cho ∞ i=1 ui chuỗi hội tụ không gian vectơ tôpô E Với m ∈ N, đặt Zm bao đóng tất điểm dạng tập hữu hạn {m, m + 1, · · · } Ta định nghĩa: ∞ U( ∞ ui ) = i=1 Zm m=1 i∈I ui với I 41 ∞ i=1 ui Bổ đề 4.5 [1] Cho tôpô E Khi U( nữa, U( ∞ i=1 ui ) + · · · cho w = lim n→∞ Bổ đề 4.6 [1] Cho chuỗi hội tụ không gian vectơ ∞ i=1 ui ) nhóm cộng tính đóng E Hơn ∞ i=1 ui = {w| ∃σ : N → N song ánh , ∃j1 < j2 < jn i=1 uσ(i) } ∞ i=1 ui chuỗi hội tụ không gian hạch E Khi đó, ∞ ∞ U( ui ) = Γ0 ( ui ) i=1 i=1 ∞ ∞ Chứng minh Ta cần chứng minh: ui ) ⊂ U( Γ0 ( i=1 ui ), i=1 chiều ngược lại hiển nhiên Lấy w ∈ E\U( ∞ i=1 ui ) Do U( ∞ i=1 ui ) đóng khơng chứa w nên tồn nửa chuẩn tiền Hilbert liên tục q E cho ∞ (w + Bq ) ∩ U( ui ) = ∅ i=1 (theo Hệ 1.9 chương 1) Do đó, theo định nghĩa U( ∞ i=1 ui ), tồn m cho q(w − ui ) > với I ⊂ {m, m + 1, · · · } (4.10) i∈I Mặt khác theo Hệ 1.10 chương 1, tồn nửa chuẩn tiền Hilbert liên tục p ≥ q E ∞ k=1 d2k (Bp , Bq ) ≤ (4.11) 42 Gia tăng m (nếu cần) ta giả sử p(ui ) ≤ ∀i ≥ m (4.12) Đặt l Q={ ti ui | ti ∈ [0, 1], l > m} i=m Ta chứng minh Q ∩ (w + Bq ) = ∅ (4.13) Giả sử phản chứng Khi tồn tm , tm+1 , · · · , tl ∈ [0, 1] cho l y := ti ui ∈ w + Bq i=m (4.14) Ta giả sử s := l − m ≥ Ký hiệu vi = ui+m−1 với i = 1, · · · , l − m + Theo (4.11) (4.12) Bổ đề 4.4 với b = q thay 12 q ta có: q(y − ui ) ≤ i∈J với J ⊂ {m, · · · , l} Từ (4.14) (4.15) ta q(w − (4.15) i∈J ui ) ≤ 1, mâu thuẩn với (4.10) Vậy ta có (4.13) Theo Định lý Hahn-Banach, tồn f ∈ E tách ngặt w Q: sup < f (w) (4.16) u∈Q Đặc biệt ui ) < f (w) với tùy ý I ∈ {m, m + 1, · · · } f( i∈I (4.17) 43 Do chuỗi ∞ i=1 ui hội tụ nên chuỗi số ∞ i=1 f (ui ) theo (4.17) Định lý Riemman chuỗi số Γ( ∞ i=1 ui ) hội tụ Mặt khác, ∞ i=1 |f (ui )| hội tụ Vậy f ∈ ∞ i=1 ui ) Từ (4.16) suy f (w) = (do ∈ Q) Vì w ∈ / Γ0 ( Bổ đề 4.7 [1] Cho B ⊂ C ⊂ D ba ellipsoid n-chiều tâm O cho ∞ d2k (B, C) ≤ 1, (4.18) d2k (C, D) ≤ (4.19) k=1 ∞ k=1 Với tùy ý u1 , · · · , ul ∈ B tùy ý a ∈ C với a + l i=1 ui ∈ C, ta tìm phép hốn vị σ {1, · · · , l} cho j uσ(i) ∈ D (j = 1, · · · , l) a+ i=1 Chứng minh Chúng ta chứng minh qui nạp theo n Với n = 1, bổ đề tầm thường Cố định số nguyên m ≥ giả sử bổ đề với n = m − Ta chứng minh bổ đề với n = m Lấy F ⊂ G ⊂ H ba ellipsoid Rn với tâm O cho: m d2k (F, G) ≤ 1, (4.20) d2k (G, H) ≤ (4.21) k=1 m k=1 44 Ta chứng minh khẳng định sau: (*) Với tùy ý w1 , · · · , wl ∈ F tùy ý b ∈ G với b + l i=1 wi ∈ G, tồn phép hốn vị σ {1, · · · , l} cho j wσ(i) ∈ H (j = 1, · · · , l) b+ i=1 Để chứng minh (*) ta chứng minh qui nạp theo l Với số nguyên s ≥ cố định, ta giả sử (*) với l ≤ s Ta chứng minh (*) với l = s Lấy tùy ý v1 , · · · , vs ∈ F tùy ý b+ s i=1 vi ∈ G Ta tìm phép hoán vị ρ {1, · · · , s} cho j vρ(i) ∈ H (j = 1, · · · , s) b+ (4.22) i=1 Ta xét hai trường hợp A Giả sử bao lồi tập Z := {b + vi : I ∈ Ps } i∈I chứa O Lấy p q hai chuẩn Rm với Bp = F Bq = G Theo (4.20) (4.9) thỏa mãn Áp dụng Bổ đề (4.4) với y = ta tìm J ∈ Ps cho ≤ |J| ≤ s − b + i∈J vi ∈ G Đặt r = |J| w1 , · · · , wr phần tử liên tiếp tập {vi }i∈J Theo giả thiết qui nạp (*) với l = r, nghĩa tồn phép hoán vị σ {1, · · · , r} cho j wσ(i) ∈ H (j = 1, · · · , r) b+ i=1 45 Nói cách khác, ta xếp phần tử J thành dãy ρ(1), · · · , ρ(r) cho j vρ(i) ∈ H (j = 1, · · · , r) b+ (4.23) i=1 Đặt w1 , · · · , ws−r phần tử liên tiếp tập {vi }i∈J / Đặt l = s−s (*) thay b b+ cho i∈J vi , ta có phép hoán vị τ {1, · · · , s−r} j wτ (i) ∈ H (j = 1, · · · , s − r) vi + b+ i=1 i∈J Nói cách khác, ta xếp phần tử {1, · · · , s}\J thành dãy ρ(r + 1), · · · , ρ(s − r) cho j b+ vρ(i) ∈ H (j = r + 1, · · · , s) vi + i∈J (4.24) i=r+1 Khi ρ hốn vị {1, · · · , s} ta có (4.22) từ (4.23) (4.24) B Giả O ∈ / conv Z Khi tồn phiếm hàm tuyến tính Rn với f (u) > ∀u ∈ Z (4.25) Đặt h = sup {f (u) : u ∈ G} Hiển nhiên Z đối xứng với tâm trung điểm đoạn thẳng nối b b + s i=1 vi Do trung điểm thuộc G nên từ (4.25) ta f (u) < 2h ∀u ∈ Z Ta giả sử H = Um ker f = Rm−1 Đặt π : Rm → Rm−1 phép chiếu trực giao Rõ ràng m−1 m d2k (π(F ), π(G)) k=1 d2k (F, G) < k=1 (4.26) 46 Vì theo (4.20) ta m−1 d2k (π(F ), π(G)) ≤ (4.27) k=1 Ta tìm hình hộp P m-chiều ngoại tiếp G với tính chất mặt (m − 1)-chiều song song với Rm−1 Từ (4.21) Bổ đề 4.1 ta suy 2P ⊂ Um Rõ ràng, 2π(P ) ⊂ W := π(Um ∩ f −1 (2h)) (4.28) π(P ) hình hộp (m − 1)-chiều ngoại tiếp ellipsoid (m − 1)-chiều π(G) Từ (4.28) Bổ đề 4.1 ta m−1 k=1 d2k (π(G), W ) ≤ (4.29) Đặt B = π(F ), C = π(G) D = W Khi theo (4.27) (4.29) ta có (4.18) (4.19) Đặt n = m − 1, l = s, a = π(b), u1 , · · · , ul ∈ B l a+ s ui = π(b) + i=1 s vi ) ∈ π(G) = C π(vi ) = π(b + i=1 i=1 Vậy giả thiết Bổ đề 4.7 thỏa mãn Vì ta giả sử Bổ đề 4.7 với n = m − 1, theo sau tồn phép hoán vị ρ {1, · · · , s} với j π(vρ(i) ) ∈ W (j = 1, · · · , s) π(b) + i=1 Từ (4.25), (4.26) (4.30) ta suy j vρ(i) ∈ V := π −1 (W ) ∩ f −1 ([0, 2h] (j = 1, · · · , s) b+ i=1 Cuối V ⊂ Um nên ta có (4.22) (4.30) 47 Hệ 4.1 [1] Cho p ≥ q ≥ r ba nửa chuẩn tiền Hilbert không gian vectơ cho ∞ ∞ d2k (Bp , Bq ) ≤ k=1 k=1 d2k (Bq , Br ) ≤ Với tùy ý u1 , · · · , ul ∈ Bp tùy ý a ∈ Bq với a + l i=1 ui thể tìm phép hốn vị ρ {1, · · · , l} cho a + ∈ Bq , ta có j i=1 uσ(i) ∈ Br với j = 1, · · · , l Định lý Levy-Steinitz không gian hạch khả mêtric ∞ i=1 ui Định lý 4.1 [1] Cho chuỗi hội tụ không gian hạch khả mêtric Khi đó, i=1 i=1 i=1 ui ui ) + ui ) = Γ0 ( DS( ∞ ∞ ∞ Chứng minh Ký hiệu E không gian hạch ta Theo Bổ đề 4.6, ta cần chứng minh ∞ ∞ ui ) = U( DS( i=1 Lấy tùy ý w ∈ U( ui ) + i=1 ∞ i=1 ui ) + ∞ ∞ i=1 ui ui i=1 Theo Bổ đề 4.5 tồn hoán vị σ N dãy j1 < j2 < · · · cho w = lim n→∞ jn i=1 uσ(i) Tiếp đến, theo Hệ 1.10 chương 1, ta tìm dãy p1 ≤ p2 ≤ · · · nửa chuẩn tiền Hilbert liên tục E cho {Bpn }∞ n=1 sở lân cận O E ∞ k=1 d2k (Bpn+1 , Bpn ) ≤ (4.31) 48 Tăng số jn cần, ta giả sử jn pn+1 (w − uσ(i) ) ≤ (4.32) i=1 với n ∈ N pn+2 (uσ(i) ) ≤ (4.33) với n ∈ N với j > jn Cố định số n tùy ý Thay n n + (4.31) ta ∞ d2k (Bpn+2 , Bpn+1 ) ≤ (4.34) k=1 Thay n n + (4.32) ta jn+1 pn+1 (w − )≤1 (4.35) i=1 pn+1 ≤ pn+2 Từ (4.31) hệ Bổ đề 4.7 ta suy ta tồn phép hoán vị ρn tập {σ(jn + 1), · · · , σ(jn+1 )} cho jn pn (w − l uσ(i) − i=1 uρn σ(i) ) ≤ (l = jn + 1, · · · , jn+1 ) (4.36) i=jn +1 S Đặt ρ hoán vị N xác định ρ(i) = ρn σ(i) jn + ≤ i ≤ jn+1 ρ(i) = i i < j1 Vì (4.36) với n nên l pn (w − uρ(i) ) ≤ (l > jn ; n ∈ N) i=1 Vậy ∞ i=1 uρ(i) ∞ i=1 ui ⊂ DS( hội tụ w Vì w ∈ DS( ∞ i=1 ui ) ∞ i=1 ui ) hay U( ∞ i=1 ui ) Chiều ngược lại suy ta từ Bổ đề 4.5 + 49 KẾT LUẬN Luận văn trình bầy số kết mở rộng Định lý LevySteinitz không gian lồi địa phương khả mêtric không gian hạch Cụ thể chương 3, chúng trình bày chi tiết lại mở rộng Định lý Levy-Steinitz không gian lồi địa phương khả mêtric với điều kiện (σ, θ) đặt lên chuỗi Ở cuối chương 3, vận dụng tập [6] (Bổ đề 3.3) chứng minh Định lý Levy-Steinitz (trong không gian hữu hạn chiều) trường hợp đặc biệt Định lý 3.2, nghĩa không gian hữu hạn chiều điều kiện (σ, θ) thỏa mãn (Hệ 3.2) Trong chương 4, chúng tơi trình bày chi tiết lại mở rộng Định lý Levy-Steinitz không gian hạch khả mêtric Trong luận văn số vấn đề chưa đào sâu nghiên cứu Chẳng hạn miền tổng chuỗi không gian đối ngẫu không gian mêtric, hay không gian vectơ tôpô G.J Giorgobiani chứng minh kết tương tự định lý Levy-Steinitz không gian vectơ tôpô khả mêtric bị chặn địa phương điều kiện (σ, θ) Nhưng ta chưa biết kết cịn L0 với điều kiện (σ, θ) (khơng gian khơng khả mêtric) Ngồi ra, [5] cịn đưa đốn "Cho E khơng gian hạch khả mêtric, (ak ) ⊂ E dãy hội tụ khơng Khi tồn dãy dấu θ = (θk ) cho chuỗi 50 ak θk hội tụ" Nếu đốn Định lý 4.1 trường hợp đặc biệt Định lý 3.2 Trong thực luận văn này, vận dụng nhiều kiến thức chuyên ngành học (tơpơ, giải tích hàm, hình học giai tích, ) chúng tơi học nhiều kiến thức chuỗi, không gian hạch tính chất Tuy có nhiều có gắng với hiểu biết hạn chế thời gian thực luận văn nên tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp q báu q thầy 51 Tài liệu tham khảo [1] W Banasczyk (1990), "The Steinitz theorem on rearrangement of series of for nuclear spaces", Reine Angew journal of Mathematics, 403, 187-200 [2] W Banasczyk (1993), "Rearrangement of series in nonnuclear spaces", Studia Mth, 107, 213-222 [3] J Bonet, A Defant (2000), "The Levy-Steinitz rearrangement theorem for duals of metrizable spaces", Israel journal of Mathematics, 117, 131-156 [4] Đậu Thế Cấp (2000), Giải tích hàm, Nhà xuất giáo dục [5] M Chasco, S Chobanjan (1997), "On rearrangements of series in locally convex spaces", Michigan Math J, 44, 607-617 [6] M I Kadets, V M Kadets (1991), "Rearrangements of series In Banach spaces", Translations of mathematical monographs, vol 86, American Mathematical society 52 [7] M I Kadets, V M Kadets (1997), "Series In Banach spaces", Operator Theory, Advances and Applications 94, Birkhauser [8] H H Schaefer (1971), Topological vector spaces, 3rd printing, BerlinHeidelberg-New York ... nghĩa Định lý Levy- Steinitz, chọn "Định lý Levy- Steinitz miền tổng chuỗi" làm chủ đề cho luận văn thạc sĩ Mục đích Nghiên cứu Định lý Levy- Steinitz không gian hữu hạn chiều định lý tương tự Định lý. .. Levy- Steinitz cho ta miêu tả đầy đủ miền tổng chuỗi không gian hữu hạn chiều Hơn Định lý Levy- Steinitz tiền đề cho nhà tốn học có sở để nghiên cứu sâu miền tổng chuỗi hay tổng quát chuỗi không gian vô hạn... Q ) Định lý 2.1 (Levy- Steinitz) [6] Giả sử chuỗi ∞ i=1 xi không gian m chiều E Khi miền tổng chuỗi hội tụ s xi đa tạp n chiều (n ≤ m), cụ thể DS( xi ) = s + Γ ◦ Để chứng minh định lý Levy- Steinitz