BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐẶNG THỤC HIỀN HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM: PHƯƠNG PHÁP LẶP CẤP HAI VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2003 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐẶNG THỤC HIỀN HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM: PHƯƠNG PHÁP LẶP CẤP HAI VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 1.01.01 Người hướng dẫn: TS nguyễn thành long Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2003 Luận văn đƣợc hồn thành Trƣờng Đại học Sƣ Phạm TP Hồ Chí Minh Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Long Khoa Toán - Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh Người nhận xét 1: PGS TS Nguyễn Bích Huy Khoa Toán - Tin học, Đại học Sƣ phạm Tp Hồ Chí Minh Người nhận xét 2: TS Trần Minh Thuyết Khoa Thống kê Toán - Tin học, Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh Học viên cao học: Đặng Thục Hiền Trƣờng Cao đẳng Giao thông Vận tải Luận văn đƣợc bảo vệ Hội Đồng chấm luận án cấp Trƣờng Trƣờng Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh vào lúc ngày tháng năm 2003 Có thể tìm hiểu luận văn Phịng Sau Đại học, thƣ viện Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm TP Hồ Chí Minh THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2003 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin trâm trọng cảm ơn Thầy, Cơ giáo khoa Tốn - Tin học trường Đại học Sư Phạm trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy cho chúng tơi suốt khóa học Tôi xin trân trọng cảm ơn Tiến sĩ Nguyễn Thành Long, người thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Xin trân trọng cảm ơn PGS Tiến sĩ Nguyễn Bích Huy, khoa Toán - Tin học trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh; Tiến sĩ Trần Minh Tuyết, khoa thống kê Toán học - Tin học, Đại học Kinh tế TP Hồ Chí Minh đọc luận văn cho nhận xét quý báu Xin trân trọng cảm ơn phòng Quản lý khoa học - Sau đại học, trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho hồn thành khóa học Xin trân trọng cảm ơn Bạn Giám Hiệu trường Cao Đẳng giao thông vận tải 3, gia đình, bạn bè đồng ngiệp bạn học lớp Cao học Giải tích khóa 11 ln tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ thời gian học tập nghiên cứu MỤC LỤC MỤC LỤC CHƢƠNG I TỔNG QUAN CHƢƠNG CÁC KÝ HIỆU VÀ KHÔNG GIAN HÀM CHƢƠNG ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM Bổ đề 3.1 Bổ đề 3.2 Định lý 3.1 Chú thích 3.1 10 Chú thích 3.2 10 CHƢƠNG THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI 11 4.1 Thuật giải lặp cấp hai 11 Định lý 4.1 12 Định lý 4.2 13 4.2 Sự hội tụ thuật giải lặp cấp hai 16 Định lý 4.3 16 Chú thích 4.1 19 CHƢƠNG KHAI TRIỂN TIÊM CẬN CỦA NGHIỆM 20 Bổ đề 5.1 21 Bổ đề 5.2 22 Bổ đề 5.3 23 Định lý 5.1 25 Chú thích 5.1 26 Định lý 5.2 26 CHƢƠNG MỘT SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH HÀM CỤ THỂ 28 6.1 Khảo sát thuật giải cấp hai 28 6.2 Khai triền tiệm cận nghiệm 33 PHẦN KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 CHƢƠNG TỔNG QUAN Trong luận văn này, nghiên cứu hệ phƣơng trình hàm sau (1.1) x ∈, I = 1,…,n, đó, Ω = [a,b] Ω khoảng không bị chặn IR, aijk, bijk số thực cho trƣớc; hàm số liên tục cho trƣớc thỏa số điều kiện mà ta đặt sau Các hàm ẩn hàm, tham số bé Trong trƣờng hợp riêng hệ (1.1) đƣợc nghiên cứu tác giả N.T Long, N.H Nghĩa, T.N Diễm [6]; L.T Vân [11] Trong [12], tác giả C.Q Wu, Q.w Xuan, D.Y Zhu nghiên cứu hệ (1.1) sau ứng với Ω = [-b,b], m = n = 2, aijk = Sijk nhị thức bậc (1.2) với x ∈ Ω = [-b,b] đó, số aij , bij , cij , b cho trƣớc thỏa điều kiện (1.3) hàm số g1, g2 liên tục cho trƣớc f1, f2 ẩn hàm Nghiệm hệ (1.2) lúc đƣợc xấp xỉ dãy quy nạp hội tụ ổn định gi Trong [9], tác giả N.H Nghĩa, N.K Khôi xét hệ phƣơng trình hàm cụ thể sau để làm kiểm tra thuật toán số (1.4) với x∈[-1,1], g1, g2 đƣợc chọn cho hệ (1.4) có nghiệm xác biết trƣớc Trong [3], tác giả N.T Long, N.H Nghĩa, Đ.V Ruy, N.K Khôi nghiên cứu trƣờng hợp riêng (1.1) với aijk = Ω = [-b,b] hay Ω khoảng không bị chặn IR Bằng cách sử dụng định lý điểm bất động Banach, [3] thu đƣợc kt vê tồn tại, tính ổn định nghiệm hệ (1.1) hàm gi Trong trƣờng hợp aijk = Sijk nhị thức bậc nhất, g ∈ Cr(Ω;IRn)và Ω = [-b,b], [3] thu đƣợc khai triển Maclaurin nghiệm hệ (1.1) cấp r Hơn nữa, nêu gi đa thức bậc r nghiệm hệ (1.1) đa thức bậc r Kế đó, gi hàm liên tục, nghiệm f (1.1) đƣợc xấp xỉ dãy đa thức hội tụ Sau đó, kết đƣợc nới rộng tác giả N.T Long, N.H Nghĩa [4] cho miền Ω⊂IRp nhiều chiều Sijk hàm affine Hơn nữa, [4] cho điều kiện đủ hội tụ cấp hai Một số kết liên quan đến khai triển tiệm cận nghiệm cho hệ (1.1) theo tham số bé ɛ đƣợc xem xét báo N.T Long, N.H Nghĩa, T.N Diễm [6] N.T Long [8] Gần đây, N.T Long, P.H Danh, N.K Khơi [5] nghiên cứu hệ phƣơng trình tích phân-hàm (1.5) Sau P.H Danh, H.T.H Dung, N.T Long [1] xét hệ (1.6) i = l,2, ,n, x ∈ Ω = [-b, b], gi Ω IR hàm liên tục cho trƣớc, aijk, bijk, cijk, αijk, βijk, γijk ∈ IR số thực cho trƣớc thỏa thêm số điều kiện phụ Các tác giả [1, 5] thiết lập nghiệm f = (f1, ,fn) dãy đa thức hội tụ Luận văn đƣợc trình bày chƣơng, phần kết luận cuối phần tài liệu tham khảo Trong chƣơng 1, phần tổng quan hệ phƣơng trình hàm, số kết có trƣớc số nội dung cần trình bày chƣơng luận văn Trong chƣơng 2, phần trình bày cơng cụ chủ yếu để sử dụng cho chƣơng sau Trong chƣơng 3, dựa vào định lý điểm bất động Banach, chứng minh tồn nghiệm hệ (1.1) Trong chƣơng 4, nghiên cứu điều kiện đủ để thu đƣợc thuật giải lặp hội tụ cấp hai cho hệ (1.1) Điều cho phép gia tăng tốc độ hội tụ thuật giải lặp so với thuật giải xấp xỉ liên tiếp ánh xạ co Trong chƣơng 5, chúng tơi nghiên cứu hệ phƣơng trình hàm (1.1) bị nhiễu tham số bé ɛ Chúng thu đƣợc chƣơng khai triển tiệm cận nghiệm hệ (1.1) đến cấp N + theo ɛ, với ɛ đủ nhỏ theo nghĩa tức c số độc lập với Trong chƣơng 6, nghiên cứu số ví dụ hệ phƣơng trình hàm cụ thể thuộc dạng (1.1) ứng với thuật giải hội tụ cấp hai thành phần khai triển tiệm cận đến cấp hai cho hệ đƣợc khảo sát Phần kết luận nêu lên số kết thu đƣợc luận văn số ý kèm theo Cuối phần tài liệu tham khảo CHƢƠNG CÁC KÝ HIỆU VÀ KHÔNG GIAN HÀM Trong chƣơng 2, phân giới thiệu ký hiệu, không gian hàm số công cụ đƣợc sử dụng luận văn 2.1 Các ký hiệu Ta ký hiệu Ω = [a, b] hay Ω khoảng không bị chặn IR Với Ω = [a,b], ta ký hiệu X = C(Ω;IRn) không gian Banach hàm số f = (f1, ,fn): Ω → IRn liên tục Ω chuẩn (2.1) Khi Ω khoảng không bị chặn, ta ký hiệu X = Cb(Ω; IRn) không gian Banach hàm số f:Ω→IRn liên tục, bị chặn Ω chuẩn (2.1) Tƣơng tự, với số nguyên không âm m, ta đặt Với Ω khoảng không bị chặn, ta ký hiệu Mặt khác, Cm (Ω; IRn) (Ω; IRn) không gian Banach chuẩn (2.2) 2.2 Định lý điểm bất động Banach Định lý điểm bất động sau đƣợc sử dụng nhiều lần chƣơng sau Định lý 2.1 (Định lý điểm bất động Banach) Cho X không gian Banach với chuẩn ||.||, K⊂ X tập đóng Cho T: K → K ánh xạ thỏa mãn: tồn số thực σ, ≤ σ < cho (2.3) Khi ta có (i) Tồn f ∈ K cho f = Tf (ii) Với f(0) ∈ K, xét dãy f(v) cho f(v) = Tf(v-1), v = 1,2,…, ta có (j) (jj) (jjj) Chứng minh định lý 2.1 tìm thấy sách nhập mơn giải tích (ii) Tốn tử tuyến tính I-B: X→X khả đảo Do bổ đề 3.1, ta viết lại hệ (3.1) nhƣ sau f = (I – B)-1 (ɛ Af + g) = Tf (3.2) Ta thành lập giả thiết sau (H1) Rijk, Sijk,: Ω Ω liên tục; (H2) g = (g1,…gn) ∈ X; (H3) ||[bijk]|| < (H4) Φ: R → R thỏa điều kiện Với M > 0, ta đặt KM = {f ∈ X : ||f||X ≤ M} Khi đó, ta có kết sau Bổ đề 3.2 Giả sử (H1) - (H4) Khi ta có Định lý 3.1 : Giả sử (H1) - (H5) Khi đó, với , với | | f ∈ KM 0, hệ (3.2) có nghiệm Chú thích 3.1 Nhờ định lý điểm bất động Banach, nghiệm f hệ (3.2) đƣợc xấp xỉ giải thuật sau f(0) ∈ KM cho trƣớc Khi đó: f(v) f X v +∞ với Chú thích 3.2 Trong trƣờng hợp riêng Φ (y) = y2 , RiJk = SiJk, hệ (1.1) đƣợc chứng minh tồn nghiệm tác giả N.T Long, N.H Nghĩa, T.N Diễm [6]; L.T Vân [11] CHƢƠNG THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI Trong định lý 3.1 cho thuật giải xấp xỉ liên tiếp (3.6), theo nguyên tắc ánh xạ co, thuật giải hội tụ cấp Trong phần nghiên cứu thuật giải cấp hai cho hệ (1.1) Một số điều kiện phụ liên quan đến hệ (1.1) ta đặt sau 4.1 Thuật giải lặp cấp hai Xét hệ phƣơng trình hàm (1.1) với Φ ∈ C1 (IR; IR) Dựa vào xấp xỉ (4.1) Ta thu đƣợc thuật giải sau cho hệ (1.1) i) Cho trƣớc ii) Giả sử biết ta xác định (4.2) , phụ thuộc vào f(v-1) cho bởi: (4.3) (4.4) Khi ta có định lý sau Định lý 4.1: Giả sử (H1) - (H3) Nếu f (v-1) ∈ X thỏa Khi tồn f(v)∈ X nghiệm (4.2) - (4.4) Định lý 4.2: Giả sử (H1)-(H3) đúng, cho aijk ∈ IR Khi đó, tồn hai số M, cho: Với f(0) ∈ KM cho trước, hệ (4.3)-(4.5) tồn nghiệm f(v) thỏa điều kiện f(v) ∈ KM v = 01,2,… 4.2 Sự hội tụ thuật giải lặp cấp hai Định lý 4.3: Giả sử (H1), (H2), (H3) Cho aijk ∈ IR Khi đó, tồn hai Số M> , cho (i) Với f(0) ∈ KM cho trước, dãy {f(v)} xác định hệ (4.3) – (4.5) dãy lặp cấp hai Chính xác hơn, ta có f nghiệm hệ (1.1) ii) Nếu f(0) chọn đủ gần f cho (*) dãy {f(v)} hội tụ cấp f thỏa đánh giả sai số Chú thích 4.1 Về việc chọn bƣớc lặp ban đầu f(0) ∈ KM thỏa (4.24) ta cần qua công đoạn phụ nhƣ sau - Trƣớc hết ta lấy z(0)∈ X - Xây dựng dãy lặp đơn {z(η)} liên kết với ánh xạ co T : KM → KM (nhƣ định lý 3.2, chƣơng 3) - Chọn η0 ∈ N đủ lớn cho với Khi đó, chọn bƣớc lặp ban đầu f(0) = z(η0) CHƢƠNG 5: KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM Trong chƣơng này, nghiên cứu hệ phƣơng trình hàm (1.1) bị nhiễu tham số bé Giả sử (H1) - (H5) 10 Giả thiết (H6) : Φ∈CN (IR, IR) Ta xét hệ bị nhiều (3.2), tham số bé, \ \ < Đặt L = I - B Xét dãy hàm {f[r]},r = 0,1,2, ,N, f[r]∈KM (với số M > 0) đƣợc xác định hệ sau Lf[0] = g ≡ P[0] (5.1) Lf[1]=P[1]=Af[0], (5.2) Lf[r] =P[r], r = 2,3, ,N, (5.3) (5.4) (5.5) với p = 3,4,…,N (5.6) ta sử dụng ký hiệu sau Với đa số γ = γ1 ,-,γN ) ∈ , ta đặt (5.7) Đặt 11 thỏa hệ Khi ta có kết sau Bổ đề 5.1: Ta có Bổ đề 5.2: ,Crp ∈ IR,1≤ r≤ N - 1,1≤ p ≤ N(N-1),N=2,3 Bổ đề 5.3: Giả sử (H1 - (H5) Khi ta có số phụ thuộc vào N, ||[aijk]||, ||f[r]||x, r = 0,1,…,N Định lý 5.1: Giả sử (H1) - (H6) Khi đó, tồn số x > cho, với thỏa | | ≤ 1, hệ (3.2) có nghiệm f ∈ KM thỏa đánh giả tiệm cận đến cấp N+1 sau hàm f[r], r = 0,1,2, , N nghiệm hệ (5.1) - (5.5) Chú thích 5.1 Với aijk ∈ IR g = (g1, ,gn) ∈ X cho trƣớc, giả thiêt ||[bijk] < dẫn đến tồn hai số dƣơng 0, M lần lƣợt thỏa giả thiết (H4) (H5) Khi ta có kết sau 12 Định lý 5.2: Giả sử (H1) — (H3) đúng, cho trước aịjk ∈ IR Khi đó, tồn hai số M > 0, thỏa \ \ ≤ hệ (3.2) có nghiệm f ∈ KM có khai > cho, với triển tiệm cận đến cấp N+1 (5.21), hàm f[r], r = 0,1,.:,N nghiệm hệ (5.1) - (5.6) CHƢƠNG MỘT SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH HÀM CỤ THỂ Trong phần này, chúng tơi xem xét qua số ví dụ dựa số hệ phƣơng trình hàm cụ thể Qua đó, chúng tơi xét hội tụ dãy lặp cấp liên kết với hệ phƣơng trình hàm Vân phần này, chúng tơi tính tốn số khai triên tiệm cận đến cấp cho trƣớc nghiệm theo tham số bé 6.1 Khảo sát thuật giải cấp hai Chúng xét hệ (1.1) ứng với m = 1,n = 2,Ω = [-1,1],Φ (y) = \y\p ,p ≥ (6.1) (6.2) aij, bij, rij, sij số thực cho trƣớc thỏa (6.3) hàm Rij(x) = rijx, s,ij(x) = sijx, gi(x) thỏa giả thiết (H1), (H2) Ta thành lập giả thiết sau 13 (H3) ||[bij]|| < 1; (H6) Chọn M > cho ||g||x < (1 - ||[bij]||)M; (H7) Chọn ∈ IR (đủ nhỏ) cho Nhƣ chƣơng 4, thuật giải cấp hai cho hệ (6.1) nhƣ sau: (6.4) ta ||f(0)||X ≤ M v = 1,2, với Hơn nữa, ta chọn bƣớc lặp ban đầu thỏa thêm điều kiện với ta có đánh giá sai số Để chọn f(0): Ta xây dựng dãy lặp {z(η)} ⊂ KM xác định x ∈ Ω , i = 1,2, , 14 Khi đó, {z(η)} → f X Chọn (η)0 ∈ N lớn cho với Chọn f(0) = z(η0) 6.2 Khai triền tiệm cận nghiệm Ta xét hệ (6.1), aij, bij, rij, sij số thực cho trƣớc thỏa (6.3) Do đó, hàm Rij(x) = rijx, Sij(x) = sijx, gi(x) độc lập với , thỏa giả thiết (H1),(H2) A Khảo sát nghiệm hệ (6.1) trường hợp = Trƣờng hợp = 0, hệ (6.1) hệ tuyên tính sau (6.5) A1 Giả sử gi(x) đa thức có bậc nhỏ hay r (6.6) Nghiệm (6.5) (6.7) (6.8) 15 A2 Giả sử g = (g1, g2)∈Cq(Ω,R2) Gọi ̃ với ̃ ̃ ̃ , ̃ ̃ nghiệm đa thức hệ (6.18) tương ứng (6.9) Sai lệch hai nghiệm f, ̃ hệ (6.18) lần lƣợt, tƣơng ứng với g, ̃, đƣợc cho đánh giá (6.10) (6.11) A3 Xét hàm g = (g1,g2) cụ thể nhƣ sau (6.12) Đặt 16 Ta có q → +∞ Ta gọi (6.13) nghiệm đa thức hệ (6.18) tƣơng ứng với (6.14) đó, hệ số (c1 γ, c2 γ) đƣợc tính theo cơng thức (6.15) Mặt khác, từ hệ ta suy (6.16) q → +∞, (6.31) B Khai triển tiệm cận nghiệm hệ (6.1) theo 17 Ta giả sử p = 2, aij, bij rij Sij số thực cho trƣớc thỏa (6.3) Các hàm tƣơng ứng Rij(x)= rijx, Sij(x)=sijx, gi(x) độc lập với s thỏa giả thiết (H1), (H2) Giả sử gi(x) đa thức bậc r cho trƣớc độc lập với nhƣ sau (6.17) Áp dụng công thức (6.19), (6.20), (6.22), nghiệm hệ (6.1) ứng với = (tức hệ (6.18)) đa thức: f[0] = (f[0],f[0]) = L-1g, với (6.18) (c1γ,c2γ) cho (6.19) Gọi f[1] nghiệm hệ (6.18) ứng với g = Af[0], tức (6.20) mà (6.21) với (6.22) Theo kết định lý 5.2, chƣơng ta có đánh giá khai triển tiệm cận cấp theo đủ nhỏ nhƣ sau 18 (6.23) với X ∈ Ω, i = 1,2, với đủ nhỏ, C > số độc lập với, x , (6.24) với (6.25) KẾT LUẬN Luận văn đề cập tới việc khảo sát tồn nghiệm, thuật giải lặp cấp hai, khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé cho hệ phƣơng trình hàm phi tuyến Ω = [a,b] hay Ω khoảng không bị chặn IR Nội dung luận văn nằm chƣơng 3, 4, Trong chƣơng 3, chứng minh tồn tại, nghiệm hệ phƣơng trình hàm cầu đóng C(Ω;IRn).Kết thu đƣợc chứa đựng kết C.Q Wu, Q.W Xuan, D.Y Zhu khảo sát trƣờng hợp Ω = [-b,b], m = n = 2, ank = Sijk nhị thức bậc nhất, nhƣ trƣờng hợp riêng Trong chƣơng 4, thiết lập thuật giải cấp hai hệ phƣơng trình hàm điều kiện đủ để thuật giải hội tụ 19 Chƣơng phần nghiên cứu hệ phƣơng trình hàm bị nhiễu tham số bé Khi đố cho khai triển tiệm cận nghiệm hệ đến cấp N +1 theo , với đủ nhỏ Trong chƣơng 6, nghiên cứu số ví dụ hệ phƣơng trình hàm cụ thể với Φ(y) = |y|p, p ≥ 2, chúng tơi khảo sát thuật giải hội tụ cấp hai thành phần khai triển tiệm cận đến cấp hai cho hệ Các kết trình bày chƣơng 3, 4, 5, chứa đựng kết tác giả trƣớc khảo sát trƣờng hợp Φ(y) = y2 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Hồng Danh, Huỳnh Thị Hoàng Dung, Nguyễn Thành Long, Xấp xỉ đa thức cùa nghiệm hệ tuyến tính phƣơng trình tích phân-hàm, Hội Nghị Khoa học, Khoa Toán-Tin học Đại học Su Phạm Tp.HCM, 21/12/2002 [2] Nguyễn Kim Khôi, Nguyễn Hội Nghĩa Giải số hệ phƣơng trình hàm, Tạp Chi Phát Triển Khoa Học Cơng Nghệ, Vol 3, No 7&8 (2000), 25-31 [3] Nguyen Thanh Long, Nguyen Hoi Nghia, Nguyen Kim Kho, Dinh Van Ruy, On a system of functional equations, Demonstratio Math 31 (1998), 313-324 {4] Nguyen Thanh Long, Nguyen Hoi Nghia, On a system of functional equations in a multi-dimensional domain, z Anal Anw 19 (2000), 1017- 1034 [5] Nguyễn Thành Long, Phạm Hồng Danh, Nguyễn Kìm Khơi, xấp xỉ nghiệm hệ phƣơng trình tích phân dãy đa thức hội tụ đều, Tạp chí Khoa học Đại học Sư Phạm Tp HCM tập 30, No.2 (2002), 36-43 20 [6] Nguyen Thanh Long Nguyen Hoi Nghia, Tran Ngoc Diem Asymptotic expansion of the solution for system of functional equations Aequationes Mathematicae, (2003} (to appear) [7] Nguyen Thanh Long Solution approximation of a system of integral equations by a uniformly convergent polynomials sequence Demonstratio Math 37 (2004) (to appear) [8] Nguyen Thanh Long Linear approximation and asymptotic expansion a ssociated with the system of functional equations Demonsrratio Math 37 (2004) (to appear) [9] Nguyễn Hội Nghĩa Nguyễn Kim Khôi Về hệ phƣơng trình hàm tuyến tính Tạp Chí Phát Triển Khoa Học Công Nghệ Vol 3, No 7&8.(2000), 18-24 [10] Nguyễn Hội Nghĩa, Xấp xỉ nghiệm hệ phƣơng trình hàm miền hai chiều Tạp Chí Phát Triển Khoa Học Công Nghệ Vol 5, No 1&2, (2002), 56-65 [11] Lê Thu Vân, Xấp xỉ khai triển tiệm cận nghiệm hệ phƣơng trình hàm, Luận văn Thạc sỹ Toán học, (2001), Trƣờng Đại học KHTN Tp.HCM.,41 trang [12] CQ Wu, Q.W Xuan, D.Y Zhu, The system 'of the functional equations and the fourth problem of the hyperbolic system, SEA Bull Math 15(1991), 109-115 ... lặp cấp hai hệ phƣơng trình hàm điều kiện đủ để thuật giải hội tụ Chƣơng phần nghiên cứu hệ phƣơng trình hàm bị nhiễu tham số bé ɛ Khi đó, chúng tơi cho khai triển tiệm cận nghiệm hệ đến cấp N+1... Nguyễn Kim Khơi, Về hệ phƣơng trình hàm tuyến tính, Tạp Chí Phát Triển Khoa Học Cơng Nghệ, Vol 3, No 7&8, (2000), 18 -24 [10] Nguyễn Hội Nghĩa, Xấp xỉ nghiệm hệ phƣơng trình hàm miền hai chiều,... cho, với thỏa ≤ hệ (3.2) có > 27 nghiệm fɛ ∈ KM có khai triển tiệm cận đến cấp N+1 (5.21), hàm f[r], r = 0,1,.:,N nghiệm hệ (5.1) - (5.6) 28 CHƢƠNG MỘT SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH HÀM CỤ THỂ Trong phần