BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị An CÁC KÍ HIỆU SỐ HỌC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị An CÁC KÍ HIỆU SỐ HỌC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tơi làm Các thơng tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc phép cơng bố Các kết có luận văn trung thực, có sai phạm xin chịu trách nhiệm theo quy định pháp luật Thành phố Hồ Chí Minh tháng 04 năm 2017 Trần Thị An LỜI CẢM ƠN Trong trình học tập rèn luyện Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, tơi Q Thầy Cô cung cấp cho kiến thức chuyên sâu, giúp trưởng thành học tập nghiên cứu khoa học Tôi xin gửi lời biết ơn đến tất Q Thầy Cơ tận tình giảng dạy tơi suốt thời gian học trường Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, Thầy tận tình giảng giải hướng dẫn tơi suốt q trình làm luận văn Từ đó, tơi học hỏi thêm nhiều kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Tôi xin phép gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Hội đồng Bảo vệ Luận văn Thạc sĩ đọc, đóng góp ý kiến, đưa lời nhận xét đánh giá luận văn, giúp tơi hồn thiện nội dung luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Q Thầy Cơ cơng tác phịng Sau Đại học trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tơi q trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời tri ân Cha Mẹ, người thân, bạn bè ủng hộ động viên giúp đỡ tơi suốt khóa học Thành phố Hồ Chí Minh tháng 04 năm 2017 Trần Thị An MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Trường hữu hạn 1.2 Một số định nghĩa tính chất chuẩn trường 1.3 Chuẩn phi Archimede 1.4 Xây dựng trường p-adic Ô p 1.5 Vành số nguyên p-adic ¢ p 1.6 Khai triển p-adic phần tử ¤ p 1.7 Bổ đề Hensel 1.8 Phương trình p-adic 10 CHƯƠNG 2: KÍ HIỆU LEGENDRE VÀ LUẬT THUẬN NGHỊCH BẬC HAI 12 2.1 Bình phương F q 12 2.2 Thặng dư bậc hai kí hiệu Legendre 12 2.3 Luật thuận nghịch bậc hai 14 CHƯƠNG 3: KÍ HIỆU HILBERT 24 3.1 Mụ t nhúm Ô *p (Ô *p ) 24 3.2 Các tính chất địa phương kí hiệu Hilbert 31 3.3 Sự tồn số hữu tỉ với kí hiệu Hilbert 38 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 MỘT SỐ KÍ HIỆU Kí hiệu Ý nghĩa ¥ Tập số tự nhiên  Tp s nguyờn Ô Tp s hu t Ă Tập số thực ¢p Tập số nguyên p-adic ¢ *p Tập phần tử khả nghịch ¢ p Ô Trng s p-adic p g Chun thụng thng gp Chuẩn p-adic v p (a) Số mũ p phân tích a thành thừa số nguyên Ba (r ) Hình cầu mở tâm a bán kính r Ô p Ba (r ) Hỡnh cu úng tõm a bỏn kớnh r Ô p Fp Trường thặng dư trường F ( Fp = ¢ / p¢ ) a  p   Kí hiệu Legendre a p ( a, b ) Kí hiệu Hibert a b k ⊕ Tổng trực tiếp  Kết thúc phép chứng minh MỞ ĐẦU Các kí hiệu số học cụ thể kí hiệu Legendre, kí hiệu Hilbert công cụ quan trọng lý thuyết số chúng tham gia vào hầu hết công thức số học quan trọng Bởi vậy, chọn đề tài với mong muốn tìm hiểu cách kĩ hơn, cách có hệ thống kí hiệu số học ứng dụng Trong luận văn này, chúng tơi giới thiệu kí hiệu số học ứng dụng chúng Luận văn chia làm chương: Chương 1: Các kiến thức Nội dung chương trình bày số kiến thức số học, dạng toàn phương trường số p -adic Các kiến thức quan trọng cho chương sau Chương 2: Kí hiệu Legendre luật thuận nghịch bậc hai Trong chương chúng tơi trình bày định nghĩa tính chất kí hiệu Legendre Đặc biệt tìm số cách chứng minh khác luật thuận nghịch bậc hai Chương 3: Kí hiệu Hilbert Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa tính chất kí hiệu Hilbert đặc biệt định lí tồn số hữu tỉ với kí hiệu Hilbert cho trước Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Trường hữu hạn Định nghĩa 1.1.1 Cho K trường, đơn vị F Khi xảy hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu cấp nhóm ( F , +) ∞ (nghĩa n.1 ≠ 0, ∀n ∈ ¥ * ) ta nói đặc số F 0, kí hiệu char ( F ) = Trường hợp 2: Nếu cấp nhóm ( F , +) p (nghĩa p số bé ¥ * để p.1 = ) ta nói đặc số F p , kí hiệu char ( F ) = p Chú ý, trường hợp xảy p ln số ngun tố Như vậy, đặc số trường hoặc số nguyên tố p Bổ đề 1.1.2 Nếu char ( K ) = p ánh xạ σ : K → K p , x a x p đẳng cấu với K p trường K Định lí 1.1.3 i Đặc số trường hữu hạn K số nguyên tố p ≠ ; Nếu f = [K : Fp ] số phần tử K q = p f ii Cho p số nguyên tố = q p f ,( f ≥ 1) lũy thừa p Cho Ω trường đóng đại số có đặc số p Khi đó, tồn trường Fq Ω có q phần tử Nó tập hợp nghiệm đa thức X q − X iii Tất trường hữu hạn có q = p f phần tử đẳng cấu với Fq Định lí 1.1.4 Cho p số nguyên tố, f ≥ số nguyên q = p f Nhóm nhân Fq* trường hữu hạn Fq nhóm cyclic có cấp q − 1.2 Một số định nghĩa tính chất chuẩn trường Định nghĩa 1.2.1 Cho F trường Ánh xạ g : F → ¡ gọi chuẩn F thỏa điều kiện sau: i x ≥ với x ∈ F x = ⇔ x = 0, ii xy = x y , với x, y ∈ F , iii x + y ≤ x + y , với x, y ∈ F Ví d 1.2.2 i F = Ô hoc F = Ă hàm giá trị tuyệt đối g : F → ¡ chuẩn F ta gọi chuẩn giá trị tuyệt đối ii F trường bất kì, ta định nghĩa ánh xạ g : F → ¡ cho 0 NÕu x = x = 1 NÕu x ≠ g chuẩn F ta gọi chuẩn tầm thường Mệnh đề 1.2.3 (Các tính chất chuẩn) Cho g chuẩn trường F có đơn vị Với x ∈ F , ta có: i =−1 =1 , ii x n = x , với n ∈ ¥ n −1 iii.= x −1 x , x ≠ Nhận xét 1.2.4 Nếu F trường hữu hạn F có chuẩn chuẩn tầm thường Định nghĩa 1.2.5 (Hai chuẩn tương đương) Cho g1 , g2 hai chuẩn trường F Ta nói hai chuẩn tương đương {xn } dãy Cauchy theo chuẩn g1 {xn } dãy Cauchy theo chuẩn g2 m ,n→∞ Chú ý {xn } dãy Cauchy theo chuẩn g nghĩa xm − xn → Nói cách khác với ε > , tồn n0 ∈ ¥ , cho với n, m > n0 , xm − xn < ε Định lí 1.2.6 Cho F trường; g1 , g2 hai chuẩn trường F Các điều sau tương đương: i Với x ∈ F , x < x < ii Với x ∈ F , x ≤ x ≤ iii Tồn số c > cho với x ∈ F , x = x c iv Các tôpô sinh x x trùng v g1 tương đương với g2 ( g1 : g2 ) Hệ 1.2.7 Cho g1 , g2 hai chuẩn trường F Nếu tồn hai số dương c1 , c2 cho g1 ≤ c1 g2 g2 ≤ c2 g1 g1 = g2 1.3 Chuẩn phi Archimede Định nghĩa 1.3.1 Cho g chuẩn trường F Chuẩn g gọi chuẩn phi Archimede F thỏa thêm điều kiện iii’ x + y ≤ max{ x , y }, với x, y ∈ F Chuẩn thỏa (iii) không thỏa (iii’) gọi chuẩn Archimede Ví dụ 1.3.2 Chuẩn tầm thường F chuẩn phi Archimede Thật vậy: suy x + y ≤ max{ x , y } x + y = Nếu x + y = Nếu x + y ≠ x ≠ y ≠ , x + y =1 ≤ max{ x , y } Ví dụ 1.3.3 Nếu F trường hữu hạn có q phần tử với phần tử đơn vị e chuẩn trường F chuẩn phi Archimede Thật vy: 30 hay Ô *2 (Ô *2 ) Â2 ⊕¢2 ⊕¢2  Hệ 3.1.8 Cho phần tử x = p nu ca Ô *2 l mt s phương n số chẵn u ≡ (mod8) Chứng minh Nếu x l mt s chớnh phng Ô *2 thỡ cú y Ô *2 cho 2 = x 2n= u y= (2k v)= 22 k v Khi n số chẵn u bình phương ¢ *p Theo nhận xét 3.1.6, ta có u ∈1 + 8¢ Do u ≡ 1(mod8) Ngược lại, n số chẵn u ≡ 1(mod8) n = 2k u = v Khi 2k = x 2= v (2k v) Vậy x số phng Ô *2 ú, H qu 3.1.9 Nu nhúm Ô *2 Ô *22 l kiu (2,2,2) thỡ nú có đại diện {±1, ±5, ±2, ±10} Nhận xét 3.1.10 i Cho p = định nghĩa đồng cấu ε , ω : ¢ *p → ¢ 2¢ công thức: ε (z) ≡ 0 NÕu z0 ≡ (mod 4) z0 − (mod 2) =  1 NÕu z0 ≡ −1 (mod 4), 0 NÕu z0 ≡ ±1 (mod8) z02 − w( z ) ≡ (mod 2) =  1 NÕu z0 ≡ ±5 (mod8) Ánh xạ ε định nghĩa đẳng cấu từ ¢ *p vào ¢ 2¢ ánh xạ ω đẳng cấu ¢ *p vào ¢ 2¢ Cặp (ε , ω ) định nghĩa mt ng cu  *p vo *  2Â ì ¢ 2¢ z ∈ ¢ p số phương z0 ≡ 1(mod8) ii Ô *2p l mt m ca Ô *p Chứng minh 31 Trường hợp 1: p = Gi s x0 Ô *2 l mt số phương Theo hệ 3.1.8, ta có x0 = 2n u , chẵn n u0 ≡ 1(mod8) Khi ú, Ô *22 = U 2n U , n = U {u | u0 ≡ 1(mod8)} Ta chứng minh U tập mở Lấy u ∈U ta u =+ 0.2 + 0.22 + a3 23 +K (với ∈{0,1}) Suy U= {1 + 0.21 + 0.22 + x3 23 + … | ≤ xi 1} = {x Ô : x ≤ 2−3} = B(1, ) 23 Do U l m nờn Ô *22 l m Ô *2 Trng hp 2: p x p nu Ô *p l mt s phương Theo hệ 3.1.2, ta có n Giả sử= số chẵn, u0 phương ¢ *p Khi ú Ô *2p = U p nU , n∈¢   u0   = U = u |   1 Đặt   p  U= U (i + p¢ p ) = B(i, ) p 1≤i ≤ p −1 U 1≤i ≤ p −1 i i =   1=   p    p Do U tập m Vy Ô *2p l m ca Ô *p  3.2 Các tính chất địa phương kí hiệu Hilbert Kí hiệu: k trường số thực Ă hoc k l trng Ô p (trng s p-adic) Định nghĩa 3.2.1 Cho a, b ∈ k* Chúng ta đặt 1 = NÕu z − ax − by  cã nghiƯm lµ ( z, x, y) ≠ (0,0,0) k ( a, b ) =  2  v« nghiƯm −1 NÕu z − ax − by = 32 Số (a, b) = ±1 gọi kí hiệu Hilbert a b k Rõ ràng (a, b) không đổi a b nhân thêm với số phương k Cho α ∈ k( b) Khi đó, α= x + y b , x, y ∈ k Ta định nghĩa N (α ) =x − y 2b ∈ k Chú = ý Nk *b N (= k * ( b )) {N (α ) | α ∈ k * ( b )} nhóm nhóm k * N (1) 1,= N (αβ ) N (α ).N ( β ) = Dễ thấy Mệnh đề 3.2.2 Cho a, b ∈ k* kb = k ( b ) Khi đó, (a, b) = a thuộc nhóm Nkb∗ phần tử kb* Chứng minh Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu b bình phương phần tử c (c,0,1) Do đó, (a, b) = Khi mệnh đề nghiệm phương trình z − ax − by = =k chứng minh kb = k Nkb∗∗ Trường hợp 2: kb bậc hai k Nếu kí hiệu β bậc hai b, phần tử ξ ∈ kb viết z + β y với y, z ∈ k N (ξ ) ξ z − by a z − by , phương trình Nếu a ∈ Nkb∗ tồn y, z ∈ k cho = z − ax − by = có ( z ,1, y ) nghiệm Suy (a, b) = Ngược lại, (a, b) = ( z , x, y ) ≠ (0,0,0) Do x ≠ b phải bình phương Điều a có dạng z y +β  x x Mệnh đề 3.2.3: Cho a, a′, b, c ∈ k * a ≠ Kí hiệu Hilbert thỏa mãn điều kiện: i (a, b) = (b, a ) (a, c ) = 1, (a,1 − a ) = 1, ii (a, −a ) = 33 iii (a, b) = suy (aa′, b) = (a′, b), iv (a, b) = (a, −ab) = (a,(1 − a )b), v (aa′, b) = (a, b)(a′, b) Chứng minh có (c,0,1) nghiệm Do (i) Nếu b = c phương trình z − ax − by = (a, c ) = (ii) Nếu b = −a (tương ứng b = − a ) phương trình z − ax − by = với (0,1,1) (tương ứng (1,1,1) ) nghiệm Vì (a, b) = * (iii) Nếu (a, b) = a chứa nhóm Nkb , mà theo Mệnh đề 3.2.2 ta có a′ ∈ Nkb* aa′ ∈ Nkb* (iv) Được suy từ (i), (ii), (iii) (v) dạng song tuyến tính kí hiệu Hilbert Hơn nữa, ta thấy (iii) trường hợp đặc biệt (v) Công thức chứng minh định lí liên quan phía sau Định lí 3.2.4 Nếu k = ¡ NÕu a > hc b > 0, 1 −1 NÕu a < vµ b < ( a, b ) = Nu k = Ô p v nu a, b có dạng pα u , p β v với u , v khả nghịch p-adic, ta có: β α  αβ ε ( p )  u   v  (−1)  p   p  , NÕu p ≠ , )= ( αβ      ε ( u )ε ( v )+α w( v )+ β w( u ) , NÕu p = (−1) Chứng minh Trường hợp k = ¡ hiển nhiên vô nghiệm Vậy Nếu a < b < phương trình z − ax − by = (a, b) = −1 Nếu a > tồn (a, a ,0) nghiệm phương trình z − ax − by = nên (a, b) = Nếu b > tồn (b,0, b ) nghiệm nên (a, b) = phương trình z − ax − by = 34 Trng hp k = Ô p Ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 3.2.5 Cho v ∈¢ *p khả nghịch p-adic Nếu phương trình z − ux − vy = cú mt nghim khụng tm thng Ô p có nghiệm ( z , x, y ) cho z , y ∈¢ *p x ∈ ¢ p Chứng minh Theo Mệnh đề 1.8.3 phương trình cho có nghiệm ngun thủy ( z , x, y ) Giả sử phương trình khơng có nghiệm ngun thủy ( z , x, y ) chúng z − vy ≡ (mod p ) ta có y ≡ (mod p ) v ≡/ (mod p ) nên buộc z ≡ (mod p ) Vì y ≡ (mod p ) z ≡ (mod p ) Do đó, px ≡ (mod p ) điều nói x ≡ (mod p ) (mâu thuẫn đặc trưng nguyên thủy ( z , x, y ) ) Bây giờ, ta chứng minh Định lí 3.2.4 Giả sử p ≠ , ta ba trường hợp sau: α 0,= β Ta có (u, v) = Thật vậy, xét phương trình Trường hợp 1:= z − ux − vy = , có nghiệm khơng tầm thường modulo p Vì định thức dạng toàn phương khả nghịch p-adic, theo Hệ 1.8.7 Định lí 1.8.5, ta suy (u , v) = v α 1,= β Ta chứng minh ( pu, v) =   Từ (u, v) = nên Trường hợp 2:=  p v ta có ( pu = p, v)   (theo tính chất (iii) Mệnh đề 3.2.3) Mặt khác, , v ) (=  p v 2  p  = −1 theo Bổ đề 3.2.5 phương trình z − px − vy =   khơng có nghiệm khơng tầm thường, ( p, v) = −1 35 α 1,= β Ta chứng minh ( pu, pv) = (−1) Trường hợp 3: = p −1  u  v   p  p     Theo tính chất (iv) (i) Mệnh đề 3.2.3 ta có  −uv   −1  u  v  ( pu , pv) = ( pu , − p 2uv) = ( pu , −uv) =   =      p   p  p  p  p −1 p −1  −1   u  v  Lại có   = (−1) , ( pu , pv) = (−1)     p  p  p  Giả sử p = , ta chứng minh α β theo trường hợp α 0,= β Ta kiểm tra (u, v) = u v đồng dư Trường hợp 1:= 1(mod 4) ngược lại (u, v) = −1 Giả sử u ≡ (mod 4) u ≡ (mod8) u ≡ (mod8) Nếu u ≡ (mod8) u bình phương, (u , v) = Cịn u ≡ (mod8) ta có u + 4v ≡ (mod8) tồn w ∈¢ *p cho w 2= u + 4v Khi đó, (w,1,2) nghiệm phương trình z − ux − vy = Do đó, (u, v) = Bây giờ, ta chứng minh cho trường hợp (u , v) = −1 , ta giả sử u ≡ v ≡ −1 (mod 4) Nếu ( z , x, y ) nghiệm nguyên z + x + y ≡ (mod 4) thủy phương trình z − ux − vy = bình phương ¢ / 4¢ Điều dẫn đến z , x, y đồng dư (mod 2) (điều mẫu thuẫn), (u , v) = −1 α 1,= β Ta chứng minh (2u, v) = (−1)ε (u )ε ( v )+ w( v ) Đầu tiên Trường hợp 2:= ta (2, v) = (−1) w( v ) có nghĩa (2, v) = tương đương với v ≡ ±1 (mod8) Theo Bổ đề 3.2.5 (2, v) = tồn x, y, z ∈ ¢ cho z − x − vy = y, z ≡/ (mod 2) Khi đó, ta có y= z ≡ (mod8) , − x − v ≡ (mod8) Nhưng bình phương modulo có 0, nên v ≡ ±1 (mod8) Ngược lại, v ≡ (mod8) v bình phương, 36 có (1,1,1) (2, v) = Nếu v ≡ −1 (mod8) phương trình z − x − vy = nghiệm modulo Do đó, (2, v) = Ta lại có (2u , v) = (2, v)(u , v) , điều (2, v) = (u , v) = Trường hợp (2, v) = (u , v) = −1 có nghĩa v ≡ (mod8) u ≡ u ≡ −1 (mod8) Sau nhân u v bình phương, ta giả sử −1, v = u= u = 3, v = −5 phương trình z + x2 − y = z − x + y = có nghiệm (1,1,1) Vì (2u , v) = α 1,= β Ta chứng minh (2u,2v) = (−1)ε (u )ε ( v )+ w (u )+ w ( v ) Trường hợp 3:= Theo Mệnh đề 3.2.3 ta có (2u ,2v) = (2u, −4uv) = (2u, −uv) Khi đó, ta có (2u ,2v) = (−1)ε (u )ε ( −uv )+ w( −uv ) , số mũ với Từ ε (−1)= 1, w(−1)= ε (u )(1 + ε (u )) = ε (u )ε (v) + w(u ) + w(v)  Định nghĩa 3.2.6 (a, b) gọi không suy biến b ∈ k * cho (a, b) = với a ∈ k * b ∈ k * Định lí 3.2.7 Kí hiệu Hilbert dạng song tuyến tính khơng suy biến Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh tính song tuyến tính Trường hợp k = ¡ Với b ∈ ¡ * Nếu b > thì= (a, b) 1,( a′, b) 1,(= aa′, b) = Ngược lại, b < ta xét hai trường hợp 37 Trường hợp a, a′ dấu Nếu a, a′ dấu dương, ta có = (a, b) 1,( = a′, b) 1,(= aa′, b) a , a′ dấu âm ( a, b) = −1,(a′, b) = −1,(aa′, b) = Trường hợp a, a′ trái dấu (a, b)(a′, b) = −1,(aa′, b) = −1 Vậy (a, b)(a′, b) = (aa′, b) aa ′ u , a′ 2= u′, b b v vi Trng hp k = Ô *2 Ly a, a, b Ô *2 Khi= ú a 2= + ′ uu′ Theo định lí 3.2.4, ta có u , u′, v khả nghịch 2-adic Ta có aa′ = 2aa (a, b) = (−1)ε (u )ε ( v )+a w( v )+ b w(u ) (a′, b) = (−1)ε (u′)ε ( v )+a ′w( v )+ b w(u′) + ′ ) w ( v ) + b ( w ( u ) + w ( u′ )) (aa′, b) = (−1)ε (u +u′)ε ( v )+(aa Vì ε , w đồng cấu nên ε (u + u′) = ε (u ) + ε (u′) w(u + u′)= w(u ) + w(u′) Khi (a, b)(a′, b) = (−1)ε (u )ε ( v )+a w( v )+ b w(u ) (−1)ε (u′)ε ( v )+a ′w( v )+ b w(u′) = (−1)ε (u )ε ( v )+a w( v )+ b w(u )+ ε (u′)ε ( v )+a ′w( v )+ b w(u′) + ′ ) w ( v ) + b ( w ( u ) + w ( u′ )) = (−1)(ε (u )+ε (u′))ε ( v )+(aa + ′ ) w ( v ) + b w ( u + u′ ) = (−1)ε (u +u′)ε ( v )+(aa Suy (aa′, b) = (a, b)(a′, b) a paa u= , a′ p ′u= , b p b v Ô *p vi u , u, v l kh Trng hp k = Ô *p Lấy = + ′ uu′ Theo định lí 3.2.4, ta có nghịch p-adic Ta có aa′ = paa b ab ε ( p ) (a, b) = (−1) a u v  p  p     b a ′b ε ( p ) (a′, b) = (−1) a′  u′   v   p  p     38 b (aa′, b) = (−1) + ′ ) b ε ( p ) (aa + ′ aa  uu′   v       p   p b a a′ b u v  u′   v  = (−1)ab ε ( p )     (−1)a ′b ε ( p )      p  p  p  p Suy (aa′, b) = (a, b)(a′, b) Vậy kí hiệu Hilbert dạng song tuyến tính Bây ta chứng minh tính khơng suy biến Trường hợp k = ¡ Giả sử b ∉ k *2 nghĩa b < Khi với a < ta có (a, b) = −1(mâu thuẫn với (a, b) = ) Trng hp k = Ô Ta dùng chứng minh phản chứng Giả sử tn ti a Ô *22 Khi ú a Ô *2 Ô *22 v a Theo h qu 3.1.9, a −1,5, −5 Thật { − 1, ± 2, ± 5, ± 10} Ta kiểm tra với đại diện {a,2a} với a = ( 1, −5) =−1 vậy, tồn b = để (5,2a ) = −1 tồn b = −1 để (−1, −1) =− (mâu thuẫn với (a, b) = 1) Trng hp k = Ô p Gi s a Ô *2p Theo h qu 3.1.3, a cú thể u  { p, u , pu}, với   = −1 Ta kiểm tra với a = p , tồn b = u để (a, b) = −1  p Với a = u , tồn b = p để (a, b) = −1 Với a = up , tồn b = p để (a, b) = −1 (mâu thuẫn với (a, b) = ) Vậy kí hiệu Hilbert dạng song tuyến tính khơng suy biến  3.3 Sự tồn số hữu tỉ với kí hiu Hilbert Trng hu t Ô nh l mt trng nhỳng vo trng Ô p v Ă Nu a, b Ô * , (a, b) p (tng ng (a, b)∞ ) gọi ảnh kí hiệu Hilbert Ô p 39 (tng ng Ă ) Ta nh nghĩa V tập số nguyên tố hợp v quy c rng Ô = Ă Do ú, Ô l trự mt Ô v với v ∈V Định lí 3.3.1 (Hilbert) Nếu a, b Ô * thỡ (a, b)v = vi hầu hết v ∈V ∏ ( a, b) v∈V v = “với hầu hết v ∈V ” nghĩa tất phần tử V trừ số hữu hạn Chứng minh Ta chứng minh ba trường hợp sau: −1, b = −1 Ta có (−1, −1)∞ =− Trường hợp 1: a = ( 1, −1) =−1 (−1, −1) p = p ≠ 2, ∞ , tích −1, b = l với l số nguyên tố Nếu l = (−1, 2)v = Trường hợp 2: a = với (−1, l )l = (−1)ε (l ) , v ∈V Nếu l ≠ (−1, l )v = v ≠ 2, l (−1, l ) = tích Trường hợp 3: = a l ,= b l ′ với l , l ′ ngun tố Nếu l = l ′ theo tính chất (iv) Mệnh đề 3.2.3, ta có (l , l )v = (−1, l )v với v ∈V mà trường hợp ta xét Nếu l ≠ l ′ l ′ = (l , 2)v = với v ≠ 2, l (l ,2) = (−1) w (l ) , 2 (l ,2)l =   = (−1) w (l ) Còn l ≠ l ′ khác (l , l ′)v = với v ≠ 2, l , l ′ l  l′  l (l , l ′) = (−1)ε (l )ε (l′) , (l , l ′)l =   , (l , l ′)l′ =   ; theo luật thuận nghịch bậc l  l′  hai, ta có:  l ′  l  ε ( l )ε ( l ′)   ′  = (−1)  l  l  Do đó, tích 1. Định lí 3.3.2 Cho (ai )i∈I họ hữu hạn phần tử ¤ * (ε i ,v )i∈I ,v∈V họ số ±1 Điều kiện cần đủ tn ti x Ô * cho (ai , x)v = ε i ,v với i ∈ I với v ∈V là: 40 i Hầu hết ε i ,v 1, ii ∏ε v∈V i ,v = với i ∈ I , iii Vi mi v V tn ti xv Ô *v cho (ai , xv )v = ε i ,v với i ∈ I Chứng minh Điều kiện cần (i), (ii) suy từ Định lí 3.3.1 (iii) hiển nhiên (lấy xv = x ) Để chứng minh điều kiện đủ, ta cần chứng minh ba bổ đề sau Bổ đề 3.3.3 (Định lí phần dư Trung Hoa) Cho a1 , , an , m1 , , mn số nguyên với mi đơi ngun tố Khi tồn số nguyên a cho a ≡ (mod mi ) với i Chứng minh Cho m tích mi Theo định lí Bezout đồng cấu tắc n ¢ m¢ → ∏ ¢ mi ¢ i =1 đẳng cấu. Bổ đề 3.3.4 (Định lí xấp xỉ) Cho S hu hn ca V nh ca Ô Ô vS v l trự mt tớch ny (vi tụ pụ tớch ca cỏc Ô v ) Chng minh Giả sử S = {∞, p1 , p2 , , pn } với pi số nguyên tố khỏc Ta phi chng minh Ô trự mt Ă ì Ô p1 ìÔ im ca tớch Ă ì ¤ pn ta điểm l mt im p1 ìÔ p2 ì ì Ô p2 ì ì Ô pn Cho ( x , x1 , , xn ) tụ ¤ Sau nhân với số nguyên, ta giả sử xi ∈¢ pi với ≤ i ≤ n Bây ta chứng minh với ε > với số nguyên N > , tn ti x Ô cho x x∞ ≤ ε v pi ( x − xi ) ≥ N với i = 1, , N 41 Theo Bổ đề 3.3.3 ứng với mi = piN tồn x0 ∈ ¢ cho v pi ( x0 − xi ) ≥ N với i = 1, , n Chọn số nguyên q ≥ nguyên tố với tất số pi (ví dụ số nguyên tố) Các số hữu tỉ có dạng a / q m , a ∈ ¢ , m ≥ trù mật R (điều có đơn giản từ kết q m → ∞ m → ∞ ) Khi đó, ta chọn số u = a / q m với x0 − x∞ + up1N pnN ≤ ε x x0 + up1N pnN có tính chất cần tìm  Số hữu tỉ = Bổ đề 3.3.5 (Định lí Dirichlet) Nếu a m số nguyên dương ngun tố có vơ hạn số ngun tố p cho p ≡ a (mod m) Bây giờ, ta chứng minh điều kiện đủ Định lí 3.3.2 Cho (ε i ,v ) họ số ±1 thỏa điều kiện (i), (ii), (iii) Sau nhân với bình phương số nguyên, ta giả sử tất số nguyên Gọi S tập V gồm ∞,2 ước nguyên tố ; T tập v ∈V cho tồn i ∈ I với ε i ,v = −1, hai tập hữu hạn Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: S ∩ T = ∅ Đặt a = ∏ l m = ∏ l l∈T l ≠∞ l∈S l ≠ 2,∞ Vì S ∩ T = ∅ nên số nguyên a m số nguyên tố theo Bổ đề 3.3.5 tồn số nguyên tố p cho p ≡ a (mod m) với p ∉ S ∪ T Ta x = ap , điều có nghĩa (ai , x)v = ε i ,v với i ∈ I v ∈V Nếu v ∈ S ε i ,v = S ∩ T = ∅ ta kiểm tra (ai , x)v = Nếu v = ∞ điều có từ x > ; v số nguyên tố l x ≡ a (mod m) 42 Do đó, x ≡ a (mod8) với l = x ≡ a (mod l ) với l ≠ Do x a khả nghịch l-adic nên dẫn đến x l bỡnh phng Ô *l Vỡ vy (ai , x)v = Nếu v = l không thuộc S , khả nghịch l-adic l ≠ nên ta có a  (ai , b)l =  i   l  vl ( b ) vi mi b Ô *l Nu l ∉ T ∪ {p} , x khả nghịch l-adic vl ( x) = theo công thức (ai , x)l = Mặt khác, ta có ε i ,l = l ∉ T Nếu l ∈ T vl ( x) = Hơn nữa, tính chất (iii) ch rng tn ti xl Ô *l cho (ai , xl )l = ε i ,l với i ∈ I Vì ε i ,l = −1 (do l ∈ T ) nên vl ( xl ) ≡ (mod 2) Do đó,   (ai = , x)l = xl )l ε i ,l với i ∈ I  (ai ,=  l  Trường hợp lại l = p , ta kết luận (a= i , x) p , x) ∏ ε = ∏ (a= v≠ p i v v≠ p i ,v ε i, p Điều cho chứng minh đầy đủ Định lí 3.3.2 trường hợp S ∩ T = ∅ Trường hợp tổng quỏt, ta bit rng cỏc bỡnh phng ca Ô *v lp thnh mt nhúm m ca Ô *v , theo B 3.3.4 tn ti x Ô * cho x′ xv , x′)v (= , xv )v ε i ,v với bình phương Ô *v vi mi v S Núi riêng, (= v ∈ S Nếu ta đặt ηi ,v = ε i ,v (ai , x′)v họ (ηi ,v ) thỏa mãn (i), (ii), (iii) ηi ,v = v ∈ S Theo tớnh cht (i) tn ti y Ô * cho (ai , y )v = ηi ,v với i ∈ I với v ∈V Nếu ta đặt x = yx′ x thỏa tính chất trên. 43 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tơi tìm số cách chứng minh luật thuận nghịch bậc hai, ứng dụng kí hiệu Legendre để chứng minh tính chất, định lí liên quan đến kí hiệu Hilbert Đặc biệt định lí tồn số hữu tỉ với kí hiệu Hilbert cho trước Từ ứng dụng kí hiệu Hilbert để chứng minh định lí Hasse-Minkowski Vì thời gian khả hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi sai sót Kính mong Q Thầy Cơ bạn góp ý dẫn thêm để luận văn trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho quan tâm 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO Axler S., Gehring F.W., Halmos P.R (1996), Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York Borevich Z.I., Shafarevich I.R (1966), Number theory, Academic Press Inc, London Koblitz N (1977), p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions in Mathematics 58, Springer, Verlag O’Meara O.T (1963), Introduction to Quadratic Forms, Springer-Verlag, Berlin Scharlau W (1972), “Quadratic Reciprocity Laws”, University of Munster, 44 Munster, Germany, 78-97 Scharlau W (1969), Quadratic forms, Queen’s papers on pure and applied mathematics, No 22 ... công thức số học quan trọng Bởi vậy, chọn đề tài với mong muốn tìm hiểu cách kĩ hơn, cách có hệ thống kí hiệu số học ứng dụng Trong luận văn này, chúng tơi giới thiệu kí hiệu số học ứng dụng chúng... b ) Kí hiệu Hibert a b k ⊕ Tổng trực tiếp  Kết thúc phép chứng minh 1 MỞ ĐẦU Các kí hiệu số học cụ thể kí hiệu Legendre, kí hiệu Hilbert công cụ quan trọng lý thuyết số chúng tham gia vào...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị An CÁC KÍ HIỆU SỐ HỌC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG