BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Lê Hồng Phúc BÀI TỐN CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH P-LAPLACE TRONG TRƯỜNG HỢP KỲ DỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Lê Hồng Phúc BÀI TỐN CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH P-LAPLACE TRONG TRƯỜNG HỢP KỲ DỊ Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài "Bài tốn quy nghiệm cho phương trình p-laplace trường hợp kỳ dị" tơi thực Các kết luận văn trung thực không chép luận văn khác Trong q trình thực luận văn, tơi thừa kế kết nhiều báo công bố nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cám ơn thơng tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc phép cơng bố Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2021 Học viên thực Lê Hồng Phúc LỜI CẢM ƠN Trong suốt q trình thực luận văn, tơi nhận nhiều giúp đỡ, động viên từ q cơ, gia đình bạn bè Vì vậy, trước tiên xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thành Nhân tận tình giảng dạy, hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Toán - Tin học, Phòng Sau Đại học, Thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho thực tốt luận văn Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Hội đồng chấm luận văn đọc góp ý giúp cho luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn q thầy Khoa Tốn - Tin học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh truyền đạt cho kiến thức quý báu suốt năm học vừa qua, tạo cho tảng vững để thực luận văn Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè tập thể lớp Tốn Giải tích K29 hết lòng ủng hộ động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập q trình thực luận văn Tuy nhiên, thời gian có hạn nên luận văn cịn nhiều hạn chế khơng tránh khỏi sai sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Chân thành cảm ơn MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Các kí hiệu Giới thiệu Tóm tắt luận văn Giới thiệu tổng quan Cấu trúc luận văn Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Miền thỏa điều kiện p-capacity Reifenberg 7 1.2 Độ đo Radon hữu hạn nghiệm renormalized 10 1.3 Không gian Lorentz khơng gian Lorentz có trọng 12 1.4 Các toán tử cực đại 14 Chương So sánh với phương trình 16 2.1 Bt ng thc Hăolder ngc 16 2.2 Đánh giá địa phương bên 17 2.3 Đánh giá địa phương biên 25 Chương Đánh giá gradient không gian Lorentz miền p-capacity 27 3.1 Bất đẳng thức dạng good-λ 27 3.2 Đánh giá không gian Lorentz 37 3.3 Đánh giá khơng gian Lorentz có trọng 38 Chương Đánh giá gradient không gian Lorentz miền Reifenberg 50 4.1 Các đánh giá so sánh miền Reifenberg 50 4.2 Bất đẳng thức dạng good-λ 52 4.3 Đánh giá không gian Lorentz 59 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 61 CÁC KÝ HIỆU R Tập hợp số thực Ω Miền mở, bị chặn Rn Ωc Phần bù miền Ω Rn ∂Ω Biên miền Ω diam (Ω) Đường kính miền Ω Br (x) Quả cầu mở tâm x, bán kính r > Rn A Toán tử elliptic tựa tuyến tính [A]r0 Dao động trung bình BM O toán tử A ứng với số r0 > ∇u Gradient hàm u : Rn → R div(F ) Divergence hàm vectơ F : Rn → Rn |E| Độ đo Lebesgue tập đo E ⊂ Rn ✥ f (x)dx Tích phân trung bình hàm khả tích f tập đo E ⊂ Rn E capp (B, Ω) p-capacity tập B ⊆ Ω Mb (Ω) Không gian độ đo Radon với biến phân bị chặn Ω M0 (Ω) Tập hợp độ đo µ Mb (Ω) liên tục tuyệt đối ứng với p-capacity Ms (Ω) Tập hợp độ đo µ Mb (Ω) kì dị ứng với p-capacity Cb0 (Ω) Không gian hàm bị chặn, liên tục Ω cho với ϕ ∈ Cb0 (Ω) µ ∈ Mb (Ω) Cc∞ (Ω) Không gian hàm trơn, có support compact Ω Lp (Ω) Khơng gian Lebesgue hàm đo được, có lũy thừa p khả tích Ω W 1,p (Ω) Không gian Sobolev Ω 1,p Wloc (Ω) Không gian Sobolev địa phương Ω Ls,t (Ω) Không gian Lorentz Ω Ls,t ω (Ω) Không gian Lorentz ứng với hàm trọng ω Ω Ap , A∞ Lớp hàm trọng Muckenhoupt Kết thúc chứng minh ✁ Ω ϕdµ hữu hạn Giới thiệu Tóm tắt luận văn Tính quy nghiệm phương trình đạo hàm riêng chủ đề nhiều nhà toán học nghiên cứu Các kết cổ điển đưa cho lớp phương trình Laplace sau mở rộng cho phương trình elliptic dạng tuyến tính Trong nhiều nghiên cứu gần đây, nhà tốn học quan tâm nhiều đến phương trình phi tuyến Trong lớp phương trình phi tuyến, phương trình có nhiều ứng dụng thường nghiên cứu phương trình p-Laplace, có dạng −div |∇u|p−2 ∇u u Ω, = ∂Ω, = µ (1) p > Ω miền mở bị chặn Rn Đặc biệt, tính quy nghiệm phương trình (1) khảo sát với giả thiết tổng quát liệu µ, giả sử độ đo Radon hữu hạn Nhiều kết thú vị tính quy nghiệm phương trình (1) trường hợp quy (regular) p > − n1 , nghiên cứu tác giả tiếng Boccardo [2, 3], Mingione [8, 9, 10] Gần đây, số nghiên cứu phương trình trường hợp kỳ dị (singular) 3n−2 2n−1 < p ≤ − n1 bắt đầu khảo sát vài tác Q.-H Nguyen N.C Phuc [11], M.-P Tran [16, 19, 18] gần [22] cho trường hợp < p ≤ 3n−2 2n−1 Bên cạnh đó, để thu đánh giá quy toàn cục, vài giả thiết biên miền Ω xem xét Trong nghiên cứu này, Ω giải thiết miền có biên khơng trơn, thỏa điều kiện Reifenberg điều kiện p-capacity Mục tiêu luận văn trình bày lại kết [22] tính quy nghiệm phương trình p-Laplace (1) trường hợp < p ≤ 3n−2 2n−1 với giả thiết Ω miền thỏa điều kiện p-capacity Bên cạnh đó, luận văn khảo sát thêm kết tương ứng với giả thiết Ω miền Reifenberg tốn tử A có dao động trung bình BM O bé Kết viết lại thành báo [13], gửi đến Tạp chí khoa học Trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh từ tháng 07 năm 2020, chờ phản biện Để giới thiệu rõ ràng đầy đủ nội dung luận văn, mô tả chi tiết kết trình bày luận văn Giới thiệu tổng quan Trong nhiều nghiên cứu phương trình p-Laplace (1), tác giả thường khảo sát lớp phương trình tổng quát hơn, gọi phương trình elliptic tựa tuyến tính, có dạng −div(A(x, ∇u)) u Ω, = ∂Ω, = µ (2) tốn tử tựa tuyến tính A : Ω × Rn → Rn phương trình hàm vectơ Carátheodory, thỏa mãn hai điều kiện: |A(x, ξ)| ≤ Λ|ξ|p−1 , A(x, ξ) − A(x, η), ξ − η ≥ Λ−1 |ξ|2 + |η|2 (3) p−2 |ξ − η|2 , (4) với ξ , η ∈ Rn \ {0} x ∈ Ω, Λ số dương Để ý trường hợp đặc biệt, A(x, ξ) = |ξ|p−2 ξ, ξ ∈ Rn , phương trình elliptic tựa tuyến tính (2) trở thành phương trình p-Laplace (1) Do đó, luận văn chúng tơi khảo sát phương trình tựa tuyến tính (2) thay phương trình p-Laplace (1), xét ý nghĩa tốn học khơng có nhiều khác biệt 50 Chương Đánh giá gradient không gian Lorentz miền Reifenberg Trong chương này, tiếp tục chứng minh đánh giá gradient không gian Lorentz không gian Lorentz có trọng miền Ω thỏa điều kiện Reifenberg Chúng ta biết giả thiết Reifenberg miền Ω tốt giả thiết p-capacity Chương 3, kết đánh giá chương cải thiện Cụ thể, đánh giá gradient chương không gian Lorentz Ls,t (Ω) với s ∈ (0, ∞) thay < s < Θ0 chương trước Với giả thiết Reifenberg miền Ω, bất đẳng thức dạng good-λ Định lý 4.2.1 tốt Định lý 3.1.2 Cải thiện chứng minh nhờ vào tồn hàm v Mệnh đề 4.1.1 Kết chương phát biểu Định lý 4.3.1 Định lý 4.3.2 tương ứng không gian Lorentz không gian Lorentz có trọng Kết chương mới, viết thành báo [13] tác giả luận văn 4.1 Các đánh giá so sánh miền Reifenberg Mệnh đề 4.1.1 ([11]) Cho < p ≤ 3n−2 2n−1 , liệu µ ∈ Lm (Ω) với m ∈ (m∗ , m∗∗ ), số q thỏa mãn điều kiện (2.2) Khi tồn v ∈ W 1,p (BR ) ∩ W 1,∞ BR/2 cho với ε > [A]r0 < δ0 ∇v L∞ (BR/2 ) ≤ CF2R (µ) p−1 ✥ q |∇u| dx +C B2R q , 51 ✥ q q ≤ Cε F2R (µ) |∇u − ∇v| dx p−1 ✥ q q |∇u| dx + C (δ0 + ε) BR , B2R với Cε = C (n, p, Λ, ε) > FR định nghĩa Bổ để 2.2.3 Kết đánh giá biên thực tương tự miền Ω Ω miền (γ, r0 )-Reifenberg với γ < 1/2 Cho x0 ∈ ∂Ω điểm biên Ω 1,p < R < r0 /10 Giả sử u ∈ Wloc (Ω) nghiệm phương trình (3) ta gọi w ∈ u + W01,p (Ω10R ) nghiệm phương trình −div(A(x, ∇w)) Ω10R , = u ∂Ω10R = w Bổ đề 4.1.2 (xem [11]) Cho < p ≤ 3n−2 2n−1 (4.1) µ ∈ Lm (Ω) với m ∈ (m∗ , m∗∗ ) Giả sử w nghiệm phương trình (4.1) số q thỏa mãn điều kiện (2.2) Khi ta có ✥ |∇u − ∇w|q dx ✥ q |µ|m dx ≤ C Rm B10R (x0 ) m(p−1) B10R (x0 ) ✥ +C R m m m ✥ q 2−p q |∇u| dx |µ| dx B10R (x0 ) B10R (x0 ) Mệnh đề 4.1.3 (xem [11]) Cho µ ∈ Lm (Ω) với m ∈ (m∗ , m∗∗ ), < p ≤ 3n−2 2n−1 số q thỏa mãn điều kiện (2.2) Khi đó, với ε > 0, tồn δ0 = δ0 (n, p, Λ, ε) ∈ 0, 21 cho Ω miền (γ, r0 )-Reifenberg tồn hàm V ∈ W 1,∞ BR/2 (x0 ) cho với [A]r0 < δ0 ta có  ∇V L∞  1q ✥ p−1 + C  (BR/10 (x0 )) ≤ CF10R (x0 )  |∇u|q dx ,  B10R (x0 )  ✥   BR/10 (x0 )  1q  |∇ (u − V )|q dx ≤ Cε F10R (x0 ) p−1 + C (δ0 + ε)    1q ✥  |∇u|q dx , B10R (x0 ) với Cε = C (n, p, Λ, ε) > F10R định nghĩa Bổ đề 2.2.3  52 4.2 Bất đẳng thức dạng good-λ Kết luận văn trình bày hai định lý Trong đó, Định lý 4.2.1 bất đẳng thức dạng good-λ, chứng minh dựa Bổ đề 3.3.1, biết đến dạng bổ đề phủ Vitali Kết đánh giá gradient phát biểu Định lý 4.3.1, chứng minh dựa Định lý 4.2.1 Định lý 4.2.1 Cho < p ≤ 3n−2 2n−1 , µ ∈ Lm (Ω) với m ∈ (m∗ , m∗∗ ) Q = Bdiam(Ω) (x0 ) với x0 cố định Ω Giả sử u nghiệm renormalized phương trình (3) Khi đó, với n 2n−1 0, β = β (n, p, q, ε, c0 ) ∈ R C = C (n, p, q, λ, diam (Ω) /r0 ) > cho Ω miền (γ, r0 )-Reifenberg [A]r0 < γ ta có bất đẳng thức Ln M |∇u|q q > αλ, Mm |µ|m ≤ CεLn m(p−1) M |∇u|q ≤ βλ ∩ Q q >λ ∩Q , ∀λ > (4.2) Chứng minh Với λ > r0 > 0, xét hai tập hợp có dạng Vλ,β = M |∇u|q q > αλ, Mm |µ|m m(p−1) ≤ βλ ∩ Q, β ∈ (0, 1) α > chọn phía sau Đặt D0 = diam (Ω), ta có Q = BD0 (x0 ) Ta cần chứng minh tồn tham số α, β, γ ε0 > cho (4.2) thỏa mãn với ε ∈ (0, ε0 ), tức Ln Vλ,β ≤ CεLn (Wλ ) , ∀λ > 0, Ý tưởng để chứng minh Định lý 4.2.1 dùng Bổ đề 3.1.1, nghĩa kiểm tra hai giả thiết Bổ đề 3.1.1 thỏa mãn Đầu tiên ta cần chứng minh Ln Vλ,β ≤ CεLn (BR0 (0)) , ∀λ > 0, (4.3) R0 = {D0 , r0 } Khơng tính tổng qt, ta giả sử Vλ,ε = ∅ (bởi Vλ,ε = ∅ (4.3) hiển nhiên đúng) Khi tồn x1 ∈ Q thỏa 53 mãn Mm |µ|m (x1 )   m1 ✂ |µ|m dy   m(p−1)  ≤ βλ Theo định nghĩa hàm cực đại Mm ta có  m1 ✂ |µ|m dy  ≤  Ω ≤ (βλ)p−1  n |BD0 (x1 )| −1 = D0m (βλ)p−1 , D0 BD0 (x1 ) hay n µ Lm (Ω) ≤ D0m −1 (βλ)p−1 (4.4) Áp dụng Bổ đề 1.4.2 với s = 1, ta có Ln Vλ,β ≤ Ln q M |∇u| q C ≤ (αλ)q > αλ ✂ |∇u|q dx Ω  ≤ C  (αλ)q q(n−m)  1− mn(p−1) ✂ dx |∇u|  Ω nm(p−1) n−m dx Ω  ≤ q(n−m)  nm(p−1) ✂ n− q(n−m) C m(p−1)  D (αλ)q q(n−m)  nm(p−1) ✂ |∇u| nm(p−1) n−m dx (4.5) Ω Mặt khác, theo đánh giá gradient Bổ đề 2.2.1 ta có ∇u nm(p−1) L n−m (Ω) ≤C µ p−1 Lm (Ω) , kết hợp với (4.4) (4.5) ta n L Vλ,β n n− q(n−m) C −1 m(p−1) ≤ D D0m (βλ)p−1 q (αλ) q p−1 D0 ≤C R0 n εLn (BR0 ) Đánh giá dẫn đến Ln Vλ,β ≤ CεLn (BR0 ) với β ≤ C (n, p, Λ, q, ε, R/R0 ) số C phụ thuộc vào D0 n R0 α, (4.3) chứng minh Tiếp tục ta cần chứng minh ∀x ∈ Q = BR2 (x0 ) , ∀r ∈ [0, R0 ) : Ln Vλ,ε ∩ Br (x) ≤ CεLn (Br (x)) ⇒ Br (x) ∩ Q ⊂ Wλ Thật vậy, ta chứng minh mệnh đề phản chứng, giả sử Br (x) ∩ Q ∩ Wλc Vλ,ε ∩ Br (x) = ∅ Khi đó, tồn x2 , x3 ∈ Br (x) ∩ Ω thỏa mãn M |∇u|q (x2 ) q ≤ λ, (4.6) 54 m(p−1) Mm |µ|m (x3 ) ≤ βλ (4.7) Ta chứng minh tồn C = C (n, p, Λ, m, q, c0 ) > cho Vλ,β ∩ Br (x) < Cε |Br (x)| (4.8) Với ρ > 0, y ∈ Br (x) ta có: ✥ ✥ q |∇u|q dx |∇u| dx ≤ sup ρ>0 Bρ (y) Bρ (y) ≤ max    ✥ ✥ |∇u|q dx; sup sup  0 αλ, Mm |µ|m ≤ βλ ∩ Q ∩ Br (x) Giả sử uk ∈ W01,p (Ω) nghiệm phương trình −div(A(x, ∇u)) Ω, ∂Ω = µk uk = với µk = Tk (µ) Để chứng minh (4.8), ta xét hai trường hợp B8r (x) ⊂⊂ Ω B8r (x) ∩ Ωc = ∅ Trường hợp 1: B8r (x) ⊂⊂ Ω Áp dụng Bổ đề 4.1.1 cho vk ∈ W 1,p (B4r (x)) ∩ W 1,∞ (B2r (x)) nghiệm phương trình −div(A(x, ∇vk )) vk B8r (x), = uk ∂B8r (x) = với µ = µk B2R = B8r (x), tồn số C = C (n, p, q) > cho ∀η > , với [A]R0 < γ , ta có:  ∇vk L∞ (B2r (x))  1q ✥ |∇uk |q  , ≤ CF8r (µk ) p−1 + C    B8r (x)   1q ✥   ✥ |∇uk − ∇vk |q dx ≤ Cη F8r (µk ) p−1 + C (γ + η)  B4r B8r hàm F8r định nghĩa   m1 ✥  F8r (µk ) = (8r)m |µk |m dx  B4r (x) Áp dụng (4.6), (4.7) Bổ đề 2.2.2 ta nhận  lim sup ∇vk k→∞ L∞ (Br (x)) ≤ CF8r (µ) p−1 ✥  + C B8r (x)  1q |∇u|q    1q |∇uk |q  , 56 ≤ C Mm |µ|m (x3 ) p−1 + C M |∇u|q (x2 ) q ≤ C (β + 1) λ ≤ Cλ,   1q ✥  |∇uk − ∇vk |q dx ≤ Cη F8r (µ) p−1 + C (γ + η)  lim sup     k→∞ B4r (x)  1q ✥ |∇u|q   B8r (x) ≤ Cη Mm |µ|m (x3 ) p−1 + C (γ + η) M |∇u|q (x3 ) ≤ C (Cη β + γ κ + η) λ, µk µ hội tụ yếu Lm Như tồn k0 > cho ∀k ≥ k0 ta có ∇vk L∞ (B2r (x))  ≤ Cλ, (4.9)  1q ✥ |∇uk − ∇vk |q dx ≤ C (Cη β + γ κ + η) λ    (4.10) B4r (x) Ta có đánh giá Vλ,β ∩ Br (x) ≤ M χB2r |∇ (uk − vk )|q + M χB2r |∇ (u − uk )|q + M χB2r |∇vk |q q > αλ ∩ Br (x) > αλ ∩ Br (x) q q > αλ ∩ Br (x) n Dựa vào (4.9), ta nhận thấy với α ≥ max q , 10C (C số (4.9)) k ≥ k0 , ta suy M χB2r (x) |∇vk |q q > αλ ∩ Br (x) = 0, từ (4.11) dẫn đến Vλ,β ∩ Br (x) ≤ M χB2r |∇ (uk − vk )|q + M χB2r |∇ (u − uk )|q q q (4.11) > αλ ∩ Br (x) > αλ ∩ Br (x) q 57 Áp dụng Bổ đề Bổ đề 1.4.2 (4.10), ta có  Vλ,β ∩ Br (x) ≤ C   λq ✂ |∇ (uk − vk )|q + B2r (x) |∇ (u − uk )|q   B2r (x)  ≤  ✂ C  q (Cη β + γ κ + η) λq rn + q λ  ✂ |∇ (u − uk )|q  ,  B2r (x) cho k → ∞ ta Vλ,β ∩ Br (x) ≤ C(Cη β + γ κ + η)q |Br (x)| < ε |Br (x)| , η, γ ≤ C (n, p, c0 , q, ε) β ≤ C n, p, c0 , q, ε, RR0 Trường hợp 2: B8r (x) ∩ Ωc = ∅ Tồn x4 ∈ ∂Ω thỏa mãn |x4 − x| = dist (x, ∂Ω) ≤ 8r Ta có B2r (x) ⊂ B10r (x4 ) ⊂ B100r (x4 ) ⊂ B108r (x) ⊂ B109r (x2 ) , B100r (x4 ) ⊂ B108r (x) ⊂ B109r (x3 ) (4.12) Áp dụng Mệnh đề 4.1.3 với u = uk ∈ W01,p (Ω) Vk ∈ W 1,∞ (B10r (x4 )) nghiệm phương trình: −div(A(x, ∇Vk )) Vk B10r (x4 ), = uk ∂B10r (x4 ) = (4.13) với µ = µk B10R = B100r (x4 ), có số C = C (n, p, Λ) > thỏa mãn  ∇Vk L∞ (B10r (x4 ))  1q ✥ ≤ C F100r (µ) p−1 + C   |∇uk |q  ,  B100r (x4 )  ✥   B10r (x4 )  1q    |∇ (uk − Vk )| dx ≤ Cη F100r (µk ) p−1 + C (γ + η)  ✥ q B100r (x4 )  1q |∇uk |q  ,  58 F100r định nghĩa sau   m1 ✥ F100r (µk ) = (100r)m |µk |m dx   B100r (x) Từ M |∇u|q (x2 ) q ≤ λ [Mm (µ) (x3 )] p−1 ≤ βλ với x2 , x3 ∈ Br (x), (4.12), (4.13) Bổ đề 2.2.2, ta có  lim sup ∇Vk k→∞ L∞ (B2r (x)) ≤ C F100r (µ) p−1 ✥  1q |∇u|q  + C   B100r (x4 )  ≤ C F109r (µ) p−1 ✥  1q |∇u|q  + C   B109r (x4 ) ≤ C [Mm (µ) (x3 )] p−1 + M |∇u|q (x2 ) q ≤ Cλ, lim sup k→∞ |∇ (uk − Vk )|q |B2r (x)| q ≤ Cη [Mm (µ) (x3 )] p−1 + C [A]R0 κ +η M |∇u|q (x2 ) ≤ C (Cη β + γ κ + η) λ Như vậy, ta tìm k0 > thỏa mãn với k ≥ k0 ta ∇Vk  ≤ Cλ,  1q ✥   L∞ (B2r (x)) |∇ (uk − Vk )|q dx ≤ C (Cη β + γ κ + η) λ  B2r (x) Ta có đánh giá tương tự trường hợp cho k ≥ k0 Vλ,β ∩ Br (x) ≤ + M χB2r |∇ (uk − vk )|q M χB2r |∇ (u − uk )|q q q > αλ ∩ Br (x) > αλ ∩ Br (x) , q 59 với số α > phụ thuộc vào n, p, Λ Do đó, theo (4.9), (4.10) cho k ≥ k0 ta suy  Vλ,β ∩ Br (x) ≤ C   λα ✂ |∇ (uk − vk )|q dx + B2r (x) |∇ (u − uk )|q dx  B2r (x)  ≤  ✂ C  q (Cη β + γ κ + η) λq rn + α λ  ✂ |∇ (u − uk )|q dx  B2r (x) Khi cho k → ∞ ta nhận Vλ,β ∩ Br (x) ≤ C(Cη β + γ κ + η)q |Br (x)| , η, α ≤ C (n, p, Λ, q, ε) β ≤ C (n, p, Λ, q, ε, D0 /r0 ) Cuối cùng, áp dụng Bổ đề 3.1.1 với V = Vλ,β W = Wλ để hoàn tất chứng minh định lý 4.3 Đánh giá không gian Lorentz Định lý 4.3.1 Cho n ≥ 2, < p ≤ 3n−2 2n−1 liệu µ ∈ Lm (Ω) với m ∈ (m∗ , m∗∗ ) Giả sử u nghiệm renormalized phương trình (3) Khi tồn số γ0 > cho Ω miền (γ0 , r0 )-Reifenberg [A]r0 ≤ γ0 ta có ∇u Ls,t (Ω) ≤ C [Mm (|µ|)] m(p−1) Ls,t (Ω) với s ∈ (0, ∞) t ∈ (0, ∞] Trong C = C n, p, Λ, m, s, t, Dr00 Chứng minh Ta chứng minh kết trường hợp t = ∞, trường hợp t = ∞ chứng minh hoàn toàn tương tự Cố định n 2n−1 < q < nm(p−1) n−m , n áp dụng Định lý 4.2.1, tồn số C > 0, α ≥ max q , 10C , β ≤ C (n, p, Λ, q, ε, D0 /r0 ) < ε0 < thỏa mãn bất đẳng thức (4.2), với ε ∈ (0, ε0 ) λ > 0., ta có Ln M |∇u|q q > αλ, Mm |µ|m m(p−1) ≤ βλ ∩ Q 60 q M |∇u|q ≤ CεLn >λ ∩Q (4.14) Bằng cách đổi biến λ thành αλ định nghĩa không gian Lorentz, ta có q q M |∇u| ✂ t ∞ M |∇u| λL =s Ls,t (Ω) q q t n >λ ∩Ω ✂ ∞ t q t n M |∇u| λL =αs q t s dλ λ > αλ ∩ Ω t s dλ λ (4.15) Áp dụng (4.14) (4.15), ta nhận q M |∇u| q ✂ t t s t Ls,t (Ω) ≤ Cα ε s ✂ t + Cα s ∞ q t n M |∇u| λL ∞ t n λL (Mm (|µ|)) q >λ ∩Ω m(p−1) t s dλ λ > βλ ∩ Ω t s dλ λ (4.16) Bằng cách đổi biến tích phân thứ hai bên vế phải (4.16), ta M |∇u|q q t t q M |∇u|q ≤ Cαt ε s Ls,t (Ω) t Mm |µ|m + Cαt β −t Ls,t (Ω) m(p−1) t , Ls,t (Ω) dấn đến M |∇u|q q ≤ Cαε s q M |∇u|q Ls,t (Ω) + Cαβ −1 Ls,t (Ω) Mm |µ|m m(p−1) , Ls,t (Ω) n với α ≥ max q , 10C , β ≤ C (n, p, Λ, q, ε, D0 /r0 ) < t < ∞, ta chọn ε ∈ (0, ε0 ) đủ nhỏ cho Cε s ≤ để thu điều phải chứng minh Định lý 4.3.2 Cho hàm trọng ω ∈ A∞ , < p ≤ 3n−2 2n−1 liệu µ ∈ Lm (Ω) với m ∈ (m∗ , m∗∗ ) Giả sử u nghiệm renormalized phương trình (3) Khi tồn số γ0 > cho Ω miền (γ0 , r0 )-Reifenberg [A]r0 ≤ γ0 ta có ∇u Ls,t ω (Ω) ≤C Mm |µ|m m(p−1) Ls,t ω (Ω) , với s ∈ (0, ∞) t ∈ (0, ∞] Trong số C = C n, p, Λ, m, s, t, Dr00 , [ω]A∞ Chứng minh Định lý chứng minh hoàn toàn tương tự Định lý 3.3.2 Định lý 4.3.1 61 Kết luận Trong luận văn này, tác giả chứng minh lại số kết đánh giá gradient cho nghiệm theo nghĩa renormalized, phương trình elliptic tựa tuyến tính với liệu độ đo không gian Lorentz, dạng tổng quát lớp phương trình p-Laplace kỳ dị với giá trị p ∈ 1, 3n−2 2n−1 Kết đánh giá gradient khảo sát tồn cục miền Ω có biên khơng trơn, thỏa mãn hai điều kiện p-capacity Reifenberg, khảo sát nhiều báo trước Phương pháp chứng minh đánh giá gradient dựa kỹ thuật gần đây, gọi kỹ thuật good-λ, đưa tác giả Q.-H Nguyen phát triển sau tác giả M.-P Tran Đặc biệt, kết trình bày Chương 4, xét toán giả thiết miền Reifenberg tác giả viết thành báo [13] Mặc dù nội dung luận văn bao gồm định lý có độ khó cao, tác giả nỗ lực cố gắng trình bày cách chặt chẽ chi tiết hầu hết chứng minh mấu chốt, với mục tiêu mang lại góc nhìn dễ tiếp cận việc sử dụng kỹ thuật good-λ để khảo sát tính quy nghiệm lớp phương trình elliptic phi tuyến với liệu độ đo Tác giả hy vọng luận văn tài liệu tham khảo thú vị tiếng Việt cho sinh viên, học viên quan tâm đến chủ đề 62 Tài liệu tham khảo [1] M.-F Betta, A Mercaldo, F Murat, M.-M Porzio, Existence of renormalized solutions to nonlinear elliptic equations with a lower-order term and righthand side a measure, J Math Pures Appl 80 (2003), 90-124 [2] P Benilan, L Boccardo, T Gallouet, R Gariepy, M Pierre and J L Vazquez, An L1 theory of existence and uniqueness of solutions of nonlinear elliptic equations, Ann Scuola Norm Sup Pisa (IV) 22 (1995), 241-273 [3] L Boccardo, T Gallouet and L Orsina, Existence and uniqueness of entropy solutions for nonlinear elliptic equations with measure data, Ann Inst H Poincare Anal Non Lineaire 13 (1996), 539-551 [4] L Grafakos, Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson/Prentice Hall, 2004 [5] M Kardar, G Parisi, Y.-C Zhang, Dynamic scaling of growing interfaces, Phys Rev Lett 56 (1986), 889-892 [6] A Lemenant, E Milakis and L.-V.Spinolo, On the extension property of Reifenberg-flat domains (2012), https://arxiv.org/abs/1209.3602 [7] G D Maso, F Murat, L Orsina and A Prignet, Renormalized solutions of elliptic equations with general measure data, Ann Scuola Norm Super Pisa (IV) 28 (1999), 741-808 [8] G Mingione, The Calderón-Zygmund theory for elliptic problems with measure data, Ann Scu Norm Sup Pisa Cl Sci (5) (2007), 195-261 63 [9] G Mingione, Gradient estimates below the duality exponent, Math Ann 346 (2010), 571–627 [10] G Mingione, Gradient potential estimates, J Eur Math Soc (JEMS) 13 (2011), 459-486 [11] Q.-H Nguyen, N C Phuc, Good-λ and Muckenhoupt-Wheeden type bounds, with applications to quasilinear elliptic equations with gradient power source terms and measure data, Math Ann 374 (2019), 67-98 [12] Q.-H Nguyen, Gradient estimates for singular quasilinear elliptic equations with measure data, arXiv:1705.07440v2 [13] L H Phuc, A Lorentz gradient estimate for a class of measure data pLaplace equation with p closed to 1, submitted, 2020 [14] N C Phuc, Nonlinear Muckenhoupt-Wheeden type bounds on Reifenberg flat domains, with applications to quasilinear Riccati type equations, Adv Math 250 (2014), 387–419 [15] N C Phuc, Morrey global bounds and quasilinear Riccati type equations below the natural exponent, J Math Pures Appl (9) 102 (2014), 99–123 [16] M.-P Tran, Good-λ type bounds of quasilinear elliptic equations for the singular case, Nonlinear Analysis 178 (2019), 266–281 [17] M.-P Tran, T.-N, Nguyen, An application of global gradient estimates in Lorentz-Morrey spaces: The existence of stationary solution to degenerate diffusive Hamilton-Jacobi equations, Electron J Differential Equations (2019), no 118, 1-12 [18] M.-P Tran, T.-N Nguyen, Existence of a renormalized solution to the quasilinear Riccati type equation in Lorentz spaces, C R Acad Sci Paris, Ser I 357 (2019), 59-65 64 [19] M.-P Tran, T.-N, Nguyen, Lorentz-Morrey global bounds for singular quasilinear elliptic equations with measure data, Commun Contemp Math 22(5) (2020), 1950033, 30 pp [20] M.-P Tran, T.-N Nguyen, New gradient estimates for solutions to quasilinear divergence form elliptic equations with general Dirichlet boundary data, J Differential Equations 268(4) (2020), 1427-1462 [21] M.-P Tran, T.-N, Nguyen, Weighted Lorentz gradient and point-wise estimates for solutions to quasilenear divergence form elliptic equations with an application (2019), https://arxiv.org/abs/1907.01434 [22] M.-P singular Tran, T.-N, nonlinear Nguyen, elliptic Global equations https://arxiv.org/abs/1909.06991 gradient with estimates measure data for very (2019), ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Lê Hồng Phúc BÀI TỐN CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH P- LAPLACE TRONG TRƯỜNG H? ?P KỲ DỊ Chun ngành: Tốn giải tích Mã... đây, nhà toán học quan tâm nhiều đến phương trình phi tuyến Trong l? ?p phương trình phi tuyến, phương trình có nhiều ứng dụng thường nghiên cứu phương trình p- Laplace, có dạng −div |∇u |p? ??2 ∇u u... thuộc W 1 ,p (Rn ) với support compact Khi cho ≤ p < n tồn số C > phụ thuộc vào n p cho u với p? ?? liên h? ?p p, tức Lp∗ (Rn ) ≤ C ∇u 1 = − p? ?? p n Lp (Rn ) , (1.4) 16 Chương So sánh với phương trình