Dựa vào nhận xét này, ta có thể tiến hành chia hai số phức mà không cần bận tâm đến công thức tìm số nghịch đảo của số phức.. nói cách khác chỉ cần đối dấu phần ảo của z, ta được z Một [r]
(1)http://ebooktoan.com/forum 1.Tập số phức và các phép toán 1.1.Định nghĩa số phức Cho a, b Mỗi biểu thức dạng a bi gọi là số phức b m z a : phần thực z a e z b : phần ảo z Tập các số phức ký hiệu là ℂ a , a a 0i z Vậy Ta cần định nghĩa phép cộng và nhân hai số phức Cho hai số phức z1 a bi, z2 c di Tổng z1 z2 (a c) (b d )i Tích z1.z2 (ac bd ) (ad bc)i Công thức trên đúng cho trường hợp hai số thực z1 a 0i, z2 c 0i Thật z1 z2 (a 0i ) (c 0i ) a c ; z1.z2 (a 0i )(c 0i ) ac Như vậy: i i.i (0 1i)(0 1i ) (0.0 1.1) (0.1 1.0)i 1 1.2.Các phép toán Khi thực hành cộng và nhân hai số phức, cần thực theo quy tắc cộng và nhân đa thức với chú ý i 1 Ví dụ: Tính a (58−i)+(2−17i) b (6+3i)(10+8i) c (4+2i)(4−2i) Bài giải a (58−i)+(2−17i)=58−i+2−17i=60−18i b (6+3i)(10+8i)=60+48i+30i+24i2=60+78i−24=36+78i c (4+2i)(4−2i)=16−(2i)2=16+4=20 Phép nhân hai số phức , cho ta đẳng thức : ( a bi )( a bi) a b Bây xét đến phép trừ và chia hai số phức Ví dụ : (58 i ) (2 17i) 58 i 17i 56 16i 3i (6 3i) (10 8i) 60 48i 30i 24i 84 18i 84 18 21 = = i= i 10 8i (10 8i ) (10 8i) 100 64 164 164 164 41 82 5i (1 7i ) 35 5i 7 5i i = 50 10 10 7i (1 7i)(1 7i ) Số đối số phức z ký hiệu –z , thỏa mãn z + (−z) = Trong trường ℂ ta có z (1).z a bi Hiệu hai số phức z1 , z : z1 z z1 ( z2 ) Nên z1 z2 z1 ( z2 ) (a bi) (c di) (a c) (b d )i Số nghịch đảo số phức z (z ≠ 0) là số phức ký hiệu z−1 cho z.z−1=1 Số nghịch đảo số phức làm rõ qua đoạn sau: Giả sử z 1 u vi là số nghịch đảo z a bi , z.z 1 a bi u vi au bv av bu i a u a b a b ⇒ z 1 i a b a b2 v b a b2 Mọi số phức z khác tồn số nghịch đảo z−1 Định nghĩa thương hai số phức z1 Cho hai số phức z1, z2 (z2≠ 0) z1.z21 z2 Theo định nghĩa trên , ta có Ví dụ : 3i 10 (6 3i )(10 8i ) 1 , vì (10 8i ) 1 2 2 i i 10 8i 10 10 82 41 au bv Nên ⇒ av bu (2) http://ebooktoan.com/forum 3i 2 21 (6 3i ) i i i 10 8i 41 82 41 41 82 82 41 82 Ta có lại kết trước đây tiến hành chia hai số phức cách hình thức Dựa vào nhận xét này, ta có thể tiến hành chia hai số phức mà không cần bận tâm đến công thức tìm số nghịch đảo số phức i (3 i )(1 i) 4i Chẳng hạn 2i i (1 i )(1 i ) 10 8i 10 8i hay (10 8i )1 2 i 10 8i 10 8i (10 8i ) 10 82 41 2.Bất đẳng thức tam giác 2.1 Số phức liên hợp Số phức liên hợp z a bi ( ký hiệu z ) là z a bi (nói cách khác cần đối dấu phần ảo z, ta z ) Một số tính chất số phức liên hợp z z, z1 z2 z1 z2 , z1.z2 z1.z2 , z1 z1 z z2 Ví dụ : Tính a z , z 15i b z1 z2 , z1 i, z2 8 3i Bài giải a z 15i z 15i 15i z b z1 z2 13 2i z1 z2 13 2i 13 2i c z1 z2 , z1 i, z2 8 3i c z1 z2 i (8 3i ) i (8 3i) 13 2i Với số phức z a bi , ta có z z a bi (a bi) 2a, z z a bi (a bi ) 2bi 2.2 Môđun số phức Cho z a bi , Môđun z ký hiệu |z|, | z | a b2 Môđun số phức là số thực không âm z là số thực ( z a 0i ), | z | a | a | Vậy Môđun số thực chính là giá trị tuyệt đối số | z |2 a b2 a | z || a | ≥ a Tương tự | z || b | b Các hệ thức diễn tả mối quan hệ Môđun và số liên hợp z: z.z (a bi )(a bi ) a b ⇒ z.z | z |2 | z || z | , Ví dụ:Tính | z || z | , z1 z1 z2 zz 22 z2 z z2 | z2 | 3i 10 8i Bài giải z1 3i, z2 10 8i, z2 10 8i,| z |2 164 3i (6 3i )(10 8i) 60 48i 30i 24i 21 i 10 8i 164 164 41 82 Tính chất Môđun số phức z1 | z1 | | z | z , | z1 z2 || z1 || z2 | , z2 | z2 | Thật vậy: | z | a b a b z z1 z2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 ) z1 z1 z2 z2 | z1 |2 | z2 |2 | z1 z2 || z1 || z2 | Trang (3) http://ebooktoan.com/forum 2.3 Bất đẳng thức tam giác Mối quan hệ Môđun số hạng và Môđun tổng hai số phức: | z1 z2 || z1 | | z2 | Chứng minh | z1 z2 |2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 ) ⇒ | z1 z2 |2 z1 z1 z1 z2 z2 z1 z2 z2 Lưu ý z2 z1 z2 z1 z2 z1 Nên z1 z2 z2 z1 z1 z2 z1 z2 2e( z1 z2 ) | z1 z2 | | z1 || z2 | | z1 || z2 | z1 z1 | z1 |2 ; z2 z2 | z2 |2 | z1 z2 |2 z1 z1 z1 z2 z2 z1 z2 z | z1 |2 z1 z2 z2 z1 | z2 |2 | z1 |2 2 | z1 || z2 | | z2 |2 (| z1 | | z2 |)2 Nên | z1 z2 || z1 | | z2 | | z1 || z1 z2 z2 || z1 z2 | | z2 || z1 z2 | | z2 | | z1 z2 || z1 | | z2 | (giả sử | z1 || z | , | z1 || z | luôn đúng) Tương tự | z1 z2 || z2 | | z1 | (| z1 | | z |) (giả sử | z1 || z | , | z1 || z2 | luôn đúng) Do đó | z1 z2 ||| z1 | | z2 || Bây thay z2 –z2, ta có | z1 z2 || z1 | | z2 | | z1 z2 ||| z1 | | z2 || 3.Dạng lượng giác và dạng mũ 3.1 Biểu diễn hình học số phức Xét mặt phẳng Oxy, số phức z a bi biểu diễn điểm M(a;b) Vectơ có tọa độ (a;b) Trục Ox gọi là trục thực, Oy gọi là trục ảo, mặt phẳng trên gọi là mặt phẳng phức 3.2 Dạng lượng giác Xét số phức z a bi ≠ 0, M(a;b) mặt phẳng phức Số đo (rađian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi là acgumen z Cho z a bi ≠ a r cos |z| = r >0, θ là acgumen z Khi đó b r sin z a bi r (cos i sin ) : dạng lượng giác số phức Trang (4) http://ebooktoan.com/forum Lưu ý r | z | z a bi, a : b , θ sai khác k2π, thường chọn tan a a=0, chọn Vi dụ Viết các số phức sau dạng lượng giác z 1 3i z = −9 z = 12i Bài giải r=|z|= 2 2 2 i sin ⇒ z cos 3 1 Không viết: z cos i sin : dấu trừ trước cosin! 3 Cũng z 2 cos i sin : r < 3 , tan r 81 ⇒ z cos i sin r 144 12 ⇒ z 12 cos i sin 2 3.3 Dạng mũ số phức Công thức Euler ei cos i sin Dùng công thức trên số phức có thể viết dạng mũ: z r (cos i sin ) rei Làm việc với số phức dạng mũ có nhiều tiện lợi : | z || rei || r || cos i sin | r cos sin r 1 Với z≠ 0, z 1 ( rei ) 1 r 1e i ei ( ) ⇒ z 1 cos i sin r r i1 i i (1 2 ) z1 z2 (r1e )(r2e ) r1r2e z1 z2 r1r2 cos 1 2 i sin 1 z r z1 r1ei1 r1 i (1 2 ) cos 1 i sin 1 2 , z2 i2 e z2 r2 z2 r2 e r2 Lưu ý acgumen( z1 z2 ) acgumen z1 acgumen z2 z acgumen acgumen z1 acgumen z2 z2 z1 r1ei1 , z2 r2 ei2 r r ( k ) z1 z 1 2k 4.Lũy thừa và khai 4.1 Lũy thừa với số mũ n nguyên dương Cho z là số phức có |z| = r, θ là acgumen z Tức là z rei z n ( rei ) n r n ein Trang (5) http://ebooktoan.com/forum n r cos i sin r cos n i sin n :công thức Moivre n Ví dụ: Tính (3 3i )5 Bài giải r , tan , chọn 5 5 5 3i 3 cos i sin cos i sin 4 4 2 i 972 972i 972 4.2 Căn bậc n số phức Khi r =1, ta có (cos i sin ) n cos n i sin n Trước hết tìm bậc n đơn vị, tức là tìm số phức z cho z n n Giả sử nghiệm z rei rei r n ein 1ei r n ⇒ Nên n 2k r k k n Do đó bậc n đơn vị là n sô phân biệt e i 2 k n cos 2 k 2 k i sin , k 0,1, 2, n n n Ví dụ: Giải phương trình z , z , z Bài giải Căn bậc hai đơn vị gồm hai số k e i 2 k ei k , k 0;1 0 e 1 ei cos i sin 1 i Căn bậc ba đơn vị gồm ba số k e 2 k , k 0;1; 0 e 1 e i 2 e 2 i 4 2 2 i sin 3 4 4 cos i sin 3 cos i i Căn bậc bốn đơn vị gồm bốn số k e i 2 k e i k , k 0;1; 2;3 0 e i 1 e cos i i sin i 2 (e ) ei cos i sin 1 3 3 3 i sin i 2 Lưu ý : tổng các bậc n đơn vị Thật i 3 (e )3 e i cos Các bậc n đơn vị là k e i 2 k n , k 0;1; 2;; n 2 i kk 0n 1k n 1 , e n n 1 , ( n ei 2 cos 2 i sin 2 ) 1 Trang (6) http://ebooktoan.com/forum Xét bậc n ( n , n>1)của số phức w tùy ý Tức là tìm nghiệm phương trình z n w Giả sử R=|w|, α là acgumen w Tức là w Rei r =|z|, θ là acgumen z Tức là z r ei (rei )n Rei r n eni Rei 2 k suy r n R , , k n Vậy bậc n w Rei là n số phân biệt: 2 k i n ak n R e n 2 k 2 k n R cos i sin , k=0,1,2… n−1 n n n n Ví dụ: Tìm Căn bậc hai 2i, Căn bậc ba Bài giải i i 2i 2e Căn bậc hai 2i có hai giá trị: ak 2e a0 2e i , k=0,1 cos i sin i 4 i a1 2e 2e i 6 i 2e ak 2e i ( k ) i 5 5 5 i sin cos 4 1 i Có giá trị bậc ba là: 2 k i 18 , k=0,1,2 i 18 cos i sin 1, 24078 0, 21878i 18 18 2 11 i( i ) 11 11 a1 2e 18 2e 18 cos i sin 0, 43092 1,18394i 18 18 a0 2e 2 i 18 a2 2e 2e i 23 18 23 23 cos i sin 18 18 0,80986 0,96516i Lưu ý Với w≠ 0, các bậc n (n ≥ 3) w biểu diễn trên mặt phẳng phức các đỉnh n giác nội tiếp đường tròn bán kính n R , R | w | Mục lục 1.Tập số phức và các phép toán 1.1Định nghĩa tập số phức 1.2.Các phép toán 2.Bất đẳng thức tam giác 2.1 Số phức liên hợp 2.2 Môđun số phức 2.3 Bất đẳng thức tam giác 3.Dạng lượng giác và dạng mũ 3.1 Biểu diễn hình học số phức 3.2 Dạng lượng giác 3.3 Dạng mũ số phức 4.Lũy thừa và khai 4.1 Lũy thừa với số mũ n nguyên dương 4.2 Căn bậc n số phức Trang (7)