BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH HUỲNH KIM LINH BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC TP HỒ CHÍ MINH – 1996 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH HUỲNH KIM LINH BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ CHUN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 1.01.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PTS LÊ HỒN HỐ TP HỒ CHÍ MINH – 1996 LỜI NĨI ĐẦU Xin kính gởi đến thầy LÊ HỒN HỐ – PTS Khoa Tốn trường Đại học Sư phạm T.P Hồ Chí Minh, người tận tình giảng dạy, hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn lời biết ơn chân thành sâu sắc Xin bày tỏ lòng biết ơn q Thầy, Cơ thuộc khoa Tốn khoa Tâm lý- Giáo dục thuộc trường Đại học Sư phạm T.P Hồ Chí Minh khoa Triết trường đại học Tổng hợp T.P Hồ Chí Minh giảng dạy suốt năm qua Xin cám ơn BGH trường Đại học Sư phạm T.P Hồ Chí Minh, Sở Giáo dục Đào tạo Phú Yên, ban giám hiệu trường PTTH Lê Lợi – Phú Yên tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành nhiệm vụ học tập Xin chân thành cám ơn thầy: • PGS-PTS DƯƠNG MINH ĐỨC Khoa Tốn, Đại học Tổng hợp Tp Hồ Chí Minh • PTS TRỊNH CƠNG DIỆU Khoa Tốn, Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Đã đọc thảo góp nhiều ý kiến bổ sung qúy báu cho luận văn Xin cám ơn anh chị khoá học, bạn bè đồng nghiệp quan tâm giúp đỡ thời gian học tập làm luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, 08 – 1996 HUỲNH KIM LINH MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1: CÁC KÍ HIỆU VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN .8 1.1 CÁC KÝ HIỆU TOÁN HỌC 1.2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN: 1.2.1 Định nghĩa: 1.2.2 Toán tử vi phân Λ 10 1.2.3 Toán tử phi tuyến A 11 CHƯƠNG 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN ELLIPTIC 14 2.1 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH VÀ BÀI TOÁN MỞ ĐẦU 14 2.1.1 Dạng song tuyến tính 14 2.1.2 Bài toán: 15 2.2 ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA NHỮNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN ELLIPTIC 18 2.3 ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM DUY NHẤT 20 2.4 ỨNG DỤNG: 21 2.5 BIẾN PHÂN 22 2.6 LỜI GIẢI CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN VỚI NHỮNG VI PHÂN DƯỚI 23 2.7.2 Một kết qui phương pháp tịnh tiến 26 2.7.3 Một kết quy “trừu trượng” 27 2.8 ĐỊNH LÝ SO SÁNH 30 2.9 MỘT DẠNG KHÁC: 31 CHƯƠNG 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN PARABOLIC .33 3.1 BÀI TỐN MỞ ĐẦU 33 3.2 CÔNG THỨC TỔNG QT CHO NHỮNG BÀI TỐN BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN PARABOLIC 34 3.2.1 Giả thiết thích hợp, thí dụ: 35 3.2.2 Định lý tồn lời giải “yếu” 37 3.2.3 Định lý tồn lời giải yếu 42 3.3 NHỮNG ỨNG DỤNG: 43 3.3.1 Trường hợp HILBERT 43 3.3.2 Các toán tương tự Lp, < P < ∞ 45 3.3.3 Các lời giải tuần hoàn 46 3.3.4 Bài tốn đơi: 47 3.3.5 Bài tốn bất phương trình biến phân với toán tử Parabolic suy biến 48 3.4 CÁC ĐỊNH LÝ CHÍNH QUY 49 3.4.1 Định lý quy, phương pháp đầu tiên: 49 3.5 NHỮNG LƯU Ý KHÁC NHAU 56 KẾT LUẬN 60 LỜI NÓI ĐẦU Việc chuyển từ tốn biên xét bất phương trình biến phân vấn đề mà cá nhà toán học giới Việt Nam quan tâm Có thể điểm qua số tác giả với cơng trình liên quan như: J L LIONS, DAVID KINDERLEHRER, KLAUS SCHMITT, ĐẶNG ĐÌNH ÁNG,… Luận văn đề cập đến hai loại bất phương trình biến phân là: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN ELLIPTIC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN PARABOLIC Luận văn chia làm chương: + Chương 1: CÁC KÍ HIỆU VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong chương dành để nêu lên số ký hiệu khái niệm để làm sở cho chương chương Một số khái niệm xét đến như: • Xây dựng không gian V, H, V ‘ khơng gian vectơ tơpơ Φ đối ngẫu Φ’ • Tốn tử vi phân Λ nửa nhóm G(s) có miền xác định D(Λ;V ) V, D(Λ,H ) H, D(Λ,V 1) V ‘’ Với V không gian Banach H không gian Hilbert • Tốn tử phi tuyến tính A (A): V → V ‘thoả: (i) A (A) giả đơn điệu (ii) A (A) (iii) A (A) đơn điệu (iv) A (A) hémicontinue + Chương 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN ELLIPTIC Mục đích chương nghiên cứu bất phương trình biến phân dạng: (*) (A u, v - u) ≥ (f, v - u) ∀ v ∈ K, f ∈ V’ cho trước Với A : V → V’ tốn tử tuyến tính liên tục xác định dạng song tuyến tính a (u, v) K tập lồi, đóng V Ta xem xét tồn nghiệm (*) hai trường hợp K bị chặn K không bị chặn, xét (*) có nghiệm, sau xem xét ứng dụng (*) Tiếp theo xét tính biến phân xét bất phương trình với vi phân Cuối xét quy bất phương trình biến phân (**) xem xét dạng khác toán + Chương 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN PARABOLIC Xét bát phương trình biến phân parabolic: (**) (Λu, v - u) + (A u, v -u) + (gu, v - u) ≥ (f, v - u), ∀ v ∈ V ∩ D (Λ*, V ‘) Ta xét tồn nghiệm (**) trường hợp: +V ⊂H + V không chứa H Tiếp theo nghiên cứu tồn nghiệm (**), sau nêu lên số ứng dụng cuối xét quy (**) trường hợp nà hàm phi tuyến g thoả thêm điều kiện khả vi CHƯƠNG 1: CÁC KÍ HIỆU VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong chương này, giới thiệu ký hiệu toán học khái niệm dùng cho chương chương 1.1 CÁC KÝ HIỆU TOÁN HỌC Ω tập mở, bị chặn Rn Γ=∂ Ω biên Ω, d Γ = độ đo mặt Γ Q = Ω × (0, T) với T ∈ R < T < ∞ ∑ = ∂ Q = Γ × (0, T), d∑ = dΓ × dt Ω = Ω ∪ ∂ Ω bao đóng Ω δu / δx j đạo hàm riêng u biến x j , ta viết u xj , δ j u hay u j u x = grad u = (u x1 , u x2 ,…,u xn ) Dx = dx …dx n độ đo Lebesgue Rn δ2 ∆ =∑ toán tử Laplace i =1 δx i n V (V ) không gian Banach phản xạ H (H ) không gian Hilbert D (Ω), D (Q),… không gian hàm khả vi vơ hạn có giá compact Ω, Q,… D’ (Ω), D’ (Q),…là không gian đối ngẫu D (Ω), D (Q),… Lp (Ω) không gian hàm luỹ thừa p lần khả tích Ω, độ đo dx = dx dx …dx n f f L (Ω) p L∞ ( Ω ) (∫ p Ω f (x) dx ) 1/p víi < p < ∞ vµ inf {M : f ≤ M h k n Ω} =  LP (0, T; V) u : (0, T) → V ®o ®­ỵc cho =  Với V khơng gian Banach ≤ p < ∞, u p (∫ T L (0,T,V) p (∫ = T ) 1/p u(t) v dt α m,p α1 p αn  δ   δ  D =    , α = (α1 , , α n ), α = α1 + + α n ≥  δx1   δx n  α p u(t) v dt {u : Ω → Ω sαo cho u, u' ∈ L (Ω)} ; Ω= (Ω) {v : D v ∈ L (Ω), α ≤ m} Víi H1 (Ω= )  < ∞  ) 1/p Là không gian Sobolev với chuẩn: u w m ,p ( Ω )  =  ∑ Dα u  0≤ α ≤ m  1/p    Lp ( Ω )  p Wom,p (W) bao đóng D (Ω) W m,p (W) W − m,p ' (W) đối ngẫu W m,p với (1/p + 1/p’=1) Đơn giản W-m(Ω) với p = H m (W= ) W m,2 (WW ) ; H om ( = ) H om (W) H − m= (W) (W ( m,2 ) (WW ) '= W − m,2 ( ) ) C k (Ω) C k (Ω) : không gian hàm k lần khả ci liên tục Ω(Ω) D (Ω= ) C ∞ (Ω) D (] 0, T [ ; X) không gian hàm C∞ từ ] 0, T[ → X có giá compact ] T[ Ck ([0 T] ; X) không gian hàm k lần khả vi liên tục từ [0, T]→X L (X; Y) = {f : X→Y tuyến tính, liên tục} (với X, Y không gian vectơ tôpô) D’ (] 0, T [; X) = L (D (] 0, T [ ; X) không gian hàm mở rộng ] 0, T[ có giá trị X ,p W p ' (Γ) =không gian hàm v Γ với v ∈ W1,p (W) Với= p 2, H = (Γ) không gian hàm v Γ với v ∈ H1 (Ω) − 2 H (Γ) đối ngẫu H (Γ) 1.2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN: 1.2.1 Định nghĩa: Cho không gian vectơ tơpơ Φ đối ngẫu Φ’ Kí hiệu (ϕ, f) tích vơ hướng ϕ ∈ Φ f∈Φ’; Ta định nghĩa không gian V , H , V ‘ sau: (2.1) Φ ⊂ V ⊂ Φ’ , Φ ⊂ H ⊂ Φ’ , Φ ⊂ V ‘ ⊂ Φ’ (2.2) H không gian Hilbert (có tích vơ hướng (h , h ) H chuẩn h (2.3) V không gian Banach phản xạ với chuẩn (2.4) V ‘ đối ngẫu V với chuẩn V‘ V H ) Nếu ϕ, ψ ∈ Φ ta có: (2.5) (ϕ, ψ) = (ϕ, ψ) H tích vơ hướng ϕ ∈ V ψ ∈ V ‘ (2.6) Φ trù mật V ∩ V ‘ Có chuẩn V + V ‘ lưu ý: * Từ (2.6) ta suy ra: (2.7) V ∩ V ‘ ⊂ H Nếu ϕ ∈ Φ ta có: ϕ * Nếu H = (ϕ, ϕ) ≤ ϕ V × ϕ V ‘ V ⊂ H (2.8) V ⊂ V ‘ ⊂ H 1.2.2 Toán tử vi phân Λ G (s) nửa nhóm liên tục V , H , V ‘ thoả: (2.9) G (s) nửa nhóm co H , nghĩa G(s) L (H , H ) ≤ 1, ∀ s ≥ - Λ toán tử vi phân nửa nhóm G (s) có miền xác định D (Λ, V ) V ; D (Λ, H ) H D (Λ, V ‘) V ‘ G * (s) nửa nhóm liên hợp G (s) sinh V , H , V ‘; - Λ* tốn tử vi phân G* (s) có miền xác định D (Λ*, V ) V ; D (Λ*, H ) H D (Λ*, V ‘) V ‘ (2.10) D (Λ, V ‘) ∩ V (D(Λ*, V ‘) ∩ V ) trù mật V −1 (với u ∈ V ε > tuỳ ý, ta chọn ϕ ∈ Φ với u − ϕ V ≤ε    I + Λ  ϕ ∈ V ∩ D (Λ, V ‘)   tiến đến ϕ V n → ∞) Xem Λ toán tử tuyến tính từ V → V ‘ có miền xác định D (Λ; V , V ‘) với D (Λ; V ,V ‘)= {v : v ∈ V cho dạng tuyến tính w → (v, Λ*w) D (Λ, V ‘) ∩ V liên tục tơpơ cảm sinh V } Khi đó, tồn x v ∈ V ‘ cho (2.12) (v, Λ*w) = (x v , w) (vì D (Λ*, V ‘) ∩ V trù mật V ) Nếu v ∈ D (Λ, V ‘) ∩ V xv = Λv cho trường hợp tổng quát, từ đó: 10 (3.23)  δu n δ  δu p - δu  p-2    + u u + gu = -∑ f, δx i   δt i =1 δx i  δx i   u ≥ trªn ∑ ,  J (u) ≥ trªn ∑ ,  u J (u) = trªn ∑ , u (x, 0) = u (x, T), x ∈ Ω 3.3.4 Bài tốn đơi: Ta lấy (3.24) Vi = W1,p (W) = V, < p < ∞, H = L2 (W)  p-2 n  δ  δϕ δϕ  p-2   + ϕ ϕ, i =1, A ( ) = A ( ) = ϕ ϕ ∑  i δx i  i =1 δx i  δx i    (3.25) V = Lp (0, T; V) × Lp (0, T; V), A u = (A (u ) – u , A (u ) + u ) Và nửa nhóm G (s) xác định bởi: ϕ(t - s + T) nÕu < t < s G (s) ϕ (t) =  nÕu s < t < T ϕ (t - s) Xác định tập lồi K sau (3.26) K = {v | v , v ≥ Σ} Ta thấy K G (s) thoả mãn điều kiện (2.15) Nghĩa G (s) K ⊂ K , ta có (3.5) Vậy theo định lý 2.2 định lý 2.4 tồn lới giải yếu (3.27)  δu1  δt + A (u1 ) + g (u1 ) - u = f1 ,   δu + A (u ) + g (u ) + u = f , 2  δt  u1 ≥ 0, u ≥ 0, J (u1 ) ≥ 0, J (u ) ≥ 0,  u1 J (u1 ) = 0, u J (u ) = trªn ∑ , u (x, 0) = 0, u (x, T) = 0, x ∈ Ω  Với J định nghĩa (3.21) tức n J (u) = ∑ i =1 δu δx i p −2 δu cos (x, x i ), i = 1, δx i 47 3.3.5 Bài tốn bất phương trình biến phân với tốn tử Parabolic suy biến Xét toán tử: δϕ δt ϕ→ n δ  p -2 δϕ  u  , 2, tích đối ngẫu L2 (0, T; H -1 (Ω)) L2 (0, T; H10 (Ω)) Vậy (4.16) kết từ (4.18) < h’, h+ > ≥ 0, ∀ h ∈ W Ta chấp nhận kết (sẽ chứng minh sau) (4.19) h → h + , ánh xạ phi tuyến liên tục từ 1  W → L (0, T;H (W)) ∩ C ([0, T]; L (W)) Chọn h j ∈ C1 (Q), h j = ∑ h j (0) = 0, h j → h W Ta có < h j', h j+ > = ∫ Q dh j dt h j dx dt = h j ≥0 Và h j (x, T) dx ≥ ∫ Q h (0, T )≥0 j < h j ’, h j + > → < h’, h+ > (4.19)) Do ta có kết (4.18) Bây ta chứng minh (4.19) (4.20) h | h | ánh xạ liên tục từ W vào 1 L (0, T;H (W)) ∩ C ([0, T]; L (W)) Vì h → | h | ánh xạ liên tục từ L2 (0, T;H10 (Ω)) vào nó, nên ta cần chứng minh a) | h | ∈ C0 ([0, T]; L2 (Ω)) b) Ánh xạ h → | h | liên tục từ W → C0 ([0, T]; L2 (Ω)) Thật ta có| | | (h (x, t) | - | (h (x, t ) | | ≤ | (h (x, t) – (h (x, t ) | Suy (h (t) - (h (t ) L2 ( Ω ) ≤ g (t) - g (t ) L2 ( Ω ) Vậy có trường hợp a (vì w ∈ C0 ([0, T]; L2 (Ω)) Với h , h ∈ W xét (h1 (t) - (h (t) L2 ( Ω ) ≤ h1 (t) - h (t) Do 53 L2 ( Ω ) h1 - h C ([0, T]; L2 ( Ω )) ≤ h1 - h C ([0, T]; L2 ( Ω )) ≤ C h1 - h w Từ ta có b Định lý 4.2 Giả sử (4.9), (4.10) thoả, Ω tập mở bị chặn, biên Cho f ∈ L2 (Q), tồn u thoả δu δ2 u δu , , ∈ L2 (Q), ∀ i, j δx i δx i δx j δt (4.21) u, (4.22) δu  u ≥ ψ, δt − ∆u + g − f ≥  (u − ψ )  δu − ∆u + g − f  = Q  δt     (4.23) u = ∑, u (0) = Chứng minh: Áp dụng định lý 4.1 Đặt n a(u, v) = ∑ ∫ i =1 Q dd u v dx dd xi xi Từ (2.24) (sau nhân vế với ρ) ta suy (4.29)  I − G(h)    u h + Au h + gu h − f, ρv − ρu h ) ≥ h   Ta xét v ρv = G(s) u h +G*(s) u h – G*(s) G(s) u h + (ρ - 1) u h = = ρ u h – (G*(s) - I) (G (s) - I) u h Vậy từ (4.29) ta suy (4.30)    I − G(h)  u h + Au h + gu h − f  ,(G(s) − I)u h ) ≤  (G * (s) − I)   h     Kết hợp (4.26) (4.30) ta A (G(s))u h − Au h ,G(s)u h − u h ) + (G(s)gu h − gu h ,G(s)u h − u h ) + (4.31)  I − G(h)    (G(s)u h − u h ),G(s)u h − u h ) ≤ (G(s)f − f,G(s)u h − u h ) h    I − G(h)  Ta có   (G(s)u h − u h ),G(s)u h − u h ) ≥ h   (do G(h) nửa nhóm co H ) 54 Từ (4.25) ta có A (G(s))u h − Au h ,G(s)u h − u h ) ≥ C G(s)u h − u h V Ngoài (G(s) gu h – gu h , G(s) u h - u h ) = ((G(s) – I)ρ u u h , (G(s) - I) u h )= ρ u ((G(s) – I) u h , (G(s) - I) u h )≥ ρ u > theo (4.27’) Vậy từ (4.31) ta suy C G(s)u h − gu h V ≤ (G(s)f − f,G(s)u h − u h ) Do G(s)u k − u k V ≤ G(s)f − f C V ' f ∈ D (Λ; V ‘) nên từ (4.32) ta G(s)u h − u h ≤ contant, ∀ h, s ≥ s Cho s → 0, suy u h ∈ D (Λ; V ) ||u h || V ≤ constant Nên u ∈ D (Λ; V ‘) Lưu ý: Ta làm yếu giả thiết (4.26), (4.27) kết luận định lý không thay đổi Thay (4.26) (4.34) ∀ v ∈ K , ∃ τ ≥ cho   ( A (G(s) v - G (s)) (Λ (v)), G (s) v - v) ≤ τ s G (s) v -v  ∀ s > V ' Và thay (4.27) (4.35) ∃ ρ > cho  G (s) v + G* (s) v - G* (s) G (s) v + (ρ - 1) v ∈ (ρ + θ (s))K ∀ v ∈ K , ∀ s ≥ 0, θ (s) ≤ Cs2  Áp dụng Ta quay trở lại mục 3.3.1 trường hợp Hilbert với A (t) = A không phụ thuộc vào t G (s) định nghĩa ϕ (t - s) nÕu t ≥ s G (s) ϕ (t) =  nÕu t < s 0 Thế ta có điều kiện (4.25) (4.26) Ta xét lại trường hợp thí dụ 3.1 (của mục 3) Ta thử lại (4.27) thoả mãn với ρ = tức là: 55 (4.36) G (s) v + G* (s) v – G* (s) G (s) v + v ∈ 2K = K (K nón đỉnh 0) Mà G (s) v ∈ K , G* (s) cho ϕ (t - s) nÕu t ≤ T - s G * (s) ϕ (t) =  nÕu t > T - s 0 Vì G* (s) v ∈ K v (t), t ∈ [s, T - s] G * (s) G (s) v (t) = nơi khác Do đó, v – G* (s) G (s) v ∈ K , suy (4.36) Định lý 4.4 Cho f ∈ L2 (Q) víi δf ∈ L2 (Q) vµ f (x, 0) = δt Khi đó, tồn u thoả mãn (4.37) δu δu δ2 u u, , , ∈ L2 (Q), ∀ i δx i δt δx i δt (4.38) δu + Au + gu = f, δt (4.39) u ≥ 0, (4.40) u (x, 0) = δu δu ≥ 0, u = trªn Σ δv A δv A 3.5 NHỮNG LƯU Ý KHÁC NHAU Lưu ý 1: Điều kiện ba đầu cho trước khác khơng Ta xét tốn (1.2) với u o ≠ Nếu u o ∈ K, ta đưa trường hợp “u o = 0” cách đặt u* = u – u o , ta đưa toán tương tự cho u* với u* (0) = Lưu ý tổng quát cho toán bất phương trình biến phân liên hệ đến tốn tử ϕ → δϕ / δt + (ϕ) + g(ϕ) V = LP (0, T; V) K = {v | v ∈ V, v (t) ∈ K h.k.n} K tập lồi đóng V Lưu ý 2: Chúng ta giả sử không gian vectơ R Trong trường hợp cá không gian vectơ C, ta thay bất phương trình biến phân, (thí dụ) 56 (A u + gu – f, v – u) ≥ 0, ∀ ∈ K Re (A u + gu – f, v – u) ≥ 0, ∀ ∈ K Lưu ý 3: Ta xét trường hợp sau thí dụ 3.3 mục với ψ = 0, cho (5.1) K = {v | v ∈ H o (Ω), v ≥ h.k.n Q} giả sử A (t) = A cưỡng độc lập t Vậy n (5.2) a (u, v) = ∑∫ i,j=1 Ω a ij (x) dd u v = dx (Au, v), u, v ∈ H1o (Ω) dd x j xi Với f ∈ L2 (0, T; H-1(Ω)) cho trước định nghĩa K ={v | v ∈ L2 (0, T; H o 1(Ω)), v (t) ∈ K h.k.n} Khi theo định lý 2.2 định lý 2.4 tồn u ∈ K cho: (5.3)  T [(v ', v - u) + a(u, v - u) + (gu, v - u) - (f, v - u)] dt ≥  ∫0  ∀ v ∈ K , v' ∈ L2 (0, T, H -1 (Ω)), v (0) = Ta so sánh u với lời giải phương trình biến phân Gọi Ω tập mở vào Ω, cho u Ω1 lời giải (5.4)  δu Ω1 + A u Ω1 + gu Ω1 = fΩ1   δt (f giới hạn ì (0, T), x Ω , t ∈ (0, T)) 1  u Ω1 ∈ L (0, T; H o (Ω)), u Ω1 (x, 0), x ∈ Ω1 Và đặt (5.5) u Q = u Ω1 , x ∈ Ω1 0, x ∈ Ω − Ω1 Định lý 5: Nếu u (theo thứ tự u Q1 ) cho (5.3) (theo thứ tự (5.4), (5.5)) ta có: (5.6) u ≥ u Q1 h.k.n Q = Ω × (0, T) Chứng minh Cho (f n ) dãy hàm cho fn ,fn ' ∈ L2 (0, T; H −1 (Ω)), fn (x, 0) =  −1 fn → f L (0, T; H (Ω)), n → ∞ 57 Cho u n u n,Q1 lời giải tương ứng u n (tương ứng u n,Q1 ) → u (tương ứng u Q1 ) L2 (0, T; H1o (Ω)) n → ∞ , ta có (5.6) ta chứng minh u n ≥ u n,Q1 Hệ cần chứng minh (5.6) với f thoả (5.7) f, f’ ∈ L2 (0, T; H-1 (Ω)), f (x, 0) = Nhưng ta áp dụng định lý 4.3 vào trường hợp (5.7) xảy lời giải u (5.3) thoả (5.8) u ∈ L2 (0, T; V), u' ∈ L2 (0, T; V), V = H1o (Ω), u (0) =  T  ∫ [(u ', v - u) + a (u, v - u) + (gu, v - u) - (f, v - u)]dt ≥ 0 ∀ v ∈ K Để đơn giản cách viết ta đặt: u Ω1 = u* Ta có (5.9)  T [(u ', v ) + a (u , v ) + (gu , v ) - (f, v )]dt = 0, ∀ v ∈ K  ∫0 * * * * * * * * *  ë K * = {ϕ : ϕ ∈ L2 (0, T; H1o (Ω)), ϕ = h.k.n ë ì (0, T)} Ta tin hnh nh phần 2.8- Chương Đặt w = sup (u, u * ), w* = inf (u, u * ); Ta lưu ý (5.10) w ∈ K , w* ∈ K *, w + w* = u + u * Lấy v = w (tương ứng v * = w * - u * ) (5.8) (tương ứng (5.9)) cộng lại, ta ∫ T ∫ T ∫ T [(u ' u* ', w u) + a ((u u* ),w u) + (g(u - u* ), w u)]dt ≥ Từ (5.11) 0 [(w '− u ', w − u) + a (w − u,w − u) + (g(w − u), w − u)]dt ≤ [(w '− u* ', w − u) + a (w − u* ,w − u) + (g(w − u* ), w − u)]dt Nếu ta đặt u – u * = ψ Thì vế thứ hai (5.11) là: ∫ T [((ψ + )', ψ − ) + a (ψ + , ψ − ) + (g ψ + , ψ − )]dt = Từ (5.11) ta suy ∫ T ∫ T Vì [a (w - u, w - u) + (g (w - u), w - u) ] dt ≥ [(w' - u', w - u)] dt ≥ Vậy w = u tức u * ≤ u Từ ta có (5.6) 58 59 KẾT LUẬN Thơng qua luận văn BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN ỨNG DỤNG, tác giả luận văn học tập phương pháp khác nghiên cứu tồn nghiệm, tồn nhất, ứng dụng chúng Phần luận văn vận dụng phương pháp cho dạng phương trình biến đổi (ở chương 3) Tôi mong thời gian tới học tập nhiều Thành phố Hồ Chí Minh Tháng 08 năm 1996 HUỲNH KIM LINH 60 61 ... xem xét ứng dụng (*) Tiếp theo xét tính biến phân xét bất phương trình với vi phân Cuối xét quy bất phương trình biến phân (**) xem xét dạng khác toán + Chương 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN PARABOLIC... cập đến hai loại bất phương trình biến phân là: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN ELLIPTIC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN PARABOLIC Luận văn chia làm chương: + Chương 1: CÁC KÍ HIỆU VÀ CÁC KHÁI NIỆM... CHƯƠNG 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN ELLIPTIC 2.1 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH VÀ BÀI TỐN MỞ ĐẦU 2.1.1 Dạng song tuyến tính Nhiều vấn đề quan trọng lý thuyết Bất phương trình biến phân sử dụng khái niệm