Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN LỜI GIỚI THIỆU Đổi phương pháp dạy học yêu cầu thiết trở thành phong trào rộng lớn toàn ngành Giáo dục Đào tạo Nhiệm vụ quan trọng rõ Nghị Hội nghị lần thứ hai Ban chấp hành Trung Ương Đảng (khoá VIII ): “ Đổi mạnh mẽ phương pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thói quen, nếp tư sáng tạo người học Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến phương pháp đại vào trình dạy học, đảm bảo điều kiện định hướng tự học, tự nghiên cứu cho học sinh ” Điều 28, Luật giáo dục 2005 qui định: “ Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Ở nước ta, năm gần phong trào đổi PPDH phát triển với tư tưởng chủ đạo phát biểu nhiều hình thức khác : “lấy người học làm trung tâm ”, “ phát huy tính tích cực ”, “ phương pháp dạy học tích cực ”, “ tích cực hố hoạt động học tập ”, “ hoạt động hố người học ” có nhiều cơng trình nghiên cứu tiêu biểu đổi phương pháp dạy học Tuy nhiên nghiên cứu việc vận dụng phương pháp dạy học tích cực vào chủ đề cụ thể chưa đề cập nhiều Giải tích bắt đầu khái niệm giới hạn Giới hạn sở, hàm số vật liệu để xây dựng khái niệm đạo hàm tích phân, nội dung bao trùm chương trình giải tích 11,12 THPT Mặc dù có vị trí quan trọng nói, song thực tiễn dạy học chủ đề cịn nhiều khó khăn: Đối với giáo viên, việc giúp học sinh chuyển từ tư “ hữu hạn, rời rạc ” đại số sang tư “ vơ hạn, liên tục ” giải tích, giúp học sinh hiểu nắm vững định nghĩa giới hạn cịn gặp nhiều khó khăn định, phía học sinh, chuyển biến chất nhận thức đòi hỏi phải suy nghĩ, vận dụng cách linh hoạt, sáng tạo qui tắc, định lý vào tốn cụ thể khó khăn cịn bộc lộ sai lầm giải toán Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh Như vây, việc sâu nghiên cứu vận dụng phương pháp dạy học theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh vào lĩnh vực cụ thể mơn tốn cần thiết, giúp người giáo viên nâng cao kiến thức kỹ nghề nghiệp, phù hợp với định hướng phương pháp dạy học tích cực chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn Với lí đây, tác giả chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: “ Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh ” 2.Tên sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập học sinh Tác giả sáng kiến - Họ tên: Phan Thị Dung - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Triệu Thái - Số điện thoại: 0386356614 E mail:phanthidung.gvtrieuthai@vinhphuc.edu.vn Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Phan Thị Dung Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Sáng kiến áp dụng với mơn tốn 11, đổi phương pháp nhằm nâng cao chất lượng môn học Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu : Tháng năm 2018 Mô tả chất sáng kiến 7.1 Về nội dung sáng kiến Ngoài mục lục, lời nói đầu, tài liệu tham khảo sáng kiến gồm chương: Chương Cơ sở lí luận Chương trình bày cách khái quát sở lí luận phương pháp dạy học theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh, sở cho chương sau Chương Vận dụng số biện pháp sư phạm dạy học chủ đề giới hạn theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh Với sở lí luận phương pháp dạy học theo hướng tích cực hố hoạt động học Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh tập học sinh, tác giả đưa biện pháp gợi vấn đề dạy học chủ đề giới hạn, đưa quy trình dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ vận dụng vào chủ đề giới hạn Chương Những sai lầm học sinh thường gặp giải toán giới hạn Chương tác giả đưa số sai lầm kiến thức, kĩ ví dụ sai lầm học sinh thường gặp giải tốn chủ đề giới hạn Các ví dụ trình bày theo hệ thống dạng vơ định, dạng đưa tập điển hình, phân tích sai lầm, rõ ngun nhân dẫn đến sai lầm cách khắc phục sai lẫm Đây chương tham khảo hữu ích cho việc giảng dạy giáo viên việc học tập chủ đề giới hạn học sinh Chương CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHUNG VỀ TÍNH TÍCH CỰC HỌC TẬP CỦA HỌC SINH 1.1.1 Khái niệm tính tích cực học tập học sinh Nói tính tích cực, theo Kharlamov tài liệu Phát huy tính tích cực học sinh nào: “ Tính tích cực trạng thái hoạt động chủ thể, nghĩa người hành động ” Tích cực tích cực hoạt động nhận thức trạng thái hoạt động đặc trưng khát vọng học tập, nỗ lực tự nguyện mặt trí tuệ với nghị lực cao q trình nắm vững tri thức Cịn nói nhận thức, biết, nhận thức phản ánh tranh tượng, kiện trình thực vào ý thức người Hình ảnh đối tượng thực xuất ý thức thông qua phản ánh có tính chất cải tạo, bao gồm sáng tạo Đó phản ánh giống hệt đối tượng thực tạo nên hình ảnh vật, tượng, trình chưa có giới khách quan cách tổng hợp, xây dựng từ hình ảnh phận khác vật, tượng, trình tồn thực Có thể nói đường nhận thức khoa học tức đường phát thuộc tính chất quy luật thực khách quan, trình phức tạp đa dạng Khoa học không nghiên cứu nằm bề mặt tri giác trực tiếp được, mà chủ yếu sâu vào thường ẩn náu sau biểu bề ngồi phát sức mạnh lí trí, tư tưởng Theo V.I Lênin: nhân thức “từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng từ tư trừu tượng đến thực tiễn đường biện chứng nhận thức chân lí, nhận thức thực tế khách quan” (V.I Lênin toàn tập, tập Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh 152 ) Hơn nữa, học tập lại trường hợp riêng hoạt động nhận thức, nhận thức làm cho dễ dàng thực đạo giáo viên Vì nhận thức nào, có học tâp q trình tích cực Nói tính tích cực nhận thức, có nhiều quan điểm khác Trong sáng kiến này, tác giả đồng tình với quan điểm I F Kharlamov “Tính tích cục nhận thức trạng thái hoạt động học sinh , đặc trưng khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ nghị lực cao trình nắm vững kiến thức” 1.1.2 Những biểu tính tích cực học sinh Tính tích cực thể tích cực bên tích cực bên ngồi - Tính tích cực bên tích cực tư Đây tư nhằm phát hiện, tìm hiểu giải vấn đề đặt kiến thức kĩ có - Tính tích cực bên ngồi thể hành động, ngơn ngữ Ta nêu dấu hiệu bề ngồi tích cực học tập sau: + Học sinh khao khát trả lời câu hỏi giáo viên, bổ sung câu trả lời bạn, thích phát phát biểu ý kiến vấn đề nêu + Học sinh hay nêu thắc mắc, địi hỏi giải thích cặn kẽ vấn đề giáo viên trình bày chưa đủ rõ + Học sinh chủ động vân dụng linh hoạt kiến thức, kĩ học để nhận thức vấn đề + Học sinh mong muốn đóng góp với thầy, với bạn thông tin lấy từ nguồn khác nhau, có vượt ngồi phạm vi học, mơn học, Ngồi biểu mà giáo viên dễ nhận thấy nói cịn có biểu mặt xúc cảm, khó nhận thấy thờ hay hào hứng, phớt lờ hay ngạc nhiên, hoan hỉ hay buồn chán trước nội dung học tìm lời giải thích cho tốn Những biểu khác học sinh, bộc lộ rõ học sinh lớp dưới, kín đáo lớp Tác giả cịn phân biệt tính tích cực mặt ý chí là: - Tập trung ý vào vấn đề học - Kiên trì làm cho xong tập - Khơng nản trước tình khó khăn - Thái độ phản ứng chuông báo hết học: tiếc rẻ, cố làm cho xong Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh vội vàng gấp chơi Ngồi ra, tính tích cực học tập cịn phân làm ba cấp độ biểu từ thấp đến cao: - Tính tích cực bắt chước, tái hiện: xuất tác động bên ngoài, người học làm theo mẫu, nhằm chuyển đối tượng từ bên vào theo chế độ nhập nội Loại phát triển mạnh học sinh tiểu học - Tính tích cực tìm tịi: liền với q trình lĩnh hội khái niệm, giải tình huống, tìm tịi phương thức hành động, với tham gia động cơ, nhu cầu, hứng thú ý chí - Tính tích cực sáng tạo: thể chủ thể nhận thức tự tìm tịi kiến thức mới, tự tìm phương thức hành động riêng, có cách thức giải mẻ, không dập khuôn, độc đáo Hiện nay, gắn liền với PPDH người ta thường dùng khái niệm: tư tích cực, tư độc lập, tư sáng tạo Đó mức độ tư khác mà mức độ tư trước tiền đề cho mức độ tư sau Có thể biểu diễn quan hệ dạng hình trịn đồng tâm sau: Tư tích cực Tư sáng tạo Tư độc lập Ta làm sáng tỏ mối quan hệ ví dụ sau: Một học sinh chăm nghe giáo viên giảng cách chứng minh định lý, cố gắng hiểu tài liệu Ở nói đến tư tích cực Nếu giáo viên giải thích lại yêu cầu học sinh tự phân tích định lý dựa theo sách giáo khoa, tự tìm hiểu cách chứng minh trường hợp nói đến tư độc lập (và tất nhiên tư tích cực ) Có thể nói đến tư sáng tạo học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng minh mà học sinh chưa biết Chỉ nói đến tư sáng tạo học sinh có tư tích cực tư độc lập Rèn luyện kỹ công tác độc lập cho học sinh để học sinh tự chiếm lĩnh Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh kiến thức cách hiệu họ hiểu kiến thức cách sâu sắc có ý thức Chủ thể sử dụng thơng tin xuất phát từ hành động thân tốt thơng tin từ kiện bên ngồi Vốn kiến thức thu nhận nhà trường sống sinh sôi nảy nở học sinh biết sử dụng cách độc lập, sáng tạo Tính độc lập thực học sinh biểu độc lập suy nghĩ, chỗ biết cách tổ chức cơng việc cách hợp lý trến sở quy trình giáo viên hướng dẫn MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC THEO HƯỚNG TÍCH CỰC HOÁ HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH THƯỜNG ĐƯỢC VẬN DỤNG TRONG DẠY TỐN PHỔ THƠNG Để lĩnh hội cách tích cực tri thức mà người khám phá để tạo tiềm làm giàu thêm tri thức không sử dụng tiềm to lớn PPDH Dạy học phát giải vấn đề dạy học hợp tác nhóm nhỏ số PPDH có tác dụng kích thích tính tích cực học tập học sinh 1.2.1 Dạy học phát giải vấn đề 1.2.1.1 Cơ a sở lý luận : Cơ sở triết học : Theo triết học vật biện chứng, mâu thuẫn động lực thúc đẩy trình phát triển Một vấn đề gợi cho học sinh học tập mâu thuẫn yêu cầu nhiệm vụ nhận thức với tri thức kinh nghiệm sẵn có Cơ sở tâm lý học b Theo nhà tâm lý học, người bắt đầu tư tích cực nảy sinh nhu cầu tư duy, tức đứng trước khó khăn nhận thức cần phải khắc phục, tình gợi vấn đề c Cơ sở giáo dục học Dạy học phát giải vấn đề phù hợp với nguyên tắc tính tự giác tích cực khêu gợi hoạt động học tập mà chủ thể hướng đích, gợi động trình phát giải vấn đề Nó biểu thống kiến tạo tri thức, phát triển lực trí tuệ bồi dưỡng phẩm chất 1.2.1.2 Những khái niệm dạy học phát giải vấn đề: a Vấn đề dạy học: Theo Nguyễn Bá Kim tài liệu phương pháp dạu học mơn tốn, Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh dạy học toán, vấn đề biểu thị hệ thống mệnh đề câu hỏi (hoặc yêu cầu hành động) thoả mãn yêu cầu sau: - Câu hỏi chưa giải đáp (yêu cầu hành động chưa thực hiện) - Chưa có phương pháp có tính chất thuật giải để giải đáp câu hỏi thực yêu cầu đặt Trong dạy học toán, câu hỏi yêu cầu hành động gọi tập Như vấn đề tập vấn đề không đồng nghĩa với tập Nếu tập yêu cầu học sinh trực tiếp vận dụng qui tắc có tính chất thuật giải khơng phải vấn đề Ví dụ: Sau học sinh biết phương pháp khử dạng vô định ∞ ∞ giáo viên cho x −1 x →∞ x + x lim học sinh làm tập: Tìm khơng phải vấn đề Nhưng ta đưa tập học sinh chưa biết phương pháp lại vấn đề Vấn đề mang tính chất tương đối: tập học sinh vấn đề, học sinh khác khơng vấn đề b Tình gợi vấn đề dạy học: Tình gợi vấn đề tình thoả mãn điều kiện sau: - Tình phải tồn vấn đề mà trình độ nhận thức, kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm sẵn có chưa giải được, gây khó khăn, nảy sinh mâu thuẫn thực tiễn trình độ nhận thức - Gợi nhu cầu nhận thức: Nghĩa tình đặt học sinh phải thấy cần thiết phải giải quyết, tốt tạo ngạc nhiên, hứng thú - Khơi dậy niềm tin khả thân: Tức tình đặt chưa giải học sinh có tri thức liên quan đến vấn đề tích cực suy nghĩ giải Ví dụ: Dạy học số hạng tổng quát cấp số cộng: Cho cấp số cộng mà ba số hạng đầu 1, 7, 13 Tìm số hạng số hạng thứ 4, 5, cấp số cộng Lời giải: Ta có: d =6 nên u4 = 13 + = 19 u5 = 19 + = 25 Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh u6 = 25 + = 31 Hãy tính u999 = ? u2003 = ? Khi học sinh khơng dễ dàng tính câu hỏi trước, lúc học sinh đặt vào tình gợi vấn đề Học sinh phải phân tích q trình có u , u3 , u , u , u u2 = = + = u1 + d u3 = 13 = + = u2 + d = u1 + d + d = u1 + 2d u4 = 19 = 13 + = u3 + d = u1 + 2d + d = u1 + 3d u5 = 25 = 19 + = u4 + d = u1 + 3d + d = u1 + 4d u6 = 31 = 25 + = u5 + d = u1 + 4d + d = u1 + 5d Từ có dự đốn un = u1 + ( n − 1) d un u1 Do nảy sinh vấn đề: tính số hạng cấp số cộng theo d khơng? Giải vấn đề học sinh đến định lý số hạng tổng quát u1 cấp số cộng có số hạng đầu cơng sai d c Dạy học phát giải vấn đề: Dạy học giải vấn đề bao gồm việc tạo trước học sinh tình có vấn đề, làm cho em ý thức được, thừa nhận giải tình trình hoạt động chung giáo viên học sinh, với tính tự lực cao học sinh đạo chung giáo viên Cũng tương tự V.Ơkơn tài liệu dạy học nêu vấn đề, viết: “ Dưới dạng chung dạy học nêu vấn đề tập hợp hoạt động tổ chức tình có vấn đề, giúp đỡ cần thiết cho học sinh việc giải vấn đề , kiểm tra phép giải cuối trình hệ thống hố cuối củng cố kiên thức tiếp thu ” Như dạy học phát giải vấn đề, thầy giáo tạo nhũng tình gọi vấn đề, điều khiển học sinh phát vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo để giải vấn đề thơng qua mà kiến Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh tạo tri thức, rèn luyện kỹ đạt mục đích học tập khác Do ta thấy hạt nhân việc điều kiển học sinh thực hoà nhập vào q trình nghiên cứu vấn đề Theo V.Ơkơn: “Nét quan trọng dạy học giải vấn đề việc đặt câu hỏi mà việc tạo tình có vấn đề • Đặc điểm: Dạy học phát giải vấn đề có đặc điểm sau: Học sinh đặt vào tình gợi vấn đề khơng phải thơng báo tri thức dạng có sẵn Học sinh hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo, tận lực huy động tri thức khả để phát giải vấn đề khơng phải nghe thầy nói cách thụ động Mục đích dạy học khơng phải làm cho học sinh lĩnh hội kết trình phát giải vấn đề mà chỗ làm cho học sinh phát triển khả tiến hành q trình Nói cách khác học sinh học thân việc học • Các cấp độ dạy học phát giải vấn đề: - Người học độc lập phát giải vấn đề: cấp độ tính độc lập người học phát huy cao độ Thầy giáo tạo tình gợi vấn đề, người học tự phát giải vấn đề - Người học hợp tác phát giải vấn đề: cấp độ tính độc lập người học phát huy cao độ trình phát giải vấn đề không diễn cách đơn lẻ mà có hợp tác người học - Thầy trò vấn đáp phát giải vấn đề: cấp độ người học sinh khơng hồn tồn độc lập phát giải vấn đề mà có gợi ý dẫn dắt thầy cần thiết - Giáo viên thuyết trình phát giải vấn đề: cấp độ mức độc lập học sinh thấp cấp độ khác, thầy giáo tạo tình gợi vấn đề sau thày phát trình bày q trình suy nghĩ giải vấn đề Trong dạy học phát giải vấn đề, học sinh phải trải qua khâu sau: + Quan sát nghiên cứu vật, tượng + Phát vấn đề + Nêu giả thuyết + Lập kế hoạch nghiên cứu + Thực kế hoạch + Phát biểu lời giải Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh + Kiểm tra lời giải + Rút kết luận thực tiễn vế khả cần thiết vận dụng tri thức thu vào thực tế • Các bước tiến hành dạy học phát giải vấn đề: Ta thấy hạt nhân cách dạy học việc điều khiển học sinh tự thực hồ nhập vào q trình nghiên cứu vấn đề Q trình chia thành bước sau: Bước 1: Phát thâm nhập vấn đề - Phát vấn đề từ tình gợi vấn đề thường thầy tạo ra.Có thể xuất phát từ thực tế từ nội tốn học liên tưởng đến cách tìm tịi dự đốn sau: Đáp ứng nhu cầu xoá bỏ hạn chế, hướng tới tiện lợi, hợp lý hố cơng việc, xác hố khái niệm, hướng tới hoàn chỉnh hệ thống, lật ngược vấn đề, xét tương tự, khái quát hố, tìm liên hệ phụ thuộc - Giải thích xác hố tình (khi cần thiết) để hiểu vấn đề đặt - Phát biểu vấn đề đặt mục tiêu giải vấn đề Bước 2: Tìm giải pháp Tìm cách giải vấn đề Việc thường thực theo sơ đồ sau: Bắt đầu Phân tích vấn đề Đề xuất thực hướng giải Hình thành giải pháp Giải Pháp Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái 10 Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh 3) Khi n tăng, điểm biểu diễn gần tới điểm ? 4) Em lập bảng tính |un| ? 5) Kể từ số hạng thứ trở đi, số hạng dãy cho có giá tri tuyệt đối nhỏ hơn: 1 1 , , , 50 75 500 1000000 ? Ở bước 2: Giáo viên phân nhóm làm từ đến câu hỏi Mỗi câu từ đến phút Sau gọi đại diện nhóm trình bày kết quả, ghi tóm tắt lên bảng ( dùng máy chiếu) - Đưa nhận xét: Như số hạng dãy số cho có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương tuý ý cho trước kể từ số hạng trở Ta nói dãy số dương tùy ý cho trước kể từ số hạng trở Ta nói dãy số  ( −1) n   n   ÷ ÷  có giới hạn - Đặt câu hỏi: Từ em định nghĩa dãy số có giới hạn Yêu cầu tất nhóm thực hiện, sau thảo luận, trao đổi, giáo viên nhận xét, bổ sung ý kiến chốt lại định nghĩa * Kết luận chương 2: Dựa vào mục tiêu nội dung, đặc điểm chương giới hạn, chương trình bày biện pháp gợi vấn đề dạy học chủ đề giới hạn Mỗi biên pháp có ví dụ minh hoạ cụ thể Xây dựng, củng cố kiến thức giới hạn cho học sinh thông qua dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ Trong mục này, đưa qui trình xây dựng, củng cố kiến thức cho học sinh thông qua dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ vận dụng qui trình để Xây dựng, củng cố vài đơn vị kiến thức giới hạn theo bước qua ví dụ minh hoạ cụ thể Chương NHỮNG SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TỐN GIỚI HẠN Trong q trình giải tốn học sinh khơng tránh khỏi thiếu sót sai lầm, người giáo viên cần phải phát kịp thời sai lầm học sinh, đồng thời áp dụng biện pháp để sửa chữa sai lầm Cơng việc dừng lại lực giải toán học sinh đủ sức để đánh giá Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái 35 Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh xác lời giải mình, nhiên điều khó khăn Sau số sai lầm học sinh thường gặp giải toán giới hạn 3.1 NHŨNG SAI LẦM VỂ KIẾN THỨC 3.1.1 Những sai lầm khái niệm, định lý Nguyên nhân: Do không nắm dấu hiệu chất khái niệm giới hạn dãy số ( lim un = ∞ lim f ( x ) = ∞ n →∞ x →a ) (hàm số ) nên gặp kí hiệu có học sinh cho dãy ∞ số un (hàm số f(x)) có giới hạn coi số nên áp dụng định lý phép tính giới hạn cách máy móc Để giúp học sinh tránh sai lầm này, dạy giới hạn dãy số ( hàm số) giáo viên phải nhấn mạnh dãy số ( hàm số) ∞ có giới hạn giới hạn số thực, cịn khơng phải số thực Nếu ( lim un = ∞ lim f ( x ) = ∞ n →∞ x →a ) dãy số un (hàm số f(x)) khơng có giới hạn Có học sinh cho hàm số f(x) liên tục Khi tính n   lim  + + + ÷ n →∞ n n n   x0 lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 , có học sinh làm sau: n  n  lim  + + + ÷ = lim + lim + + lim = + + + = n →∞ n n →∞ n n n  n →∞ n n →∞ n  Học sinh áp dụng định lý phép toán giới hạn hàm số cho tổng mà số hạng tăng lên vơ hạn Sai lầm xuất phát từ việc nắm khơng vững định lý nói trên: định lý áp dụng cho tổng hữu hạn số hạng Lời giải cho toán là: n ( n + 1) n  + + + n n +1  lim  + + + ÷ = lim = lim = lim = 2 n →∞ n n →∞ n →∞ n →∞ n n  n n 2n  lim f ( x ) = ∞ Có học sinh cho x→a lim g ( x ) = ∞ x→a lim ( f ( x ) + g ( x ) ) = lim f ( x ) + lim g ( x ) = ∞ + ∞ = ∞ x →a x→a x →a Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái 36 Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh lim Thực tế khơng hồn tồn Chẳng hạn x →0 2x −1 = ∞, lim =∞ x → x x  2x −1  lim  + ÷ = lim = ≠ ∞ x →0 x x  x →0  Nhưng Trong trình dạy học, giáo viên nên nhấn mạnh phạm vi áp dụng định lý phép tốn giới hạn hàm số Có học sinh hiểu sai, nhớ nhầm định lí, tính chất công thức nên áp dụng vào giải tập cách máy móc: Ví dụ: Tìm giới hạn sau: lim x →+∞ ( x2 − 2x + + x ) Một học sinh giải sau: lim x →+∞ ( x2 − x + + x ) (x = lim x →+∞ − 2x + 2) − x2 x2 − 2x + − x = lim x →+∞ x = lim =∞ x →+∞ 2 x − 2x + − x 1− + −1 x x −2 x + −2 + Học sinh sai khơng kiểm tra xem giới hạn cho có dạng không xem xét kỹ dấu biểu thức chứa mẫu sau nhân liên hợp mà áp dụng ln cách máy móc định lí giới hạn, phép nhân liên hợp để giải toán Lời giải đúng: Với ∀x ∈ R , ta ln có: x − x + + x〉 x lim x →+∞ ( nên ) x → +∞ ( ) x − x + + x → +∞ x − x + + x = +∞ Vậy 3.1.2 Các sai lầm suy luận Nguyên nhân sai lầm : Do học sinh suy luận không logic; khả diễn đạt, tímh tốn biến đổi nên dẫn đến sai lầm giải toán Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái 37 Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh f ( x) = Có học sinh cho a điểm gián đoạn hàm số điểm không xác định f ( x) ⇔ a x+3 ⇔a x − 3x + 2 là nghiệm phương trình x − x + = ⇔ a = 2, a = Tuy đáp số học sinh mắc sai lầm lập luận Hàm số f(x) không xác định a điều kiện đủ để f (x) gián đoạn a điều kiện cần đủ để f(x) gián đoạn a un = ( −1) n Có học sinh cho dãy số khơng tăng, khơng giảm nên theo định lý Weirstrass dãy số khơng có giới hạn Sai lầm không hiểu định lý Weirstrass Định lý điều kiện đủ điều kiện cần đủ để dãy số có giới hạn Để tránh sai lầm này, giáo viên phải nêu ví dụ dãy số có giới hạn khơng phải dãy số đơn điệu 3.2 NHỮNG SAI LẦM VỂ KĨ NĂNG x x lim ( + x ) = e Nhầm lẫn x →0 sin u ( x ) =1 u ( x ) →0 u ( x )  1 lim 1 + ÷ = e x →∞  x lim Nhầm lẫn Cho x −1 h ( x) = , x → 0, x → ∞ sin u ( x ) =1 u ( x )→∞ u ( x ) lim  1  lim ( x + x + 1) = lim x  + + ÷ = ∞ x →∞ x →∞  x x  g ( x) = x − 3x + (Áp dụng máy móc) tìm lim ( g ( x ) + h ( x ) ) x →1 Có học sinh giải sau: g ( x) + h ( x) = Vì 1 x −1 + = = x − x − 3x + ( x − 1) ( x − ) x − lim ( g ( x ) + h ( x ) ) = lim x →1 x →1 nên = −1 x−2 Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái 38 Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh Tuy kết học sinh sai lầm đồng Ở phải có điều kiện ∞ + ∞ , ± ∞, Coi ∞ , ∞ x −1 ( x − 1) ( x − ) với x−2 x ≠1 dạng vô định Một nguyên nhân sai lầm mà học sinh thường mắc phải học chủ đề giới hạn học sinh học cách thụ động Hình thức học chủ yếu ghi nhớ vận dụng cách máy móc, áp đặt, xem nhẹ việc học định nghĩa, định lí, rèn luyện kĩ mà ý đến việc giải tập Giáo viên chưa thực đổi phương pháp dạy học Hệ thống tập chưa xây dựng lựa chọn cách phù hợp Bên cạnh đó, việc phát triển khả tư linh hoạt, sáng tạo, giải vấn đề chưa quan tâm cách thính đáng Trong mơn Tốn, lí thuyết tảng kiến thức Thực tiễn dạy học toán cho thấy chất lượng kiến thức học sinh phụ thuộc vào việc nắm vững ý nghĩa đơn vị kiến thức lí thuyết Việc dạy học theo cách trình bày lí thuyết nhanh cho học sinh làm tập có sử dụng kiến thức tổng hợp dẫn đến việc kiến thức không sâu, học sinh gặp khó khăn giải tốn Do dạy chủ đề giới hạn, giáo viên phải làm cho học sinh nắm kiến thức lí thuyết cách hướng dẫn học sinh tự tìm kiến thức Đó tập bổ ích học sinh Học tốn có hai khâu học lí thuyết giải tập Hai khâu có mối quan hệ biện chứng với nhau: có nắm vững lí thuyết giải tập tốt; giải tập dịp tốt để cố, bổ sung, khắc sâu lí thuyết 3.3 MỘT VÀI VÍ DỤ THƯỜNG GẶP VỂ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN GIỚI HẠN 3.3.1 Giới hạn vơ định dạng I = lim Ví dụ 1: Tính giới hạn x →0 0 − cos x x Sai lầm thường gặp: − cos x sin 2 x sin x sin x I = lim = lim = lim = lim 2 = 2.1 = 2 x →0 x → x → x → x x x 2x Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái 39 Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh Nguyên nhân sai lầm Học sinh coi sin 2 x = sin x Lời giải lim− x →0 − cos x = lim− x →0 x ( = lim− −2 x →0 lim+ x →0 sin 2 x = lim− x →0 x ) sin2 x2 x = −2 − cos x = lim+ x →0 x = lim+ 2 x →0 sin x −2 sin x = lim− x →0 x 2x 2.1 = −2 (1) sin 2 x = lim+ x →0 x sin x = 2.1 = 2 2x sin x 2 sin x = lim+ x → x 2x (2) Từ (1) (2) suy giới hạn không tồn Chỉ tồn giới hạn trái, giới hạn phải I = lim x →0 Ví dụ 2: Tính giới hạn − − x2 x Sai lầm thường gặp: lim x →0 = lim x →0 ( 2− − − x2 = lim x →0 x x x + − x = lim x →0 − x2 ( ) ( 2+ x + − x2 + − x2 = 2+ = − x2 ) ) = lim x →0 − ( − x2 ) x + 4− x = Nguyên nhân sai lầm : Cách giải coi x2 = x Lời giải Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái 40 Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh lim x → 0+ = lim+ x →0 x x + − x = lim+ x →0 lim = lim− x x + − x − x2 ( x 2+ + − x2 (2− − − x2 = lim− x →0 x x →0 − x →0 ( 2− − − x2 = lim+ x →0 x = lim− x→ ) (2+ 4− x = 2+ 4 − x2 ( x 2+ −1 + − x2 = = − x2 ) ) = lim x →0 + − ( − x2 ) x + 4− x 2 (1) ) ( 2+ − x2 −1 2+ 4 − x2 ) =− ) = lim x →0 − − ( − x2 ) x + − x2 (2) Từ (1) (2) suy giới hạn không tồn Chỉ tồn giới hạn trái, phải Nhận xét: Khi giải toán cần ý đến phép bậc hai  f ( x ) f ( x) = f ( x) =   − f ( x ) 3.3.2 Giới hạn vơ định dạng khi Ví dụ 1: tính giới giạn f ( x) ≥ f ( x) < ∞ ∞ I = lim x →∞ 5x2 + 2x Sai lầm thường gặp: I = lim x →∞  5x2 +  1 5x2 + 1  = lim  5+ ÷ = = ÷ = lim  x →∞  ÷ x→∞  2x x x ÷    Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi từ x = x2 = không tương đương Lời giải Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái 41 = Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh I = lim x →+∞ I = lim x →−∞  5x +  1 5x2 + 1  = lim  5+ ÷ = 5= ÷ = lim  ÷ x →+∞  ÷ x →+∞  2x x x  2   (1)  5x2 +   5x2 + 1  = lim  − 5+ ÷ = − = − ÷ = lim  − x →−∞  ÷ x→−∞  2x x x ÷ 2    (2) Từ (1) (2) suy giới hạn không tồn Chỉ tồn giới hạn trái, phải I = lim x →∞ Ví dụ 2: Tính giới hạn 2x −1 x2 − x + Sai lầm thường gặp: lim x →∞ 2x −1 x − x +1 = lim x →∞ x− 2 1  x− ÷ + 2  lim x →∞ 1+ =2 1  4 x − ÷ 2  Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi từ x− 2 1  x− ÷ 2  thành khơng tương đương Lời giải đúng: lim x →+∞ lim x →−∞ 2x −1 x − x +1 2x −1 x2 − x + = lim x →+∞ = lim x →−∞ x− 2 1  x− ÷ + 2  x− 2 1  x− ÷ + 2  lim x →+∞ 1+ 1  4 x − ÷ 2  −1 lim x →−∞ =2 1+ Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái (1) = −2 1  4 x − ÷ 2  (2) 42 Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh Từ (1) (2) suy giới hạn không tồn Chỉ tồn giới hạn phải, trái 3.3.3 Giới hạn vơ định dạng I = lim x →∞ Ví dụ: Tính giới hạn ( ∞−∞ x2 +1 − x ) Sai lầm thường gặp: I == lim x →∞ ) ( x + − x = lim ( x + − x)( x + + x ) x +1 + x x →∞ = lim x →∞ x +1 + x =0 Nguyên nhân sai lầm Cách giải không xét giới hạn riêng: x → +∞; x → −∞ Lời giải đúng: I == lim x →+∞ Khi ( ) ( x + − x)( x + + x ) x + − x = lim x → −∞ x +1 + x x →+∞ − x → +∞ = lim x →+∞ I = lim nên x →−∞ ( ) x +1 + x =0 (1) x + − x = +∞ (2) Từ (1) (2) suy không tồn giới hạn mà tồn giới hạn trái, phải 3.3.4 Sai lầm xét tính liên tục hàm số điểm Ví dụ 1: Xét tính liên tục hàm số: 0, x <  f ( x) =  x , ≤ x < − x − x + 1, x ≥  ¡ Sai lầm thường gặp: Ta thấy rằng: Với Với ∀x ∈ ( −∞; ) ∀x ∈ [ 0;1) thì f ( x) = f ( x) = x2 Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái 43 Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh Với ∀x ∈ [ 1; +∞ ) f ( x) = − x − x + f ( x) Tức khoảnh, nửa khoảng trên, đa thức hữu tỷ nên liên tục khoảng nửa khoảng Ta lại có: ( −∞;0 ) ∪ [ 0;1) ∪ [ 1; +∞ ) Kết luận: f ( x) liên tục ∀x ∈ ( −∞; +∞ ) Nguyên nhân sai lầm: Lời giải coi hàm số gồm nhiều biểu thức ( hàm đặc biệt) hàm số có biểu thức ( hàm thơng thường) Từ vận dụng định lí: “ hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác liên tục tập xác định nó” Chính khơng xét tính liên tục điểm phân tách x = x = 1, dẫn đến kết luận sai lầm Lời giải đúng: + Xét tính liên tục f ( x) x = lim f ( x) = lim− = x → 0− x →0 lim f ( x) = lim+ x = x → 0+ x→0 lim f ( x) = lim+ f ( x ) = x → 0− Suy x →0 f ( x) liên tục x = + Xét tính liên tục f ( x) x = lim− f ( x) = lim− x = x →1 x →1 lim+ f ( x) = lim+ ( − x − x + 1) = −2 x →1 x →1 lim− f ( x) ≠ lim+ f ( x) x →1 x →1 f ( x) Suy gián đoạn x = Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái 44 Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh Vậy hàm số f ( x) liên tục ∀x ∈ ( −∞; +∞ ) \ { 1} Chú ý: Khi xét tính liên tục khoảng hàm số cho nhiều biểu thức cần ý xét tính liên tục điểm phân tách 7.2 Khả áp dụng sáng kiến - Sáng kiến đưa vận dụng số biện pháp sư phạm dạy học chủ đề giới hạn theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập học sinh Các biện pháp góp phần trợ giúp giáo viên trình giảng dạy theo phương pháp Với biện pháp tác giả sử dụng ví dụ cụ thể chọn lọc để minh họa giúp người đọc hiểu rõ dễ dàng vận dụng , cung cấp cho học sinh phương pháp học dễ nhớ để áp dụng với tập liên quan - Bên cạnh tơi cịn hi vọng sáng kiến hữu ích bạn bè đồng nghiệp muốn giao lưu học hỏi, trau dồi kinh nghiệm Những thông tin cần bảo mật: không Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Để áp dụng phương pháp đổi cách hiệu quả, đòi hỏi số điều kiện cần thiết sau: - Phịng học mơn đảm bảo sở vật chất Máy chiếu, máy tính xách tay,… - Giáo viên: Ngồi kiến thức chun mơn, kỹ tay nghề giáo viên phải có trình độ xác định mục tiêu dạy, phân bố thời gian hợp lý, chọn lựa phương pháp dạy học phù hợp, khả bao quát điều hành hoạt động người học Giáo viên cần tìm tịi sáng tạo áp dụng linh hoạt phương pháp dạy học tích cực hóa hoạt động học sinh - Học sinh: Học sinh phải chủ động, tích cực, độc lập, có tinh thần hợp tác nhóm - Thời gian: tháng - Đối tượng: học sinh lớp 11A1, 11A6 10 Đánh giá lợi ích thu 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Với nội dung nghiên cứu đưa vào áp dụng cụ thể sáng kiến kinh nghiệm trên, thân nhận thấy lợi ích áp dụng sáng kiến sau: Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái 45 Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh a Về phía học sinh : - Học sinh dành thời gian cho việc học tập hơn, chủ động với học tránh tình trạng lĩnh hội kiến thức cách thụ động - Tạo cho học sinh tính nhạy bén, động, sáng tạo hứng thú với học mơn tốn - Tăng khả làm việc theo nhóm, biết nêu ý kiến cá nhân b Về phía giáo viên : - Thúc đẩy giáo viên đầu tư nhiều công tác chuẩn bị, thiết kế giáo án cho phù hợp với tinh thần đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động học sinh, lấy học sinh làm trung tâm - Làm tốt công tác đầu tư cho tiết dạy giúp giáo viên chủ động, linh hoạt khâu tổ chức, hướng dẫn học sinh tự khai thác chiếm lĩnh kiến thức phương pháp dạy học tích cực Tránh tình trạng lúng túng áp dụng phương pháp dạy học tích cực vào tiết dạy Kết cụ thể Các lớp không áp dụng sáng kiến có tỉ lệ học sinh đạt điểm trung bình trở lên thấp với lớp áp dụng + Lớp không áp dụng Kết khảo sát ban đầu: Lớp 11A6: 49,3% + Lớp áp dụng Kết khảo sát sau thực nghiệm: Lớp 11A6: 61,1% - Tăng 11,8 % Kết khảo sát ban đầu: Kết khảo sát sau thực nghiệm: Lớp 11A1: 58,5% Lớp 11a1: 79,1% - Tăng 20,6 % 10.2 Đánh giá lợi ích thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân: Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng với chủ đề giới hạn mơn tốn khối 11, giúp học sinh hứng thú với học kết học tập cao rõ rệt 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái 46 Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập học sinh Số TT Tên tổ chức/cá nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực Lớp 11A1 Học sinh trường THPT Triệu Thái áp dụng sáng kiến - Phạm vi: Mơn tốn lớp 11- chủ đề giới hạn Trên kết nghiên cứu thực nghiệm bước đầu đề tài sáng kiến kinh nghiệm “ Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh ” góp phần nâng cao chất lượng học chủ đề giới hạn mơn tốn lớp 11 theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập học sinh trường THPT Rất mong nhận ý kiến nhận xét, đánh giá đóng góp Hội đồng Sáng kiến nhà trường, Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc đồng nghiệp để đề tài bước hồn chỉnh áp dụng có hiệu Tôi xin chân thành cảm ơn ! Lập Thạch, ngày 20 tháng 01 năm 2019 Lập Thạch., ngày 20 tháng 01 năm 2019 Thủ trưởng đơn vị Tác giả sáng kiến Phan Thị Dung Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái 47 Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Quang Ánh, Lê Quý Mậu Phương pháp giải toán Đại số giải tích 11 NXB ĐHQG Hà Nội Đậu Thế Cấp, Nguyễn Văn Quý, Nguyễn Hoàng Khanh Tuyển tập 400 tập tốn 11, đại số giải tích NXB ĐHQG Thành phố HCM Nguyễn Bá Kim Phương pháp dạy học mơn tốn NXB ĐHSP Hà Nội Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải Toán bồi dưỡng học sinh lớp 11 NXB Hà Nội Đặng Văn Hương Một số phương pháp dạy học mơn Tốn theo hướng phát huy tích cực học tập học sinh THCS ĐHSP Lê Bích Ngọc Học ơn tập Tốn Đại số giải tích 11 NXB ĐHQG Hà Nội Kharlamov I.F Phát huy tính tích cực học tập học sinh nào, tập II, NXBGD, Hà Nội Lemer I.IA Dạy học nêu vấn đề (Phạm Tất Đắc dịch) NXBGD, Hà Nội Ôkôn V Những sở dạy học nêu vấn đề, NXBGD, Hà Nội Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái 48 Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh 10 Trần Phương, Nguyễn Đức trí Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán, NXB Hà Nội 11 Áp dụng dạy học tích cực mơn toán học Tài liệu tham khảo dùng cho giảng viên sư phạm, giáo viên THCS, giáo viên tiểu học môn Toán 12 Đảng Cộng sản Việt Nam Văn kiện hội nghị lần thứ hai Ban chấp hành Trung ương Đảng khóa VIII NXB Chính trị Quốc gia Hà Nội 13 Đại số giải tích 11 nâng cao NXBGD 14 Đại số giải tích 11 bản, NXBGD 15 Bài tập Đại số giải tích 11 nâng cao, NXBGD 16 Bài tập Đại số giải tích 11 bản, NXBGD 17 Đại số giải tích 11 nâng cao sách giáo viên, NXBGD 18 Đại số giải tích 11 sách giáo viên, NXBGD 19 Luật giáo dục NXB Chính trị quốc gia Hà Nội Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái 49 ... Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh a Về phía học sinh : - Học sinh dành thời gian cho việc học tập hơn, chủ động với học. .. dạy học theo hướng tích cực hố hoạt động học Phan Thị Dung – GV Trường THPT Triệu Thái Sáng kiến: Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thơng theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học. .. lớp 11- chủ đề giới hạn Trên kết nghiên cứu thực nghiệm bước đầu đề tài sáng kiến kinh nghiệm “ Dạy học chủ đề giới hạn lớp 11 trung học phổ thông theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh