Chương : Điều khiển tối ưu Chương ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU Vài nét lịch sử phát triển lý thuyết điều khiển - Phương pháp biến phân cổ điển Euler_Lagrange 1766 - Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov 1892 - Trí tuệ nhân tạo 1950 - Hệ thống điều khiển máy bay siêu nhẹ 1955 - Nguyên lý cực tiểu Pontryagin 1956 - Phương pháp quy hoạch động Belman 1957 - Điều khiển tối ưu tuyến tính dạng tồn phương LQR ( LQR : Linear Quadratic Regulator ) - Điều khiển kép Feldbaum 1960 - Thuật toán di truyền 1960 - Nhận dạng hệ thống 1965 - Logic mờ 1965 - Luật điều khiển hệ thống thích nghi mơ hình tham chiếu MRAS tự chỉnh định STR 1970 ( MRAS : Model-Reference Adaptive System , STR : Self-Tuning Regulator ) - Hệ tự học Tsypkin 1971 - Sản phẩm công nghiệp 1982 - Lý thuyết bền vững 1985 - Cơng nghệ tính tốn mềm điều khiển tích hợp 1985 Trang Chương : Điều khiển tối ưu 1.1 CHẤT LƯỢNG TỐI ƯU 1.1.1 Đặc điểm toán tối ưu Khái niệm Một hệ điều khiển thiết kế chế độ làm việc tốt hệ trạng thái tối ưu theo tiêu chuẩn chất lượng ( đạt giá trị cực trị ) Trạng thái tối ưu có đạt hay không tùy thuộc vào yêu cầu chất lượng đặt , vào hiểu biết đối tượng tác động lên đối tượng , vào điều kiện làm việc hệ điều khiển … Một số ký hiệu sử dụng chương Hình 1.1: Sơ đồ hệ thống điều khiển Hệ thống điều khiển hình bao gồm phần tử chủ yếu : đối tượng điều khiển ( ĐTĐK ) , cấu điều khiển ( CCĐK ) vòng hồi tiếp ( K ) Với ký hiệu : x0 : tín hiệu đầu vào u : tín hiệu điều khiển x : tín hiệu đầu ε = x0 – x : tín hiệu sai lệch f : tín hiệu nhiễu Chỉ tiêu chất lượng J hệ thống đánh giá theo sai lệch đại lượng điều khiển x so với trị số mong muốn x0 , lượng điều khiển ( trị số cực đại xmax so với trị số xác lập x ( ∞ ) tính theo phần trăm ) , thời gian độ … hay theo tiêu hỗn hợp điều kiện làm việc định hạn chế công suất , tốc độ , gia tốc … Do việc chọn luật điều khiển cấu điều khiển để đạt chế độ làm việc tối ưu cịn tùy thuộc vào lượng thơng tin ban đầu mà ta có Ở thấy khác biệt chất lượng tối ưu lượng thông tin ban đầu thay đổi ( Hình 1.2 ) Trang Chương : Điều khiển tối ưu Hình 1.2 : Tối ưu cục tối ưu toàn cục Khi tín hiệu điều khiển u giới hạn miền [u1,u2] , ta có giá trị tối ưu ∗ ∗ cực đại J1 tiêu chất lượng J ứng với tín hiệu điều khiển u1 Khi tín hiệu điều khiển u không bị ràng buộc điều kiện u1 ≤ u ≤ u2 , ta có ∗ ∗ ∗ giá trị tối ưu J > J1 ứng với u2 Như giá trị tối ưu thực bây ∗ J Tổng quát , ta xét toán miền [ um , un ] tìm ∗ giá trị tối ưu J i giá trị tối ưu cục Nhưng tốn khơng có điều kiện ràng buộc u giá trị tối ưu J ∗ = extremum( J i∗ ) với J i∗ giá trị tối ưu cục , giá trị J ∗ giá trị tối ưu tồn cục Điều kiện tồn cực trị : • Đạo hàm bậc J theo u phải : ∂J =0 ∂u • Xét giá trị đạo hàm bậc hai J theo u điểm cực trị : ∂2J > : điểm cực trị cực tiểu ∂u ∂2J < : điểm cực trị cực đại ∂u Trang Chương : Điều khiển tối ưu Điều kiện thành lập toán tối ưu Để thành lập tốn tối ưu u cầu hệ thống phải có đặc tính phi tuyến có cực trị Bước quan trọng việc thành lập hệ tối ưu xác định tiêu chất lượng J Nhiệm vụ bảo đảm cực trị tiêu chất lượng J Ví dụ xây dựng hệ tối ưu tác động nhanh yêu cầu hệ nhanh chóng chuyển từ trạng thái sang trạng thái khác với thời gian độ nhỏ , nghĩa cực tiểu hóa thời gian độ Hay tính tốn động tên lửa tiêu chất lượng vượt khoảng cách lớn với lượng nhiên liệu cho Chỉ tiêu chất lượng J phụ thuộc vào tín hiệu x(t) , tín hiệu điều khiển u(t) thời gian t Bài toán điều khiển tối ưu xác định tín hiệu điều khiển u(t) làm cho tiêu chất lượng J đạt cực trị với điều kiện hạn chế định u x Chỉ tiêu chất lượng J thường có dạng sau : T J = ∫ L[ x (t ), u (t ), t ]dt Trong L phiếm hàm tín hiệu x , tín hiệu điều khiển u thời gian t Lấy ví dụ tốn điều khiển động điện chiều kích từ độc lập Φ kt = const với tín hiệu điều khiển u dòng điện phần ứng iu tín hiệu x góc quay ϕ trục động Hình 1.3 : Động điện chiều kích từ độc lập Ta có phương trình cân moment động : Trang Chương : Điều khiển tối ưu k M iu − M c = M q ω= dω dt dϕ dt (1) (2) k M = CM Φ = const ; Mq moment quán tính ; ω tốc độ góc ; ϕ góc quay Giả sử bỏ qua phụ tải trục động ( M c = ) : k M iu = M q d 2ϕ dt (3) Nếu xét theo thời gian tương đối cách đặt : τ = t kM / M q (3) có dạng : d 2ϕ = iu dτ (4) d 2x =u dτ (5) Từ ta có : Vậy phương trình trạng thái động điện phương trình vi phân cấp hai • Bài tốn tối ưu tác động nhanh ( thời gian tối thiểu ) : Tìm luật điều khiển u(t) với điều kiện hạn chế u ≤ để động quay từ vị trí ban đầu có góc quay tốc độ đến vị trí cuối có góc quay ϕ0 tốc độ với khoảng thời gian ngắn Vì cần thời gian ngắn nên tiêu chất lượng J : T J = ∫ L[ x(t ), u (t ), t ]dt = T Rõ ràng từ phương trình ta phải có L[ x (t ), u (t ), t ] = Như , tốn tối ưu tác động nhanh tiêu chất lượng J có dạng : T J = ∫1dt = T Trang Chương : Điều khiển tối ưu • Bài tốn suất tối ưu : Năng suất xác định góc quay lớn động thời gian T định Khi tiêu chất lượng J có dạng : T T 0 & J = ∫ L[ x(t ), u (t ), t ]dt = ϕT − ϕ0 = ∫ ϕ (t )dt & & Do L[ x (t ), u (t ), t ] = ϕ (t ) = x(t ) ta có tiêu chất lượng J toán suất tối ưu sau : T & J = ∫ x ( t ) dt • Bài toán lượng tối thiểu : Tổn hao lượng hệ thống : T Q = ∫ U u iu dt Dựa vào phương trình cân điện áp : U u = iu Ru + keω phương trình cân moment : k M iu − M c = M q dω dt Ta tính : T Q = ∫ U u iu dt = T ke M c (ϕT − ϕ0 ) + ∫ Ru iu2 dt kM Để có tiêu hao lượng tối thiểu , ta cần tìm cực tiểu J : T T 0 J = ∫ L[ x(t ), u (t ), t ]dt = ∫ iu2 dt Mà dòng điện phần ứng iu tín hiệu điều khiển u Vì tiêu chất lượng J tốn lượng tối thiểu có dạng : T J = ∫ u (t )dt Trang 10 Chương : Điều khiển tối ưu Tối ưu hoá tĩnh động Chúng ta cần phân biệt hai dạng toán tối ưu hoá tĩnh tối ưu hóa động Tối ưu hóa tĩnh tốn khơng phụ thuộc vào thời gian Cịn tối ưu hóa động thời gian biến mà cần phải xem xét đến 1.1.2 Xây dụng toán tối ưu Tối ưu hóa khơng có điều kiện ràng buộc Một hàm tiêu chất lượng vô hướng L( u ) = cho trước hàm vector điều khiển hay vector định u ∈ R m Chúng ta cần chọn giá trị u cho L(u) đạt giá trị nhỏ Để giải toán tối ưu , ta viết chuỗi Taylor mở rộng cho độ biến thiên L(u) sau : dL = LT du + u T du Luu du + O(3) (1.1) Với O(3) coi số hạng thứ Grad L theo u vector m cột : Lu ∆  ∂L / ∂u1    ∂L  ∂L / ∂u  =   ∂u    ∂L / ∂u m  (1.2) đạo hàm cấp L theo u ma trận m x m ( gọi ma trận Hessian ) : Luu ∆ ∂2 L  ∂2 L = ∂u  ∂u i ∂u j      (1.3) Luu gọi ma trận uốn Một điểm cực trị điểm dừng xuất biến thiên dL với thành phần thứ tiến với biến thiên du trình điều khiển Vì , để có điểm cực trị : Lu = (1.4) Giả sử điểm cực trị , có Lu = (1.4) Để điểm cực trị trở thành điểm cực tiểu , cần có : Trang 11 Chương : Điều khiển tối ưu dL = T du Luu du + O (3) (1.5) xác định dương với biến thiên du Điều đảm bảo ma trận uốn Luu xác định dương : Luu > (1.6) Nếu Luu xác định âm điểm cực trị điểm cực đại ; cịn Luu khơng xác định điểm cực trị điểm yên ngựa Nếu Luu bán xác định xét đến thành phần bậc cao (1.1) để xác định loại điểm cực trị Nhắc lại : Luu xác định dương ( âm ) giá trị riêng dương ( âm ) , khơng xác định giá trị riêng vừa có dương vừa có âm khác , bán xác định tồn giá trị riêng Vì Luu = , thành phần thứ hai khơng hồn tồn loại điểm cực trị Tối ưu hóa với điều kiện ràng buộc Cho hàm tiêu chất lượng vô hướng L( x, u ) , với vector điều khiển u ∈ R m vector trạng thái x ∈ R n Bài toán đưa chọn u cho hàm tiêu chất lượng L(x,u) đạt giá trị nhỏ thỏa mãn đồng thời phương trình điều kiện ràng buộc f ( x, u ) = (1.7) Vector trạng thái x xác định từ giá trị u cho trước mối quan hệ (1.7) , f hệ gồm n phương trình vơ hướng , f ∈ R n Để tìm điều kiện cần đủ giá trị cực tiểu , đồng thời thỏa mãn f ( x, u ) = , ta cần làm xác phần trước Đầu tiên ta khai triển dL dạng chuỗi Taylor , sau xác định số hạng thứ thứ hai Thừa số Lagrange hàm Hamilton Tại điểm cực trị , dL với giá trị thứ với biến thiên du df Như cần có: dL = LT du + LT dx = u x (1.8) df = f u du + f x dx = (1.9) và: Trang 12 Chương : Điều khiển tối ưu Từ (1.7) ta xác định x từ giá trị u có, độ biến thiên dx xác định (1.9) từ giá trị biến thiên du có Như , ma trận Jacobi fx không kỳ dị : dx = − f x−1 f u du (1.10) dL = ( LT − LT f x−1 f u )du u x (1.11) Thay dx vào (1.8) ta : Đạo hàm riêng L theo u chứa số f cho phương trình : ∂L ∂u ( = LT − LT f x−1 f u u x df =0 ) T = Lu − f uT f x−T L x (1.12) với f x−T = ( f x−1 ) Lưu ý : T ∂ L ∂ u = Lu dx = (1.13) Để thành phần thứ dL không với giá trị du tùy ý df = , ta cần có : Lu − f uT f x−T L x = (1.14) Đây điều kiện cần để có giá trị cực tiểu Trước tìm điều kiện đủ , xem xét thêm vài phương pháp để có (1.14) Viết (1.8) (1.9) dạng:  dL   LT x  df  =     fx LT   dx  u   = f u   du  (1.15) Hệ phương trình tuyến tính xác định điểm dừng , phải có kết T [dx T du T ] Điều xảy ma trận hệ số ( n +1) × ( n + m ) có hạng nhỏ n+1 Có nghĩa hàng ma trận tuyến tính với để tồn vector λ có n số hạng sau: [ ]  LT λ  x  fx T LT  u =0 fu  (1.16) Hay: LT + λT f x = x (1.17) LT + λT f u = u (1.18) Giải (1.17) ta λ : Trang 13 Chương : Điều khiển tối ưu λT = −LT f x−1 x (1.19) thay vào (1.18) để có (1.14) Vector λ ∈ R n gọi thừa số Lagrange , cơng cụ hữu ích cho sau Để hiểu thêm ý nghĩa thừa số Lagrange ta xét du = , từ (1.8) (1.9) ta khử dx để : dL = LT f x−1 df x (1.20) Vì vậy: ∂ L ∂ f = ( LT f x−1 ) x T =− λ du =0 (1.21) Do -λ đạo hàm riêng L với biến điều khiển u số Điều nói lên tác dụng hàm tiêu chất lượng với biến điều khiển không đổi điều kiện thay đổi Như cách thứ ba để tìm (1.14) , ta phát triển thêm để sử dụng cho phân tích phần sau Kết hợp điều kiện hàm tiêu chất lượng để tìm hàm Hamilton H ( x, u , λ ) = L( x, u ) + λT f ( x, u ) (1.22) Với λ ∈ R n thừa số Lagrange chưa xác định Muốn chọn x , u , λ để có điểm dừng , ta tiến hành bước sau Độ biến thiên H theo độ biến thiên x , u , λ viết sau : T T T dH = H x dx + H u du + H λ dλ (1.23) Lưu ý : Hλ = ∂H = f ( x, u ) ∂λ (1.24) Giả sử chọn giá trị u thỏa mãn : Hλ = (1.25) Sau ta xác định x với giá trị u có phương trình điều kiện ràng buộc f ( x, u ) = Trong trường hợp hàm Hamilton tương đương với hàm tiêu chất lượng: H f= =L (1.26) Nhắc lại : f = , ta tìm dx theo du từ (1.10) Ta không nên xét mối quan hệ du dx để thuận tiện việc chọn λ cho : Trang 14 Chương : Điều khiển tối ưu  T1   K1 A T  =  K C  2  K1 B   e1 + EK1 − x2 ( K1 + 1)    K D  e2 + FK − x4 ( K + 1)   −1 Tín hiệu điều khiển T tính tốn chương trình Giai_PT.m Chương trình : Thơng số đầu vào cho hệ thống (file thongso.m) : global m1 m2 L1 L2 a1 a2 I1 I2 m1 = 3.6745; m2= 1.0184; L1= 0.6519 ; L2= 0.6019; a1= 0.3365 ; a2= 0.2606; I1= 0.370 ; I2= 0.081; Chương trình tìm tín hiệu điều khiển (file Giai_PT.m) : function [C]= Giai_PT (theta1, theta2, theta1_dot, theta2_dot, e1, e2) % Nhap thong so cho canh tay m1 = 3.6745; m2 = 1.0184; L1 = 0.6519; L2 = 0.6019; a1 = 0.3365; a2 = 0.2606; I1 = 0.370; I2 = 0.081; K1 = 0.5; K2 = 0.8; m11 = m1*a1*a1+m2*(L1*L1+2*L1*a2*cos(theta2)+a2*a2)+I1+I2; m12 = m2*a2*(a2+L1*cos(theta2))+I2; m22 = m2*a2*a2+I2; n1 = Trang 77 Chương : Điều khiển tối ưu -m2*L1*a2*sin(theta2)*(2*theta1_dot*theta2_dot+theta2_dot*theta2_dot); n2 = m2*L1*a2*sin(theta2)*theta1_dot*theta1_dot; A = [m11 m12; m12 m22]; B = [n1; n2]; A = inv(A); B = A*B; A = [K1*A(1,1) K1*A(1,2); K2*A(2,1) K2*A(2,2)]; B = [e1+B(1,1)*K1-theta1_dot*(K1+1); e2+B(2,1)*K2-theta2_dot*(K2+1)]; C = inv(A)*B; u1 = C(1,1); u2 = C(2,1); Kết mơ : Vị trí đặt thay đổi theo hàm xung với θ1 Trang 78 Chương : Điều khiển tối ưu Vị trí đặt thay đổi theo hàm xung với θ2 Trang 79 Chương : Điều khiển tối ưu 1.4.3 Hệ thống tác động nhanh Xét ví dụ điều khiển Bang-bang (ví dụ 1.12) Trang 80 Chương : Điều khiển tối ưu Với điều kiện đầu y (0) = 10 , v(0) = 10 vẽ quỹ đạo trạng thái tối ưu chương trình ex1.12 Chương trình : function [x,u,t] = ex1.12 a = [0 1;0 0]; b = [0;1]; x0 = [10 10]; T = 0.025; N = 1200; x(:,1) = x0; eps = 1e-4; t=0:T:T*N; for k = 1:N sw = x(1,k) + 0.5 * x(2,k) * abs( x(2,k) ); if ( abs(sw) < eps ) if ( x(1,k) > ) u(k) = 1; end if ( x(1,k) < ) u(k) = -1; end else if ( sw > ) u(k) = -1; end if ( sw < ) u(k) = 1; end end if ( x(1,k)^2 + x(2,k)^2 < eps ) u(k) = 0; end y = lsim(a,b,eye(2),zeros(2,1),u(k)*ones(1,2),[(k-1)*T, k*T],x(:,k)); x(:,k+1)=y(2,:)'; end Trang 81 Chương : Điều khiển tối ưu Quỹ đạo trạng thái tối ưu 1.4.4 LQR liên tục rời rạc Hệ liên tục Xét hệ vô hướng : & x = ax + bu với tiêu chất lượng : T 1 J = s (T ) x (T ) + ∫ qx + ru dt 2 t0 ( ) Với a = 0.05 , b = r =1 , x(0) = 10 , ta sử dụng chương trình ex fex để vẽ quỹ đạo tối ưu ứng với giá trị q = 0.01 , 0.1 , , 10 , 100 Chương trình : function [x,u,S,tf] = ex x0 = 10; a = 05; b = 1; r = 1; Trang 82 Chương : Điều khiển tối ưu [tb,S] = ode45('fex',-10,0,0); K = -b * flipud(S) / r; tf = flipud(-tb); x(1) = x0; u(1) = K(1) * x(1); for k = : length(tf)-1 x(k+1) = expm( (a + b * K(k) ) * ( tf(k+1) - tf(k) ) ) * x(k); u(k+1) = K(k+1) * x(k+1); end function sd = fex(t,s) q = 1; a = 05; b = 1; r = 1; sd = * a * s(1) - ( b^2 * s(1)^2 ) / r + q; Quỹ đạo trạng thái x(t) Trang 83 Chương : Điều khiển tối ưu Tín hiệu điều khiển tối ưu u(t) Lời giải phương trình Riccati s(t) Trang 84 Chương : Điều khiển tối ưu Hệ rời rạc Xét hệ vô hướng : xk +1 = axk + buk với tiêu chất lượng : Ji = 1 N −1 sN xN + ∑ qxk2 + ruk2 2 k =i ( ) a = 1.05 , b = 0.01 , q = r = , x = 10 , N = 100 Chúng ta xét hai trường hợp sN = sN = 500 chương trình dex để tìm quỹ đạo tối ưu Chương trình : function [x,u,K,S] = dex a = 1.05; b = 0.01; q = 1; r = 1; x0 = 10; s = 5; N = 100; S(N+1) = s; for k = N:-1:1 K(k) = ( a * b * s ) / ( r + s * b^2 ); s = q + ( r * s * a^2 ) / ( r + s * b^2 ); S(k) = s; end x(1) = x0; for k = 1:N u(k) = -K(k) * x(k); x(k+1) = a * x(k) + b * u(k); end Trang 85 Chương : Điều khiển tối ưu Giá trị sk (sN = 5) Độ lợi hồi tiếp tối ưu Kk (sN = 5) Trang 86 Chương : Điều khiển tối ưu Quỹ đạo trạng thái tối ưu xk* (sN = 5) Giá trị sk (sN = 500) Trang 87 Chương : Điều khiển tối ưu Độ lợi hồi tiếp tối ưu Kk (sN = 500) Quỹ đạo trạng thái tối ưu xk* (sN = 500) Trang 88 Chương : Điều khiển tối ưu CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP Trình bày phương pháp biến phân cổ điển Euler_Lagrange cho trường hợp : khơng có điều kiện ràng buộc , có điều kiện ràng buộc tín hiệu đầu vào bị hạn chế Chỉ tiêu chất lượng ví dụ 1.9 có dạng : ∞ ( ) & J = ∫ Ψ + Ψ dt Hãy chứng minh hàm biến số phụ Ψ xác định từ điều kiện cực tiểu J sau : & Ψ+Ψ =0 Phát biểu nguyên lý tối ưu Belman Trình bày ý tưởng giải tốn tối ưu phương pháp quy hoạch động Trình bày nguyên lý cực tiểu Pontryagin Phát biểu tiêu chuẩn ổn định thứ hai Lyapunov Ứng dụng Lyapunov toán LQR liên tục Tìm điểm (x,y) thuộc parabol : y = x + 3x − cho khoảng cách từ (x , y) đến điểm có toạ độ (2,2) ngắn Tính khoảng cách a Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn với chu vi p nhỏ Nghĩa tìm x y thoả mãn cực đại hoá hàm : L( x, y ) = xy với điều kiện ràng buộc : f ( x, y ) = x + y − p = b Tìm hình chữ nhật có chu vi nhỏ với diện tích cho trước a Nghĩa cực tiểu hoá hàm : L ( x, y ) = x + y với điều kiện ràng buộc : f ( x, y ) = xy − a = Cho hệ thống : 1 2 2 & x =  x+ u 3 0    Tìm giá trị tối ưu x∗ , u ∗ , L∗ thoả mãn cực tiểu tiêu chất lượng : Trang 89 Chương : Điều khiển tối ưu L= T x 1  T 0  x + u    1  1 u   10 Cho hệ thống : d2y =u dt Tìm tín hiệu điều khiển u thoả mãn cực tiểu tiêu chất lượng : 1  & & J = u + u ữdt  −1  với điều kiện đầu : y ( −1) = y (1) = & & y ( −1) = y (1) = 11 Cho hệ thống : & x = −x + u a Tìm phương trình trạng thái hệ thống b Tìm điều khiển tối ưu để cực tiểu tiêu chất lượng J : J = ∫ u dt với x(0) = x(1) = c Tìm quỹ đạo trạng thái tối ưu 12 Cho hệ thống : xk +1 = xk uk + uk2 với tổn hao : N −1 J = xN + ∑ xk uk k =0 Cho N = Tín hiệu điều khiển nhận giá trị : uk = uk = −1 xk nhận giá trị -1, 0, 1, a Sử dụng phương pháp quy hoạch động để tìm luật điều khiển hồi tiếp trạng thái tối ưu b Với x0 = , tìm tổn hao tối ưu , trình tự điều khiển quỹ đạo trạng thái Trang 90 Chương : Điều khiển tối ưu 13 Xét hệ tác động nhanh có dạng sau : d 2x +x=u dt u ≤1 Tìm quỹ đạo pha tối ưu để đưa hệ gốc toạ độ từ điểm 14 Xét toán tác động nhanh :  & x=  −ω 1 0  x + 1  u 0   u( t) ≤1 a Giải phương trình biến trạng thái Dùng nguyên lý cực tiểu Pontryagin để tìm luật điều khiển tối ưu b Vẽ quỹ đạo pha cho trường hợp u = u = -1 c Tìm phương trình đường chuyển đổi 15 Cho hệ thống : & x1 = x2 & x2 = u J= ( ∞ x12 + 2vx1 x2 + qx2 + u dt 2∫ ( ) ) với q − v > a Tìm lời giải cho phương trình Riccati đại số b Tìm điều khiển tối ưu hệ thống vịng kín tối ưu c Vẽ quỹ đạo nghiệm số hệ thống q thay đổi từ đến ∞ Với giá trị q hệ thống ổn định 16 Cho hệ thống : & x1 = x2 & x2 = − ax1 − x2 + u tiêu chất lượng : ∞ J = ∫ x12 + x2 + u dt 20 ( ) Trang 91 ... Chương : Điều khiển tối ưu Giải (12 ) để có y1 sau : y1 = ax12 + bx1 + d (14 ) λ = x − x1 = y1 − y (15 ) Từ (9) (11 ) , ta có : sử dụng (14 ) với y = x + c từ (13 ) có kết sau : x − x1 = ax12 + bx1 +... (16 ) ( ax12 + (b + 1) x1 + d − c ) (17 ) Khi : x2 = Theo (10 ) (11 ) , ? ?1 = -λ2 , từ (15 ) (17 ) ta có : ? ?1 = x1 − x ? ?1 = − ( ax12 + (b − 1) x1 + d − c ) (18 ) Cuối , ý (8) : ( 2ax1 + ( b − 1) ) ? ?1. .. dụ 1. 11 : Tối ưu hóa với ràng buộc Giả sử muốn tối ưu cực tiểu hàm : L= u – 2u + (1) Với điều kiện : u ? ?1 (2) Xem Hình 1. 11 Nguyên lý cực tiểu : L(u*) ≤ L(u) thỏa ∀u (3) Hình 1. 11 : Tối ưu hoá