Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông biết hình vuông có diện tích bằng 5.. Viết phương trình 25 9 đường thẳng đi qua M và cắt elip tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB.[r]
(1)SỞ GDĐT HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRUNG THIÊN *** ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ NĂM 2012 Môn: TOÁN – Khối: A, B Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ CHÍNH THỨC A – PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2điểm) Cho hàm số y = x - x + x + (1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) Gọi D là đường thẳng qua A ( -1;0 ) và có hệ số góc k Tìm k để D cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt A, B, C cho tam giác OBC có trọng tâm G ( 2; ) ( O là gốc tạo độ) Câu II (2 điểm) cos x ö æ Giải phương trình tan x + ç1 + ÷ cot x = è + cos x ø 6y ì ïx + = y x Giải hệ phương trình í 3 ï x y - x y + xy + y = î ln Câu III (1 điểm) Tính tích phân I = ò e x - dx Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c ; ÐASB = ÐBSC = 60° và ÐCSA = 90° Tính thể tích khối chóp S.ABC Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = a b c Tìm giá trị lớn biểu thức P = + + 4-a 4-b 4-c PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD đó A thuộc đường thẳng x + y - = và đường thẳng CD có phương trình x - y + = Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông biết hình vuông có diện tích Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A (1;2;3 ) , B ( 0; -1;2 ) , C (1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A và gốc tọa độ O cho khoảng cách từ B đến ( P ) khoảng cách từ C đến ( P ) Câu VII.a (1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn z + (2i - 1) z - ( i + ) z - i + = B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) x2 y Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip ( E ) : + = và điểm M (1;1) Viết phương trình 25 đường thẳng qua M và cắt elip hai điểm A, B cho M là trung điểm AB Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z - = và ba điểm A ( 2;1;3 ) , B ( 0; -6; ) , C (1; -1; ) Tìm tọa độ điểm M uuur uuur uuuur | MA + MB + MC | đạt giá trị bé trên mặt phẳng (P) ïìlog ( x + y ) - log ( x - y ) = Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình í 2 ïî4 x - y = Cảm ơn bạn từ thiensu.td@gmail.com gửi đến www.laisac.page.tl cho (2) ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN Trường THPT Nguyễn Trung Thiên – Khối A, B ĐIỂM NỘI DUNG BÀI GIẢI Câu I Tự giải 1,00đ 2, Đường thẳng D qua A ( -1;0 ) và có hệ số góc k có PT y = k ( x + 1) PT hoành độ giao 2 điểm: x - x + x + = k ( x + 1) Û ( x + 1)( x - 3) = k ( x + 1) Û x = -1 ( x - 3) = k 0,25 D cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt Û ( x - ) = k có hai nghiệm phân biệt khác -1 0,25 Û k > và k ¹ ( -1 - 3) = 16 ( ( Khi đó các điểm B, C có tọa độ là + k ; k + k )) ( ( và - k ; k - k ) ) Do đó tọa độ ì xG = ï trọng tâm DOBC : í , suy k = (thỏa mãn) 8k ïî yG = = 0,25 0,25 ìsin 3x ¹ Câu II ĐK: í îcos x ¹ -1 cos x 1 + tan x - tan x =2=2= = + cos x + cos x 2cos2 x 2 Nên PT đã cho tương đương tan x + cot x ( - tan x ) = Ta có + ( ) ( ) Û tan x - é - cot x tan x + ù = ë û · tan x = Û x = ( p 0,25 0,25 + k 2p ( k Î ¢ ) (loại ĐK) ) · cot 3x tan x + = Û = tan 3x - tan x (1) Ta có tan x - tan x = tan x + tan x - tan x = tan x + Do đó (1) Û cos3 x = sin x + 2sin x Û sin x = 0,25 sin x sin x + 2sin x = cos x cos x cos x æp ö cos3x - sin 3x = sin ç - 3x ÷ 2 è3 ø p p é ê x = 12 + k Ûê ( k Î ¢) ê x = -p + kp êë 0,25 Đối chiếu điều kiện ta nhận nghiệm x = p 12 +k p ,(k Î ¢) ĐK: xy ¹ ì x+z = ï (1) ï ïì( x + z ) xz = xz Đặt z = , hệ trở thành í Ûí 2 y ï x - x + x + = ïî x - x z + xz - z = -5 (2) ïî z z2 z z3 Cộng theo vế (1) và (2) được: ( x - z ) = Û x - z = Thế z = x - vào (1) cho ta 0,50 0,25 (3) ( x - 1) x ( x - 1) = Û ( x - ) ( x + x + 3) = Û x = 0,25 Do đó z = Þ y = Vậy hệ có nghiệm ( x, y ) = ( 2,1) ln Câu III I= ò e x - dx Đặt e x - = t Û dx = dt Nên I = ò Đặt I1 = t +1 3t dt đổi cận x = Þ t = ; x = ln2 Þ t =1 t3 +1 1 dt A Bt + C ò0 t + Dùng hệ số bất định ta có I1 = ò0 ( t + + t - t + 1)dt 1 1 2t - 2t - 1 -3 A= ; B = ; C = Nên 3I1 = ln2 ò dt = ln2 ò dt ò dt = 3 t - t +1 t - t +1 t - t +1 3 dt p p = ln2 + ò Đặt t - = tany thì dt = dy cận y là đến 2 2 cos y 6 (t - ) + p 0,25 0,25 0,25 2cos y p p dy = ln2 + Suy I = – ln2 ò 0,25 - p (tan y + 1) 3 Câu IV Gọi A ', B ', C ' nằm trên các đường thẳng SA, BC , SC cho SA ' = SB ' = SC ' = ( A ', B ', C ' có thể nằm trên đường kéo dài các cạnh) Dễ nhận thấy các tam giác SA ' B ' , SB ' C ' Vậy 3I1 = ln2 + còn tam giác SA ' C ' vuông cân S Do đó A ' B ' = B ' C ' = và C ' A ' = , suy tam giác A ' B ' C ' vuông cân B ' Gọi I là trung điểm A ' C ' Do SA ' = SB ' = SC ' và IA ' = IB ' = IC ' 0,25 nên SI ^ ( A ' B ' C ') Ta có 2 æ A'C ' ö SI = SB ' - B ' I = SB ' - ç ÷ = 1- = 2 è ø 2 1 Do đó VSA ' B ' C ' = SI S DA ' B ' C ' = SI A ' B '.B ' C ' = 12 Mặt khác 0,25 0,25 VS ABC SA.SB.SC = = abc Vậy VS ABC = abc VS A ' B ' C ' SA '.SB '.SC ' 12 S 0,25 A' I C' B' C A B (4) x x2 + £ (1) 4- x Thật vậy, (1) Û x £ ( - x ) ( x + 1) Û ( x - 1) ( x - ) £ , luôn đúng với x < Câu V Nhận xét rằng, với x < ta có 0,25 0,25 Với giả thiết a + b + c = , suy a, b, c < Sử dụng nhận xét trên ta 2 a b c 2a + 2b + 2c + ( a + b + c ) + P= + + £ + + = =1 4-a 4-b 4-c 9 9 Vậy GTLN P là 1, đạt a = b = c = 0,25 0,25 Câu VI.a Vì A Î (d ) : x + y - = nên A ( a;1 - a ) Khoảng cách từ A đến đường thẳng CD chính là độ dài cạnh hình vuông, diện tích hình vuông nên độ dài này | 2a - (1 - a ) + | -7 d ( A, CD ) = = Û | 3a + |= Û a = a = 5: ( x - 1) + ( y - ) = hay · a = : Þ A (1;0 ) Phương trình cạnh AD (qua A và ^ CD ): ìx + y - = x + y - = Tọa độ D = AD Ç CD là nghiệm hệ í Þ D ( -1;1) î2 x - y + = Đường tròn ( D ) tâm D bán kính 0,25 có PT: ( x + 1) + ( y - 1) = Tọa độ C = CD Ç ( D ) là ìï2 x - y + = nghiệm hệ í Þ C ( 0;3) C ( -2; -1) 2 ïî( x + 1) + ( y - 1) = 0,25 æ1 3ö Với C ( 0;3 ) thì trung điểm O AC là O ç ; ÷ Do O là trung điểm BD nên è2 2ø ì xB = xO - xD Þ B ( 2;2 ) í y = y y î B O D Với C ( -2; -1) thì tương tự ta có B ( 0; -2 ) -7 æ -7 10 ö æ -2 ö : Þ A ç ; ÷ Gọi M = ( d ) Ç ( CD ) Þ M ç ; ÷ Dễ thấy trường hợp này các 0,25 è 3ø è 3ø đỉnh hình vuông đối xứng với các đỉnh tương ứng vừa tìm trường hợp trên qua æ -1 ö æ -4 ö æ -10 ö æ 13 ö æ -4 16 ö M nên dễ dàng tìm D ç ; ÷ và C ç ; ÷ , B ç ; ÷ C ç ; ÷ , B ç ; ÷ è 3ø è 3ø è 3ø è3 ø è 3ø · a= Vậy có hình vuông ABCD thỏa mãn yêu cầu bài toán: A (1;0 ) , B ( 2; ) , C ( 0;3 ) , D ( -1;1) ; A (1;0 ) , B ( 0; -2 ) , C ( -2; -1) , D ( -1;1) æ -7 10 ö æ -10 ö æ -4 ö æ -1 ö æ -7 10 ö æ -4 16 ö æ 13 ö æ -1 ö Aç ; ÷ , Bç ; ÷,C ç ; ÷ , D ç ; ÷ ; Aç ; ÷ , B ç ; ÷,C ç ; ÷, D ç ; ÷ è 3 ø è 3ø è 3ø è 3ø è 3 ø è 3 ø è3 ø è 3ø 0,25 (5) B A (CD) M D C (d) Vì mặt phẳng ( P ) qua O nên ( P ) : ax + by + cz = Do A Î ( P ) Þ a + 2b + 3c = (1) Do d ( B, ( P ) ) = d ( C , ( P ) ) Û| -b + 2c |=| a + b + c | (2) 0,25 Từ (1) rút a = -2b - 3c và thay vào (2) | -b + 2c |=| -b - 2c |Û b = c = 0,25 0,25 Nếu b = thì a = -3c và ( P ) : x - z = Nếu c = thì a = -2b và ( P ) : x - y = 0,25 Câu VII.a Ta có ( ) z + (2i - 1) z - ( i + ) z - i + = Û ( z - 1) z + 2iz + i - = Xét phương trình z + 2iz + i - = Giả sử z = a + bi , vào ta ( a + bi ) + 2i ( a + bi ) + i - = Û ( a - b - 2b - ) + ( 2a + 2ab + 1) i = ì a - ( b + 1) = ì a - a - = ì a - b - 2b - = ï ï Ûí Ûí Ûí Û 1 î a + ab + = ï a ( b + 1) = ïb + = î 2a î 2 Từ đó nhận các nghiệm phức PT là z = 1; z= 0,25 ì 1+ ïï a = í ïb + = - ïî 2a +1 æ - ç1 + ç è 0,50 -1 ö ÷ i và ÷ ø +1 æ -1 ö ÷i z=- ç1 ç 2 ÷ è ø Câu VI.b Nhận xét M Ï Ox nên đường thẳng x = không cắt elip hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán Xét D qua M (1;1) có PT y = k ( x - 1) + ì x2 y E : + = (1) ( ) ï Tọa độ các giao điểm A, B D và ( E ) là nghiệm hệ: í 25 ï y = k ( x - 1) + (2) î 0,25 0,25 Thay (2) vào (1) rút ( 25k + ) x - 50k ( k - 1) x + 25 ( k - 2k - ) = (3) Dễ thấy M thuộc miền elip, đó D luôn cắt ( E ) hai điểm phân biệt, nên (3) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với k Theo Viet: x1 + x2 = 50k ( k - 1) 25k + 0,50 (6) M là trung điểm AB Û x1 + x2 = xM Û 50k ( k - 1) =2Ûk = 25k + Vậy đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là x + 25 y - 34 = -9 25 0,25 Dễ thấy A, B, C không thẳng hàng Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , thì G (1; -2;3 ) Khi đó uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur với M Î ( P ) ta có MA + MB + MC = 3MG , đó | MA + MB + MC | đạt giá trị bé 0,25 uuuur Û | MG | đạt giá trị bé Û M là hình chiếu vuông góc G trên ( P ) Giả sử M ( x0 ; y0 ; z0 ) Î ( P ) Þ x0 + y0 + z0 - = (1) M là hình chiếu vuông góc G trên ( P ) uuuur r Û GM = ( x0 - 1; y0 + 2; z0 - 3) cùng phương với vectơ pháp tuyến n = (1;1;1) ( P ) x0 - y0 + z0 - ( x0 - 1) + ( y0 + ) + ( z0 - 3) = = = (t/c tỉ lệ thức) 1 1+1+1 ( x + y0 + z0 - 1) - = -1 (do (1)) = 3 -7 æ -7 ö Suy x0 = , y0 = , z0 = Vậy M ç ; ; ÷ 3 è 3 3ø 0,25 Û 0,25 0,25 ìïlog ( x + y ) = log 2 ( x - y ) Câu VII.b Hệ đã cho tương đương với í ïî( x + y )( x - y ) = t ïì x + y = Đặt t = log ( x + y ) = log 2 ( x - y ) Þ í t -1 ïî x - y = 0,25 Thay vào PT thứ hai hệ ta 3t.2t -1 = Û 6t = Û t = ì2 x + y = ìx = Do đó í Ûí î2 x - y = îy =1 Vậy hệ có nghiệm ( x, y ) = (1,1) 0,50 0,25 (7)