Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA; gọi K là điểm đối xứng với D qua M; F là điểm đối xứng với E qua N; I là giao điểm của đường thẳng OC và KF... Chứng minh rằng: I là [r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN BÁI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: TOÁN HỌC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn chấm gồm 05 trang ) Bài Nội dung Điểm 1.a Tìm trên đường thẳng y = 9x - điểm mà qua đó kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị (C): y x x 2,5 Gọi M = (m; 9m-7) là điểm bất kì nằm trên đường thẳng y = 9x - 0,5 Vì đường thẳng có dạng x = m không là tiếp tuyến đồ thị (C) nên ta xét d là đường thẳng qua M và có dạng: y = k( x - m) + 9m - Đường thẳng d là tiếp tuyến (C) và hệ sau có nghiệm: x x k ( x m) 9m 3 x x k x x (3 x x)( x m) 9m 3 x x k Qua M kẻ ba tiếp tuyến đến (C) hệ trên có ba nghiệm phân biệt hay phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: 0,5 0,5 2 x 3x 3mx 6mx 9m 0 x 1 x (5 3m) x 9m 0 Do đó điều kiện m là: m 3m 8(5 9m) 9m 42m 15 m5 m 1 2.1 (5 3m).1 9m 0 m 1 1.b 0,5 m (m 1) Vậy các điểm M cần tìm có tọa độ (m; 9m-7) với m < -5 0,5 Tìm các giá trị thực tham số m để phương trình sau có nghiệm 3 nhất: x 3x 3m m 2,5 f ( x ) x 3x 2; f '( x ) 3x x 0,5 (2) x f '( x) 0 x 0 Bảng biến thiên x -2 + f'(x) f(x) - 0,5 + -2 PT đã cho tương đương với: f ( x ) 3m m (1) Pt (1) có nghiệm và 3m m 0,5 3m3 m 3m3 m 3m3 m2 0,5 m 1 3m 4m m 3m3 m 3m3 m m 3m 1 m Vậy với m > m 4,0 Đặt 4 x 1 x 1 x 1 y 4 y t 4t y Trừ tương ứng hai vế hai PT trên ta được: (1) và x t , ta hệ phương trình y t y 0,5 thì PT đã cho có nghiệm 3 Giải phương trình: 4 x x 3x 3x PT đã cho có dạng: 0,5 0,5 0,5 yt t 0 y t y y 0 ( y 1)( y y 3) 0 0,5 (3) y 1 13 y y 13 0,5 Với y = thì x = Với Với 0,5 y 13 13 x 2 thì y 13 13 x 2 thì 0,5 0,5 13 13 x x ; Vậy PT đã cho có nghiệm x = 2; 3.a o Cho tam giác nhọn ABC có góc C 30 nội tiếp đường tròn (O;R) Kẻ các đường cao AD, BE tam giác ABC Gọi M, N là trung điểm các cạnh BC, CA; gọi K là điểm đối xứng với D qua M; F là điểm đối xứng với E qua N; I là giao điểm đường thẳng OC và KF 4,0 Chứng minh rằng: I là trung điểm KF 2,0 Từ giả thiết ta được: AN = NC, EN = NF và BM = MC, DM = MK 0,5 nên CF = AE = AB.cosA và CK = BD = AB.cosB (4) 1 BAC BOC MOC ABC AOC NOC 2 Mà: và 0,5 CF cos A cos MOC OM CF ON CK OM CK cos B cos NOC ON nên: 0,5 suy ra: SOCF SOCK d ( F ; OC ) d ( K ; OC ) 0,5 đó I là trung điểm FK 3.b Tính độ dài đoạn CI ( theo R ) 2,0 1 CI CF CK Vì I là trung điểm FK nên , đó: CI CF CK CF CK 2.CF CK cos FCK 4 0,5 CI AB cos A AB cos B AB cos A.cos B.cos C AB cos A cos B 2cos A.cos B.cosC cos A cos B cos 2C 1 2.cos A.cos B.cos C 0,5 0,5 cos A cos B 2.cos A.cos B.cos C 1 cos 2C sin C 1 R2 2 2 o CI AB sin C R.sin C sin C R sin 30 4 16 Do đó: Vậy CI R / 4.a Cho dãy số u n xác định bởi: u1 2013 u u 2012.u , n 1, 2,3, n n n 1 Chứng minh rằng: lim un 0,5 2,0 Từ giả thiết suy ra: un 1 un 2012.un 0 , n = 1, 2, 3, 0,5 Do đó (un ) là dãy không giảm Mà u1 0 2013 nên un , n = 1, 2, 3, 0,5 (5) Do đó tồn giới hạn hữu hạn dãy (un ) , tức là lim (un ) = L thì 0,5 L > Khi đó: L L 2012.L L 0 (mẫu thuẫn với chứng minh trên) Vậy lim un 4.b Tính: 0,5 2,0 u u u u lim n un 1 u u3 u un 2012.un2 u u 1 n1 n un1 2012.un un 1 2012.un un1 2012 un un 1 , n=1,2,3, 0,5 u1 u2 u3 u n u2 u3 u4 un 1 1 1 1 1 1 2012 u1 u2 u2 u3 u3 u4 un un1 2012 u1 un 1 Mà lim u1 0,5 2013 ; lim un1 lim Do đó: 0,5 0 un 1 u u u u 2013 lim n 2013 un1 2012 2012 u2 u3 u4 0,5 Cho n ( n 2013, n N ) số tự nhiên đôi khác a1 , a2 , a3 , , an 3,0 Hỏi có bao nhiêu hoán vị n số đó, mà hoán vị không có 2012 số nào 2013 số a1 , a2 , a3 , , a2012 , a2013 nằm 2012 vị trí liên tiếp? Gọi A a1 , a2 , a3 , , an Gọi E a1 , a2 , a3 , , a2013 Số các hoán vị n phần tử A là: Pn n ! Số cách lấy 2012 phần tử thuộc E và thứ tự chúng là: 2012 C2013 2012! 2013! Xét tập hợp B gồm các hoán vị n phần tử A, mà hoán vị đó có 2012 phần tử tập hợp E nằm 2012 vị trí liên tiếp 0,5 0,5 (6) Với cách lấy 2012 phần tử thuộc E và thứ tự chúng , coi 2012 phần tử này chiếm vị trí hoán vị n phần tử A thì số hoán vị loại này là: (n - 2011)! 0,5 Nhưng số đó, hoán vị n phần tử A mà có 2013 phần tử E nằm 2013 vị trí liên tiếp tính hai lần Số các hoán vị loại này bằng: (n - 2012)! 0,5 Như vậy: B = 2013!.[(n - 2011)! - (n - 2012)!] = 2013! (n - 2012)! (n - 2012) B Do đó số hoán vị phải tìm là: Pn = n! - 2013! (n - 2012)! (n - 2012) Hết 0,5 0,5 (7)