ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM MÃ ĐỨC NGHỊ TÍNH HỮU HẠN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM MÃ ĐỨC NGHỊ TÍNH HỮU HẠN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HỒNG THÁI NGUN - 2015 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày 09 tháng 10 năm 2015 Người viết Luận văn Mã Đức Nghị i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ NGUYỄN VĂN HOÀNG - Giảng viên Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy, người hướng dẫn cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, cơng sức hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo của: Viện Tốn học Đại học Thái Ngun người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học, Sở GD&ĐT Hà Giang, Ban Giám hiệu trường THPT Thơng Ngun, huyện Hồng Su Phì, Hà Giang tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối xin cảm ơn bạn bè, người thân giúp đỡ, động viên, ủng hộ tơi để tơi hồn thành tốt khóa học Thái Ngun, ngày 09 tháng 10 năm 2015 Người viết Luận văn Mã Đức Nghị ii Mục lục Lời cảm ơn ii Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết 1.2 Môđun Ext 1.3 Môđun đối đồng điều địa phương 1.4 Dãy quy độ sâu mơđun 1.5 Vành môđun phân bậc 11 Tính hữu hạn ổn định tiệm cận tập iđêan nguyên tố liên kết số mơđun 13 2.1 Tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết 13 2.2 Tính ổn định tiệm cận tập iđêan nguyên tố liên kết 22 2.3 Tính ổn định tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương bậc d − 27 Tài liệu tham khảo 33 Mở đầu Cho (R, m) vành giao hoán Noether địa phương, I iđêan R, N R−môđun hữu hạn sinh Năm 1992, C Huneke [15] đưa giả thuyết ”Liệu mơđun HIj (N ) có hữu hạn iđêan nguyên tố liên kết với môđun hữu hạn sinh N iđêan I ?” Một số câu trả lời khẳng định đưa Huneke-R Y Sharp, G Lyubeznik cho vành quy địa phương đẳng đặc trưng Sau đó, A Singh [23] M Katzman [16] xây dựng ví dụ mơđun hữu hạn sinh có số mơđun đối đồng điều địa phương có vơ hạn iđêan ngun tố liên kết Bên cạnh đó, giả thuyết nhiều trường hợp, chẳng hạn: Trong trường hợp mơđun N có chiều nhỏ 4, T Marley AssR (HIj (N )) tập hữu hạn với j M.Brodmann-A.Faghani chứng minh AssR (HIt (N )) tập hữu hạn HIj (N ) hữu hạn sinh với j < t Tiếp đó, K Khashyarmanesh - Sh Salarian [17] chứng minh Supp HIj (N ) tập hữu hạn với j < t Ass HIt (N ) tập hữu hạn Năm 2005, L.T Nhàn [22] định nghĩa khái niệm dãy quy suy rộng, đặc trưng số nguyên t nhỏ để Supp HIt (N ) tập vô hạn, số t độ dài dãy quy suy rộng cực đại N I Ass(HIj (N ) hữu hạn Gần N.T Cường - N.V Hoàng thu kết tính hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố liên kết số môđun đối đồng điều địa phương, cụ thể định lý sau: Định lý (Cường - Hoàng [8, Theorem 1.1]) Cho (R, m) vành địa phương Noether, I iđêan R N R-môđun hữu hạn sinh Cho k ≥ −1 số nguyên r = depthk (I, N ) Nếu r < ∞ x1 , , xr N -dãy từ chiều > k I , với số nguyên j ≤ r, tập hợp AssR (HIj (N ))≥k hữu hạn Hơn nữa, với l ≤ r ta có j≤l AssR (HIj (N ))≥k = j≤l AssR (N/(x1 , , xj )N )≥k ∩ V (I) Mục tiêu thứ luận văn trình bày lại cách chi tiết chứng minh Định lý Cường - Hồng nêu trình bày chi tiết số hệ Một vấn đề khác M Brodmann nghiên cứu năm 1979, nghiên cứu tính ổn định tiệm cận tập iđêan nguyên tố liên kết Ass(N/I n N ) n đủ lớn Tiếp tốn mở rộng nghiên cứu nhiều nhà toán học khác, chẳng hạn: L Melkersson [20], Melkersson - P Schenzel [21], Cường - Hoàng - P.H Khánh [9] Và gần Cường - Hoàng [8] Hoàng - Khánh [14] chứng minh số kết tính ổn định tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương số điều kiện định, định lý sau: Định lý (Cường - Hoàng [8, Theorem 1.2]) Cho (R, m) vành địa phương Noether I iđêan R Lấy R = ⊕n≥0 Rn đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh R0 = R N = ⊕n≥0 Nn R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Với số nguyên k ≥ −1, gọi r giá trị ổn định depthk (I, Nn ) Khi với số nguyên l ≤ r tập hợp j≤l AssR (HIj (Nn ))≥k ổn đinh với n đủ lớn Định lý (Hoàng - Khánh [14]) Cho (R, m) vành địa phương Noether, I, J hai iđêan R M R−môđun hữu hạn sinh Cho R = ⊕n≥0 Rn đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh R0 = R N = ⊕n≥0 Nn môđun phân bậc hữu hạn sinh Lấy Ln để kí hiệu cho R−mơđun Nn R−mơđun M/J n M Khi với số nguyên không âm l tập hợp j≥l SuppR (HIj (Ln )) ổn định với n đủ lớn Đặc biệt, tập hợp AssR (HId−1 (Ln )) ∪ {m} ổn định với n đủ lớn, d giá trị ổn định dim Ln Mục tiêu thứ hai luận văn trình bày lại chi tiết chứng minh cho Định lý Định lý nêu Luận văn chia làm hai chương Chương dành để trình bày kiến thức chuẩn bị cần thiết bao gồm: iđêan nguyên tố liên kết, môđun Ext, mơđun đối đồng điều địa phương, dãy quy độ sâu môđun, vành môđun phân bậc Chương chương luận văn gồm ba mục tương ứng dành để chứng minh chi tiết cho định lý: Định lý 1, Định lý 2, Định lý 3 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhằm giới thiệu số kiến thức chuẩn bị phục vụ cho chứng minh kết chương sau Trong chương ta giả thiết R vành giao hốn Noether M R−mơđun 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết Định nghĩa 1.1.1 (Iđêan nguyên tố liên kết) Một iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M có phần tử = x ∈ M cho Ann(x) = p Tập tất iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu AssR (M ) Ass(M ) Sau số tính chất tập iđêan nguyên tố liên kết Mệnh đề 1.1.2 (i) Cho p ∈ Spec(R) Khi p ∈ AssR (M ) M có mơđun đẳng cấu với R/p (ii) Nếu p phần tử tối đại của tập tất iđêan R có dạng Ann(x) (với = x ∈ M ), p ∈ AssR (M ) Vì R vành Noether nên M = AssR (M ) = Hơn nữa, tập ZD(M ) tất ước không M hợp tất iđêan nguyên tố liên kết M (iii) Cho → M ′ → M → M ′′ → dãy khớp R−mơđun Khi AssR M ′ ⊆ AssR M ⊆ AssR M ′ ∪ AssR M ′′ (iv) AssR (M ) ⊆ SuppR (M ) phần tử tối thiểu tập SuppR (M ) thuộc vào tập AssR (M ) (v) Nếu M R−mơđun hữu hạn sinh AssR (M ) tập hữu hạn Hơn AssR (M ) ⊆ V (Ann M ) phần tử tối thiểu V (Ann M ) thuộc AssR (M ) Vì Ann(M ) giao iđêan nguyên tố liên kết M (vi) AssRp (Mp ) = {qRp | q ∈ AssR (M ), q ⊆ p} 1.2 Môđun Ext Định nghĩa 1.2.1 Một giải xạ ảnh R−môđun M dãy khớp → P2 → P1 → P0 → M → R−mơđun, Pi R−mơđun xạ ảnh với i Chú ý 1.2.2 Giải xạ ảnh R−môđun M tồn Thật vậy, giả sử Y hệ sinh M , gọi P0 = ⊕y∈Y Ry , với Ry = R R−môđun tự Y Khi ta có tồn cấu ϕ : P0 → M cho ϕ(ay )y∈Y = Σy∈Y ay y Đặt K1 = Ker ϕ Lấy Y1 hệ sinh K1 P1 R−môđun tự sinh Y1 Khi ta có toàn cấu tự nhiên f1 : P1 → K1 Đặt µ1 = j1 f1 , j1 : K1 ֒→ P0 phép nhúng tự nhiên từ K1 vào P0 Dễ thấy Im µ1 = Ker ϕ Đặt K2 = Ker µ1 Bằng lập luận tương tự ta có tồn cấu f2 : P2 → K2 cho K2 môđun tự Im µ2 = Ker µ1 µ2 = j2 f2 với j2 : K2 ֒→ P1 phép nhúng tự nhiên Cứ tiếp tục trình ta thu dãy khớp µ2 µ1 ϕ −→ P1 −→ P0 − →M →0 Pi mơđun tự Vì mơđun tự xạ ảnh nên dãy khớp xạ ảnh M Định nghĩa 1.2.3 Cho N R−môđun Xét hàm tử Hom(−, N ) phản biến, khớp trái Cho M R−môđun, lấy giải xạ ảnh M f2 f1 f0 µ −→ P2 −→ P1 −→ P0 − → M → Tác động hàm tử Hom(−, N ) vào dãy khớp ta có phức f0∗ f2∗ f1∗ → Hom(P0 , N ) −→ Hom(P1 , N ) −→ Hom(P2 , N ) −→ ∗ Môđun không phụ thuộc vào việc Khi ExtiR (M, N ) = Ker fi∗ / Im fi−1 chọn giải xạ ảnh M Sau số tính chất mơđun Ext Mệnh đề 1.2.4 (i) Nếu M xạ ảnh ExtiR (M, N ) = với i (ii) Ext0R (M, N ) ∼ = Hom(M, N ) (iii) Nếu → N ′ → N → N ′′ → dãy khớp ngắn tồn đồng cấu ′ nối ExtnR (M, N ′′ ) → Extn+1 R (M, N ) với n cho ta có dãy khớp dài → Hom(M, N ′ ) → Hom(M, N ) → Hom(M, N ′′ ) → Ext1R (M, N ′ ) → Ext1R (M, N ) → Ext1R (M, N ′′ ) → Ext2R (M, N ′ ) → (iv) Nếu → N ′ → N → N ′′ → dãy khớp ngắn tồn đồng cấu ′′ nối ExtnR (N ′ , M ) → Extn+1 R (N , M ) với n cho ta có dãy khớp dài → Hom(N ′′ , M ) → Hom(N, M ) → Hom(N ′ , M ) → Ext1r (N ′′ , M ) → Ext1R (N, M ) → Ext1R (N ′ , M ) → Ext2R (N ′′ , M ) → Từ Chú ý 1.2.2 từ Định nghĩa mơđun Ext ta có kết sau Hệ 1.2.5 Nếu M, N môđun hữu hạn sinh R ExtiR (M, N ) hữu hạn sinh với i Kết sau cho ta tính chất giao hốn mơđun Ext hàm tử địa phương hóa Mệnh đề 1.2.6 Nếu S tập đóng nhân R S −1 (ExtnR (M, N )) ∼ = ExtnS −1 R (S −1 M, S −1 N ) Đặc biệt, ta có (ExtnR (M, N ))p ∼ = ExtnRp (Mp , Np ) với p ∈ Spec R Mặt khác rõ ràng x1 , , xr N -dãy từ chiều > k IM Hơn nữa, j theo Bổ đề 2.1.9, ta có ExtjR (M, N ) ∼ = HAnn(M ) (M, N ); j j (M, N ) ∼ HAnn(M = H√ ) Ann(M ) (M, N ) = HIj (M, N ) j Suy ExtjR (M, N ) ∼ = HI (M, N ) Do hệ suy từ Định lý 2.1.10 Chú ý 2.1.15 Lấy số nguyên j ≥ t > Lấy a = (a1 , , as ) kí hiệu cho dãy phần tử R t = (t1 , , ts ) s số nguyên dương Với iđêan I R ta đặt T j (I t , N ) = AssR (ExtjR (R/I t , N )), T j (at , N ) = AssR (ExtjR (R/(at11 , , atss ), N )) Khi ta thu quan hệ sau tập hợp nêu Hệ 2.1.16 Cho k ≥ −1 số nguyên, I iđêan R r = depthk (I, N ) Nếu r < ∞ x1 , , xr N -dãy từ chiều > k √ iđêan I , với hệ phần tử sinh a1 , , as I số ngun l ≤ r, ta ln có j≤l T j (I t , N )≥k = j≤l AssR (N/(x1 , , xj )N )≥k ∩ V (I) = j≤l T j (at , N )≥k với t ∈ Z+ t ∈ (Z+ )s Đặc biệt, với số nguyên j ≤ r, ta suy tập hợp t∈Z+ tập hữu hạn i≤j Chứng minh Vì √ It = T j (I t , N )≥k t∈(Z+ )s T j (at , N )≥k chứa AssR (N/(x1 , , xi )N )≥k ∩ V (I) √ (at11 , , atss ) với số nguyên dương I = t, t1 , , ts , nên áp dụng Hệ 2.1.14 (khi M = R/I t M = R/(at11 , , atss )) ta thu j≤l j≤l AssR (ExtjR (R/I t , N ))≥k = j≤l AssR (N/(x1 , , xj )N )≥k ∩ V (I) AssR (ExtjR (R/(at11 , , atss ), N ))≥k = j≤l AssR (N/(x1 , , xj )N )≥k ∩ V (I) với l ≤ r, hệ chứng minh 20 Chú ý 2.1.17 Kết M Brodmann - L.T Nhàn [4, Theorems 1.1 1.2] nói với số nguyên không âm r cho, dim Supp(HIi (N )) ≤ k với i < r, tập t∈Z+ chứa tập hữu hạn T j (I t , N )≥k i≤j t∈(Z+ )s T j (at , N )≥k AssR (ExtiR (R/I, N )) với j ≤ r Hơn nữa, x1 , , xr N -dãy từ chiều > k hoán vị đồng thời dãy I -lọc quy I hốn vị được, tập chứa tập hữu hạn sau AssR (N/(x1 , , xj )N )≥k+1 ∪ AssR (N/(x1 , , xi )N )k , (*) i≤j AssR (N/(x1 , , xi )N )k = {p ∈ AssR (N/(x1 , , xi )N ) | dim R/p = k} j j j (N ) ∼ Thực vậy, H√ = HI (N ) nên dim Supp(H√I (N )) ≤ k với j < r Do I √ depthk ( I, N ) ≥ r, tồn N −dãy từ chiều > k x1 , , xr iđêan √ I Vì ta áp dụng Hệ 2.1.16 vào tình giả thiết [4, Theorem 1.1] Ta thấy đẳng thức Hệ 2.1.16 không phụ thuộc vào t t, nên với j ≤ r ta thấy tập t∈(Z+ )s t∈Z+ T j (at , N )≥k chứa tập hợp hữu hạn sau i≤j T i (I, N )≥k = i≤j T j (I t , N )≥k AssR (ExtiR (R/I, N ))≥k Điều chứng tỏ Hệ 2.1.16 chứa đựng kết Định lý 1.1 [4] Hơn nữa, lấy p ∈ T j (I t , N )≥k ∪ T j (at , N )≥k với t ∈ Z+ , t ∈ (Z+ )s j ≤ r Nếu dim(R/p) = k p thuộc vào tập (∗) theo Hệ 2.1.16 Nếu dim(R/p) ≥ k + depth(Ip , Np ) = r Vì trường hợp ta có j = r, p ∈ T r (I, N ) Vì Extr (R/I, N ) ∼ = H r (R/I, N ) theo Bổ đề 2.1.9, nên R I ta thu từ Bổ đề 2.1.8 p ∈ Ass(N/(x1 , , xr )N )≥k+1 Vì Hệ 2.1.16 bao trùm Địnhl ý 1.2 [4] cho vành địa phương mà không cần giả thiết x1 , , xr đồng thời N -dãy từ chiều > k hốn vị dãy I -lọc quy hốn vị I 21 2.2 Tính ổn định tiệm cận tập iđêan nguyên tố liên kết Cho R = ⊕n≥0 Rn đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh vành R0 = (R, m), lấy N = ⊕n≥0 Nn R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Để thuận lợi trình bày, ta dùng Ln để kí hiệu cho R−mơđun Nn R−môđun M/J n M (với M R−môđun hữu hạn sinh J iđêan R) Lưu ý định lý M Brodmann năm 1979 tính ổn định tập iđêan nguyên tố liên kết [2] (có thể xem [20, Theorem 3.1]) phát biểu Bổ đề 2.2.1 Tập AssR (Ln ) ổn định n đủ lớn Dựa vào kết này, [3, Theorem Proposition 12], M Brodmann chứng minh số nguyên depth(I, Nn ) lấy giá trị số n đủ lớn Sau [9], N.T Cường-N.V Hoàng-P.H Khánh chứng minh tổng quát hóa kết thứ hai M Brodmann thành kết sau Bổ đề 2.2.2 ([9, Theorem 1.1]) Cho k ≥ −1 số nguyên Khi đại lượng depthk (I, Nn ) trở thành số không phụ thuộc vào n n đủ lớn Do có tính chất Bổ đề 2.2.2, ta đặt rk giá trị ổn định depthk (I, Nn ) n đủ lớn Khi đó, [9], họ chứng minh tập hợp j≤r1 AssR (HIj (Nn )) ∪ {m} tập hợp ổn định n đủ lớn (trong r1 giá trị ổn định depth1 (I, Nn ) n đủ lớn) Sau đó, năm 2014, Cường-Hồng [8, Theorem 1.2] chứng minh kết tổng quát sau Định lý 2.2.3 (Định lý 2) Cho (R, m) vành địa phương Noether I iđêan R Lấy R = ⊕n≥0 Rn là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh R0 = R N = ⊕n≥0 Nn R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Với số nguyên k ≥ −1, lấy r giá trị ổn định depthk (I, Nn ) Khi với số nguyên l ≤ r ta ln có tập hợp j j≤l AssR (HI (Nn ))≥k ổn định n đủ lớn Để chứng minh định lý ta cần thiết lập bổ đề sau Bổ đề 2.2.4 Cho số nguyên k ≥ −1 r giá trị ổn định depthk (I, Nn ) 22 n đủ lớn Giả sử ≤ r < ∞ Khi tồn dãy x1 , , xr iđêan I mà Nn -dãy từ chiều > k với n đủ lớn Chứng minh Lấy r ≥ giá trị ổn định depthk (I, Nn ) Theo Bổ đề 2.2.1 ta chọn x1 ∈ I cho x1 ∈ / p với p ∈ AssR (Nn )>k n lớn Khi depthk (I, Nn /x1 Nn ) = r − với n lớn Theo giả thiết quy nạp, tồn dãy x2 , , xn ∈ I Nn /x1 Nn -dãy từ chiều > k với n lớn Vì x1 , , xr dãy thỏa mãn yêu cầu bổ đề Chú ý 2.2.5 Ta cần nhắc lại rằng: dãy x1 , , xr N -dãy từ chiều > −1 N −dãy quy x1 , , xr N -dãy từ chiều > dãy lọc quy N (định nghĩa N T Cường, N V Trung, P Schenzel [11]) Hơn nữa, x1 , , xr N -dãy từ chiều > dãy quy suy rộng N (định nghĩa L.T Nhàn [22]) Chứng minh Định lý 2.2.3 Định lý suy tức khắc từ định lý sau M = R Định lý 2.2.6 (Cường-Hoàng [8, Theorem 4.4]) Cho (R, m) vành địa phương Noether, I iđêan R M R−môđun hữu hạn sinh Lấy R = ⊕n≥0 Rn là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh R0 = (R, m) N = ⊕n≥0 Nn R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Với số nguyên k ≥ −1, ta lấy r giá trị ổn định depthk (IM , Nn ) n đủ lớn Khi với số nguyên l ≤ r, ta thu tập hợp j j≤l AssR (HI (M, Nn ))≥k hữu hạn ổn định n đủ lớn Chứng minh Lấy r giá trị ổn định depthk (IM , Nn ) Ta cần chứng tỏ với số nguyên l ≤ r tập hợp ổn định n lớn j j≤l AssR (HI (M, Nn ))≥k hữu hạn Theo Bổ đề 2.2.1 2.2.2, ta tìm số nguyên t đủ lớn cho AssR (Nn /IM Nn ) ổn định r = depthk (IM , Nn ) với n ≥ t Đặt d = dim(Nt /IM Nt ) Ta xét ba trường hợp sau Trường hợp Nếu d < k , r = ∞ ta có điều mong muốn 23 j≤l AssR (HIj (M, Nn ))≥k = ∅ với n ≥ t Trường hợp Nếu d = k , r = ∞ Từ với số nguyên dương n ≥ t ta có j≤l AssR (HIj (M, Nn ))≥d ⊆ SuppR (Nn /IM Nn )≥d = AssR (Nn /IM Nn )≥d , tập AssR (Nn /IM Nn )≥d chứa phần tử p cực tiểu mà dim(R/p) = d Do X= n≥t j≤l AssR (HIj (M, Nn ))≥d ⊆ AssR (Nn /IM Nn ), n≥t X tập hữu hạn theo Bổ đề 2.2.1 Như ta lấy t đủ lớn cho với p ∈ X p∈ j≤l AssR (HIj (M, Nn ))≥d với vô hạn n ≥ t Bây với p ∈ X ta đặt s giá trị ổn định depth((IM )p , (Nn )p ), ta viết s = depth((IM )p , (Nn )p ) với n ≥ n(p) (trong n(p) số nguyên thỏa mãn n(p) ≥ t) Suy HIs (M, Nn )p = với n ≥ n(p) Hơn nữa, theo định nghĩa X , dẫn tới bất đẳng thức s ≤ l Do p phần tử cực tiểu SuppR (HIs (M, Nn )), p ∈ AssR (HIs (M, Nn ))≥d ⊆ j≤l AssR (HIj (M, Nn ))≥d với n ≥ n(p) Từ ta thấy tập hợp j≤l AssR (HIj (M, Nn ))≥d hữu hạn ổn định với n ≥ max{n(p) | p ∈ X} Trường hợp Giả sử d > k Khi r < ∞ Nếu l = 0, ta có AssR (HI0 (M, Nn ))≥k = AssR (Nn )≥k ∩ V (IM ) 24 hữu hạn ổn định với n lớn theo Bổ đề 2.2.1 Giả sử ≤ l ≤ r Trong trường hợp này, theo Bổ đề 2.2.4, tồn dãy x1 , , xr iđêan IM mà Nn −dãy từ chiều > k với n ≥ u (trong u số nguyên thỏa mãn u ≥ t) Theo Định lý 2.1.10, ta nhận đẳng thức sau j≤l AssR (HIj (M, Nn ))≥k = j≤l AssR (Nn /(x1 , , xj )Nn )≥k ∩ V (IM ) với n ≥ u Khi ta thu theo Bổ đề 2.2.1 tập hợp vế bên phải hữu hạn ổn định n đủ lớn Và tập hợp sau j≤l AssR (HIj (M, Nn ))≥k hữu hạn ổn định với n lớn, điều phải chứng minh Phần cịn lại mục ta xét hệ Định lý 2.2.6 Bằng cách thay k = −1, 0, Định lý 2.2.6, ta nhận kết sau mở rộng kết [9, Theorem 1.2] cho môđun đối đồng điều địa phương suy rộng Hệ 2.2.7 Cho r, r0 r1 giá trị ổn định depth(IM , Nn ), f-depth(IM , Nn ) gdepth(IM , Nn ), tương ứng Khi phát biểu sau (i) Tập hợp AssR HIr (M, Nn ) hữu hạn ổn định với n lớn (ii) Với số nguyên l0 ≤ r0 ta có tập hợp j≤l0 AssR (HIj (M, Nn )) hữu hạn ổn định với n lớn (iii) Với số nguyên l1 ≤ r1 ta có tập hợp hữu hạn ổn định với n lớn j≤l1 AssR (HIj (M, Nn )) ∪ {m} Chứng minh (i) Vì HIj (M, Nn ) = với j < r n lớn, j≤r AssR (HIj (M, Nn ))≥−1 = AssR HIr (M, Nn ) 25 hữu hạn ổn định với n lớn (theo Định lý 2.2.6) (ii) Kết luận toán suy từ Định lý 2.2.6 đẳng thức j≤l0 AssR (HIj (M, Nn ))≥0 = AssR (HIj (M, Nn )) j≤l0 với l0 ≤ r0 n lớn (iii) Với l1 ≤ r1 ta có j≤l1 AssR (HIj (M, Nn ))≥1 ∪ {m} = j≤l1 AssR (HIj (M, Nn )) ∪ {m} với n lớn Do kết suy từ Định lý 2.2.6 Chú ý I = ann(M ) HIj (M, Nn ) = ExtjR (M, Nn ) với j ≥ theo Bổ đề 2.1.9 Hơn nữa, trường hợp này, theo lập luận tương tự phần chứng minh Hệ 2.1.14, ta có IM = √ IM = I Do Định lý 2.2.6 dẫn đến hệ sau Hệ 2.2.8 Cho k số nguyên với k ≥ −1 r giá trị ổn định depthk (ann(M ), Nn ) Khi với l ≤ r tập hợp ổn định với n lớn j j≤l AssR (ExtR (M, Nn ))≥k Với số nguyên j ≥ 0, iđêan I R, hệ a = (a1 , , as ) phần tử R, s số nguyên không âm t = (t1 , , ts ) ∈ Ns , mục trước ta đặt T j (I t , Nn ) = AssR (ExtjR (R/I t , Nn )), T j (at , Nn ) = AssR (ExtjR (R/(at11 , , atss ), Nn )) Khi ta có hệ sau Hệ 2.2.9 Lấy k ≥ −1 số nguyên, I iđêan R r giá trị ổn định depthk (I, Nn ) Lấy a1 , , as hệ phần tử sinh I lấy số nguyên l ≤ r Khi với số nguyên dương t, t1 , , ts , ta có tập hợp sau j≤l T j (I t , Nn )≥k 26 j≤l T j (at , Nn )≥k ổn định với n lớn Hơn nữa, r < ∞ j≤l T j (I t , Nn )≥k = j≤l T j (at , Nn )≥k ổn định với n lớn Chứng minh Theo Bổ đề 2.2.2, ta tìm số nguyên u đủ lớn cho r = depthk (I, Nn ) với n ≥ u Lấy t, t1 , , ts số nguyên dương Vì √ √ I t = I = (at11 , , atss ), nên ta có √ r = depthk ( I, Nn ) = depthk (I t , Nn ) = depthk ((at11 , , atss ), Nn ) với n ≥ u Điều với Hệ 2.2.8 dẫn đến (bằng cách đặt M = R/I t M = R/(at11 , , atss )) tập j≤l T j (I t , N ) n ≥k j≤l T j (at , N ) n ≥k ổn định với n lớn Bây ta giả sử r < ∞ Khi đó, với n ≥ u, ta thu từ Hệ 2.1.16 j≤l T j (I t , N ) n ≥k = j≤l T j (at , N ) n ≥k với số nguyên dương t, t1 , , ts Như chúng ổn định với n lớn 2.3 Tính ổn định tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương bậc d − Trong mục ta giả thiết (R, m) vành Noether địa phương, I, J hai iđêan R M R−môđun hữu hạn sinh Lấy R = ⊕n≥0 Rn đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh R0 = (R, m) N = ⊕n≥0 Nn R−môđun phân bậc hữu hạn sinh Như mục trước để thuận tiện ta kí hiệu Ln để kí hiệu cho R−mơđun Nn R−mơđun M/J n M Theo Bổ đề 2.2.1, ta thấy dim Ln lấy giá trị d n đủ lớn Ta gọi d giá trị ổn định dim Ln n đủ lớn Kết mục định lý sau N.V Hoàng - P.H Khánh báo [14] Định lý 2.3.1 (Định lý 3) Cho Ln giới thiệu Với số nguyên j j≥l SuppR (HI (Ln )) ổn định n lớn Đặc biệt, AssR (HId−1 (Ln )) ∪ {m} ổn định với n đủ lớn, d khơng âm l, ta có tập hợp ta suy tập giá trị ổn định dim Ln 27 Để chứng minh Định lý 2.3.1, ta cần số bổ đề sau Bổ đề 2.3.2 Cho M, N R−môđun hữu hạn sinh I iđêan R Nếu SuppR (M ) ⊆ SuppR (N ) với số ngun khơng âm l ta có SuppR (HIl (M )) ⊆ SuppR (HIj (N )) j≥l Chứng minh Ta chứng minh quy nạp giảm dần theo l Bổ đề hiển nhiên l > dim M theo định lý triệt tiêu Grothendieck Giả sử l ≤ dim M bổ đề với l + Vì SuppR (M ) ⊆ SuppR (N ), nên ta nhận theo định lý Gruson [24, Theorem 4.1] tồn dãy = L0 ⊆ L1 ⊆ ⊆ Lt = M (**) gồm mơđun M , thương Li /Li−1 ảnh đồng cấu tổng trực tiếp hữu hạn phiên N Với i = 1, , t, từ dãy khớp → Li−1 → Li → Li /Li−1 → ta có dãy khớp sau HIl (Li−1 ) → HIl (Li ) → HIl (Li /Li−1 ) Do SuppR (HIl (Li )) ⊆ SuppR (HIl (Li−1 )) ∪ SuppR (HIl (Li /Li−1 )) Dẫn đến SuppR (HIl (M )) ⊆ SuppR (HIl (Lt−1 )) ∪ SuppR (HIl (Lt /Lt−1 )) ⊆ SuppR (HIl (Lt−2 )) ∪ SuppR (HIl (Lt−1 /Lt−2 )) ∪ SuppR (HIl (Lt /Lt−1 )) ⊆ SuppR (HIl (Li /Li−1 )) 1≤i≤t Theo tính chất dãy (**), với i ∈ {1, , t} ta có dãy khớp ngắn si → Ki → k=1 N → Li /Li−1 → (trong Ki R−mơđun hữu hạn sinh đó, si số nguyên dương đó) Điều kéo theo dãy khớp sau si HIl ( k=1 N ) → HIl (Li /Li−1 ) → HIl+1 (Ki ) 28 Do si SuppR (HIl (Li /Li−1 )) ⊆ SuppR (HIl+1 (Ki )) ∪ SuppR (HIl ( ⊕ N )) k=1 = SuppR (HIl+1 (Ki )) ∪ SuppR (HIl (N )) Chú ý si SuppR (Ki ) ⊆ SuppR ( ⊕ N ) = SuppR (N ) k=1 Vì ta nhận theo giả thiết quy nạp SuppR (HIl+1 (Ki )) ⊆ SuppR (HIj (N )) j≥l+1 Do SuppR (HIl (Li /Li−1 )) ⊆ SuppR (HIj (N )), j≥l SuppR (HIl (M )) ⊆ SuppR (HIj (N )) j≥l Điều kết thúc chứng minh bổ đề Bổ đề 2.3.3 Lấy dim N = d Khi SuppR (HId−1 (N )) ∪ {m} = AssR (HId−1 (N )) ∪ {m} Chứng minh Rõ ràng SuppR (HId−1 (N )) ∪ {m} ⊇ AssR (HId−1 (N )) ∪ {m} Theo [7, Lemma 2.6], ta suy tập hợp SuppR (HId−1 (N )) hữu hạn Do dim(R/p) ≤ với p ∈ Supp(HId−1 (N )) theo Ratliff [19, Theorem 31.2] Khi với p ∈ Supp(HId−1 (N )) ta nhận p phần tử cực tiểu Supp(HId−1 (N )) p = m Từ dẫn đến SuppR (HId−1 (N )) ⊆ AssR (HId−1 (N )) ∪ {m} Vì bổ đề chứng minh 29 Chứng minh Định lý 2.3.1 Theo Bổ đề 2.2.1, tồn số nguyên n0 cho SuppR (Ln ) = SuppR (Ln0 ) với n ≥ n0 Từ kết hợp với Bổ đề 2.3.2 dẫn đến SuppR (HIj (Ln )) = j≥l SuppR (HIj (Ln0 )) j≥l với n ≥ n0 Do yêu cầu thứ định lý chứng minh Đối với yêu cầu thứ hai, ta nhận từ Bổ đề 2.3.3 {m} ∪ AssR (HId−1 (Ln )) = {m} ∪ SuppR (HId−1 (Ln )) = {m} ∪ SuppR (HIj (Ln )) , j≥d−1 rõ ràng tập ổn định n lớn theo yêu cầu thứ Vậy định lý chứng minh Nhìn chung tập hợp AssR (HI1 (M/J n M )) không ổn định n đủ lớn (xem [10, Theorem 3.3, (ii)]) Tuy nhiên, [10, Theorem 3.3, (i)], cách áp dụng [9, Theorem 1.1], Cường-Khánh chứng minh tập AssR (HI1 (Nn )) ổn định n lớn, Nn thành phần phân bậc thứ n R−môđun phân bậc hữu hạn sinh N = n≥0 Nn Phần cuối mục này, ta xét thêm số hệ Định lý 2.3.1 cho Nn Trước hết ta nhắc lại chiều đối đồng điều M I định nghĩa cd(I, M ) = sup{i ∈ Z|HIi (M ) = 0} Ta dễ thấy cd(I, M ) ≤ dim M Trong [12, Theorem 1.4], T Dibaei S Yassemi chứng minh M N R−môđun hữu hạn sinh cho SuppR (M ) ⊆ SuppR (N ) cd(I, M ) ≤ cd(I, N ) Từ Bổ đề 2.2.1, ta có bổ đề sau Bổ đề 2.3.4 cd(I, Nn ) lấy giá trị số n đủ lớn Lấy d giá trị ổn định dim Nn Rõ ràng AssR (HIi (Nn )) ổn định n lớn, với i = i > d Theo [10, Theorem 3.3], ta có AssR (HI1 (Nn )) 30 ổn định n lớn Chú ý HId (Nn ) Artin Điều với Bổ đề 2.3.4 dẫn đến tập AssR (HId (Nn )) ổn định n lớn Hơn AssR (HId−1 (Nn )) ∪ {m} ổn định n lớn theo Định lý 2.3.1 Đặc biệt, trường hợp R vành có chiều nhỏ ta có kết sau Hệ 2.3.5 Nếu dim R ≤ tập AssR (HIi (Nn )) ổn định với n lớn i Hệ 2.3.6 Nếu dim R ≤ tập AssR (HIi (Nn )) ∪ {m} ổn định với n lớn i 31 Kết luận Trong luận văn thu kết sau đây: ❼ Trình bày lại chi tiết chứng minh kết 1: Cho (R, m) vành Noether địa phương, I iđêan R N R−môđun hữu hạn sinh Lấy số nguyên k ≥ −1 r = depthk (I, N ) Nếu r < ∞ x1 , , xr N −dãy từ chiều > k I , với số nguyên j ≤ r ta có tập hợp AssR (HIj (N ))≥k hữu hạn Hơn nữa, ta có đẳng thức j≤l AssR (HIj (N ))≥k = j≤l AssR (N/(x1 , , xj )N )≥k ∩ V (I) với l ≤ r ❼ Trình bày lại chi tiết chứng minh kết 2: Cho (R, m) vành địa phương Noether I iđêan R Lấy R = ⊕n≥0 Rn đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh R0 = (R, m) N = ⊕n≥0 Nn R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Với số nguyên k ≥ −1, ta lấy r giá trị ổn định depthk (I, Nn ) Khi với số nguyên l ≤ r, ta có tập hợp j j≤l AssR (HI (Nn ))≥k ổn định n đủ lớn ❼ Trình bày lại chi tiết chứng minh kết 3: Lấy Ln R−môđun Nn R−môđun M/J n M Khi với số ngun khơng âm l, ta có tập j j≥l SuppR (HI (Ln )) ổn định n lớn AssR (HId−1 (Ln )) ∪ {m} ổn định với n lớn dim Ln ) 32 Đặc biệt, ta suy tập (trong d giá trị ổn định Tài liệu tham khảo [1] M H Bijan-Zadeh, A common generalization of local cohomology theories, Glasgow Math J., 21 (1980), 173-181 [2] M Brodmann, Asymptotic stability of AssR (M/I n M ), Proc Amer Math Soc., 74 (1979), 16-18 [3] M Brodmann, The asymptotic nature of the analytic spread, Math Proc Camb Phil Soc., 86 (1979), 35-39 [4] M Brodmann and L T Nhan, A finiteness result for associated primes of certain Ext-modules, Comm Algebra, 36 (2008), 1527-1536 [5] M Brodmann and R.Y Sharp, “Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications," Cambridge University Press, (1998) [6] N T Cuong and N V Hoang, Some finite properties of generalized local cohomology modules, East-West J Math (2) (2005), 107-115 [7] N T Cuong and N V Hoang, On the vanishing and the finiteness of supports of generalized local cohomology modules, Manuscripta Math., (1) 126 (2008), 59-72 [8] N T Cuong and N V Hoang, On the finiteness and stability of certain set of associated prime ideals of local cohomology modules, Communications in Algebra 42 (2014), 1757-1768 [9] N T Cuong, N.V Hoang and P H Khanh, Asymptotic stability of certain sets of associated prime ideals of local cohomology modules, Comm Algebra, 38 (2010), 4416-4429 [10] N T Cuong and P H Khanh, Some asymptotic properties of graded module, Acta Math Vietnamica (2) 36 (2011), 183-192 [11] N T Cuong, Schenzel P., N V Trung (1978), "Verallgemeinerte CohenMacaulay moduln", Math Nachr., 85, pp 57-73 33 [12] M T Dibaei and S Yassemi, Cohomological Dimension of Complexes, Comm Algebra, 32 (2004), 4375-4386 [13] J Herzog, Komplexe, Aufloăsungen und Dualitaăt in der Lokalen Algebra, Habilitationsschrift, Universitaăt Regensburg, 1970 [14] N V Hoang and P H Khanh, On the asymptotic stability of certain sets of prime ideals, East-West J of Mathematics, Vol 14, No 1(2012) pp 20-27 [15] C Huneke, Problems on local cohomology, Free resolutions in commutative algebra and algebraic geometry (Sundance, Utah, 1990), Res Notes Math., (1992), 93-108 [16] M Katzman, An example of an infinite set of associated primes of a local cohomology module, J Algebra, 252 (2002), 161-166 [17] K Khashyarmanesh and Sh Salarian, On the associated primes of local cohomology modules, Comm Algebra, 27 (1999), 6191 - 6198 [18] R Luă and Z Tang, The f-depth of an ideal on a module, Math Proc Camb Phil Soc., (7) 130 (2001), 1905-1912 [19] H Matsumura, "Commutative ring theory", Cambridge Univ Press, Cambridge, 1986 [20] L Melkersson, On asymptotic stability for sets of prime ideals connected with the powers of an ideal, Math Proc Camb Phil Soc., 107 (1990), 267-271 [21] L Melkersson and P Schenzel, Asymptotic prime ideals related to derived functions, Proc Amer Math Soc., (4) 117 (1993), 935-938 [22] L T Nhan, On generalized regular sequences and the finiteness for associated primes of local cohomology modules, Comm Algebra, 33 (2005), 793-806 [23] A Singh, p−torsion elements in local cohomology modules, Math Res Lett., (2000), 165-176 [24] W.V Vasconcelos, Divisor theory in module categories, in: North-Holland Mathematics Studies, Vol 14 (1974) 34 ... 1.5 Vành môđun phân bậc 11 Tính hữu hạn ổn định tiệm cận tập iđêan nguyên tố liên kết số mơđun 13 2.1 Tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết 13 2.2 Tính ổn định. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM MÃ ĐỨC NGHỊ TÍNH HỮU HẠN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN... đồng cấu vành đa thức n biến A0 Do A0 vành Noether theo Định lí sở Hilbert, ta suy vành đa thức A0 vành Noether Vì A vành Noether 12 Chương Tính hữu hạn ổn định tiệm cận tập iđêan nguyên tố liên