ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————————————————— NGUYỄN THỊ HẢI NHƯ MỘT THUẬT TỐN TÌM NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TỐN QUY HOẠCH SONG TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HOC ————————————————— NGUYỄN THỊ HẢI NHƯ MỘT THUẬT TỐN TÌM NGHIỆM TỐI ƯU CỦA BÀI TỐN QUY HOẠCH SONG TUYẾN TÍNH Chun ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS TS TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - Năm 2017 i Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới GS.TS Trần Vũ Thiệu, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, cho tơi nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới phịng Sau Đại học, thầy giáo dạy cao học chuyên ngành Toán ứng dụng trường Đại học Khoa Học Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu khoa học Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập Thái Nguyên, tháng năm 2017 Người viết luận văn Nguyễn Thị Hải Như ii Mục lục Lời cảm ơn i Mục lục i Một số ký hiệu viết tắt Mở đầu 1 Bài tốn quy hoạch song tuyến tính 1.1 Đối ngẫu quy hoạch tuyến tính 1.2 Bài toán quy hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính 1.2.1 Hàm lõm tính chất 1.2.2 Bài toán quy hoạch lõm 1.3 1.4 10 Bài tốn quy hoạch song tuyến tính 11 1.3.1 Phát biểu toán 12 1.3.2 Quan hệ với toán quy hoạch lõm 13 1.3.3 Tính chất nghiệm tốn song tuyến tính 15 Tìm nghiệm cực tiểu địa phương 16 iii Thuật toán giải quy hoạch song tuyến tính 2.1 19 Cơ sở lý thuyết thuật toán 19 2.1.1 Biến đổi toán quy hoạch song tuyến tính 19 2.1.2 Điều kiện tối ưu thuật toán 23 Mơ tả thuật tốn 25 2.2.1 Các bước thuật toán 25 2.2.2 Suy biến 28 2.2.3 Sự hội tụ 31 2.3 Cách tiếp cận siêu phẳng cắt 34 2.4 Ví dụ minh họa thuật tốn 36 2.2 Tài liệu tham khảo 46 Một số ký hiệu viết tắt R Tập số thực hay đường thẳng thực Rn Khơng gian Euclid n chiều Rm×n Tập ma trận thực cấp (m × n) x∈C x thuộc tâp C (x phần tử tập C) ∅ Tập rỗng (Tập không chứa phần tử nào) C ∪D Hợp tập C tập D C ∩D Giao tập C tập D C⊂D C tập tập D C⊆D C tập (có thể bằng) tập D xT y Tích vơ hướng cuả x y x0 , x1 , x2 , , xn Các tọa độ điểm hay thành phần véctơ x ( số ) x , x2 , x3 Liệt kê véctơ có số chiều (cùng số trên) AT Ma trận chuyển vị ma trận A A−1 Ma trận nghịch đảo ma trận A Mở đầu Hàm f (x, y) gọi hàm song tuyến tính (bilinear function) hàm tuyến tính cố định véctơ biến x hay véctơ biến y giá trị cụ thể Tổng quát, hàm song tuyến tính có dạng: f (x, y) = aT x + xT Qy + bT y, a, x ∈ Rn , b, y ∈ Rm Q ma trận cấp n × m Có thể thấy hàm song tuyến tính trường hợp riêng hàm tồn phương hàm song tuyến tính nói chung khơng lồi, khơng lõm Bài tốn cực tiểu hàm song tuyến tính với ràng buộc tuyến tính biến x biến y gọi quy hoạch song tuyến tính (bilinear programming problem) Như vậy, xem quy hoạch song tuyến tính tốn quy hoạch tồn phương đặc biệt Quy hoạch song tuyến tính có nhiều ứng dụng đa dạng tốn trị chơi ma trận có ràng buộc, tốn bù tuyến tính tốn phân việc 3-chiều Đáng ý toán quy hoạch lõm, tuyến tính khúc tốn luồng mạng với phụ phí cố định (rất quen thuộc quản lý chuỗi cung ứng) giải nhờ dùng cách diễn đạt song tuyến tính (xem [4]) Luận văn xét toán quy hoạch song tuyến tính, ký hiệu (BP): x∈X, y∈Y f (x, y) = aT x + xT Qy + bT y, (BP ) X, Y tập lồi đa diện, khác rỗng Có nhiều thuật tốn khác để giải (BP) Luận văn tìm hiểu trình bày thuật tốn bản, nêu tài liệu [3] để giải toán Để hiểu rõ tốn quy hoạch song tuyến tính thuật tốn trình bày, luận văn nhắc lại số kiến thức tối ưu có liên quan: đối ngẫu quy hoạch tuyến tính, tốn quy hoạch lõm tính chất, tốn tối ưu tồn cục, Các kiến thức quy hoạch song tuyến nêu chương luận văn Nội dung luận văn thuật toán [3] giải quy hoạch song tuyến tính: bước thuật tốn, hội tụ thuật tốn ví dụ minh họa thuật tốn Các nội dung trình bày chi tiết chương luận văn Luận văn viết dựa chủ yếu tài liệu tham khảo [1] - [6] có gồm hai chương: Chương 1: Bài tốn quy hoạch song tuyến tính nhắc lại kiến thức đối ngẫu quy hoạch tuyến tính, tốn quy hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính, khái niệm hàm lõm (hàm tựa lõm) tính chất hàm lõm Tiếp đó, giới thiệu tốn quy hoạch song tuyến tính, tính chất nghiệm toán mối liên hệ với toán cực tiểu hàm lõm, tuyến tính khúc Cuối chương giới thiệu "thuật tốn xuống núi" tìm nghiệm cực tiểu địa phương tốn quy hoạch song tuyến tính đưa ví dụ minh họa thuật tốn Chương 2: Thuật toán giải toán quy hoạch song tuyến tính trình bày thuật tốn nêu tài liệu tham khảo [3] để giải toán quy hoạch song tuyến tính Thuật tốn biến đổi tốn ban đầu tốn tối ưu tập khơng lồi giải tốn đó, dựa điều kiện tối ưu cần đủ đưa chứng minh hội tụ nghiệm toán quy hoạch song tuyến tính ban đầu Thuật tốn trình bày minh họa ví dụ số cụ thể Chương Bài tốn quy hoạch song tuyến tính Chương nhắc lại kết đối ngẫu quy hoạch tuyến tính, tốn quy hoạch lõm ràng buộc tuyến tính Tiếp đề cập tới tốn quy hoạch song tuyến tính, tính chất nghiệm toán mối liên hệ với toán cực tiểu hàm lõm, tuyến tính khúc Cuối chương nêu thuật tốn tìm cực tiểu địa phương tốn Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [5] - [6] 1.1 Đối ngẫu quy hoạch tuyến tính A Trong quy hoạch tuyến tính người ta hay xét hai dạng tốn sau • Dạng chuẩn tắc: f (x) = cT x : Ax Trong A ∈ Rm×n , b ∈ Rn , x ràng buộc D = {x ∈ Rn : Ax b, x , n Trong toán tập có nghĩa x ∈ R+ b, x 0} tập lồi đa diện 32 θi = max θi : x0 + θi v i ∈ S (V ) > V tập đỉnh X thăm dò vịng lặp thuật tốn Theo Định lý 2.2.3 nêu đây, T ⊆ S(V) vịng lặp thuật tốn Hơn nữa, theo Hệ 2.2.4, X ⊆ T ∆ = ∅ Điều kéo theo X ⊆ S(V) thuật toán kết thúc Do theo Định lý 2.1.4.a, quy tắc dừng thuật toán bảo đảm nhận nghiệm tối ưu Định lý 2.2.3 Ở vịng lặp thuật tốn T ⊆ S(V) Chứng minh Do T= = ∪ ω∈∆∪∆c ∪ ω∈∆∪∆c C (ω) ∩ C (ω) ∩ ∩ H (ω) ∪ H(ω) ω∈∆∪∆c ω∈∆∪∆c ⊆ ∪ ω∈∆∪∆c [C (ω) ∩ H(ω)] Để hoàn thành việc chứng minh ta cần nêu C (ω) ∩ H (ω) ⊆ S (V ) Cho xˆ điểm C (ω) ∩ H (ω), cho: xˆ = x0 Với i=I(ω) i∈I(ω) 1− i=I(ω) ≤ 1,λi ≥ 0, i ∈ I(ω ) Ta viết lại sau: λi θi x = x0 + = λi v i λi θv θi i i i∈I(ω) λi θi =µ0 x + x0 + µi (x + i∈I(ω) θi v i ) λi (x0 θi + θi v i ) i∈I(ω) Trong đó: µ0 = − i∈I(ω) λi θi ≥ , µi = λi θi ≥ 0, i ∈ I(ω ) µi = µ0 + i∈I(ω) Từ tính lồi S(V ), x ˆ tổ hợp lồi điểm thuộc S(V ), Từ tính lồi S(V), tổ hợp lồi điểm thuộc S(V) nên nằm S(V) đến 33 định lý chứng minh đầy đủ Định lý 2.2.1 tương tự Bổ đề lát cắt lồi Glover [3], dựa ý tưởng lát cắt Hoàng Tụy [6] Bổ đề 2.2.4 Cho n véctơ n - chiều độc lập tuyến tính v , , v n v∗ = λ∗i v i + i∈I + i∈I + λ∗i v i λ∗i ≤ với i ∈ I λ∗i > với i ∈ I + = ∅, I ∪ I = {1, n} Ta đặt C= n x:x= i=1 với j ∈ I + Cj = Khi đó: C ⊆ ∪ Cj + j∈I    λi v i , λi ≥ 0, i = 1, , n , x : x = λj v ∗ + n i=1 i=j λi v i , λi ≥ 0, i = 1, , n    Chứng minh Lấy điểm C, chẳng hạn: λi v i x= i∈I ∪I + với λi ≥ Với µ µv ∗ = i∈I ∪I + ∗ (µλ∗i )v i x = µv + i∈I λi − µλ∗i v i + i∈I + λi − µλ∗i v i Chọn µ = λr /λ∗r = λi /λ∗i : i ∈ I + ≥ Khi đó,x ∈ Cr (trên biên Cr µ = 0) Định lý 2.2.5 Tại vịng lặp thuật toán T ⊇ C0 ∩ C0 = ∩ H(ω) , Trong ω∈∆∪∆c n x|x + i=1 λi v i ; λi ≥ 0, i = 1, , n , Và v , ,v vectơ chuẩn đơn vị xác định Bước n 34 Chứng minh Theo định nghĩa T cần chứng minh C0 ⊆ ∪ω∈∆∪∆c C(ω) Có thể thấy thuật toán ∪ω∈∆∪∆c C(ω) xây dựng sau: Ta bắt đầu với tập C0 tạo tập Cj‘ s, hợp chúng chứa C0 Các tập tiếp sau xây dựng cách xuất phát từ tập Cj trình áp dụng lặp lại để nhận ∪ω∈∆∪∆c C(ω) Như vậy, kết luận định lý suy từ Bổ đề 2.2.2 Hệ 2.2.6 Nếu ∆ = ∅, X ⊆ T Chứng minh X chứa C0 theo cách xây dựng C0 H(ω) với ω ∈ ∆c theo điều kiện Bước 4.a Từ đó, kết luận hệ suy từ Định lý 2.2.3 2.3 Cách tiếp cận siêu phẳng cắt Mục trình bày biến thể siêu phẳng cắt thuật toán Cách tiếp cận siêu phẳng cắt dựa quan sát sau Trong thuật toán nêu mục 2.2, vòng lặp thứ tạo nửa không gian H(ω ) cho H (ω) ∩ X ⊆ S (V) Do đó, theo tiêu chuẩn tối ưu khơng có điểm H (ω) ∩ X cho giá trị hàm mục tiêu tốt z(V) Trong thuật toán siêu phẳng cắt, phần X nằm H(ω ) bị cắt bỏ tạo tập X nhỏ Sau đó, tìm đỉnh tập X tiếp tục thực vòng lặp trước Ưu điểm cách tiếp cận địi hỏi nhớ Thuật toán siêu phẳng cắt gồm bước sau 35 Bước Chọn đỉnh X xác định V = {x0 } Đặt X0 = X, k = Chuyển sang Bước Bước Trong Xk tìm đỉnh xk,1 , xk,2 , , xk,r kề xk đưa đỉnh vào V Với j = 1, 2, , r tính giá trị zk,j = cT xk,j + bT uk,j cho xk,j , uk,j ∈ Λ Nếu r = n r > n tồn j cho zk,j > zk = cT xk + bT uk với xk , uk ∈ Λ chuyển sang Bước Trái lại, chọn đỉnh xk,j cho zk,j < zk đặt xk = xk,j tìm đỉnh kề xk chuyển sang Bước (Đối với trường hợp đặc biệt r > n zk = zk,i với i = 1,2, , n, xem Nhận xét đây) Bước Giả sử vk,1 , , vk,n véctơ chuẩn đơn vị, xác định nửa đường thẳng từ xk qua đỉnh xk kề Xk‘ ( xác định Định lý 3.1 với X = Xk x0 = xk ) Với i = 1, , n cách giải quy hoạch tuyến tính tìm số θi = θi : xk + θi v k,i ∈ S (V) Chuyển sang Bước Bước Xác định ma trận M = vk,1 , , vk,n h = 1/θ1 , , 1/θn T θi > Giải quy hoạch tuyến tính: max hT M −1 x − xk : x ∈ Xk Giả sử x∗ nghiệm tối ưu α giá trị tối ưu nhận Nếu α ≥ dừng thuật tốn Trái lại chuyển sang Bước Bước Thêm x∗ vào V Đặt xk+1 = x∗ Xk+1 = Xk ∩ x ∈ Rn : hT M −1 x − xk Đặt k = k + Nếu zk < Z(V ) quay lại Bước Trái lại, quay lại Bước Nhận xét Nếu r > n zk = zk,j , j = 1, , r giả thiết Định lý 3.2 khơng cịn đúng, Bước 2, zk = zk,j > khơng cịn 36 bảo đảm Trong trường hợp Bước 3, α cần thay bằng: α = max π T x − xk : x ∈ X Khi đó, ràng buộc Bước trở thành π T x − xk , π nghiệm tốn sau: n i=1 π T θk,i xk,i − xk :π T θk,i xk,i − xk 1, i = 1, , r Với θk,i = max θk,i : xk + θk,i xk,i − xk ∈ S (V ) Nhận xét Để ý lúc bắt đầu vòng lặp cho, điểm xk,1 , , xk,n nhận thuộc diện Xk khơng cần hồn thành vịng lặp kết thúc thủ tục Nhận xét Cũng biến thể thứ thuật tốn, S(V) thay R(V) 2.4 Ví dụ minh họa thuật tốn Xét ví dụ số R2 Xét tốn quy song tuyến tính       hoạch  y1   −1y1   x1  [2, 0]  + [x1 , x2 ]   + [0, 1]  → max, y2 y2 x2 −1 với điều kiện x ∈ X, y ∈ Y,trong đó:  1        x1     X = {x ∈ R2 :   3 −1 x2     −2    5      7  ,x ≥ 0},    6     (LP1 ) 37  1   3  Y = {(y ∈ R :  2    2      y1     0  y2    8     14  ,y ≥ 0}   6     Các tập X Y vẽ Hình 2.1 Phát  biểu  đối ngẫu toán  u1         u2   x1   (LP2 ) [2, 0]  + [8, 14, 9, 3]   → max  u3  x2     u4 Với điều kiện   u1             u2  0  −1x1  1 0  x ∈ X    , u ≥  ≥ +   1  u3  x2 −1 1   u4 Để tìm nghiệm tối ưu tốn, thuật tốn mơ tả phải qua vịng lặp sau Khởi (Bước 0) Chọn x0 = (0, 0)T Các đỉnh kề x0 x1 = (1, 0)T x2 = (0, 5)T Giải (LP2 ) cách đặt x = xi , i 0, 1, Các giá trị tối ưu tương ứng z(x0 ) = 3, z(x1 ) = 13/2, z(x2 ) = 18 Đặt V = đó: x0 , x1 , x2 , z (V ) = 18, w1 = v1, v2 ∆ = {ω }, 38 v = (1, 0)T , v = (0, 1)T Vòng lặp Bước ∆ = ∅ Chọn ω Bước Giải quy hoạch tuyến tính: • Tìm cực đại θ1 ,   0    với điều kiện  1     −8 −14 −9 −3 u ≥ , θ1 ≥ • Tìm cực đại θ2 ,   0    với điều kiện  1     −8 −14 −9 −3 u ≥ , θ2 ≥    u1       u2       u3      u4    u1       u2       u3      u4                    - θ ≥ −1  ,     −18 −1          - θ ≥    ,     −18 Giá trị tối ưu là: θ1 = 36/13, θ2 = Bước Giải quy hoạch tuyến tính • Tìm cực đại 13 36 λ1 + 51 λ2 , 39    1               0    với điều kiện     λ +   λ  3 −1     −2 Nghiệm tối ưu λ∗1 = 2, λ∗2 =   5     7     6     ∗ Bước Do 1/θ1 λ∗1 + > nên ta đặt 1/θ2 λ = 119 90   2    √ 2/ 13  0 1 0 x3 =   + 2  + 3 , v =  √  0 3/ 13 Thêm x3 vào V thay ω ∆ ω = {v , v } ω = {v , v } Để đổi z(V), ta đặt x = x3 (LP2) giải quy hoạch tuyến tính thu Giá trị tối ưu 10, nghĩa nhỏ z(V) Vì thế, z(V) giữ nguyên Vòng lặp Bước ∆ = ∅ Chọn ω = v , v Bước θ1 không thay đổi; θ3 giá trị tối ưu quy hoạch tuyến tính: • Tìm cực đại θ3 ,     u1           u2    với điều kiện  1       u3    −8 −14 −9 −3   u4 u 0, θ3 √ Giá trị tối ưu θ3 = 15 13 Bước Giải   √    −1/ 13    √     θ ≥ -  1/ 13   ,    √  4/ 13 −18  40 λ1 + 157√3 λ3 • Tìm cực đại 13  36  1           0         λ +  với điều kiện   λ2     3 −1     −2 √ Nghiệm tối ưu λ∗1 = 57 , λ∗2 = 53 13   5     7     6     Bước 1/θ1 λ∗1 + 1/θ3 λ∗3 × 707/900 =< Do đó, ω bị loại khỏi ∆ Vòng lặp Bước ∆ = ω Chọn ω = v , v Bước θ3 θ3 không thay đổi Bước Giải • Tìm cực đại 51 λ2 +  7√ λ, 15 3   1         √   2/ 13         λ +  với điều kiện   √  λ3    3 −1 3/ 13     −2 Nghiệm tối ưu λ∗2 = 5, λ∗3 =   5     7     6     Bước 1/θ2 λ∗2 + 1/θ3 λ∗3 = Do đó, ω bị loại khỏi ∆ Vịng lặp Bước ∆ = ∅ Do dừng thuật tốn Nghiệm tối ưu 41     0 0 x∗ =   , y ∗ =   , y ∗ nghiệm đối ngẫu tối ưu toán thứ ba giải Bước Giá trị tối ưu hàm mục tiêu 18 Nhận xét Để ý chiến thuật duyệt toàn phải duyệt qua tất đỉnh X, thuật tốn đề xuất phải khảo sát đỉnh số • Giải theo thuật toán siêu phẳng cắt Mục giải lại toán (LP1 ) theo thuật toán siêu phẳng cắt Vòng lặp Bước Các đỉnh kề x0 x0,1 = (1, 0)T x0,2 = (0, 5)T với z0,1 = 13 z0,2 = 18 Đặt V = x0 , x0,1 , x0,2 , z (V ) = 18 Vì r = = n nên chuyển sang Bước T 36 Bước v 0,1 =(1, 0)T , v 0,2 = (0,  đây θ1 = 13 , θ2 =  1) và trước 13  36  1  1  −1 Bước M =   h =   Tính giá trị , M =  1   0 13  α = max { 36  x − x0 : x ∈ X0 }, cách giải quy hoạch  tuyến tính: max 13 36 x1 + 51 x2 : x ∈ X0 Nghiệm tối ưu: x∗ = (2, 3)T với α = 119 90 > Chuyển sang Bước Bước Đặt V = x0 , x0,1 , x0,2 , x∗ , x1 = x∗ X1 = X0 ∩ x ∈ R : 13 36 x1 + 51 x2 Vì z1 = 10 < 18 = z(V) nên chuyển Bước vòng lặp 42 Vòng lặp Bước Các đỉnh kề x1 là  13 5 x1,1 =  , x1,2  v 1,1 =    13   2 5    −       √ 3/ Giải hai quy hoạch tuyến tính:   0 =  ,  √  31 √ 2 α = max { 31 √ 37 √ 2  √   2       −       √   1/  1,2 −1/ 2 √ = = , v =  √   √ 2/ −2/ 1/ • Tìm cực đại θ1 với  điều kiện     u1     0      −1       u2          ≥ 1      −1   ×       u3    −18 −8 −14 −9 −3   u4 , u 0, θ2 √ √ Nghiệm tối ưu  là: θ1 = 37 5, θ = 2 31   √ √ √ −1/ − 1/    −1 , M = Bước M =   √  √ √ −2/ 1/ −2/    √  h =  37  Tính giá trị     √      √ −1/ 2     + θ2  √  1/ √  − 5 √  −  − − 5  √  x − x : x ∈ X1 } √ −2/ − Bằng cách giải quy hoạch tuyến tính: 43 max − 68 37 x1 − Nghiệm tối ưu: x∗ = Bước V = 396 150 T 173 , 173 99 74 x2 + với α = 569 74 : x ∈ X1 9803 6401 > chuyển sang Bước x0 , x0,1 , x0,2 , x1 , x1,1 , x1,2 , x∗ , x2 = x∗ 66 x1 − X2 = X1 ∩ x ∈ R2 : − 37 99 74 x2 + 569 74 Vì z2 < z(V ) nên chuyển Bước vòng lặp Vòng lặp Bước Các đỉnh kề x2 x2,1     1089  433  0 =  , x2,2 =   669 433 Do hai điểm thuộc diện X2 , cụ thể lát cắt tạo vịng lặp trước nên dừng thuật tốn Nghiệm tối ưu tốn   song tuyến tính là:   quy hoạch 0 0 x∗ =   , y ∗ =   với giá trị tối ưu hàm mục tiêu 18 Kết luận chương Chương giới thiệu thuật toán nêu [3] tìm nghiệm tốn quy hoạch song tuyến tính với miền ràng buộc rời với giả thiết tập ràng buộc X, Y bị chặn Thuật toán đưa toán ban đầu toán tối ưu tập không lồi giải toán nhận dựa điều kiện tối ưu đưa Thuật toán hội tụ nghiệm tốn quy hoạch song tuyến tính ban đầu minh họa ví dụ số cụ thể 44 Kết luận Luận văn đề cập tới toán quy hoạch song tuyến tính, dạng đặc biệt quy hoạch tồn phương Nói chung, quy hoạch song tuyến tính tốn tối ưu khơng lồi, khơng lõm thuộc lớp tốn tối ưu tồn cục, khó giải Tuy nhiên, tốn có nhiều ứng dụng lý thuyết thực tiễn, nên nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, lý thuyết thuật tốn giải Luận văn trình bày nội dung cụ thể sau: Các kiến thức toán học có liên quan tới tốn quy hoạch song tuyến tính: đối ngẫu quy hoạch tuyến tính, tốn quy hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính, tính chất nghiệm tốn quy hoạch song tuyến tính mối liên hệ với toán cực tiểu hàm lõm, tuyến tính khúc Giới thiêu "thuật tốn xuống núi" tìm nghiệm cực tiểu địa phương tốn quy hoạch song tuyến tính miền ràng buộc bị chặn Cách đưa toán quy hoạch song tuyến tính tốn tối ưu tương đương tập khơng lồi Từ tìm nghiệm tốn quy hoạch song tuyến tính với miền ràng buộc tách biến với giả thiết miền ràng buộc bị chặn, theo thuật toán dựa điều kiện tối ưu nghiệm toán Biến thể siêu phẳng cắt thuật tốn ví dụ số minh họa thuật toán 45 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Hiền Nguyễn Hữu Điển (2014), Giáo trình giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh ¨ uc¨ [3] Gallo G., Ulk¨ u A (1977), "Bilinear Programming: An Exact Algorithm", Math Programming, 12, 173–194 [4] Nahapetyan A, Pardalos P (2007), "A Bilinear Relaxation Based Algorithm for Concave Piecewise Linear Network Flow Problems", Journal of Industrial and Management Optimization, 3(1), 71–85 [5] Thieu T V (1980), "Relationship between Bilinear Programming Problem and Concave Minimization Under Linear Constraints", Acta Math Vietnam., 67–81 46 [6] Horst R., Tuy H (1996), Global Optimization, 3-rd Edition, New York: Springer ... tới tốn quy hoạch song tuyến tính, quan hệ đối ngẫu quy hoạch tuyến tính, tốn cực tiểu hàm lõm với ràng buộc tuyến tính, tốn quy hoạch song tuyến tính, tính chất nghiệm tốn thuật tốn tìm nghiệm. .. kiến thức toán học có liên quan tới tốn quy hoạch song tuyến tính: đối ngẫu quy hoạch tuyến tính, tốn quy hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính, tính chất nghiệm tốn quy hoạch song tuyến tính mối... phương tốn quy hoạch song tuyến tính 19 Chương Thuật tốn giải quy hoạch song tuyến tính Chương trình bày thuật tốn nêu tài liệu tham khảo [3], để giải toán quy hoạch song tuyến tính Thuật tốn