tất bất đẳng thức nêu chứng minh Bài toán 2.3.2 Cho tam giác ABC Chứng minh √ ma + lb + lc ≤ (a + b + c) 52 Chứng minh b+c−a c+a−b a+b−c Đặt x = ;y = ;z = 2 Dễ thấy x, y, z dương x + y = c, x + z = b, y + z = a, a + b + c = (x + y + z) Ta có 4m2a = 2b2 + 2c2 − a2 2 = 2(x + z) + 2(x + y) − (y + z) = 4x2 + 4x (y + z) + y − 2yz + z 2 = (2x + y + z) − 4yz √ √ = (2x + y + z − yz) (2x + y + z + yz) Suy ma = √ ≤√ 3 x+ x+ y+z √ − yz y+z √ − yz x+ y+z √ + yz + x+ y+z √ + yz 2 hay 2x + y + z − √ ma ≤ Ta biết √ ac lb = a+c Tương tự có lc ≤ p(p − b) ≤ √ yz p(p − b) = (x + y + z) y (x + y + z) z Khi đó, ta có √ √ 2x + y + z − yz √ √ √ ma + lb + lc ≤ + x+y+z y+ z √ √ √ √ y+ z 2x + y + z − yz √ √ = + √ ( x + y + z) 3 √ √ √ ≤ √ 2x + y + z − yz + x + y + z + y+ z √ √ y− z =√ 3(x + y + z) − √ √ ≤ (x + y + z) = (a + b + c) 53 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy tam giác ABC Nhận xét 2.3.1 Vì la ≤ ma nên từ bất đẳng thức √ ma + lb + lc ≤ (a + b + c) ta có bất đẳng thức sau √ la + lb + lc ≤ (a + b + c) (đã chứng minh Ví dụ 1.2.12) Nhận xét 2.3.2 Hiển nhiên hc ≤ lc từ bất đẳng thức √ ma + lb + lc ≤ (a + b + c) ta suy bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel Một cách tự nhiên, người ta hi vọng bất đẳng thức sau √ (a + b + c) ma + mb + mc ≤ Rất tiếc bất đẳng thức không Tuy nhiên ta "bù đắp" thêm lượng để bất đẳng thức sau Bài toán 2.3.3 Cho tam giác ABC Chứng minh √ ma + mb + mc ≤ (a + b + c) + (|b − c| + |c − a| + |a − b|) Chứng minh Không tính tổng quát giử sử a ≥ b ≥ c Gọi AM, AD đường trung tuyến phân giác xuất phát từ đỉnh A Gọi CN, CE đường trung tuyến phân giác xuất phát từ đỉnh C ac a (b − c) b−c a Dễ thấy M D = M B − BD = − = ≤ b+c (b + c) c (a − b) a−b Tương tự N E = ≤ (a + b) Từ b−c ma = AM ≤ AD + M D ≤ la + , a−b mc = CN ≤ CE + N E ≤ lc + 54 √ Theo bất đẳng thức ma + lb + lc ≤ (a + b + c), ta có √ (a + b + c) la + mb + lc ≤ Từ suy √ ma + mb + mc ≤ (a + b + c) + ((b − c) + (a − c) + (a − b)) Với tam giác ABC ta có √ ma + mb + mc ≤ (a + b + c) + (|b − c| + |c − a| + |a − b|) Đẳng thức xảy tam giác ABC 55 Kết luận Với mong muốn tìm hiểu cách hệ thống lịch sử cách chứng minh bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel đồng thời giới thiệu vài ứng dụng bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel để có tài liệu chuyên đề dành cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi tốn, luận văn hồn thành nhiệm vụ sau: (i) Tìm hiểu sơ lược bất đẳng thức hình học nói chung, bất đẳng thức liên quan đến độ dài cạnh, đường tam giác để có điểm tựa cho việc tìm hiểu lời chứng minh bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel (ii) Mơ lại lịch sử đưa dự đoán bất đẳng thức nhà toán học Jack Garfunkel việc sử dụng phần mềm hình học động máy tính (iii) Trình bày lại việc chứng minh bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel đồng thời giới thiệu vài ứng dụng bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel Đặc biệt lúc trình bày tác giả cố gắng để đưa thêm bước trung gian mà lời giải tài liệu tham khảo trình bày vắn tắt để học sinh nắm bắt hiểu vấn đề Mặc dù vậy, luận văn đề cập phần toán bất đẳng thức liên quan đến bất đẳng thức Jack Garfunkel ứng dụng Luận văn cho thấy hướng nghiên cứu mở thú vị, công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, có lịng say mê tìn tịi toán bất đẳng thức liên quan đến tam giác Tác giả mong tiếp tục nhận bảo, đóng góp Thầy, Cơ giáo để tác giả hoàn thiện luận văn tiếp tục tìm hiểu sau trở trường giảng dạy Tác giả xin chân thành cảm ơn! 56 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Vũ Đình Hịa (2006), Bất đẳng thức hình học, NXB Giáo Dục [2] Hội Tốn học Việt Nam (1997), Tuyển tập 30 năm Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Ngọc Hùng (2009), Bất đẳng thức cạnh, đường tam giác, http://violet.vn/HungHXH2009 Tiếng Anh [4] Jose A.G.O., Radmila B.M., Rogelio V.D (2009), Inequalities A Mathematical Olympiad Approach, Basel-Boston-Berlin, Germany [5] Mihai B., Bogdan E., Mircea B (1997), Romanian Mathematical Competitions, The Romanian Society of Mathematical Sciences, Romania [6] Mitrinovic D.S, Pecaric J.E., Volenec V (1989), Recent advances in Geometric Ineqalities, Kluwer Academic Publishers, The Netherlands [7] Titu Andreescu, Oleg Mushkanov, Luchezar Stoyanov (2006), Geometric Problems on Maxima and Minima, Basel-Boston-Berlin, Germany ... bất đẳng thức √ ma + lb + lc ≤ (a + b + c) ta suy bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel Một cách tự nhiên, người ta hi vọng bất đẳng thức sau √ (a + b + c) ma + mb + mc ≤ Rất tiếc bất đẳng thức. .. việc tìm hiểu lời chứng minh bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel (ii) Mơ lại lịch sử đưa dự đốn bất đẳng thức nhà toán học Jack Garfunkel việc sử dụng phần mềm hình học động máy tính (iii) Trình... máy tính (iii) Trình bày lại việc chứng minh bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel đồng thời giới thiệu vài ứng dụng bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel Đặc biệt lúc trình bày tác giả cố gắng