ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CHOUAKHA HOUA TOU XAY ĐA THỨC HILBERT CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CHOUAKHA HOUA TOU XAY ĐA THỨC HILBERT CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2016 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày 10 tháng 04 năm 2016 Người viết luận văn CHOUAKHA HOUATOUXAY i Mục lục MỞ ĐẦU Chương Vành đa thức iđêan đơn thức 1.1 Vành đa thức 1.2 Iđêan đơn thức 1.3 Iờan u v c s Grăobner 1.4 Thuật toán Buchberger 13 Chương Đa thức Hilbert iđêan đơn thức 18 2.1 Đa thức Hilbert chuỗi Hilbert 18 2.2 Phức đơn hình vành Stanley-Reisner 34 2.3 Đồ thị vành mặt 38 KẾT LUẬN 45 Tài liệu tham khảo 45 ii MỞ ĐẦU Cho đại số giao hoán phân bậc hữu hạn sinh trường, hàm Hilbert, đa thức Hilbert, chuỗi Hilbert ba khái niệm có quan hệ mật thiết với nhau, xác định biến thiên chiều thành phần đại số Các khái niệm thường nghiên cứu đối tượng sau: Vành thương vành đa thức nhiều biến iđêan đơn thức; Vành thương vành đa thức nhiều biến iđêan nhất; Vành địa phương với lọc lũy thừa iđêan tối đại Đa thức Hilbert chuỗi Hilbert công cụ quan trọng Hình học Đại số Chúng công cụ dễ để xác định chiều bậc đa tạp Đại số xác định phương trình đa thức Luận văn tìm hiểu hàm Hilbert, đa thức Hilbert chuỗi Hilbert lớp vành thương vành đa thức nhiều biến iđêan đơn thức Trường hợp cho ta nhiều kết trực quan, liên hệ với hai lớp vành quan trọng Đại số giao hốn, Hình học đại số Đại số tổ hợp vành Stanley-Reisner vành mặt Hơn kết Macaulay cho thấy ta chuyển việc nghiên cứu hàm Hilbert, đa thức Hilbert, chuỗi Hilbert lớp vành thương vành đa thức nhiều biến iđêan trường hợp vành thương vành đa thức nhiều biến iđêan đơn thức Luận văn tổng hợp nhiều tai liệu ( [2], [4], [6], [7], ) Luận văn bao gồm hai chương Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị vành đa thức nhiu bin, iờan n thc, c s Grăobner v thut toỏn Buchsberger tỡm c s Grăobner õy l cụng cụ để chuyển tốn tìm hiểu hàm Hilbert lớp vành thương vành đa thức nhiều biến iđêan trường hợp vành thương vành đa thức nhiều biến iđêan đơn thức Chương chương luận văn Trong chương luận văn trình bày hàm Hilbert (afin), đa thức Hilbert, chuỗi Hilbert vành thương vành đa thức nhiều biến iđêan đơn thức Đặc biệt để mô tả kỹ kết trên, luận văn tìm hiểu hai lớp vành Stanley-Reisner vành mặt Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình TS Trần Nguyên An Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy Tôi xin cảm ơn thầy cô Viện Toán học, Khoa Toán Khoa Sau Đại học trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi q trình học tập trường Cuối tơi xin cảm ơn người thân, bạn bè cổ vũ động viên tơi để tơi hồn thành luận văn khóa học Chương Vành đa thức iđêan đơn thức Trong chương này, ta nhắc lại số khái niệm tính chất vành đa thức iđêan đơn thức 1.1 Vành đa thức Cho R vành giao hoán x1 , , xn(n ≥ 1) biến Ta gọi đơn thức biểu thức có dạng xa11 xann , (a1 , , an ) ∈ Nn gọi số mũ đơn thức Nếu a1 = = an = 0, đơn thức kí hiệu Phép nhân tập đơn thức định nghĩa sau: (xa11 xann )(xb11 xbnn ) = x1a1+b1 xann +bn Do đồng x1 với đơn thức x11 x02 x0n, , xn với đơn thức x01 x0n−1x1n, đơn thức tích biến Từ biểu thức có dạng αxa11 xann , với α ∈ R gọi hệ số từ Hai từ khác không αxa11 xann βxb11 xbnn gọi đồng dạng với = bi, ∀i = 1, n Ta kí hiệu x = (x1, , xn), a = (a1 , , an) ∈ Nn xa = xa11 xann Đa thức n biến x1, , xn R tổng hình thức từ: αa xa , f (x) = a∈Nn αa ∈ R có số hữu hạn hệ số αa = Từ αa xa với αa = gọi từ đa thức f (x) xa đơn thức f (x) Phép cộng đa thức định nghĩa sau: αa xa + a∈Nn βa xa = a∈Nn (αa + βa )xa a∈Nn Vì αa + βa = hai hệ số αa βa khác Vì biểu thức vế phải có hữu hạn hệ số khác đa thức Ta đồng αxa với đa thức βb xb , βa = α βb = b∈Nn với b = a Theo cách tất từ với hệ số đồng với đa thức có tất hệ số 0, ta gọi đa thức đa thức khơng, kí hiệu Đa thức α đa thức tương ứng với từ α · Nếu α1 xa1 , , αp xap tất từ f (x) xem f (x) tổng từ qua phép đồng f (x) = α1 xa1 + + αp xap , a1 , , ap ∈ Nn số mũ khác Biểu diễn gọi biểu diễn tắc đa thức f (x) Giả sử f (x) = αa xa g(x) = a∈Nn βa xa biểu diễn a∈Nn tắc hai đa thức f (x) g(x), chúng xem αa = βa , với a ∈ Nn Vậy biểu diễn tắc f (x) Phép nhân đa thức định nghĩa sau αa xa )( ( a∈Nn βa xa ) = a∈Nn γa xa , a∈Nn γa = αb βc Ta thấy γa = tồn b c b,c∈Nn ,b+c=a thỏa mãn αb = 0, βc = b + c = a Do có số hữu hạn hệ số γa khác không phép nhân đa thức hoàn toàn xác định Với hai phép toán cộng đa thức nhân đa thức nêu trên, tập tất đa thức lập thành vành giao hoán với phần tử đơn vị Tập kí hiệu R[x1, , xn] hay R[x] Định nghĩa 1.1.1 Vành R[x1, , xn] xây dựng gọi vành đa thức n biến x1, , xn vành R Chú ý 1.1.2 (i) Khi n = 1, ta có vành đa thức biến thông thường Đa thức biến x thường viết dạng f (x) = an xn + + a1 x + a0 (n ∈ N, a0 , , an ∈ R) (ii) Cho ≤ m ≤ n Bằng cách xem từ αxa11 xann R a m+1 từ (αxa11 xamm )xm+1 xann vành R[x1, , xm], xem R[x1, , xn] vành đa thức n − m biến xm+1, , xn vành R[x1, , xm], tức R[x1, , xn] = R[x1, , xm][xm+1, , xn] Với quan điểm xây dựng vành nhiều biến (vô hạn biến R[xi, i ∈ I]) từ vành biến theo quy nạp Tuy nhiên đa thức vành đa thức hữu hạn biến (iii) Khi tập biến xác định, ta kí hiệu đa thức đơn giản f, g, thay cho f (x), g(x), (iv) Quy ước phép nhân biến giao hốn ta có R[x1, , xn] = R[xδ(1) , , xδ(n) ], với phép δ ∈ Sn Định nghĩa 1.1.3 Bậc tổng thể đa thức f (x) = αa xa số a∈Nn deg f (x) = max{a1 + + an | αa = 0} Đối với đa thức biến, bậc tổng thể bậc thơng thường Đơi bậc tổng thể đa thức nhiều biến gọi tắt bậc, khơng có hiểu lầm xảy Chú ý 1.1.4 (i) Bậc tổng thể đa thức bậc tổng thể đa thức quy ước −∞ (ii) Nhiều ta dùng bậc đa thức tập biến, chẳng hạn x1, , xm, định nghĩa sau: degx1 xm f (x) = max{a1 + + am | αa = 0}, m < n cố định Khi R[x1, , xn] = R[x1, , xm][xm+1, , xn] Mệnh đề 1.1.5 Nếu R miền nguyên, với đa thức f (x), g(x) ∈ R[x] có: deg(f (x)g(x)) = deg f (x) + deg g(x) deg(f (x) + g(x)) ≤ max{deg f (x), deg g(x)} Mệnh đề 1.1.6 Nếu R miền nguyên, vành R[x] miền nguyên Nhận xét 1.1.7 Khi R trường vành đa thức R[x] miền nguyên bậc tổng thể đa thức thỏa mãn mệnh đề Định nghĩa 1.1.8 Cho R vành giao hốn, có đơn vị Các điều kiện sau tương đương: (i) Mọi tập khác rỗng các iđêan R có phần tử cực đại (đối với quan hệ bao hàm) (ii) Mọi dãy tăng iđêan R: I1 ⊆ I2 ⊆ In ⊆ In+1 , dừng, tức tồn k để Ik = Ik+1 = (iii) Mọi iđêan R hữu hạn sinh: tức với iđêan I ⊆ R tồn f1 , f2, , fs ∈ I cho I = (f1, f2, , fs) Nhận xét 2.1.19 Vì số đơn thức có bậc nhỏ s số đơn thức bậc 0, 1, , s nên số đơn thức (xem Bổ đề 2.1.4) s k=0 n+k−1 k = n+s s Từ kết ta có hàm Hilbert chuỗi Hilbert cho Mệnh đề 2.3.9 Sau ta đưa thuật toán xác định Hàm Hilbert iđêan đơn thức Thuật toán Cho I = (m1, , mr ) iđêan sinh đơn thức m1 , , mr ∈ M ⊆ R s ∈ N cho trước Tìm hàm Hilbert iđêan I Liệt kê tất đơn thức bậc s Xóa đơn thức bội mi Số đơn thức cịn lại HR/I (s) Từ định lý Macaulay Hệ 2.1.13 (ii) ta suy để tìm hàm Hilbert(đa thức Hilbert) R/I ta tìm hàm Hilbert(đa thức Hilbert) R/in(I) Để đơn giản đa mô tả qua thuật tốn sau: Thuật tốn Tìm hàm Hilbert- Samuel R/I với I iđêan Chọn thứ tự từ ≤ Tìm sở Groebner I, từ tìm in(I) Tìm hàm Hilbert R/in(I), suy hàm Hilbert R/I Như vậy, cho I iđêan vành R = k[x1, , xn] m0 thuộc N Hàm Hilbert- Samuel R/I có dạng: 32      n HR/I (s) =      PR/I (s) ,s = ,s = , s ≥ m0 Ví dụ 2.1.20 Tìm hàm Hilbert- Samuel đa thức Hilbert- Samuel iđêan I = (xy − zt, x2 y − z ) Như xét Ví dụ 2.1.7, I có sở Groebner thứ tự ≤lex : (t > x > y > z) : {x2y − z , −zt + xy} in(I) = (x2y, zt) -Tính HR/I (2) Liệt kê tất đơn thức bậc theo thứ tự ≤lex : (t > x > y > z):    x , xy, xz, xt A(2) = y , yz, yt   z , zt, t2 Xóa đơn thức bội x2y zt đơn thức cịn lại là: x2 , xy, xz, xt, y 2, yz, yt, z , t2 Vậy HR/I (2) = - Tính HR/I (3) Liệt kê tất đơn thức bậc theo thứ tự ≤lex : (t > x > y > z):   x3, x2y, x2z, x2t     2   xy , xyz, xyt, xz , xzt, xt A(3) = z , zt, t2     y , y 2z, y t, yz , yzt, yt2    z , z t, zt2 , t3 Xóa đơn thức bội x2y zt đơn thức cịn lại là: x3, x2z, x2t, xy 2, xyz, xyt, xz 2, xt2, y , y 2z, y t, yz , yt2, z , t3 33 Vậy HR/I (3) = 15 -Tính HR/I (s): Đa thức bậc s tổng qt có dạng: xa y b z c td , a+b+c+d = s Nếu c = suy xa y b td không chia hết cho zt Nếu b = suy xatd không chia hết cho x2y Vậy a + d = s Do có s+1 lựa chọn, s ≥ Nếu b ≥ suy a = 0; a = có y b td suy b + d = s Vậy có s lựa chọn, s ≥ a = có xy b td suy b + d = s − Vậy có s-1 lựa chọn, s ≥ c ≥ suy d = 0, ta có xay b z c Nếu b = → xaz c Vậy a + c = s Do có s lựa chọn, s ≥ Nếu b ≥ → a = 0; a = → y b z c Vậy b + c = s → có s-1 lựa chọn, s ≥ a = → xy bz c Vậy b + c = s − →có s-1 lựa chọn, s ≥ Vậy HR/I (s) = s + + s + s − + s + s − + s − = 6s − 3, (s ≥ 3.) Suy hàm Hilbert-Samuel      4 HR/I (s) =      6s − R/I có dạng: ,s =   ,s = 1 ,s =  = ,s = ,s =   6s − , s ≥ ,s ≥ đa thức Hilbert-Samuel R/I là: PR/I = 6s − 2.2 Phức đơn hình vành Stanley-Reisner Định nghĩa 2.2.1 Cho V = {v1, · · · , vd } tập hữu hạn Phức đơn hình V tập khác rỗng ∆ tập V thỏa mãn, với F, G ⊆ V , F ⊆ G G ∈ ∆ , F ∈ ∆ Một phần tử ∆ gọi mặt ∆ Một mặt có dạng {vi} gọi đỉnh ∆ Một mặt có dạng {vj , vk } gọi cạnh ∆ Một phần tử cực đại ∆ theo quan hệ bao hàm gọi mặt cực đại (hay siêu mặt) ∆ 34 Chú ý 2.2.2 (i) Cho ∆ phức đơn hình V = {v1, · · · , vd } Theo Định nghĩa ∆ ta khơng u cầu {vi} ⊆ ∆ Vì V hữu hạn nến mặt ∆ chứa mặt cực đại ∆ Đặc biệt, ∆ khác rỗng nến có mặt cực đại Từ ta có ∅ ∈ ∆, mặt ∆ gọi mặt tầm thường ∆ (ii) Ta mô tả "hình học" phức đơn hình: Mọi đỉnh tương ứng với điểm; cạnh tương ứng với hai đỉnh; mặt {v1, v2, v3} tương ứng với tam giác có đỉnh v1, v2 v3; mặt {v1, v2, v3, v4} tương ứng với tứ diện đỉnh v1, v2, v3 v4 Mặt τ = {pi1 , · · · , pim } thường đồng với (i1, · · · , im) ∈ N{0}n Ký hiệu xτ đơn thức K[x1, · · · , xn] cho xτ = i∈τ xi Định nghĩa 2.2.3 Một đơn thức gọi có giá tập S cho tương ứng với điểm tập S Ví dụ 2.2.4 Mặt τ = {v1, v4, v5} giá đơn thức xα1 xα4 xα5 , với α1 , α4, α5 số nguyên dương Định nghĩa 2.2.5 Một siêu mặt phức đơn hình mặt cực đại phức Định nghĩa 2.2.6 Chiều, dim(τ ), mặt p đỉnh p − Chiều phức đơn hình số lớn chiều siêu mặt Định nghĩa 2.2.7 Cho ∆ phức đơn hình V = {v1, · · · , vd }, đặt R = A[x1, · · · , xd] Các iđêan mặt (hay iđêan Stanley-Reisner) 35 R liên kết với ∆ iđêan I∆ = (xi1 · · · xis | i1 < · · · < is d {vi1 · · · vin } ∈ / ∆)R Vành Stanley - Reisner K[△] vành K[x1, · · · , xn] I△ Ví dụ 2.2.8 Cho V = {p1, p2, p3, p4, p5}, định nghĩa △ bao gồm tập V sau: △ = {{p1, p2, p3}, {p1, p2}, {p2, p3}, {p1, p3}, {p2, p4}, {p1}, {p2}, {p3}, {p4}, {p5}} Khi I△ = (x1x5, x1x4, x2x5, x3x4, x3x5 , x4x5) Định nghĩa 2.2.9 Cho phức đơn hình chiều p, f - véctơ, f = (f0, f1, · · · , fp), định nghĩa fi số mặt chiều i phức đơn hình, i = 0, · · · , p Lưu ý f0 số đỉnh phức đơn hình Quy ước, f−1 = Trước mô tả hàm Hilbert cho vành Stanley-Reisner ta cần tính số đơn thức bậc có giá mặt phức đơn hình Bổ đề 2.2.10 Cho mặt phức đơn hình chiều r−1, τ = {vi1 , · · · , vir }, số đơn thức bậc n có giá τ n−1 r−1 Chứng minh Giả sử xαi11 · · · xαirr đơn thức bậc n có giá τ Khi α1 + · · · + αr = n Ta cần tìm phân biệt (α1, · · · , αr ) với αi ≥ 1, i = 1, · · · , r Điều tương đương với tìm phân biệt (β1, · · · , βr ) cho β1 + · · · + βr = n − r} với βi ≥ 0, i = 1, · · · , n n−1 r−1 Theo Bổ đề 2.1.18 Định lý 2.2.11 Cho R = K[△] vành Stanley-Reisner phức đơn hình △ chiều p Khi hàm Hilbert HR (n) R xác định p HR (n) = i=0 n−1 fi , ∀n ≥ 1, i fi thành phần f - véctơ 36 Chứng minh Ta cần tìm chiều Rn khơng gian véctơ K, hay số phần tử sở Rn Số số đơn thức bậc n có giá mặt phức Phức có mặt chiều 0, 1, , p n−1 i Với i, có fi mặt chiều i có n−1 i biến phân biệt Do có i Vậy sở Rn có đơn thức phân biệt bậc n i fi đơn thức tương ứng với mặt chiều p n−1 i=0 i fi phần tử hay ta có điểu phải chứng minh Từ kết ta có chuỗi Hilbert vành Stanley-Reisner sau Định lý 2.2.12 Cho R = K[△] vành Stanley-Reisner phức đơn hình △ chiều p Khi chuỗi Hilbert HR (n) R xác định p HS(R, t) = Chứng minh Ta có (1 − t)−s = fi ti+1 i+1 (1 − t) i=−1 ∞ s+n−1 n=0 s−1 tn Do ∞ HR (n)tn HS(R, t) = i=−1 p ∞ =1+ n=1 i=0 p ∞ =1+ fi n=1 i=0 Bây ta xem xét tổng bên trong, S = n−1 i = 0, S = thay n m + (i + 1) ta có S n−1 fitn i n−1 n t i ∞ n−1 n=1 i tn Nếu n ≤ i ∞ n−1 n i+1 tổng n=i+1 i t Rút nhân tử t m−1 m t Từ đẳng thức trước, = ti+1 ∞ m=1 i ta có S = ti+1(1 − t)−(i+1) Và từ quy ước f−1 = ta có p fiti+1 HS(R, t) = (1 − t)i+1 i=−1 37 2.3 Đồ thị vành mặt Định nghĩa 2.3.1 Cho V = {v1, · · · , vd } tập hữu hạn Một đồ thị với tập đỉnh V cặp G = (V, E) E tập hợp cặp không thứ tự vivj với vi = vj ( không thứ tự vivj = vj vi ) Phần tử vi ∈ V gọi đỉnh G Tập E gọi tập cạnh G Với cạnh e = vivj điểm cuối e đỉnh vi vj Chú ý Đồ thị hữu hạn đồ thị có số đỉnh hữu hạn, đồ thị đơn khơng có cạnh bội Ví dụ 2.3.2 Đồ thị rời rạc Dn đồ thị với tập đỉnh {v1, v2, · · · , vn} khơng có cạnh Hình học D5 sau: Ví dụ 2.3.3 Với n 3, n-chu trình đồ thị Cn với tập đỉnh {v1, v2, · · · , vn} cạnh {v1v2, v2v3, · · · , vd−1vd , vdv1 } Hình học C3, C4 C5 sau: Ví dụ 2.3.4 Với d 2, đồ thị đầy đủ tập d đỉnh đồ thị Kd với tập đỉnh {v1, · · · , vd} tập cạnh {vi vj | K2, K3, K4 K5 sau: 38 i 1, đồ thị hai phần Bm,n đồ thị với tập đỉnh {u1, · · · , um, v1, · · · , vd} cạnh {uivj | j i m, n} Hình học B1,1 , B1,2, B1,3, B2,2, B2,3 B3,3 sau : Định nghĩa sau cho ta thấy cách sử dụng đồ thị để xây dựng iđêan đơn thức Định nghĩa 2.3.6 Cho G đồ thị với tập đỉnh V = {v1, · · · , vd} Các iđêan cạnh kết hợp với G iđêan IG ⊆ R = K[x1, · · · , xd], cho IG = ({xixj | vivj | cạnh G})R Vành mặt định nghĩa K[G] := K[x1, · · · , xd]/IG Ví dụ 2.3.7 Iđêan cạnh liên kết với D5 ID5 = Các iđêan cạnh liên kết với C3 , C4 C5 IC3 = (x1x2, x2x3, x1x3) ⊆ A[x1, x2, x3] IC4 = (x1x2, x2x3, x3x4, x1x4) ⊆ A[x1, x2, x3, x4] IC5 = (x1x2, x2x3, x3x4, x4x5, x1x5) ⊆ A[x1, x2, x3, x4, x5] Các iđêan cạnh liên kết với K2, K3 K4 IK2 = (x1x2) ⊆ A[x1, x2] IK3 = (x1x2, x1x3, x2x3 ) ⊆ A[x1, x2, x3] IK4 = (x1x2, x1x3, x1x4 , x2x3, x2x4, x3x4) ⊆ A[x1, x2, x3, x4] 39 Các iđêan cạnh liên kết với đồ thị hai phần IB1,1 = (x1y1) ⊆ A[x1, y1] IB1,2 = (x1y1, x1y2 ) ⊆ A[x1, y1, y2] IB1,3 = (x1y1, x1y2 , x1y3 ) ⊆ A[x1, y1 , y2, y3] IB2,2 = (x1y1, x1y2 , x2y1 , x2y2) ⊆ A[x1, x2, y1 , y2] IB2,3 = (x1y1, x1y2 , x1y3 , x2y1, x2y2 , x2y3 ) ⊆ A[x1, x2, y1, y2 , y3] Các iđêan cạnh đồ thị (x1x2, x1x3, x1x4 , x2x3, x3x4) ⊆ A[x1, x2, x3, x4] v1 v2 v4 v3 Định lý 2.3.8 Cho G đồ thị I(G) iđêan cạnh kết hợp với G Khi tồn phức đơn hình △, cho I△ = I(G) Chứng minh Ta chứng minh định lý cách xây dựng phức đơn hình tương ứng với đồ thị G cho trước Với vi ∈ V (G) ta gọi pi đỉnh △ tương ứng với vi Chú ý {vi , vj } cạnh G xixj đơn thức I(G) Ta cần xây dựng △ cho {pi , pj }, hay mặt chứa khơng thuộc △ Cụ thể ta xây dựng △ cách trước hết giả sử tất mặt thuộc △ Sau xóa tất cạnh G mặt chứa cạnh Vậy vi, vj cạnh G xixj ∈ I△ Tuy nhiên điều ngược lại mệnh đề không Chẳng hạn xét phức đơn hình đỉnh với mặt chiều Khi iđêan mặt (x1x2x3 ) khơng sinh đơn thức bậc Do khơng tồn đồ thị tương ứng với 40 Mệnh đề 2.3.9 Cho Dn đồ thị rời rạc Đặt R = K[Dn] Khi ∞ HSR (t) = d=0 d+n−1 d t = (1 − t)−n n−1 Chứng minh Ta có I(Dn) = (0), kéo theo R = K[x1, · · · , xn]/(0) = K[x1, · · · , xn] Do đó, cho n ≥ 0, HR (d) = lR0 (Rd ) = ∞ HSR (t) = d=0 d+n−1 n−1 d+n−1 d t = (1 − t)−n n−1 Mệnh đề 2.3.10 Cho Kn độ thị đầy đủ n đỉnh Đặt R = K[Kn] Khi HSR (t) = + (n − 1)t 1−t Chứng minh Ta có I(Kn) = (x1x2, x1x3, · · · , x1xn , x2x3 , · · · , xn−1xn ), iđêan sinh tất đơn thức hai biến phân biệt Do phần tử khác khơng R[Kn] phải chứa hai biến Xét bậc ta có HR (0) = lR0 (R0) = Xét bậc d > 0, sở Rd không gian véctơ K {xd1 , · · · , xdn} Suy HR (d) = lR0 (Rd ) = n Như vậy, HSR (t) = + nt + nt2 + nt3 + · · · = + nt(1 + t + t2 + t3 + · · · ) + (n − 1)t nt = =1+ 1−t 1−t Mệnh đề 2.3.11 Cho Bm,n đồ thị hai phần Đặt R = K[Bm,n] Khi HSR (t) = (1 − t)−m + (1 − t)−n 41 Chứng minh Chia tập đỉnh thành tập tập đỉnh A, B lực lượng m, n tương ứng Ký hiệu biến với giá A x1, · · · , xm B y1 , · · · , yn Iđêan cạnh I(Bm,n ) bao gồm đơn thức dạng x1y2 , x3y2 , (giá A B) Vành mặt không gian véc tơ với sở đơn thức có giá A B Do độ dài Rd đơn thức bậc d Rd tổng số đơn thức bậc d R′ = K[x1, · · · , xm] R′′ = K[y1, · · · , yn ] Vậy HR (d) = ∞ [ HSR (t) = d=0 d+m−1 m−1 + d+n−1 n−1 d+m−1 d+n−1 d + ]t = (1 − t)−m + (1 − t)−n m−1 n−1 Mệnh đề 2.3.12 Cho Cn chu trình n đỉnh Đặt R = K[Cn] Khi n−1 ∞ min{[ ],d} n−s+1 s [ 1+ d=1 s=1 d−1 d ]t s−1 Chứng minh Iđêan Cn I(Cn) = (x1x2, x2x3 , · · · , xn−1xn ) Ta có R = K[x1, · · · xn]/I(Cn) Đặt Rd tập đa thức bậc d với K-không gian véc tơ Cơ sở Rd tập đơn thức giá đỉnh không liên tiếp Như độ dài Rd số cách chọn d đỉnh không liên tiếp từ tập đỉnh {v1, · · · , vn} Ký hiệu số cách chọn d đỉnh không liên tiếp từ tập đỉnh {v1, · · · , vn} t(n, d) Ta có t(m, 1) = m với m ≥ 1, t(m, k) = với m < 2k−1 Ta chứng minh quy nạp theo m, k t(m, k) = m − k + < k sử t(m′ , k ′) = t(m − 3, k − 1) m−k+1 k = Ta có m′ −k ′ +1 với m′ k′ = m−2−(k−1)+1 k−1 m−k+1 k m−1+1 Nếu m < 2k − = m = m Giả < m k ′ = k Nếu v1 chọn, có = Tổng quát có t(m − j − 1, k − 1) = m−1 k−1 cách để m−j−1−(k−1)+1 k−1 chọn đỉnh cịn lại khơng liên tiếp với vj đỉnh nhỏ tập 42 = m−k−j−1 k−1 đỉnh m−2k+2 m−k−j−1 m−k−1 = m−k + ··· + j=1 k−1 k−1 + k−1 k k−1 k k k+1 k−1 + k−1 + k−1 Ta có = k , cộng từ phía trước ta có k + k k+1 k+1 k k−1 k+1 k+1 = k+2 k−1 = k Tiếp tục k−1 + k−1 + k−1 = k−1 + k k m−k−1 m−k Cuối m−k + m−k−1 = m−k = m−k+1 k−1 + k−1 k k−1 + k k−1 Do cách đề chọn k đỉnh khơng liên tiếp từ m đỉnh có m−k+1 k Do t(m, k) = Như độ dài Rd , với d ≥ min{[ n−1 ],d} l(Rd) = s=1 n−s+1 s d−1 s−1 Do chỗi Hilbert n−1 ∞ min{[ ],d} 1+ [ s=1 d=1 n−s+1 s d−1 d ]t s−1 Mệnh đề 2.3.13 Chuỗi Hilbert đồ thị hình (tức đồ thị liên thông mà cạnh có điểm chung) HS(t) = t + − t (1 − t)n−1 Chứng minh Giả sử đỉnh chung Ta có cạnh đồ thị E(G) = {v1vn , v2vn , · · · , vn−1vn} Do I(G) = (x1xn, x2xn, · · · , xn−1xn ) = (x1, · · · , xn−1) ∩ (xn) Phức đơn hình tương ứng bao gồm đỉnh cô lập chiều 0, {vn} mặt chiều n − 1, {v1, , vn−1} Để tìm hàm Hilbert ta xác định f -vectơ Ta có f0 = n, fk = n−1 k , k = 2, · · · , n − Do chuỗi Hilbert nt HS(t) = + + 1−t 43 n−1 i=2 n−1 i ti (1 − t)i Hay (n − 1)t nt −1− + HS(t) = + 1−t 1−t n−1 i=0 n−1 n−1 i ti t i t = + (1 − t)i − t i=0 (1 − t)i n−1 i Tổng tương đương với chuỗi Hilbert có f - véctơ n−1 n−1 n−1 , ,··· , ) n ( Đây f - véctơ phức đơn hình đầy đủ n − đỉnh, tương ứng với đồ thị rời rạc n − đỉnh Sử dụng kết cho đồ thị rời rạc, ta có n−1 i=0 Do HS(t) = t 1−t + n−1 i ti = (1 − t)i (1 − t)n−1 (1−t)n−1 v2 v2 v1 v1 v3 v3 v5 vn v5 v4 v4 44 KẾT LUẬN Luận văn tìm hiểu hàm Đa thức Hilbert Samuel, hàm đa thức Hilbert, chuỗi Hilbert vành K[x1, , xn]/I với I iđêan đơn thức Cụ thể luận văn đạt số kết sau Tìm hiều vành đa thức nhiều biến số kết iđêan đơn thức, tập sinh, thứ tự từ, iđêan khởi đầu, Tìm hiểu sở Groebner thuật tốn Buchsberger Cơng cụ giúp ta chuyển nghiên cứu hàm đa thức K[x1, , xn]/I từ trường hợp iđêan trường hợp iđêan đơn thức Tìm hiểuvề hàm, đa thức Hilbert Samuel vành K[x1, , xn]/I với I iđêan đơn thức Chứng minh đa thức, liên hệ với bất biến khác (số biến, chiều iđêan) Tìm hiểu hàm đa thức Hilbert chuỗi Hilbert vành K[x1, , xn]/I với I iđêan đơn thức Tìm hiểu thuật toán xác định hàm đa thức Tìm hiểu phức đơn hình vành Stanley-Reisner, đồ thị vành mặt Tìm hiểu hàm Hilbert chuỗi Hilbert vành 45 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính- Cơ s Gră obner, Nh xut bn i hc Quc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] W Bruns, J Herzog (1996), Cohen Macaulay Rings, Revised sdition Cambridge: Cambridge University Press [4] D Cox (1991), T Little and D’Oshea, Ideals, Varieties, and Algorithms, Springer Verlag [5] M Rogers and S Sather-Wagstaff (2011), Monomial ideals and their decomposition, http://www.ndsu.edu/pubweb/ ssatherw/DOCS/monomial.pdf [6] R H Villarreal (2001), Monomial Algebras, New York: Marcel Dekker Inc [7] C.M Zagrodny, Algebraic concept in study of graphs and simplical complex, Mathematics thesis, Geogia State University 46 ... Vành đa thức iđêan đơn thức Trong chương này, ta nhắc lại số khái niệm tính chất vành đa thức iđêan đơn thức 1.1 Vành đa thức Cho R vành giao hoán x1 , , xn(n ≥ 1) biến Ta gọi đơn thức biểu thức. .. hiểu hàm Đa thức Hilbert Samuel, hàm đa thức Hilbert, chuỗi Hilbert vành K[x1, , xn]/I với I iđêan đơn thức Cụ thể luận văn đạt số kết sau Tìm hiều vành đa thức nhiều biến số kết iđêan đơn thức, ... Vành đa thức K[x] trường tùy ý vành iđêan chính, nghĩa iđêan sinh đa thức 1.2 Iđêan đơn thức Từ trở ta giả thiết K trường Trong mục ta xét lớp iđêan đặc biệt vành đa thức nhiều biến lớp iđêan đơn