Ta có: NA = NC và N1 N 2 Tính chất của tiếp tuyến NAC cân tại N và NO là đường phân giác góc N Do đó NO đồng thời là trung tuyến nên NO qua trung điểm M của AC Mặt khác ABCD là hình [r]
(1)PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS - NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI : TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI ĐỀ XUẤT ĐỀ MA TRẬN Mức độ Thông hiểu KQ Chủ đề TL Vận dụng thấp Vận dụng cao KQ KQ TL C4 a Tổng TL C4b Số học C1a Đại số C3b, C1b C2, C3a 11 6,5 2,5 C5a Hình học C5b 2 Tổng 7,5 8,5 20 (2) ĐỀ KIỂM TRA Câu 1: (4,0 điểm) x x 4x x x x 14 x 28 x 16 Cho biểu thức: a, Tìm x để A có nghĩa; Rút gọn biểu thức A b, Tìm các giá trị nguyên x để biểu thức A nhận các giá trị nguyên Câu 2: (2,5điểm) Cho số x, y, z thoả mãn: A x y z 1 2 x y z 1 x y z 1 Tính giá trị biểu thức Q= x 2010 +y 2011 +z 2012 Câu 3: (4,5 điểm) a, Cho bốn số thực a, b, c, d Chứng minh: ab cd a c b2 d Dấu xảy nào ? b, Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = (x4 + 1)(y4 + 1) x, y 0 Cho biết x y 10 C âu 4(5điểm) a, Chứng minh rằng: n 4n 4n 16n384 , với n chẵn và n > b, Cho số : A = 44… 44 ; B = 22… 22 ; C = 88…… 88 2n chữ số (n + 1) chữ số n chữ số Chứng minh rằng: A + B + C + là số chính phương Câu 5: (4điểm): Cho tam giác ABC cân A và nội tiếp đường tròn (O) Vẽ hình bình hành ABCD, tiếp tuyến C (O) cắt AD N a, Chứng minh AD là tiếp tuyến (O) b, Chứng minh AC, BD, ON đồng quy …………………………… ……Hết……………………………………… (3) PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS - NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI : TOÁN Câu Câu (4) Nội dung a) Để A có nghĩa, trước hết x 0 Đặt t x x 0 t 1 t t 1 t 1 t t 4t t A 2t 14t 28t 16 2t 2t 12t 28t 16 t 1 t t 0,5 Để biểu thức A có nghĩa thì: t 0, t 1, t 2, t 4 x 0, x 1, x 4, x 16 (*) Khi đó, rút gọn ta được: x 1 t 1 A A x 2 t 2 Thay t x x 0 Vậy t 2 1 t 1 A t 2 t 2 2 t 2 b) t 1; 3 Để A là nguyên thì x nguyên và Nếu t t 1 ( Loại vì trái với điều kiện (*)) Nếu t t (Loại) Nếu t 1 t 3 x 9 và A 2 Nếu t 3 t 5 x 25 và A 1 Vậy : Để A nhận các giá trị nguyên thì thì x 9 và x 25 Vì x2, y2, z2 > 0, nên từ (2) x2, y2, z2 < -1 < x, y, z < Câu2 (2,5đ) Điểm 0,5 x3 x y y z z x3+y3+z3 < x2+y2+z2 = x3 x2 y y z z Nhưng (3) x, y, z có thể là x2010=x, y2011=y, z2012=z x2010+y2011+z2012=x+y+z=1 => Q= x 2010 +y 2011 +z 2012 =1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (4) a)Ta có: ab cd a 2 c b d ab cd a c b d a 2b c d 2abcd a 2b a d b c c d 2 Câu3 (4,5đ) 2 ad bc ad bc 0 ad bc 0 Đúng với số thực a, b, c, d Vậy: ab cd a c b d , a , b, c, d R c d a 0, b 0 Dấu đẳng thức xảy ad bc 0 hay a b 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 b) A x y x y 2 A x y xy x y x y A 10 xy x y x y 4 2 A x y x y 40 xy 101 A ( x y 4) 10( xy 2) 45 45 Câu4 (5đ) = >Min A = 45 xy = và x y 10 a) Ta thấy 384 = 128, với (3, 128 ) = Vì n chẵn và n > n 2k , k và k > A = n 4n3 4n 16n 16k 32k 16k 32k A = 16k(k3 -2k2 – k + 2) = 16k (k - 2)(k - 1)(k + 1) Mà k , (k - 2) , (k - 1) , (k + 1) là số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho và số chia hết cho (k - 2)(k - 1)k(k + 1) A 128 Mặt khác: số nguyên liên tiếp, có số chia hết cho (k - 1)k(k + 1) A 3, với (3, 128 ) = A 384 Vậy: n 4n 4n 16n384 , với n chẵn và n > 4(102 n 1) 2(10n 1 1) 8(10n 1) ,B ,C 9 2n n 1 4(10 1) 2(10 1) 8(10n 1) A B C 7 9 2n n n 2n 4.10 20.10 8.10 4.10 28.10n 49 7 9 b)TacoA 2.10n 66 .69 n 1chuso Vậy A + B + C + là số chính phương 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0.25 0.25 0.25 0.25 0,5 0,5 0,5 0,5 (5) ABC (AB = AC) nội tiếp (O) GT Vẽ hình bình hành ABCD.Tiếp tuyến C (O) cắt AD N KL A N AD là tiếp tuyến (O) AC, BD, ON đồng quy M O C Chứng minh: a, Chứng minh AD là tiếp tuyến (O) Ta có: AB = AC (giả thiết) và OB = OC (bán kính (O)) OA là trung trực BC OA BC Mặt khác AD//BC (Cạnh đối hình bình hành) OA AD Vậy AD vuông góc với bán kính OA (O) A Do đó AD là tiếp tuyến (O) b, Chứng minh AC, BD, ON đồng quy 0,5 B Câu (4đ) D 0,5 0,5 0,5 Ta có: NA = NC và N1 N (Tính chất tiếp tuyến) NAC cân N và NO là đường phân giác góc N Do đó NO đồng thời là trung tuyến nên NO qua trung điểm M AC Mặt khác ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo cắt trung điểm đường Tức là AC và BD cắt M Vậy đường thẳng AC, BD, ON đồng quy 0,5 0,5 0,5 0,5 Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác đúng cho điểm tối đa Người đề: Dương Thị Thoa Đơn vị: Trường THCS Vĩnh Lộc (6)