TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ TÂM DÃY KHỚP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Hà Nội – 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ TÂM DÃY KHỚP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ KIỀU NGA Hà Nội – 2017 Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Môđun 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tính chất 1.1.3 Ví dụ Môđun điều kiện tương đương 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Điều kiện tương đương với môđun 1.2.3 Ví dụ 1.2.4 Tính chất Tổng trực tiếp tích trực tiếp mơđun 1.3.1 Tích trực tiếp 1.3.2 Tổng trực tiếp 1.3.3 Hạng tử trực tiếp Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.4 1.5 GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Môđun thương 1.4.1 Xây dựng môđun thương 10 1.4.2 Ví dụ mơđun thương 10 Đồng cấu môđun 11 1.5.1 Định nghĩa 11 1.5.2 Điều kiện tương đương 11 1.5.3 Ví dụ đồng cấu mơđun 11 1.5.4 Tính chất 12 Dãy khớp 2.1 15 2.1.1 Các định nghĩa 15 2.1.2 Điều kiện tương đương với dãy khớp ngắn 15 16 Một số tính chất dãy khớp 17 Dãy khớp chẻ 24 2.2.1 Định nghĩa 24 2.2.2 Ví dụ 25 2.2.3 Định lí hệ 2.1.4 2.3 2.4 15 Dãy khớp, dãy khớp ngắn 2.1.3 2.2 10 Ví dụ 26 Dãy khớp môđun 29 2.3.1 Môđun Noether môđun Artin 29 2.3.2 Môđun tự 34 2.3.3 Môđun xạ ảnh 37 2.3.4 Môđun nội xạ 40 Một số tập 44 2.4.1 44 Bài tập môđun SV:Nguyễn Thị Tâm K39B-Sư phạm Tốn Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.4.2 GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Bài tập dãy khớp 49 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 58 SV:Nguyễn Thị Tâm K39B-Sư phạm Tốn Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Lời cảm ơn Sau thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy cô giáo bạn sinh viên Đến nay, khóa luận em hồn thành Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành, sâu sắc tới thầy cô giáo tổ Đại số, thầy cô khoa Tốn đặc biệt giáo, TS Nguyễn Thị Kiều Nga - người trực tiếp tạo điều kiện, tận tình giúp đỡ, bảo cho em suốt thời gian nghiên cứu, hồn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng song cịn hạn chế thời gian kiến thức thân nên khóa luận em khơng thể tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận góp ý từ thầy cô bạn sinh viên để khố luận em hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Tâm SV:Nguyễn Thị Tâm K39B-Sư phạm Tốn Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Lời cam đoan Khoá luận tốt nghiệp "Dãy khớp" hoàn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu nghiên cứu với giúp đỡ tận tình giáo -TS Nguyễn Thị Kiều Nga Trong trình thực em tham khảo số tài liệu viết phần tài liệu tham khảo Vì vậy, em xin cam khóa luận kết nghiên cứu khoa học riêng em khơng trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Tâm SV:Nguyễn Thị Tâm K39B-Sư phạm Tốn Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Lời mở đầu Một thành tựu bật đại số đại tư tưởng cấu trúc thông qua việc nghiên cứu cấu trúc đại số như: Nhóm, vành, trường, mơđun, nhóm tự do, dãy khớp, dãy nửa khớp Chúng ta tìm quy luật đối tượng có chất khác Từ thiết lập mối quan hệ nhóm đối tượng Việc làm xem thiết lập cầu nối đối tượng khác toán học Đại số đại cương từ lâu nằm chương trình đào tạo bắt buộc khoa Tốn hầu hết trường Đại học Trong hệ đào tạo ngành Sư phạm Toán học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, chúng em học kiến thức liên quan đến cấu trúc đại số Tuy nhiên "Dãy khớp" nội dung mà sinh viên chưa tìm hiểu nghiên cứu nhiều Nghiên cứu dãy khớp thu nhiều kết cấu trúc nhóm, vành, mơđun Vì em mạnh dạn chọn đề tài "DÃY KHỚP" với mong muốn nghiên cứu, tìm hiểu sâu Đại số bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Nội dung khoá luận chia làm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày kiến thức mơđun đồng cấu môđun Chương 2: Dãy khớp SV:Nguyễn Thị Tâm K39B-Sư phạm Tốn Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Chương trình bày khái niệm, tính chất dãy khớp sử dụng dãy khớp để nghiên cứu môđun SV:Nguyễn Thị Tâm K39B-Sư phạm Toán Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Môđun Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho R vành có đơn vị Một mơđun trái R nhóm Abel cộng M với ánh xạ f : R×M → M (α, x) 7→ αx (gọi tích vơ hướng hay phép nhân với vô hướng) cho thoả mãn điều kiện sau: Với α, β ∈ R, x, y ∈ M ta có α(x + y) = αx + βy (α + β)x = αx + βy (αβ)x = α(βx) 1.x = x Định nghĩa 1.2 Cho R vành có đơn vị Một mơđun phải ... Một số tập 44 2.4.1 44 Bài tập môđun SV:Nguyễn Thị Tâm K39B-Sư phạm Tốn Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.4.2 GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Bài tập dãy... mãn điều kiện Z-mơđun Ví dụ 1.1.2 Mọi vành có đơn vị R R-mơđun Ví dụ 1.1.3 Mọi iđêan trái vành có đơn vị R R-mơđun Mọi iđêan vành R R- mơđun Ví dụ 1.1.4 Cho R-vành có đơn vị, Rn = {a1 , a2 , , an... 1.2.2 Cho M R-mơđun, S ⊂ M Khi giao tất mơđun M chứa S môđun M sinh tập S kí hiệu hSi + Ta gọi S tập sinh M + Nếu hSi = M S tập sinh M + Nếu S hữu hạn, S = {x1 , x2 , , xn } n X hSi = { αi xi