CHƯƠNG 4: GIỚI HẠN BÀI GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Mục tiêu  Kiến thức + Hiểu khái niệm giới hạn dãy số + Biết số định lí giới hạn dãy số, cấp số nhân lùi vô hạn  Kĩ + Áp dụng khái niệm giới hạn dãy số, định lí giới hạn dãy số vào giải tập + Biết cách tính giới hạn dãy số + Biết cách tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa dãy số có giới hạn 1.1 Định nghĩa: Ta có nói dãy số ( un ) có giới Nhận xét: hạn (hay có giới hạn 0) với số dương a) Dãy số ( un ) có giới hạn dãy nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối số ( un ) có giới hạn nhỏ số dương b) Dãy số không đổi ( un ) , với un = có giới hạn Khi ta viết: lim un = un → 0 un = ”, đọc dãy số ( un ) có giới (Kí hiệu “ nlim →+∞ hạn n dần đến vô cực) 1.2 Một số dãy số có giới hạn thường gặp Dựa vào định nghĩa, người ta chứng minh rằng: a) lim = 0; n b) lim = 0; n c) lim = 0; n d) Dãy số không đổi ( un ) với un = có giới hạn e) Nếu q < lim q n = Định lí sau thường sử dụng để chứng minh số dãy số có giới hạn Cho hai dãy số ( un ) ( ) Nếu un ≤ với n lim = lim un = Dãy số có giới hạn hữu hạn Nhận xét: 2.1 Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn - Dãy số ( un ) có giới hạn số thực L, Định nghĩa: Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn khoảng cách từ điểm un đến điểm L un − L số thực L lim ( un − L ) = gần miễn chọn n đủ Khi ta viết lim un = L un → L lớn Tức biểu diễn số hạng trục số Tức lim un = L ⇔ lim ( un − L ) = ta thấy n tăng điểm un tụ quanh 2.2 Các định lý giới hạn hàm số điểm L Định lí 1: Giả sử lim un = L Khi đó: - Có dãy số khơng có giới hạn hữu hạn  lim un = L Chẳng hạn dãy số un = L ( ( −1) ) , n tức dãy số: Trang  Nếu un ≥ 0, ∀n ∈ ¥ * L ≥ lim un = L Định lí 2: Giả sử lim un = L;lim = M c −1;1; −1;1; - Nếu C số lim C = C số Khi  lim ( un + ) = L + M  lim ( un − ) = L − M  lim ( un ) = L.M  lim ( cun ) = cL  lim un L = (nếu M ≠ ) M Định lí (Nguyên lí kẹp giữa): Cho ba dãy số ( un ) , ( ) , ( wn ) số thực L Nếu un ≤ ≤ wn với n lim un = lim wn = L lim = L Định lí 4:  Một dãy số tăng bị chặn có giới hạn  Một dãy số giảm bị chặn có giới hạn 2.3 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Khái niệm: Cấp số nhân gọi lùi vơ hạn có cơng bội q thỏa mãn điều kiện q < Tổng số hạng: S = u1 + u2 + u3 + = u1 + u1q + u1q + u1q + = ( q < 1) Dãy số có giới hạn vơ cực 3.1 Định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực Định nghĩa: u1 , 1− q Nhận xét: Nếu lim un = −∞ lim ( −un ) = +∞ Chú ý:  Các dãy số có giới hạn +∞ −∞  Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn +∞ với gọi chung dãy số có giới hạn vô cực hay số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy dần đến vô cực số, kể từ số hạng trở đi, lớn số  Dãy số có giới hạn số thực L gọi dãy dương số có giới hạn hữu hạn Khi ta viết lim un = +∞ un → +∞ Nhận xét:  Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn −∞ với Từ định nghĩa, ta có kết sau: a) lim n = +∞ số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạn trở đi, nhỏ số âm b) lim n = +∞ c) lim n = +∞ Trang k d) lim n = +∞ ( k > ) Khi ta viết lim un = −∞ un → −∞ n e) lim q = +∞ ( q > 1)  Định lí: Nếu lim un = +∞ lim = un 3.2 Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực Quy tắc  Nếu lim un = +∞;lim = +∞ lim ( un ) = +∞  Nếu lim un = +∞;lim = −∞ lim ( un ) = −∞  Nếu lim un = −∞;lim = +∞ lim ( un ) = −∞  Nếu lim un = −∞;lim = −∞ lim ( un ) = +∞ Quy tắc  Nếu lim un = +∞;lim = L ≠ +∞ L > lim ( un ) =  −∞ L <  Nếu lim un = −∞;lim = L ≠ −∞ L > lim ( un ) =  +∞ L < Quy tắc Nếu lim un = L ≠ , lim =  Khi lim un = L > ⇒ lim un  +∞ > 0, ∀n =  −∞ < 0, ∀n  Khi lim un = L < ⇒ lim un  −∞ > 0, ∀n =  +∞ < 0, ∀n 3.3 Một số kết a) lim Mở rộng: n qn = +∞ lim n = , với q > q n Ta có lim b) Cho hai dãy số ( un ) ( ) , nk qn lim = , với q > k = +∞ qn nk số nguyên dương  Nếu un ≤ với n lim un = +∞ lim = +∞  Nếu lim un = L ∈ ¡ lim = +∞ lim un =  Nếu lim un = +∞ (hoặc −∞ ) lim un = L ∈ ¡ Trang lim ( un + ) = +∞ (hoặc −∞ ) SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN Định nghĩa Dãy số có giới hạn với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đơi nhỏ số dương Trường hợp với thường gặp Cho hai dãy số Trang Dãy số có giới hạn Định nghĩa Dãy số có giới hạn số thực L hữu hạn Phép tính giới hạn lim ( cun ) = cL Các định lí Cho ba dãy số Ngun lí kẹp Nếu Thì Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn Trang Dãy số có giới hạn vơ cực Định nghĩa Dãy số có giới hạn với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Dãy số có giới hạn với số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy kể từ số hạng trở đi, nhỏ số âm Định nghĩa Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Dãy số có giới hạn định nghĩa Bài tốn Chứng minh dãy số có giới hạn định nghĩa Phương pháp giải Ví dụ: Chứng minh dãy số ( un ) sau có Cách 1: Áp dụng định nghĩa Cách 2: Sử dụng định lí sau:  Nếu k số thực dương lim giới hạn = nk a) un = ( −1) n 3n + b) un = sin 4n n+3  Với hai dãy số ( un ) ( ) hướng dẫn giải un ≤ với n lim = lim un = a) Với số dương ε tùy ý cho trước, ta có  Nếu q < lim q n = un = ( −1) n 3n + = 1 <  − ÷ 3ε  1 * Đặt n0 = +   n0 ∈ ¥ un < ε , ∀n ≥ n0  3ε  Vậy lim un = b) Ta có ∀n ∈ ¥ * sin 4n ≤ ⇒ un = sin 4n 1 ≤ ≤ = n+3 n+3 n n Áp dụng cho định lí “Nếu k số thực dương cho trước lim 1 = ” ta lim = k n n Từ suy lim un = Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh dãy số ( un ) sau có giới hạn + sin n a) un = 4n + b) un ( −1) = n n +1 − 5n−1 hướng dẫn giải a) Ta có ∀n ∈ ¥ sin n ≤ ⇒ un = * + sin n 2 ≤ ≤ = 4n + 4n + n n Trang Áp dụng định lí “Nếu k số thực dương cho trước lim 1 = ” ta lim = Từ suy k n n lim un = b) Ta có un = ( −1) n − n +1 1 1 1 ≤ n +1 + n +1 < n +1 + n +1 = n , ∀n ∈ ¥ n +1 5 2 n Vì lim 1 = lim  ÷ = n 2 Từ suy lim un = Bài tốn Giới hạn dãy số có số hạng tổng quát dạng phân thức Phương pháp giải Để tính giới hạn dãy số có số hạng tổng quát dạng phân thức: lim un Ví dụ: Chứng minh rằng: lim = n +1 Hướng dẫn giải 1  Nếu un ; hàm đa thức theo biến n chia Ta có < n + < n lim n = tử số mẫu số cho n p , p số mũ lớn Từ suy điều cần chứng minh Sau áp dụng: lim = (với k > ) nk  Nếu un ; hàm số mũ chia tử mẫu cho a n với a số lớn Sau sử dụng công thức: lim q n = với q < Chú ý: Thông thường, ta biến đổi dãy số tổng quát dãy số có giới hạn quen thuộc Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Chứng minh dãy số với số hạng tổng quát sau có giới hạn a) un = ( ) 2n + − 2n b) un = ( ) n+2 − n−2 Hướng dẫn giải a) Ta có ( 2n + − 2n ⇒ 2n + − 2n = Mà )( ) ( 2n + + 2n = ) ( 2n + − 2n ) =3 2n + + 2n 3 3 < = < = lim 2n + + 2n 2n + n 2 n n n Trang Từ suy điều cần chứng minh b) Ta có ( n+2 − n−2 ⇒ n+2 − n−2 = Mà )( ) n + + n − = ( n + 2) − ( n − 2) = 4 n+2 + n−2 2 < = lim n+2 + n−2 n−2 n−2 Từ suy điều cần chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh dãy số với số hạng tổng quát sau có giới hạn cos n a) un = n+4 ( −1) = n cos n n +1 c) un b) un = cos nπ n nπ d) u = n n ( 1, 01) sin Hướng dẫn giải a) Ta có b) Ta có cos n 1 < < lim = Từ suy điều cần chứng minh n+4 n+4 n n ( −1) n cos n cos n 1 < < < lim = n +1 n +1 n +1 n n Từ suy điều cần chứng minh nπ n n 1 < =   < ) lim = (do  ÷ n n  ÷ 4 4 4 cos c) Ta có Từ suy điều cần chứng minh nπ n n     < = d) Ta có  ÷ lim  n n ÷ = ( 1, 01) ( 1, 01)  1, 01   1, 01  sin Từ suy điều cần chứng minh Ví dụ 3: Chứng minh dãy số sau có giới hạn a) lim 2n + 3n = 4n b) lim an = n! hướng dẫn giải a) Ta có lim n n 2n + 3n 2 3 = lim + lim  ÷  ÷ = + = (do < < ) n 4 4 Từ suy điều cần chứng minh Trang 10 Ví dụ 1: Tính giới hạn sau: lim n + 4n n + 4n + Hướng dẫn giải  Nhập vào máy tính biểu thức sau:  Sau bấm CALC  Nhập x = 9999999999 , sau bấm “=”, ta kết quả: Kết quả: Vậy giới hạn dãy số Ví dụ 2: Tính giới hạn sau lim ( ) n − 5n − n Hướng dẫn giải  Nhập vào máy tính biểu thức sau:  Sau bấm CACL  Nhập: x = 9999999999 , sau bấm “=”, ta kết quả: Trang 23 Kết quả: Vậy giới hạn dãy số −1, 25 = − NHẬN XÉT: Qua ví dụ trên, phần bạn đọc hiểu cách sử dụng MTCT để tính tốn toán liên quan đến giới hạn dãy số (giới hạn số thực) Tuy nhiên, MTCT không công cụ vạn để giải toán phức tạp hay tốn hay khó Vì vậy, cần phải hiểu sâu chất vấn đề rèn luyện nhiều dạng tập để thao tác nhanh tập cách xửl lí gặp tốn lạ hay không sử dụng MTCT Chúng ta sang tập rèn luyện Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Giới hạn lim 2n + n+2 A B Câu 2: Giới hạn lim B A B C D C n n2 + + B ( n + n3 + + n n Câu 5: Giới hạn D n2 + 2n + Câu 3: Giới hạn lim A C − n +1 n2 + A Câu 4: Giới hạn lim D C D C D − ) 9n + 2n − 8n3 + 6n + − n A − Câu 6: Giới hạn lim A 64 Câu 7: Giới hạn lim B ( ) ( n − n2 − + n + n − n B 32 ) C 16 D 128 − 4n + 4n Trang 24 B −1 A Câu 8: Giới hạn lim D − C D −6 4.3n + n +1 2.5n + n A B  1 + + + Câu 9: Giới hạn lim  2n ( 2n + )  2.4 4.6 A C  ÷ ÷  B − C D   1 + + +  Câu 10: Giới hạn lim  n n + + ( n + 1) n  1 + 2 + A −2 Câu 11: Tổng B C S = 8+ 88+ 888+ + 888 123 n chữsố8 B 10n +1 + 10 + 54n 10n +1 − 10 − 9n ) ( 81 Câu 12: Tổng S = − + − D − A 10n +1 − 10 − 36n C D 10n +1 − 10 − 72n ) ( 81 1 + − 5 A 25 − 5 B 25 − C 25 + D 5+3 Dạng 3: Dãy số có giới hạn vơ cực Phương pháp giải Đề tỉm giới hạn vô cực dãy số, ta biến đổi Ví dụ: Tìm giới hạn sau: dãy số cho tích thương dãy số biết giới hạn, dựa theo quy tắc để tìm giới hạn vơ cực dãy số a) lim n5 + n − n − 4n3 + 6n + b) lim − n6 − n3 − 5n + n + 12 Hướng dẫn giải  1 2 n5  + − − ÷ n +n −n−2 n n n  = lim  a) lim 9 4n + 6n + 3 n 4+ + ÷ n n   Trang 25  1  + n − n − n5 = lim n   + + 93 n n   ÷ ÷ ÷   1  + n − n − n5 Mà lim n = +∞ lim   + + 93 n n  Nên lim b) lim = lim  ÷ ÷= > ÷  n5 + n − n − = +∞ 4n3 + 6n + − n6 − n3 − 5n + n + 12 − + n3 n5 n  12  n 1 + ÷ n  −n − = lim ( − n ) 1− − + n n5 n 12 1+ n Mà lim ( − n ) = −∞ lim Nên lim 1− − + n3 n5 n6 = = > 12 1+ n − n6 − 7n3 − 5n + = −∞ n + 12 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tìm giới hạn sau: a) lim ( ) 2n + − n + b) lim (n + 1) ( 2n + 3) n4 − n2 + Hướng dẫn giải a) lim  1 2n + − n + = lim n  + − + ÷ n n÷   ( )  1 = − > Do lim n = +∞ lim  + − + ÷ n n÷   Nên lim ( ) 2n + − n + = +∞ Trang 26  3  + +  ÷ ( n + 1) ( 2n + 3) = lim  n  n ÷ b) lim 1 n4 − n2 + − + n n n6  3 1  Do lim 1 + ÷ + ÷ = 1.2 = > 0;lim − + = n n n n  n  (n Nên lim + 1) ( 2n + 3) n4 − n2 + 1 1 − + > n2 n n6 = +∞ Chú ý: Khi tính giới hạn phân thức, ta ý số trường hợp sau đây:  Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn  Nếu bậc tử bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số lũy thừa cao tử mẫu số Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn +∞ hệ số cao tử mẫu dấu kết −∞ hệ số cao tử mẫu trái dấu Ví dụ 2: Tìm giới hạn sau: a) lim ( − n n+1 ( −3 ) − n lim b) n +1 ( −3) + 5n+1 n ) Hướng dẫn giải n  3  n n +1 n lim − = lim − a) ( )   ÷      n  3  n n+1 Do lim = +∞ lim 1 −  ÷  = − 3.0 = > nên lim ( − ) = +∞     n n −3 ) − n ( b) lim n +1 ( −3) + 5n+1 n  1  − ÷ −1  2 = lim n n  1 5 3 − ÷ +  ÷  2 6 n n n   n    n 5   1 5 Do lim  − ÷ − 1 = −1 < 0;lim 3  − ÷ +  ÷  =  − ÷ +  ÷ >           2 6 ( −3) − 6n = −∞ Nên lim n +1 ( −3) + 5n+1 n Ví dụ 3: Tìm giới hạn sau: a) lim ( ) n4 + + n − 1  b) lim  n + 2sin 2n + ÷ 3  Hướng dẫn giải Trang 27 a) lim ( )  1  n + + n − = lim n  + + − ÷ n n n ÷    1  = > nên lim Do lim n = +∞ lim  + + − ÷ n n n ÷   ( ) n + + n − = +∞ 2sin 2n  1  31 + ÷ b) lim  n + 2sin 2n + ÷ = lim n  + n3 n  3  3  2sin 2n  + ÷ = + + = > Mà lim n3 = +∞ lim  + n n  3 3 (do 2sin 2n 2 2sin 2n ≤ , ∀n;lim = ⇒ lim = 0) n n n n3 1  Nên lim  n + 2sin 2n + ÷ = +∞ 3  MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI NHANH Quy ước: Trong máy tính khơng có biến n nên ta ghi x thay cho n Ví dụ: Tính giới hạn sau: lim 4n − n + ( 2n + 1) ( − n ) ( n2 + 1) Ghi nhớ cách nhập giá trị x Hướng dẫn giải  x → +∞ ta nhập x = 9999999999 (10 số 9) Cách bấm máy:  x → −∞ ta nhập x = −9999999999 (10 số 9)  Nhập vào máy tính biểu thức sau:  Đề yêu cầu tính lim ( un ) ta hiểu rằng, biến n → ∞  Gặp số c.10α (trong α số nguyên âm, thông thường α = −10; α = −12, )  Sau bấm CALC Ghi nhớ cách hiển thị kết  Nhập: x = 9999999999 , sau bấm “=”, ta Ví dụ: 15.10−12 đọc kết quả:  Gặp số c.1010 c.1020 , đọc (dấu c) nhân vô cực c số (chú ý lớn 10) Ví dụ: −5.1010 đọc âm vơ cực, ghi −∞ ; 5.10 đọc dương vô cực, ghi +∞ 10 Kết quả: Vậy giới hạn dãy số −2 Trang 28  Kết số thực cụ thể, giới hạn mà ta cần tìm Chú ý: Thơng thường, để tính giới hạn dãy số (là số thực L), ta cho x → +∞ , tức nhập vào máy tính x = 9999999999 (10 số 9) VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tính giới hạn sau: lim 9n − n + 4n − Hướng dẫn giải Cách bấm máy: Nhập vào máy tính biểu thức sau:  Sau bấm CALC  Nhập: x = 9999999999 , sau bấm “=”, ta kết quả: Kết quả: Vậy giới hạn dãy số 0, 75 = Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: lim n + − n +1 Hướng dẫn giải Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính biểu thức sau: Trang 29  Sau bấm CALC  Nhập x = 9999999999 , sau bấm “=”, ta kết quả: Kết quả: Vậy giới hạn dãy số +∞ Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Giới hạn lim ( 2n − n + 1) A −∞ B C −2 D +∞ C D +∞ Câu 2: Giá trị lim ( − n + 2n + ) A −∞ B −3 Câu 3: Giới hạn lim 2n − 3n − A 2 B D +∞ C −1 D +∞ C −1 D +∞ C −5 D +∞ C −3 D +∞ C Câu 4: Giá trị lim + 2n − n3 A −∞ B Câu 5: Giá trị lim n n + A −∞ B n n Câu 6: Giới hạn lim ( −2n + 5n ) ( − ) A −∞ Câu 7: Giới hạn lim A −∞ B 3n3 −n + B 2n − 3n + Câu 8: Giới hạn lim n +1 Trang 30 A −∞ B C −3 D +∞ C −1 D   Câu 9: Giá trị lim n  n + n + n − n ÷   A −∞ B +∞ Câu 10: Giá trị lim n A −∞ ( n + 2n + − n + n B Câu 11: Giới hạn lim A −∞ ) n 2n − n + 2n A −∞ C −2 D +∞ C D +∞ C D +∞ C −1 D +∞ C −2 D +∞ C D +∞ B Câu 12: Giới hạn lim n − n3 − 5n + n+2 B −7 Câu 13: Giới hạn lim ( n − cos 3n + ) A −∞ B π Câu 14: Giới hạn lim n n +1 n cos A B  sin n  − ÷ Câu 15: Giới hạn lim   n  A −∞ B −5 Đáp án lời giải Dạng Dãy số có giới hạn 1–C 2–D 3–A 4–D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 5–A 6–B 7–C 8–C 9–C 10 – C Câu n   < nên lim  Ta có ÷ = 2+  2+  Câu Ta có ≤ ( −1) cos 5n 3n cos 5n 1 = < n = 3n 3 n ( −1) cos 5n = 1 mà lim  ÷ = nên lim 3n  3 n Câu Trang 31 πn πn 1 sin < < Ta có ≤ mà lim = nên lim = 3n + 3n + 3n 3n 3n + sin Câu ( −1) n +1 ( −1) n n +1 1 − ( ) = n < < Ta có ≤ n mà lim n = nên lim n = +5 + 3n + 3n 3 +5 Câu n  −1) ( Ta có  +  n+2  n n  −1) −1) ( ( 1 < , ∀n lim = ÷− = mà ÷ n+2 n+2 n n  n n   −1)   −1) ( ( ÷−  = ⇒ lim  + Suy lim  +  n+2 ÷ n+2      ÷ = ÷  Câu  3 3 n2 1 − + ÷ 1− + 1− + n −n+3 1 n n = n n =  Ta có mà lim = 0;lim n n = 2 n + 2n n n   1+ 1+ n3 1 + ÷ n n  n  Suy lim n2 − n + = n3 + 2n Câu Dễ dàng nhận thấy các phương án (1); (2); (3); (5) có giới hạn 0, bạn đọc tự chứng minh Ta xét phương án: 2  n 1 + ÷ + 22 1+ n +2 n +2 n  n , mà lim n = = =  = (4): 1  n ( n + 1) n + 2 1+ n 1 + ÷ + n n  n  2 Vậy phương án (4) không thỏa mãn Câu Dễ dàng chứng minh đáp án A, B D có giới hạn 0, bạn đọc tự chứng minh Ta xét phương án C: 1  1 n + ÷  2n + 1 , mà lim  + ÷ = ≠ Vậy phương án C không thỏa mãn n  = = 2+ n  n n n Câu Dễ dàng nhận thấy phương án (1) hồn tồn xác do: n 1 < nên lim  ÷ =  3 Trang 32 Phương án (2) sai, lim = k số nguyên dương ( k ∈ ¢ + ) Vậy phương án (2) sai k n Câu 10 n n Ta có un +1 = un − ⇔ un +1 = un − 2n 1− n Chứng minh: un ≥ (bằng quy nạp) * Với n = ta có u1 = m ≥ = 1− k * Giả sử uk > (với k > ) −k * Cần chứng minh: uk +1 > −k 1− k −k −k Ta có uk +1 = uk − > − = Suy điều phải chứng minh −n Từ suy un − > với n ⇒ un +1 = un − 2n 1 1 Ta có u2 = u1 − ; u3 = u2 − ; u = u3 − ; ; un = un −1 − n −1 2 2  1 1 ⇒ un = u1 −  + + + + n −1 ÷  2 2 n −1 1 1−  ÷ Công thức tổng quát un = m −   2 n −1 1 = m −1+  ÷ 2 n −1 1 ⇒ lim un = ⇔ lim ( m − 1) + lim  ÷ 2 =0 ⇒ lim ( m − 1) = ⇔ m = Dạng Dãy số có giới hạn hữu hạn 1–A 2–C 3–B 4–D 11 – C 12 – A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 5–C 6–B 7–B 8–C 9–D 10 – B Câu 1 2+ 2n + n = = = lim Ta có lim n+2 1+ n Câu 1 + n +1 n n = = = lim Ta có lim 2 n +2 1+ n Trang 33 Câu 1+ n2 + n = = Ta có lim = lim 2n + 2 2+ n Câu n + n +1 + n n Ta có lim n n2 + + = lim 1+ 1 + + n n n = = 1 1+ + n n Câu Ta có lim ( ) 9n + 2n − 8n3 + 6n + − n = lim ( ) 9n + 2n − 3n − lim ( ) 1 8n + n + − n = − = 3 Câu Ta có ( n− lim ) ( n2 − + n + n − n ) 5     1 − − ÷ +  + − ÷ n   n  = lim  = 25 = 32 Câu n 1  ÷ − −1 n 1− 4 = lim  n = = −1 Ta có lim n 1+ 1  ÷ +1 4 Câu n Ta có lim 4.3n + n +1 2.5n + n 3  ÷ + 7 = lim   n = = 5  ÷ + 7 Câu Ta có  1 lim  + + + 2n ( 2n + )  2.4 4.6  11 1 1  11  = lim  − ÷ ÷= ÷ = lim  − + − + + 2n − 2n + ÷  2n +    Câu 10 Ta có k k + − ( k + 1) k 1 = = − − k ( k + 1) k k + + ( k + 1) k k k +1 Suy un = 1 − ⇒ lim un = 1 n +1 Câu 11 Trang 34   8 8 = 10 − + 100 − + + 100 −  ÷ ÷ Ta viết lại S =  + 99 + 999+ + 99 { ÷ 123 ÷ 9  n soá9  n soá0  ( ) n      10 10 − =  ⇒ S =  10+ 100+ + 100 00 − n ⇔ S = − n ÷ 14 43 ÷  10 −    n soá       10n+1 − 10  − n÷ = 10n+1 − 10− 9n  9 81  ( ) Câu 12 Ta có S = 5− + 1− 1 + − = 5 5 25− 5 = = 1+ 1+ Dạng Dãy số có giới hạn vơ cực 1–D 2–A 3–D 4–A 11 – D 12 – D 13 – D 14 – B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 5–D 15 – B –A 7–A 8–D 9–D 10 – D Câu 1 1 2 Ta có lim 2n − n + = limn  − + ÷ = +∞ n n   ( ) Câu 2 2 3 Ta có lim −n + 2n + = limn  −1+ + ÷ = −∞ n n   ( ) Câu 3 Ta có lim 2n2 − 3n − = limn − − = +∞ n n Câu Ta có lim 1+ 2n − n3 = lim 1 + − = −∞ n3 n2 Câu  1 = +∞ Ta có limn n + = limn n  1+ ÷ ÷ n   Câu   n   5 n n n Ta có lim −2n + 5n = limn  −2 + ÷ = −∞ lim − = lim3  1−  ÷ ÷ = +∞   3 ÷ n    ( ( ) )( ( ) ) n n Nên lim −2n + 5n − = −∞ Câu Trang 35 Ta có lim 3n3 = lim − n2 + 3n −1+ n2 = lim 3n = lim( −3n) = −∞ −1 Câu 2− +  1  2n2 − 3n + 1 1 n n = lim Ta có lim Do lim − + ÷ = lim + ÷ = mà + > 1 n+ n n  n n  n n  + n n  1  2− n + ÷ n  Nên lim = +∞ 1 + n n2 Câu   Ta có limn n + n + n − n ÷ =   Câu 10 Ta có limn = +∞ ( lim     2n + −n n2 + 2n + − n + n − n + n3 = lim + lim ÷  ÷  n2 + n.3 n + n3 +  n + 2n + + n   ) (  ÷ = 2÷ 3 ÷ n+ n ÷  ) ) ( n2 + 2n + − n + n3 = +∞ Vậy limn Câu 11 Ta có L = lim n 2n − n + 2n   2− n Do lim   1+ n  n2 − = lim  n + 2n  n2  ÷  n  n2    = lim    ( n) 3 n6 ( ) = lim   n = lim  3 n 1+  n  3 n2 − ( n) 2 n2 1+ n2 2−       = +∞ nên L = +∞ Câu 12 Ta có L = lim n − 7n − 5n + = lim n+  n6 − 7n3 − 5n + 8 n2.3 1− − +  1− − + 6 n n n n = lim n n n n = lim  n+ n+ 1+  n  Trang 36  ÷ ÷ ÷ ÷    1− − − n n n Ta có lim  1+  n   ÷ ÷ = limn = +∞ ÷ ÷  Từ suy L = +∞ Câu 13 ( ) Ta có lim n − 2cos3n + = +∞ Câu 14 π π n n ncos n ≤ = nên Ta có lim lim n = n2 + n2 + n +1 n +1 ncos Câu 15  sinn2  − 5÷ = −5 Ta có lim  n  Trang 37 ... dãy số có giới hạn 1. 1 Định nghĩa: Ta có nói dãy số ( un ) có giới Nhận xét: hạn (hay có giới hạn 0) với số dương a) Dãy số ( un ) có giới hạn dãy nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số. .. Trang Dãy số có giới hạn vơ cực Định nghĩa Dãy số có giới hạn với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Dãy số có giới hạn với số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy. .. + = 10 = 10 10 − 99 10 b) β = 5, 2 312 31 = + 0, 2 31 + 0, 0002 31 + = + 2 31 2 31 + + 10 3 10 6 2 31 2 31 1742 = + 10 = + = 999 333 1? ?? 10 Để biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hồn thành phân số,