dao ham

Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm.. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm.[r]

CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM

Bài 1: Định nghĩa ý nghĩa đạo hàm Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Bài 3: Đạo hàm hàm số lượng giác Bài 4: Vi phân

Bài 5: Đạo hàm cấp 2

Bài 1: ĐỊNH NGHĨA

VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM I ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

1 Các toán dẫn đến khái niệm đạo hàm. 2 Định nghĩa đạo hàm điểm.

5 Ý nghĩa hình học đạo hàm.

4 QH tồn ĐH tính LT HS. 3 Cách tính đạo hàm định nghĩa.

6 Ý nghĩa vật lý đạo hàm.

I ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

1 Các toán dẫn đến khái niệm đạo hàm.

Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ nhà ga Quãng đường

s (mét) đoàn tàu hàm số của thời gian t (phút) Ở phút đầu tiên, hàm số là

2

Hãy tính vận tốc trung bình chuyển động khoảng [ t; to ] với:

to =

t = 2.99 t = 2.9 t = 2.5 t =

Khi t gần to vtb gần 2to = 6

vtb = 5.99

vtb = 5.9 vtb = 5.5 vtb =

2 0 t t t t   vtb =

2 0 t t t t  

= t + t o0   

0

a Bài tốn tìm vận tốc tức thời

Một chất điểm M chuyển động s’Os

Quãng đường s chuyển động một hàm số thời gian t

s = s(t)

Hãy tìm đại lượng đặt trưng cho mức độ nhanh chậm chuyển động thời điểm t ?

s

O

s’ so s

Trong khoảng thời gian từ to đến t, chất điểm quãng đường:

0

s s

Nếu chất điểm chuyển động thì

0

s s t t

 



là số với t

Đó vận tốc chuyển động tại thời điểm

   0

s t s t

  s = s(t)

   0

s t s t

t t

 



v  s

t

s

O

s’ so s

Nếu chất điểm chuyển động khơng thì tỉ số

   0

0

s t s t

s s

t t t t

 



 

là vận tốc trung bình chuyển động trong khoảng thời gian t t 0

Khi t gần to hay nói khác nhỏ t t 0

* Định nghĩa

   

0

0

0 lim

t t

s t s t

t t



 

Giới hạn hữu hạn (nếu có)

được gọi vận tốc tức thời của chuyển động thời điểm to

b Bài tốn tìm cường độ tức thời

Điện lượng Q truyền dây dẫn một hàm số thời gian t: Q Q t  

Cường độ trung bình dịng điện trong khoảng thời gian làt t 0

   0

tb

Q t Q t

I

t t

 



* Định nghĩa

   

0

0

0 lim

t t

Q t Q t

t t



 

Giới hạn hữu hạn (nếu có)

Vận tốc tức thời Cường độ tức thời

   

0

0

0 lim

t t

Q t Q t

t t



     

0

0

0 lim

t t

s t s t

t t



 

0

0

( ) ( )

lim

x x

f x f x x x



2 Định nghĩa đạo hàm điểm.

Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a ; b) xo  (a ; b)

Nếu tồn giới hạn (hữu hạn)

0

0

( ) ( )

lim

x x

f x f x x x



 

thì giới hạn gọi đạo hàm

của hàm số y = f(x) điểm xo kí hiệu

f’(xo) (hoặc y’(xo)), tức là

0

0

0

( ) ( )

'( ) lim

x x

f x f x f x

x x 

  



 



Đại lượng x = x – xo

được gọi số gia tương ứng hàm số (số gia hàm)

y’(xo) =

0 lim

x

y x

 

 

gọi số gia đối số xo (số gia biến)

y = f(x) – f(xo) Đại lượng

Như vậy

= f(xo + x) – f(xo)

3 Cách tính đạo hàm định nghĩa.

Cho hàm số y = x2 Hãy tính y’(x o) bằng định nghĩa.

0 0 ( ) ( ) lim x x

f x f x

x x     2 0 lim x x x x x x         0 0 lim x x

x x x x

x x        0 lim

x x x x

  2x0

0

* Quy tắc Bước 1:

y = f(xo + x) – f(xo)

Bước 2: y

x

 

Bước 3:

0 lim

x

y x

 

 

Giả sử x số gia đối số xo, tính Lập tỉ số

Gọi x số gia đối số xo

   0

f x x f x

   

 x0 x x02

   

 

0

2

0 .x x x x0

x       y  y x  

 

x x x

x      lim x y x   

  lim 2x 0 x0  x

2x



0

2x x

  

 

0

2 .x x x

Ví dụ 1 Tính đạo hàm hàm số f x 

x

 tại xo = 2 – Gọi x số gia đối số xo = 2

   2

f x f

   

y



1 x

 

  2 

x x      

2 x

   y x   lim x y x     lim

2 x





4



   0

f x x f x

4 Quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số

* Định lí 1

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm xo

thì liên tục điểm đó.

* Chú ý

+ Nếu y = f(x) gián đoạn xo

khơng có đạo hàm điểm

Ví dụ

 

2 0

0

x x f x

x khi x

 



 

Xét tính liên tục hàm số x = 0 Cho hàm số

   

0

lim lim

x  f x x  x

    

 

0

lim lim

x  f x x  x

   

 0

f 

     

0

lim lim

x  f x x  f x f

 

  

– Tính liên tục:

   

0

0

lim lim

0

x x

f x f x

x x              0

lim lim

0

x x

f x f x

x x             0 lim x

f x f

x



 

– Đạo hàm:

Như không tồn tại

y = x

y = – x2

O y

5 Ý nghĩa hình học đạo hàm

Đồ thị hàm số  

2

2

x f x 

 

'

f 1

Đường thẳng d qua

1 1;

2

M  

 

có hệ số góc f’(1)

x y

O 

tan = f’(1)

M



y

x O

T (C)

xo f(xo) Mo

x

f(x) M

b Ý nghĩa hình học đạo hàm.

Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b) có đạo hàm điểm

xo  (a; b) Gọi (C) đồ thị hàm số đó.

* Định lí 2

Đạo hàm hàm số y = f(x) điểm

y – yo = k.(x – xo)

Phương trình đường thẳng qua

Mo(xo ; yo) có hệ số góc k

c Phương trình tiếp tuyến

O x

y

d1 d2

k = f’(xo)

(C) d



Mo

xo yo

Theo định lí 2

* Định lí 3

Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) của hàm số y = f(x) điểm Mo(xo; f(xo)) là

   

0 ' 0

y y  f x x x trong yo = f(xo)

Viết phương trình tiếp tuyến

parabol 2

3

y  x  x 

tại điểm có hồnh độ x =

– Gọi x số gia đối số xo = 1

 x0 x 3 x0 x

      

y



 

0

2x x x x

     

 3

x x x

    

 3

x x x

x        y x   lim x y x   

  limx 0  2x0   x 3  2x0 

   0

f x x f x

   

 

0

x x

   

0

2x x

   

0 ' 0

y y  f x x x  

0 1

y   x 

+ Theo định nghĩa tính được:

hay

f (1) = 0

+ Vậy phương trình tiếp tuyến parabol tại điểm Mo(1;0) là

f’(1) = 1

I(to) =

Q’(to)

6 Ý nghĩa vật lý đạo hàm a Vận tốc tức thời

v(to) = s’(to)

II ĐẠO HÀM TRÊN KHOẢNG

     

' lim

t

x

f x f t t t f x     2 lim x t x t x t         lim t x x t x t t x    

 2t

Tính đạo hàm hàm số f(x) = x2

tại điểm t bất kì

 

'

     

' lim

t

x

f x f t t t f x     lim x t x t x t   

 limx t  

t

t

x x t x

    lim t

x x t  

Tính đạo hàm hàm số

tại điểm t bất kì  

1 f x x  t    '

f x 12

x

Hàm số y = f(x) gọi có đạo hàm

trên khoảng (a; b) có đạo hàm mọi điểm x khoảng đó.

 

 

': ;

'

f a b

x f x

 



là đạo hàm hàm số y = f(x) khoảng (a; b), kí hiệu y’ hay f’(x)

* Định nghĩa