[r]
(1)Bài 1 Cho hàm sốy x1 (C).Tìm đồ thị (C) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận (C) nhỏ
HD Gọi M(x0;y0) điểm thuộc (C), (x0- 1) th×
0
0
2
1
x y
x
Gọi A, B lần lợt hình chiếu M TCĐ TCN
MA = |x0+1| , MB = | y0- 2| = | 0
2
1
x x
- 2| = |
1
x
|
Theo Cauchy th× MA + MB 2
0 x
1 x
=2
MA + MB nhá nhÊt b»ng x0 = hc x0 = -2.Như vËy ta có hai điểm cần tìm M(0;1) M(-2;3)
Bài 2.Cho hàm số y x 3 3mx2 3(m21)x m 3m (1)
Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến góc tọa độ O √2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến góc tọa độ O
HD
Ta có y, 3x2 6mx3(m21)
Để hàm số có cực trị PT y,0 có nghiệm phân biệt
x2 2mx m 21 0 có nhiệm phân biệt 1 0,m
Cực đại đồ thị hàm số A(m-1;2-2m) cực tiểu đồ thị hàm số B(m+1;-2-2m)
Theo giả thiết ta có
2 2
2
3 2 m
OA OB m m
m
Vậy có giá trị m m 3 2 m 3 2.
Bài 3. Cho hàm số yx3 3x2 2 C Tìm m để đường thẳng qua hai điểm cực trị
C tiếp xúc với đường tròn có phương trình x m 2y m 12 5
HD
Theo giả thiết ta có
2
5
5 m m
m
2 m m
Bài 4 Cho hàm số y = x3 – 3x2+2 (1).Tìm điểm M thuộc đường thẳng y =3x-2 tổng
(2)HD
Gọi tọa độ điểm cực đại A(0;2), điểm cực tiểu B(2;-2) Xét biểu thức P=3x-y-2
Thay tọa độ điểm A(0;2)=>P=-4<0, thay tọa độ điểm B(2;-2)=>P=6>0
Vậy điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía đường thẳng y=3x-2, để MA+MB nhỏ => điểm A, M, B thẳng hàng
Phương trình đường thẳng AB: y=-2x+2 Tọa độ điểm M nghiệm hệ:
4
3 5
2 2
5 x
y x
y x
y
=>
4 ; 5 M
Bài 5.Cho hµm sè y=2x+1
x+2 có đồ thị (C) .Chứng minh đờng thẳng d: y = x + m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ
HD
Hoành độ giao điểm đồ thị (C ) đờng thẳng d nghiệm phơng trình
2x+1
x+2 =− x+m⇔ x ≠ −2
x2+(4−m)x+1−2m=0(1) ¿{
Do (1) cã −2¿
+(4− m).(−2)+1−2m=−3≠0∀m
Δ=m2+1>0 va¿ nên đờng thẳng d luôn cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B
Ta có yA = m – xA; yB = m – xB nên AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(m2 + 12) suy AB ngắn AB2 nhỏ m = Khi AB=√24
B i 6à
Cho hàm số yx33x2 2 (C) Tìm đường thẳng (d): y = điểm mà từ kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị (C)
HD
Gọi M(m; 2) d Phương trình đường thẳng qua M có dạng: y k x m ( ) 2 Từ M kẻ tiếp tuyến với (C) Hệ phương trình sau có nghiệm phân biệt:
x x k x m x x k
3
2 ( ) (1)
3 (2)
m m m
5
3
Bài 7.Cho hàm số y = x4 2mx2 + m (1) , m tham số Biết A điểm thuộc đồ thị
hàm số (1) có hồnh độ Tìm m để khoảng cách từ điểm
3 ; 1 4 B
(3)+) ACm nên A(1 ; 1- m) +) y' 4 x3 4mx y'(1) 4 m
Phương trình tiếp tuyến (Cm) A có phương trình y – ( 1 m ) = y’(1).(x – 1)
Hay (4 – 4m).x – y – 3(1 – m) =
Khi
1
( ; )
16(1 )
d B
m
, Dấu ‘=’ xảy m = 1
Do d B( ; ) lớn m = Bài 8.Cho hàm số
x y
x
,đồ thị đờng cong (C) Viết phương trỡnh tiếp tuyến với đồ thị (C), biết khoảng cỏch từ tõm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn
HD
Giả sử M(x0 ; y0) thuộc (C) mà tiếp tuyến với đồ thị có khoảng cách từ tâm đối
xứng đến tiếp tuyến lớn
Phương trình tiếp tuyến d cđa (C) M có dạng :
0
0
1
( )
( 1)
x
y x x
x x
2
2
0
1
0
( 1) ( 1)
x x y
x x
Ta có d(I ;d) =
4
1 1
( 1)
x
x
Xét hàm số f(t) =
( 0)
t t
t
ta có f’(t) =
2
4
2(1 )(1 )(1 ) (1 )
t t t
t t
f’(t) = t = Bảng biến thiên
x
f’(x) + -f(x)
(4)0
0 1
0 x x
x
+ Với x0 = ta có tiếp tuyến d cã pt y = -x
+ Với x0 = ta có tiếp tuyến d cã pt y = -x+4
Bài 9.Cho hàm số : y = x3 – 3x + Tìm đồ thị ( C) điểm M cho tiếp tuyến
với ( C) M, cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số HD
-Điểm M thuộc (C) nên M(a, a3 - 3a + 2), tiếp tuyến (C) có hệ số góc
k = 3a2 - 3
-Tiếp tuyến M cách trục toạ độ xẩy trường hợp sau TH1 TT song song với AB (đường thẳng qua cực trị): 2x + y - =
<=> 3a2 - = -2<=>
1 3 a
a
<=>
1
( ; )
3 3
1
'( ; )
3 3
M
M
TH2 TT qua điểm uốn U(0; 2)
-Vậy có điểm thoả mãn yêu cầu tốn
Bài 10 Cho hµm sè y x 3 3x2.Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị (C)
điểm phân biệt A, B, C cho điểm A có hồnh độ BC=2 HD
Với xA 2 yA 4 Đường thẳng quaA2; 4 với hệ số góc k có phương trình:
A A
y k x x y :y k x 24.
Phương trình hồnh độ giao điểm (C) là:
x3 3x 2 k x 2 4 x 2x22x k 1 0
⇔{ x=2
g(x)=x2
+2x − k+1=0(1)
Điều kiện để có hai điểm B, C phương trình g(x)=0 có hai nghiệm phân biệt
khác hay tương đương với '
2
g
0 k k
(*)
Khi B x y 1; 1;C x y 2; 2, với x1, x2 nghiệm phương trình (1) y1=kx1−2k+4 ; y2=kx2−2k+4 ;
Ta có BC=√(x2− x1)2+(y2− y1)2=√(x2− x1)2+k2(x2− x1)2
(5)Hay BC =4k +4k (theo Viet 2 ) Theo giả thiết BC =2 2nên ta có 4k3
+4k=(2√2)2⇔4k3+4k −8=0 ⇔4(k −1)(k2+k+2)=0⇔k=1 thỏa mãn điều kiện (*)
Vậy đường thẳng :y = x + 2.
Bài 11.Cho hàm số
2
x m
y
x có đồ thị (Cm).Tìm giá trị m để đường thẳng d: 2x2y 1 cắt (Cm) hai điểm A B cho tam giác OAB có diện tích
1 (O gốc tọa độ) HD
1
2
2 x y y x
Pt hoành độ giao điểm d (Cm)
2
2 (1),
2
x m
x x x m x
x
D cắt (Cm) điểm A, B (1) có nghiệm pb khác -2
2
' 4(2 2) 0 9
2
8 ( 2) ( 2) 2 2 0
m
m m
Gọi x x1, nghiệm (1) Khi 1 2
1
; , ;
2
A x x A x x
2 2
2 1 2
( ) ( ) ( ) 2(9 )
AB x x x x x x x x m
1 1
( , ) 2(9 )
2 2
OAB
S AB d O d m m m
(tm) Vậy
7 m
Bài 12. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3 - 3x2 Biện luận theo m số nghiệm phơng trình x = m
|x2−3x| HD
x = m
|x2−3x|
0,
3
x x
x x x m
Số nghiệm pt số giao điểm đồ thị
y = x x2 3x ( x 0 x 3) với đồ thị y = m
Ta có y =
3
2
3
3
3
3
x x x hoac x
x x x
x x khi x
Lập bảng biến thiên ta có:
x -
(6)y’ + 0 + - +
y
4
0 +/ m < m > pt có nghiệm
+/ m = pt vô nghiệm +/ < m < pt có nghiệm +/ m = pt có nghiệm Bài 13.Cho hàm số
3
3
3
y x ax ax
Tìm a để hàm số (1) đạt cực trị x1 ,
x2 phân biệt thoả mãn điều kiện:
x12+2 ax2+9a a2 +
a2 x22+2 ax1+9a
=2 HD
y'=x2−2ax−3a=0()
(*) có nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔Δ=4a2+12a>0
Viét cho: x1+x2=2a
x1 nghiệm (*), đó: x12+2 ax2+9a=2a(x1+x2)+12a=4a
2
+12a>0 Tương tự: x22+2 ax1+9a=4a
2
+12a>0
Từ đề bài, ta có: 4a
+12a a2 +
a2
4a2+12a=2
⇔4a2+12a
a2 =1 (BĐT – Côsi) ⇔3a(a+4)=0
⇔a=−4 (do: 4a2
(7)