Lập một đội tuyển bóng bàn từ các vận động viên trên gồm 4 nam và 3 nữ.. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC..[r]
(1)
ĐỀ ÔN TẬP THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 (Đề 2) Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x2+2x
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng (C) đến tiếp tuyến lớn
Câu II (2 điểm) :
1 Giải phương trình cos2x – tan2x = cos
2
x+cos3x −1 cos2x
2 Giải hệ phương trình x2
+y2+xy+1=4y x+y¿2=2x2+7y+2
¿ ¿ ¿{ y¿
Câu III (1 điểm) I =
1+sinx 1+cosx (¿)exdx
∫
0 π
¿
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, ABC❑ = 60 ❑0 , chiều cao hình chóp SO = a√3
2 , với O giao điểm AC BD Gọi M trung điểm AD, mặt phẳng (P) chứa BM song song
với SA, cắt SC K Tính thể tích khối chóp K.BCDM theo a
Câu V (1điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn : < a 1, < b 1, < c Chứng minh : (1 +
abc )(a + b + c) + a+
1 b+
1 c II PHẦN RÊNG (3 điểm)
Thí sinh làm hai phần (phần 2) 1 Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1; -2), đường cao CH : x – y + = 0, đường
phân giác BN : 2x + y + = Tìm tọa độ đỉnh B, C tính diện tích tam giác ABC 2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vng góc với mặt
phẳng
(Q) : x + y + z = cách điểm M(1; 2; -1) khoảng √2
Câu VII.a (1 điểm) Có 17 vận động viên mơn bóng bàn, gồm nam có danh thủ Cường 10 nữ có
danh thủ Thủy Lập đội tuyển bóng bàn từ vận động viên gồm nam nữ Tính xác suất
cho đội tuyển có mặt hai danh thủ Theo chương trình Nâng cao.
Câu VI.b (2 điểm)
(2)2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm B0;3;0 , M4;0; 3 Viết phương trình mặt
phẳng ( )P chứa B M, cắt trục Ox Oz, điểm Avà C cho thể tích khối tứ
diện OABCbằng (O gốc toạ độ)
Câu VII.b (1 điểm) Tìm số phức z cho số phức z, 1z , - z có mơ đun
-Hết -Đáp án đề
CâuI Nội dung 2điểm
1
TXĐ D= R y’ =
x+2¿2 ¿
4
¿
> ∀x∈D
Hàm số đồng biến khoảng (-∞;-2) (-2;+∞) khơng có cực trị
0.25
x →2+¿
lim y
¿
= +∞, limx →−y2− = -∞ ⇒ x = -2 tiệm cận đứng lim y
x →± ∞ = ⇒ y = tiệm cận ngang
0.25 Bảng biến thiên :
x -∞ -2 +∞ y +∞
-∞
0.25
Điểm đặc biệt : (0 ; 0), (1 ; 2/3), (2 ; 1) , (-1 ;-2), tâm đối xứng I(-2 ;2)
Đồ thị :
0.25
Gọi M(x0 ;
2x0 x0+2
) điểm (C ) Ttiếp tuyến ∆ (C ) M : y - 2x0
x0+2 =
x0+2¿
¿
4
¿
(x – x0) ⇔ 4x – (x0 = 2) ❑2 y + 2x0 = (∆)
0.25
0.25 0.25
y’ + +
2
y
O -2
2
(3)2
d(I, ∆) =
x0+2¿2+2x0 −8−2¿
¿
x0+2¿4 ¿
16+¿
√¿ ¿ ¿
=
x0+2¿4 ¿
16+¿
√¿
8|x0+2|
¿
x0+2¿2 ¿
2 4¿
√¿
8|x0+2|
¿
(bđt Cô –Si)
⇒ d(I, ∆) 8|x0+2| 2√2|x02|
= √2
⇒ d(I, ∆) đạt giá trị lớn ⇔ (x0 +2)4 = 16
⇔
x0=0,(y0=0)
¿
x0=−4,(y0=4)
¿ ¿ ¿ ¿
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề : y = x y = x +
0.25
Câu II 1điểm
1
Với điều kiện cosx ,phương trình tương đương với : cos2x.cos2x – sin2x = cosx2 + cos3x – 1
⇔ cos2x( cos2x – cosx) = 0
⇔ 2cos2x – cosx – = 0
⇔
cosx=1
¿
cosx=−1
¿ ¿ ¿ ¿
⇔
x=n2π(n∈Z)
¿
x=±2π
3 +k2π(k∈Z)
¿ ¿ ¿ ¿
0.25 0.25 0.25 0.25
2
Từ hệ pt suy : y nên
Hpt ⇔
x2+1
y +x+y=4 x+y¿2−2 x
2 +1 y =2
¿ ¿ ¿{
¿
Đặt u = x
+1
y v = x + y Ta có hệ phương trình :
0.25 0.25 0.25 (thỏa mãn đk cosx
(4)N A K I O M D C B S u v v u ⇔ ¿
u=4− v v2+2v −15=0
¿{ ¿ ⇔ ¿u=1 v=3 ¿ ¿ ¿ u=9 ¿
v=−5
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Với u = 1, v = ta có hệ phương trình :
¿
x2+1=y x+y=3
¿{
¿
⇔
¿
x2+x −2=0 y=3− x
¿{
¿
⇔
¿x=1
y=2 ¿ ¿ ¿ x=−2 ¿ y=5 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Với u= 9, v = -5 ta có hệ phương trình
¿
x2+1=9y x+y=−5
¿{
¿
hệ phương trình vơ nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm (1 ; 2) , (-2 ; 5)
Câu III 1điểm
Ta có
1+tanx 2¿
2
1+sinx 1+cosx=
1 2¿
Do :
I =
1+tan x 2¿
2.exdx=1 2∫0
π
(1+tan2x 2+2 tan
x 2).e
xdx ¿ ∫ π ¿
I =
(1+tan2x 2)e x dx+¿ ∫ π
¿ ∫0
π
tanx 2.e
x dx
Đặt u = ex ⇒ du = exdx, dv =
2(1+tan x
2)dx ⇒ v = tan x Do :
I = extan x
2 ¿π ¿0 - ∫ π tanx 2.e
x
dx + ∫
0 π
tanx 2.e
x
dx
Vậy I = e ❑π4
0.25 0.25 0.25 0.25
Câu IV 1điểm
Từ giả thiết suy ACD
tam giác cạnh a
⇒ CM AD CM = a√3
(5)0.25 Gọi N = BM AC ⇒ M trọng tâm tam giác ABD
SA // (P) ⇒ (SAC) (P) = NK // SA Dựng KI // SO với I AC ⇒ KI (ABCD)
0.25 ∆SOC đồng dạng với ∆KIC ⇒ KI
SO= CK
CS (1) ∆SAC đồng dạng với ∆KNC ⇒ CK
CS = CN CA =
CO+ON
CA =
OA+1 3OA OA =
2
(2) Từ (1) (2) ⇒ KI
SO=
3 ⇒ KI =
a√3 VK.BCDM = 13 SBCDM.KI = a
3
8 (đvtt)
0.25 0.25
Câu V 2 điểm
1
< a , < b ⇒ (a – 1)(b – 1) ⇒ ab – a – b + ⇒ a + b – ab ⇒
ab
1 a+
1
b - (1) Tương tự ta có :
bc ≥ b+
1
c−1 (2) Và
ca ≥ c+
1
a−1 (3) Cộng bất đẳng thức vế theo vế ta có : ab1 +
bc + ca≥2(
1 a+
1 b+
1 c) - Ta có ( +
abc¿ (a + b + c) = a + b + c + ab+
1 bc +
1 ca ⇒ ( + abc1 ¿ (a + b + c) a + b + c + 2(
a+ b+
1 c¿ -
1 a+
1 b+
1 c (a+b+c)(¿)+1
a+ b+
1 c−3 √¿
2.3 + 1a+1 b+
1
c - ( theo bđt Cô –Si) Vậy ( +
abc ¿ (a + b + c) + a+
1 b+
1 c Đẳng thức xảy a = b = c =
0.25 0.25
0.25 0.25
Câu VI.a 2điểm
AB qua A(1 ;-2) AB CH ⇒ AB : x + y + = B = AB BN nên tọa độ điểm B nghiệm hpt
¿
x+y+1=0 2x+y+5+0
¿{
¿
⇒
¿
x=−4 y=3
¿{
¿
⇒ B(-4 ; 3)
Gọi A’ điểm đối xứng A qua BN A’ BC
Phương trình đường thẳng d qua A vng góc với BN d : x – 2y – =
0.25
(6)1
¿
x −2y −5=0 2x+y+5+0
¿{
¿
⇒
¿
x=−1 y=−3
¿{
¿
⇒ I( 1;-3) I trung điểm AA’ nên A’(-3 ;-4) Phương trình đường thẳng BC : 7x + y + =
C= BC CH nên tọa độ điểm C nghiệm hệ pt :
¿
7x+y+25=0 x − y+1=0
¿{
¿
⇒
x=−13
¿
y=−9
¿ ¿{
¿ ¿ ¿
¿
⇒ C( −13 ;−
9 ) BC = 15√2
4 , d(A,BC) = √2 ; SABC = 45
24
0.25 0.25
2
Mp(P) qua O nên(P) có pt dạng : Ax + By + Cz = với A2 + B2 + C2 0
( P) ( Q) 1.A + 1.B + 1.C = ⇒ C= -A – B (1) d(M,(P) = √2 ( A + 2B – C)2 = √2 ( A2 + B2 + C2) (2)
Từ (1) (2) 8AB + 5B2 =
B=0
¿
A=−5 8B
¿ ¿ ¿ ¿ B = C = -A (P) : x – z =
A= -
8B (P) : 5x – 8y + 3z =
0.25 0.25 0.25 0.25
Câu VII.a 1 điểm
N( Ω ) = C ❑177 = 19448
Gọi A biến cố : « đội tuyển có mặt danh thủ Cường Thủy » Ta có trường hợp sau :
Đội tuyển có Cường khơng có Thủy : số cách chọn nam lại C ❑36 , Số cách chọn nữ khơng có Thủy : C ❑39
Số cách chọn đội tuyển : C ❑36 C ❑39 = 1680
Đội tuyển có Thủy (khơng có Cường) : Số cách chọn nữ lại C ❑92 Số cách chọn nam (khơng có Cường) : C ❑64
Số cách chọn đội tuyển : C ❑64 C ❑92 = 540
n(A) = 1680 + 540 = 2220 Xác suất biến cố A : P(A) = n(A)
n(Ω) = 555
4862 ≈0,11
0.25
0.25 0.25 0.25
Câu VI.b 2điểm
AC BH AC: x – y = 0.
(7)1
¿
x −4y −2=0 x − y=0
¿{
¿
x = y = - A( −2
3;− ) M trung điểm AC C(
3; ) BC // d BC: x – 4y + m = 0
C BC m = BC : x – 4y + = 0
B = BH BC nên tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình :
¿
x=−4 y=1
¿{
¿
B(-4; 1).
0.25 0.25 0.25 0.25
2
A Ox, C Oz A(a; 0; 0), C(0; b; 0) với ac 0. (P) : x
a+ y 3+
z c=1 M(4; 0;-3) (P)
a−
c=1 4c – 3a = ac VOABC =
3SOAC OB = | ac|
2
VOABC = |ac| =
ac=6
¿
ac=−6
¿ ¿ ¿ ¿
Ta có
¿4c −3a=6
ac=6
¿ ¿ ¿
4c −3a=−6
¿
ac=−6
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
¿a=−4
c=−3
¿ ¿ ¿
a=2
¿
c=3
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Vậy có hai mp thỏa mãn đề : (P1) : - 4x+3y−23z=1 ; (P2) : x2+3y+3z=1
0.25 0.25
0.25 0.25
Câu VII.b 1điểm
Gọi z = a + bi với a,b R |z|=√aa +b2 1z=a −bi
a2 +b2
|z|=
1
√a2
+b2 ; – z = – a – bi
1− a¿
+b2
¿ |1− z|=√¿
0.25 0.25 0.25
(8)|z|=|1
z|=|1− z|
√a2+b2
=
√a2+b2 1−a¿2+b2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ √a2+b2=√¿
¿
a2+b2=1 a=1
2
¿{
¿
¿a=1
2 b=√3
¿ ¿ ¿
a=1
¿
b=−√3
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Vậy z = 2+√
3
2 i z = 2−√