BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN HỮU LỘC KHÔNG GIAN VỚI MẠNG s - BẢO TỒN BAO ĐÓNG DI TRUYỀN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN HỮU LỘC KHÔNG GIAN VỚI MẠNG s - BẢO TỒN BAO ĐÓNG DI TRUYỀN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN ĐÀ NẴNG - NĂM 2013 i MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tổng quan cấu trúc luận văn CHƯƠNG 1.1 KHÔNG GIAN TÔPÔ MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA KHƠNG GIAN TÔPÔ 1.2 CƠ SỞ VÀ CƠ SỞ LÂN CẬN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ 1.3 CÁC TIÊN ĐỀ TÁCH 1.4 KHÔNG GIAN TÔPÔ KHẢ MÊTRIC 10 1.5 KHÔNG GIAN CON 11 1.6 ă KHễNG GIAN COMPC, KHễNG GIAN LINDELOF V KHễNG GIAN KHẢ LI 12 1.7 TẬP HỢP RỜI RẠC TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ 13 1.8 MỘT VÀI KHÔNG GIAN MÊTRIC SUY RỘNG 14 CHƯƠNG 2.1 HỌ HCP, HCF VÀ HCF* 19 HỌ HCP, HCF, HCF* VÀ CÁC TÍNH CHẤT 19 ii 2.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC HỌ CP, CF, CF*, HCP, HCF, HCF* 28 CHƯƠNG KHƠNG GIAN VỚI MẠNG σ -BẢO TỒN BAO ĐĨNG DI TRUYỀN 35 3.1 HỌ wHCP VÀ CÁC TÍNH CHẤT 35 3.2 KHÔNG GIAN VỚI MẠNG σ -wHCP VÀ σ -HCP 41 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 iii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết nêu luận văn trung thực khơng trùng lặp với tài liệu khác Tác giả iv DANH MỤC CÁC QUY ƯỚC, THUẬT NGỮ VÀ KÍ HIỆU ĐƯỢC DÙNG TRONG LUẬN VĂN Sau quy ước, thuật ngữ kí hiệu dùng Chương Chương luận văn Không gian tôpô viết gọn không gian Tất không gian, không nói thêm chúng tơi giả thiết chúng khơng gian Hausdorff Kí hiệu N tập tất số tự nhiên ω = N ∪ {0} Giả sử P Q họ gồm tập khơng gian X Kí hiệu, (a) P ∧ Q = {P ∩ Q : P ∈ P, Q ∈ Q} (b) K ∧ P = {K ∩ P : P ∈ P} (c) P= {P : P ∈ P} (d) P= {P : P ∈ P} (e) |K| lực lượng K (f) P = {P : P ∈ P} Giả sử P họ gồm tập khơng gian X Khi đó, P gọi đếm có hữu hạn vơ hạn đếm phần tử Kí hiệu P(X) họ gồm tất tập X Các quy ước, thuật ngữ, kí hiệu khái niệm khơng trình bày luận văn hiểu theo [5, 13, 15] MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài tốn metric hóa khơng gian mêtric suy rộng toán trọng tâm tôpô đại cương Trong [4], R Engelking nhắc lại kết Nagata-Smirnow rằng, không gian qui khả mêtric có sở σ -hữu hạn địa phương Bằng cách làm yếu tính chất họ hữu hạn địa phương, D Burke, R Engelking D Lutzer đưa khái niệm họ σ -bảo tồn bao đóng di truyền (viết tắt σ -HCP) chứng minh khơng gian quy khả mêtric có sở σ -HCP (xem [4]) Hơn nữa, [16], Y Tanaka chứng minh rằng, khơng gian quy g -khả mêtric k -khơng gian có k -mạng σ -HCP Từ thập niên 50 kỉ trước đến nay, nhà Toán học giới K Tamano, L Foged, Z Yun, G Guthrie, Y Tanaka, T Mizokami, Y Ge, S Lin, quan tâm đưa nhiều kết liên quan đến họ σ -HCP suy rộng họ wHCP, CF, CF*, HCF, HCF* (xem [9, 14]) Với lý định hướng thầy giáo Lương Quốc Tuyển, định chọn nghiên cứu đề tài: “Không gian với mạng σ -bảo tồn bao đóng di truyền” Chúng hy vọng rằng, tài liệu tham khảo tốt cho người bắt đầu tìm hiểu “Mạng σ -bảo tồn bao đóng di truyền” hy vọng tìm số ứng dụng nhằm góp phần làm phong phú thêm kết lĩnh vực Mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, hiểu nghiên cứu vấn đề sau (1) Họ CP, HCP, CF, HCF, CF* HCF* (2) Mối quan hệ họ CP, HCP, CF, HCF, CF* HCF* (3) Không gian với mạng σ -HCP σ -wHCP Đối tượng nghiên cứu Họ CP, HCP, CF, HCF, CF*, HCF* mạng σ -HCP, σ -wHCP Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tính chất mối quan hệ họ CP, HCP, CF, HCF, CF*, HCF* tính chất mạng σ -HCP, σ -wHCP không gian mêtric suy rộng, thuộc lĩnh vực Tôpô đại cương Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trình thực đề tài thực theo quy trình sau (1) Tham khảo tài liệu hệ thống lại kiến thức tôpô đại cương (2) Thu thập báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến họ CP, HCP, CF, HCF, CF*, HCF* mạng σ -HCP, σ -wHCP (3) Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài (4) Phân tích, đánh giá, tổng hợp trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu để hoàn chỉnh luận văn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng tài liệu tham khảo dành cho quan tâm nghiên cứu mêtric hóa khơng gian tơpơ, mối quan hệ mạng suy rộng sở không gian mêtric suy rộng Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Chương Trong chương này, chúng tơi hệ thống lại số khái niệm tính chất không gian tôpô số tính chất khơng gian mêtric suy rộng nhằm phục vụ cho chương phía sau Chương Trình bày khái niệm số tính chất họ CP, HCP, CF, HCF, CF*, HCF* chứng minh chi tiết số kết mối liên hệ họ Chương Chúng chứng minh chi tiết số kết mối quan hệ họ σ -HCP σ -wHCP, tính chất mạng σ -HCP, σ -wHCP Mặc dù cố gắng song luận văn tránh hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến q thầy bạn để luận văn hoàn chỉnh CHƯƠNG KHÔNG GIAN TÔPÔ Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất không gian tôpô [5] nhằm để phục vụ cho việc chứng minh Chương Chương luận văn 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X tập hợp τ họ gồm tập X thỏa mãn điều kiện sau (a) ∅, X ∈ τ (b) Nếu U , V ∈ τ , U ∩ V ∈ τ (c) Nếu {Uα }α∈Λ ⊂ τ , Uα ∈ τ α∈Λ Khi đó, (1) τ gọi tôpô X (2) Cặp (X, τ ) gọi không gian tôpô (3) Mỗi phần tử τ gọi tập hợp mở (4) Mỗi phần tử X gọi điểm Định nghĩa 1.1.2 Giả sử A tập không gian tơpơ (X, τ ) Khi đó, tập U X gọi lân cận tập A tồn V ∈ τ cho A ⊂ V ⊂ U Ngoài ra, U ∈ τ , ta nói U lân cận mở A Đặc biệt, A = {x}, ta nói U lân cận x 39 Điều mâu thuẫn với x ∈ / F Do vậy, P họ hữu hạn địa phương Hệ 3.1.6 ([1]) Giả sử P họ HCP gồm tập đóng khơng gian dãy X D = {x ∈ X : P không hữu hạn địa phương x} Khi đó, (1) D đóng rời rạc X (2) Nếu K tập compắc, D ∩ K hữu hạn Chứng minh Theo Mệnh đề 3.1.5, ta suy D = x ∈ X : P không điểm-hữu hạn x Do vậy, áp dụng Bổ đề 3.1.2 suy điều phải chứng minh Định lí 3.1.7 ([1]) Giả sử X khơng gian Fréchet-Urysohn , quy P họ gồm tập X Khi đó, khẳng định sau tương đương (1) P họ wHCP; (2) P họ HCP ; (3) P họ HCP ; (4) P họ wHCP Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử P = {Pα : α ∈ Λ} họ wHCP Ta cần chứng minh P họ HCP Thật vậy, giả sử ngược lại P không họ HCP Khi đó, tồn tập J ⊂ Λ với α ∈ J tồn tập Aα ⊂ Pα cho {Aα : α ∈ J} = Do đó, tồn x ∈ X cho {Aα : α ∈ J} 40 {Aα : α ∈ J} \ x∈ {Aα : α ∈ J} Bởi X không gian Fréchet-Urysohn nên tồn dãy S ⊂ {Aα : α ∈ J}, hội tụ đến x Mặt khác, x∈ / Aα với α ∈ J nên Aα chứa nhiều hữu hạn phần tử dãy S Do đó, ta chọn họ đếm {Aαn : n ∈ N} ⊂ {Aα : α ∈ J} cho {Aαn : n ∈ N} chứa dãy {xn : n ∈ N} S , Aαn phân biệt Aαn chứa phần tử xn Từ tính chất wHCP P x∈ {xn : n ∈ N} ta suy x∈ {xn : n ∈ N} ⊂ Điều mâu thuẩn với x ∈ / {Aα : α ∈ J} {Aα : α ∈ J} Do vậy, P họ HCP X (2) =⇒ (3) Nhờ Định lí 2.1.6 (3) =⇒ (4) =⇒ (1) Suy trực tiếp từ định nghĩa Hệ 3.1.8 ([1]) Giả sử X không gian Fréchet-Urysohn , quy P họ gồm tập X Khi đó, khẳng định sau tương đương (1) P σ -wHCP; (2) P σ -HCP; (3) P σ -HCP; (4) P σ -wHCP Chứng minh Suy trực tiếp từ Định lí 3.1.7 41 3.2 KHƠNG GIAN VỚI MẠNG σ -wHCP VÀ σ -HCP Trong mục này, chứng minh chi tiết số kết mạng, cs-mạng, wcs*-mạng k-mạng có tính chất σ -wHCP, σ -HCP Định nghĩa 3.2.1 ([15]) Giả sử P họ gồm tập X Khi đó, (1) P gọi mạng (network) X x ∈ P với P ∈ P với x ∈ U với U tập mở X , tồn P ⊂ P cho x ∈ P ⊂ U (2) P gọi k-mạng (k-network) X với tập compắc K X lân cận mở U K X , tồn họ hữu hạn F ⊂ P cho K⊂ F ⊂ U (3) P gọi cs-mạng (cs-network) X với dãy {xn } hội tụ đến x ∈ U với U mở X , tồn m ∈ N P ∈ P cho {x} {xn : n ≥ m} ⊂ P ⊂ U (4) P gọi wcs*-mạng (wcs*-network) X với dãy {xn } hội tụ đến x ∈ U với U mở X , tồn dãy {xni : i ∈ N} {xn } P ∈ P cho {xni : i ∈ N} ⊂ P ⊂ U (5) P gọi k-mạng đóng X P k-mạng phần tử P tập hợp đóng X Nhận xét 3.2.2 ([15]) (1) cs-mạng =⇒ wcs*-mạng (2) k-mạng =⇒ wcs*-mạng =⇒ mạng Bổ đề 3.2.3 ([1]) Giả sử X không gian dãy P = {Pα : α ∈ Λ} họ wHCP X Khi đó, P mạng, P = {Pα : α ∈ Λ} họ HCP 42 Chứng minh Giả sử ngược lại P không họ HCP Suy tồn tập J ⊂ Λ với α ∈ J tồn Aα ⊂ Pα cho {Aα : α ∈ J} = Do đó, {Aα : α ∈ J} {Aα : α ∈ J} tập khơng đóng X Bởi X không gian dãy nên tồn dãy {xn : n ∈ N} ⊂ {Aα : α ∈ J} hội tụ đến x ∈ X\ {Aα : α ∈ J} Bây giờ, ta đặt K = {x} {xn : n ∈ N} Khi đó, K\{xn } tập đóng X với n ∈ N, kéo theo Un = X\ K\{xn } lân cận mở xn với n ∈ N Mặt khác, P mạng nên tồn Pn ∈ P cho x ∈ Pn ⊂ Un với n ∈ N Từ tính chất wHCP P x ∈ x∈ {xn : n ∈ N} nên ta suy {xn : n ∈ N} ⊂ Điều mâu thuẫn với x ∈ / {Aα : α ∈ J} {Aα : α ∈ J} Do vậy, P họ HCP Hệ 3.2.4 ([1]) Giả sử X không gian dãy P mạng X Khi đó, khẳng định sau tương đương (1) P họ wHCP; (2) P họ HCP ; (3) P họ HCP ; 43 (4) P họ wHCP Chứng minh (1) =⇒ (3) Nhờ Bổ đề 3.2.3 (3) =⇒ (2) =⇒ (1) (3) =⇒ (4) =⇒ (1) Hiển nhiên Bổ đề 3.2.5 ([15]) Mỗi không gian compắc với k-mạng điểm-đếm khả mêtric Định lí 3.2.6 ([1]) Trên khơng gian X , ta xét tính chất sau (1) X có k -mạng σ -wHCP; (2) X có k -mạng σ -compắc-hữu hạn; (3) X có k -mạng σ -cs-hữu hạn Khi đó, phép suy (1) =⇒ (2) =⇒ (3) Hơn nữa, X k-khơng gian phép suy (3) =⇒ (1) ∞ Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử P = Pn k-mạng σ -wHCP X , n=1 Pn họ wHCP Pn ⊂ Pn+1 với n ∈ N Bây giờ, với n ∈ N, ta đặt Dn = {x ∈ X : Pn không điểm-hữu hạn x} Fn = {P \Dn : P ∈ Pn } ∪ {x} : x ∈ Dn ∞ đặt F = Fn Khi đó, F k-mạng σ -compắc-hữu hạn X Thật vậy, n=1 • Fn họ compắc-hữu hạn với n ∈ N Giả sử K tập compắc X n ∈ N Khi đó, theo Bổ đề 3.1.2 ta suy K ∩ Dn hữu hạn với n ∈ N Mặt khác, P họ wHCP nên {P \Dn : P ∈ Pn } họ wHCP điểm-hữu hạn Do đó, K giao hữu hạn phần tử họ {P \Dn : P ∈ Pn } Thật vậy, giả sử ngược lại K giao hữu hạn phần tử họ {P \Dn : P ∈ Pn } Khi đó, ta lấy x1 ∈ X P1 ∈ Pn cho 44 x ∈ K ∩ P1 \ D n Mặt khác, {P \Dn : P ∈ Pn } điểm-hữu hạn K giao với vô hạn phần tử {P \Dn : P ∈ Pn } nên ta chọn P2 ∈ Pn x2 ∈ X cho x2 ∈ K ∩ P2 \ Dn , x2 = x1 , P2 = P1 Tiếp tục trình này, ta chọn dãy phân biệt {xi : i ∈ N} ⊂ K {Pi : i ∈ N} cho xi ∈ Pi \Dn với i ∈ N Bởi vì, {P \Dn : n ∈ N} họ wHCP nên nhờ Bổ đề 1.7.2 ta suy {xi : i ∈ N} tập đóng rời rạc X Bởi K tập compắc nên theo Bổ đề 1.7.3, tập hợp {xi : i ∈ N} có hữu hạn phần tử Điều mâu thuẫn với {xi : i ∈ N} dãy vơ hạn K • F k-mạng X Giả sử K tập compắc, K ⊂ U với U mở X Bởi P k-mạng nên tồn họ hữu hạn H ⊂ P cho K⊂ H ⊂ U Mặt khác, Pn ⊂ Pn+1 với n ∈ N nên tồn n ∈ N cho H ⊂ Pn Bây giờ, ta đặt Fn = {P \Dn : P ∈ H} ∪ {x} : x ∈ K ∩ Dn Khi đó, ta suy Fn ⊂ Fn K ⊂ Fn ⊂ U Cuối cùng, H hữu hạn K ∩ Dn hữu hạn nên ta suy Fn họ hữu hạn Fn Do vậy, F k-mạng X (2) =⇒ (3) Theo Nhận xét 2.1.2 Bây giờ, giả sử X k -không gian ta chứng minh phép suy (3) =⇒ (1) ∞ Giả sử P = Pn k-mạng σ -cs-hữu hạn X Khi đó, hiển nhiên n=1 45 P k -mạng điểm-đếm X Do vậy, để hoàn thành chứng minh ta cần chứng tỏ Pn họ wHCP với n ∈ N Thật vậy, giả sử ngược lại tồn n0 ∈ N cho Pn0 = {Pα : α ∈ Λ} không họ wHCP Khi đó, tồn tập J ⊂ Λ với α ∈ J , tồn xα ∈ Pα cho {xα : α ∈ J} = Suy {xα : α ∈ J} {xα : α ∈ J} khơng tập hợp đóng X Bởi X k -khơng gian nên tồn tập compắc K X cho K∩ {xα : α ∈ J} khơng đóng khơng gian K Mặt khác, X có k-mạng điểm-đếm nên theo Bổ đề 3.2.5, K tập khả mêtric Do đó, tồn dãy {xn : n ∈ N} ⊂ K ∩ hội tụ đến x ∈ / K∩ {xα : α ∈ J} , {xα : α ∈ J} Hiển nhiên {xn : n ∈ N} có vơ hạn phần tử Bởi thế, tập hợp α ∈ J : Pα ∩ {x} {xn : n ∈ N} = ∅ vô hạn Điều mâu thuẩn với Pn0 họ cs-hữu hạn Do vậy, P họ σ -wHCP X Hệ 3.2.7 ([11]) Trên khơng gian quy X , ta xét tính chất sau (1) X có k -mạng σ -HCP; (2) X có k -mạng σ -hữu hạn-compắc; (3) X có k -mạng σ -cs-hữu hạn Khi đó, phép suy (1) =⇒ (2) =⇒ (3) Hơn nữa, X khơng gian Fréchet-Urysohn, phép suy (3) =⇒ (1) 46 Chứng minh Sử dụng Định lí 3.2.6 ta suy phép suy (1) =⇒ (2) =⇒ (3) Hơn nữa, X khơng gian Fréchet-Urysohn, lại theo Mệnh đề 1.8.2 Định lí 3.2.6, X có k -mạng σ -wHCP Do vậy, theo Hệ 3.1.8 ta suy X khơng gian có k-mạng σ -HCP Định lí 3.2.8 ([1]) Đối với khơng gian quy X , khẳng định sau tương đương (1) X khơng gian Fréchet-Urysohn có k-mạng đóng σ -HCP; (2) X khơng gian Fréchet-Urysohn có k-mạng σ -HCP; (3) X khơng gian Fréchet-Urysohn có k-mạng σ -điểm-hữu hạn HCP; (4) X không gian Fréchet-Urysohn có k-mạng đóng σ -wHCP; (5) X khơng gian Fréchet-Urysohn có k-mạng σ -wHCP; (6) X khơng gian Fréchet-Urysohn có k-mạng σ -điểm-hữu hạn wHCP; (7) X không gian Fréchet-Urysohn có k-mạng σ -compắc-hữu hạn; (8) X khơng gian Fréchet-Urysohn có k-mạng σ -cs-hữu hạn Chứng minh Suy trực tiếp từ Mệnh đề 1.8.2, Hệ 3.1.8 Định lí 3.2.6 Mệnh đề 3.2.9 Nếu X khơng gian có mạng σ -HCP, điểm X Gδ -tập ∞ Chứng minh Giả sử P = Pn mạng σ -HCP X Ta giả thiết n=1 Pn ⊂ Pn+1 với n ∈ N Khi đó, với x ∈ X n ∈ N, ta đặt Un (x) = X \ {P ∈ Pn : x ∈ P } 47 Bởi Pn họ HCP nên {P ∈ Pn : x ∈ P } = Suy {P : P ∈ Pn } {P ∈ Pn : x ∈ P } tập hợp đóng X , kéo theo Un (x) tập hợp mở X Mặt khác, x ∈ Un (x) nên Un (x) lân cận mở x Hơn nữa, Pn ⊂ Pn+1 với n ∈ N nên ta suy Un+1 (x) ⊂ Un (x) với x ∈ X n ∈ N Để hoàn thành chứng minh ta cần chứng tỏ ∞ {x} = Un (x) n=1 ∞ Hiển nhiên {x} ⊂ Un (x) Do đó, ta cần chứng minh n=1 ∞ Un (x) ⊂ {x} n=1 ∞ Thật vậy, giả sử ngược lại tồn y ∈ Un (x) mà y = x Khi đó, P n=1 mạng y X \ {x} lân cận mở y nên tồn P0 ∈ P cho y ∈ P0 ⊂ X \ {x} Suy P0 ∈ Pm Bởi thế, P0 ∈ {P ∈ Pm : x ∈ / P }, kéo theo y ∈ / Um (x) ∞ Do đó, y ∈ / Un (x) Từ mâu thuẫn ta suy điều phải chứng minh n=1 Mệnh đề 3.2.10 Giả sử X không gian compắc thỏa mãn điểm X Gδ -tập Khi đó, (1) X không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ nhất; (2) X compắc theo dãy 48 Chứng minh Giả sử X khơng gian compắc Khi đó, (1) Theo Bổ đề 1.6.7, X khơng gian quy Bởi điểm X Gδ -tập nên với x ∈ X , tồn dãy giảm {Ux,n : n ∈ N} gồm lân cận mở ∞ x X cho {x} = Ux,n Mặt khác, X khơng gian quy n=1 Ux,n lân cận mở x X nên với x ∈ X , n ∈ N, tồn lân cận mở Vx,n x X cho x ∈ Vx,n ⊂ Vx,n ⊂ Ux,n ∞ Vx,n Ta chứng minh {Vx,n : n ∈ N} sở lân cận x Khi đó, {x} = n=1 X với x ∈ X Thật vậy, giả sử ngược lại tồn x ∈ X cho {Vx,n : n ∈ N} không sở lân cận x Khi đó, tồn lân cận W x X cho với n ∈ N, tồn xn ∈ Vx,n \ W Bởi ∞ X \ Vx,n X \ {x} = n=1 nên họ {W } {X \ Vx,n : n ∈ N} phủ mở X Do đó, tồn n ∈ N cho n X⊂W X \ Vx,i i=1 Bởi xn ∈ / W với n ∈ N nên ta suy n {xn : n ∈ N} ⊂ X \ Vx,i i=1 Điều mâu thuẫn chứng tỏ X không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ (2) Theo khẳng định (1) ta suy X không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Bây giờ, giả sử {xn : n ∈ N} dãy vô hạn X Trước tiên ta chứng minh tồn x0 ∈ X cho lân cận mở x0 chứa vô hạn phần tử dãy {xn : n ∈ N} Thật vậy, giả sử ngược lại 49 với x ∈ X , tồn lân cận mở Vx x chứa hữu hạn phần tử dãy {xn : n ∈ N} Suy họ {Vx : x ∈ X} phủ mở không gian compắc X Bởi thế, tồn tập hữu hạn F ⊂ X cho X ⊂ Vx Bởi Vx x∈F chứa hữu hạn phần tử dãy {xn : n ∈ N} nên ta suy dãy {xn : n ∈ N} có hữu hạn phần tử Điều dẫn đến mâu thuẫn với dãy {xn : n ∈ N} vô hạn Bây giờ, giả sử {Vn (x0 ) : n ∈ N} sở lân cận giảm đếm x0 Khi đó, ta lấy xn1 ∈ V1 (x0 ) Bởi V2 (x0 ) chứa vô hạn phần tử dãy {xn : n ∈ N} nên ta lấy xn2 ∈ V2 (x0 ) \ {xn1 } với n2 > n1 Tiếp tục q trình ta chọn dãy {xnk : k ∈ N} {xn : n ∈ N} cho xnk ∈ Vk (x0 ) với k ∈ N Cuối cùng, {Vn (x0 ) : n ∈ N} sở lân cận giảm nên ta suy {xnk : k ∈ N} dãy hội tụ đến x0 Định lí 3.2.11 ([17]) Giả sử P họ σ -HCP X Khi đó, P k-mạng P wcs∗ -mạng Chứng minh • Điều kiện cần Giả sử P k-mạng σ -HCP X Khi đó, nhờ Nhận xét 3.2.2 ta suy P wcs*-mạng X ∞ • Điều kiện đủ Giả sử P = Pn wcs*-mạng X , Pn họ HCP n=1 Pn ⊂ Pn+1 với n ∈ N Bởi P σ -HCP X nên theo Mệnh đề 3.2.9, điểm X Gδ -tập Do đó, nhờ Bổ đề 1.6.9 Mệnh đề 3.2.10 ta suy tập compắc X compắc theo dãy Giả sử K ⊂ U với K tập compắc U tập mở X Ta đặt Pn = P ∈ Pn : Z ⊂ P ⊂ U, với Z dãy hội tụ K Fn = Pn Khi đó, tồn n ∈ N cho K ⊂ Fn Thật vậy, giả sử ngược lại với n ∈ N, tồn xn ∈ K\Fn Do đó, ta dãy vô hạn {xn : n ∈ N} ⊂ K 50 Bởi K tập compắc theo dãy P wcs*-mạng nên tồn dãy {xni : i ∈ N} dãy {xn : n ∈ N}, hội tụ đến x ∈ K P ∈ P cho {xni : i ∈ N} ⊂ P ⊂ U Suy tồn m ∈ N cho P ∈ Pm Bởi vậy, P ⊂ Fm Nếu lấy i ∈ N cho ni ≥ m, xni ∈ (K\Fni ) ∩ P = ∅ Điều dẫn đến mâu thuẫn Do vậy, tồn n ∈ N cho K ⊂ Fn Bây ta chứng tỏ tồn họ hữu hạn F ⊂ Pn cho K ⊂ giả sử ngược lại K ⊂ F Thật vậy, F với họ hữu hạn F ⊂ Pn Khi đó, ta lấy P1 ∈ Pn x1 ∈ K ∩ P1 Nhờ giả thiết phản chứng ta suy K\P1 = ∅ Do đó, tồn x2 ∈ K\P1 Mặt khác, K ⊂ Pn nên tồn P2 ∈ Pn cho x2 ∈ P2 Lại theo giả thiết phản chứng ta suy K\(P1 ∪ P2 ) = ∅ Bằng qui nạp ta tìm dãy phân biệt {xn : n ∈ N} ⊂ K dãy phân biệt {Pn : n ∈ N} ⊂ Pn cho xn ∈ Pn với n ∈ N Bởi Pn họ HCP Pn ⊂ Pn nên Pn họ HCP Do đó, {xn : n ∈ N} tập K , đóng rời rạc X Theo Bổ đề 1.7.3, {xn : n ∈ N} có hữu hạn phần tử Điều mâu thuẫn với {xn : n ∈ N} dãy vô hạn K Do vậy, tồn họ hữu hạn F ⊂ P cho K⊂ Bởi thế, P k-mạng X F ⊂ U 51 KẾT LUẬN Luận văn đạt số kết sau: (1) Hệ thống lại số kiến thức tơpơ đại cương tìm hiểu số khơng gian mêtric suy rộng (2) Trình bày số khái niệm tính chất họ CP, HCP, CF, HCF, CF*, HCF* wHCP (3) Chứng minh chi tiết số mối quan hệ họ CP, HCP, CF, HCF, CF*, HCF* (4) Chứng minh chi tiết số mối quan hệ họ HCP wHCP (5) Tìm hiểu khái niệm tính chất mạng, cs-mạng wcs*-mạng k-mạng không gian mêtric suy rộng (6) Chứng minh chi tiết số kết mạng, cs-mạng, wcs*-mạng k-mạng có tính chất wHCP, HCP, σ -wHCP, σ -HCP Do hạn chế mặt lực thời gian nghiên cứu luận văn nên chưa nghiên cứu nhiều kết mối quan hệ họ CP, CF, CF*, HCP, HCF, HCF* chưa quan tâm đến suy rộng khác mạng với tính chất σ -wHCP, σ -HCP, σ -CF, σ -CF*, Ngoài ra, kết trình bày luận văn mặt tả khó tránh thiếu sót Do vậy, chúng tơi mong nhận góp ý quý báu quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Một lần nữa, tác giả xin chân thành cảm ơn tất quý thầy cô bạn học viên giúp đỡ q trình nghiên cứu hồn thành luận văn 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lương Quốc Tuyển, Nguyễn Thị Huyền Nga, Nguyễn Thị Toàn (2006), “Khơng gian với k-lưới σ -bảo tồn bao đóng di truyền yếu”, Tạp chí khoa học, Trường Đại học Vinh, 35 (4A), 112–122 Tiếng Anh [2] Alexandroff P S (1960), “On the metrization of topological spaces”, Bull Acad Polon Sci Sér Sci Math Astronom Phys., 8, 135–140 [3] An T V., Tuyen L Q (2011), “On an affirmative answer to S Lin’s problem”, Topology and its Applications, 158 (13), 1567–1570 [4] Burke D., Engelking R., Lutzer D (1975), “Hereditarily closure-preserving collection and Metrization”, Proc Amer Math Soc., 51, 483–488 [5] Engelking R (1988), General Topology, Sigma series in pure mathematics, 6, Heldermann Verlag, Berlin [6] Foged L (1985), “A characterization of closed images of metric space”, Proc Amer Math Soc., 95, 487–490 [7] Ge Y (2000), “Remarks On CF families”, Questions Answers in General Topology, 18, 103–110 [8] Ge Y., Shen J H (2004), “Some questions on metrizability”, Publ Inst Math Nouv Ser., 76 (90), 143–147 [9] Ge X., Shen J., Ge Y (2007), “Spaces with σ -hereditarily closure-preserving sn-networks”, Novi Sad J Math., 37 (1), 33–37 [10] Lin S (1988), “On a problem of K Tamano”, Questions Answers Gen Topology, 6, 99-102 [11] Lin S (1988), “Spaces with a σ -compact finite k-networks”, Questions Answers Gen Topology, 10, 81-87 [12] Lin S (1995), Generalized Metric Spaces and Mappings, Chinese Science Press, Beijing 53 [13] Lin S (2002), Point-Countable Covers and Sequence-Covering Mappings, Chinese Science Press, Beijing [14] Mizokami T (1990), “On CF families and hyperspaces of compact subsets”, Topology and its Applications, 35, 75–92 [15] Tanaka Y (2001), “Theory of k -networks II”, Questions Answers Gen Topology, 19, 27–46 [16] Tanaka Y (1991), “ σ -hereditarily closure-preserving k-networks and gmetrizability”, Proc Amer Math Soc., 112, 283–290 112 (1) [17] Tanaka Y (1987), “Point-countable covers and k-networks”, Topology Proc., 12, 327–349 [18] Yun Z., Yang X., Ge Y (2000), “Metrizable, ℵ-, La˘snev spaces and g functions”, Math Japonica, 52, 225–229 ... Fréchet-Urysohn; (3) Mỗi không gian Fréchet-Urysohn không gian dãy; (4) Mỗi không gian dãy k -không gian; (5) Mỗi không gian Fréchet-Urysohn k -không gian; (6) Mỗi k -không gian k -không gian 16 Chứng minh... T4 -không gian =⇒ T3 -không gian =⇒ T2 -khơng gian =⇒ T1 khơng gian Định lí 1.3.3 Đối với không gian X , khẳng định sau (1) X T1 -không gian tập điểm {x} đóng X với x ∈ X 10 (2) X không gian. .. 28 CHƯƠNG KHÔNG GIAN VỚI MẠNG σ -BẢO TỒN BAO ĐÓNG DI TRUYỀN 35 3.1 HỌ wHCP VÀ CÁC TÍNH CHẤT 35 3.2 KHÔNG GIAN VỚI MẠNG σ -wHCP VÀ σ -HCP