BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ CẨM HƢỜNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA HÀM MŨ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN Chuyên ngành : Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Thị Cẩm Hƣờng MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƢƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM MŨ 1.1 TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ MŨ 1.1.1 Tính chất hàm số mũ 1.1.2 Một số đặc trƣng hàm số mũ 1.2 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ MŨ CHƢƠNG PHƢỜNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH MŨ 11 2.1 PHƢƠNG PHÁP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ 11 2.1.1 Lớp phƣơng trình, bất phƣơng trình mũ 11 2.1.2 Các phƣơng pháp 12 2.1.3 Các phƣơng pháp khác 22 2.2 HỆ PHƢƠNG TRÌNH MŨ 33 2.2.1 Phép chuyển hệ đại số 33 2.2.2 Phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 34 2.3 MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHƢƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ 39 2.3.1 Xây dựng phƣơng trình bất phƣơng trình mũ 39 2.3.2 Các toán liên quan đến tập nghiệm phƣơng trình bất phƣơng trình mũ 48 CHƢƠNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN HÀM MŨ 53 3.1 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ 53 3.2 CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ LIÊN QUAN ĐẾN HÀM MŨ 57 KẾT LUẬN 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình bất phương trình nội dung quan trọng chương trình tốn trung học phổ thơng Đây vấn đề rộng chứa nhiều dạng toán hay khó Đặc biệt, dạng tốn phương trình bất phương trình mũ dạng thường gặp kỳ thi đại học thi học sinh giỏi quốc gia Việc giải toán phương trình, bất phương trình mũ địi hỏi phải nắm vững phương pháp, kiến thức hàm số mũ kiến thức liên quan phải biết vận dụng kiến thức cách hợp lý, có tính tư Có nhiều phương pháp để giải phương trình, bất phương trình mũ, toán ta phải biết nhận dạng áp dụng phương pháp thích hợp để giải Chính lý nên tơi chọn đề tài "Hệ phương trình bất phương trình chứa hàm mũ tốn liên quan" nhằm hệ thống số dạng toán, phương pháp giải hệ phương trình, bất phương trình mũ số dạng toán liên quan đến hàm mũ Mục đích nghiên cứu Hệ thống số dạng tốn, phương pháp giải hệ phương trình bất phương trình mũ số dạng toán liên quan đến hàm mũ Đối tượng phạm vi nghiên cứu Khảo sát lớp hàm số mũ dạng phương trình, bất phương trình mũ số dạng tốn liên quan đến hàm mũ Phương pháp nghiên cứu Tham khảo, phân tích tổng hợp tài liệu chuyên đề, sách giáo khoa, tài liệu giáo viên hướng dẫn, tài liệu mạng Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi tốn bậc trung học phổ thơng Cấu trúc luận văn Luận văn gồm chương phần mở đầu, kết luận Chương I Trình bày tính chất hàm số mũ kiến thức liên quan Chương II Trình bày phương trình, bất phương trình hệ phương trình mũ Khảo sát số dạng phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ số dạng tốn liên quan Chương III Trình bày tốn liên quan đến hàm số mũ Xét số dạng toán bất đẳng thức, cực trị số dạng toán liên quan CHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM MŨ 1.1 TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ MŨ 1.1.1 Tính chất hàm số mũ Hàm số f (x) = ax , < a = 1, x ∈ R gọi hàm số mũ số a Khi a = ax ≡ Nhận xét tập xác định Df = R tập giá trị Rf = (0; +∞) Trong phần tiếp theo, ta giả sử < a = Nhận xét hàm số f (x) = ax liên tục có đạo hàm R, f ′(x) = ln a.f (x) Ta khảo sát tính đơn điệu hàm f (x) trường hợp - Trường hợp 1: a > R Khi đó, ln a > f (x) > nên suy f ′ (x) = ln a.f (x) > 0, ∀x ∈ Vậy a > f (x) hàm số đồng biến R Ta lại có f (0) = lim f (x) = +∞; lim f (x) = x→+∞ x −∞ x→−∞ +∞ +∞ x a - Trường hợp 2: < a < Trong trường hợp này, f ′(x) < 0, ∀x ∈ R Vậy < a < f (x) = ax hàm số nghịch biến R Ta có bảng biến thiên sau: −∞ x +∞ +∞ x a Tính chất 1.1 Với a > x1 , x2 ∈ R, ta có x1 x2 (a ) x1 x2 =a x1 x2 , a a x1 +x2 =a ax1 , x = ax1 −x2 a2 Tính chất 1.2 Với a > 0, b > x ∈ R, ta có a ax a b = (ab) , x = b b x x x x Tính chất 1.3 Hàm số f (x) = ax (0 < a = 1) có đạo hàm điểm x ∈ R (ax ) = ax ln a Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm khoảng ′ ′ J ⊂ R hàm số y = au(x) có đạo hàm J (au(x) ) = u (x)au(x) ln a ′ Tính chất 1.4 (SGK, Giải tích Lớp 12) Với x ∈ R, ta có ex ≥ + x Tính chất 1.5 Với a > b > ax + a−x ≥ bx + b−x , ∀x ∈ R Chứng minh Ta có ax + a−x ≥ bx + b−x ⇔ (ax − bx ) + (a−x − b−x ) ≥ ⇔ (ax − bx ) − ≥ (ab)x Nếu x = dấu đẳng thức xảy Nếu x > ax > bx (ab)x > (ab)0 = nên (ax − bx ) − Nếu x < > (ab)x ax < bx (ab)x < (ab)0 = Suy (ax − bx ) − > (ab)x  ax − bx > nên >0 1 − (ab)x  ax − bx < nên b > ax + a−x ≥ bx + b−x , ∀x ∈ R Dấu "=" xảy x = 1.1.2 Một số đặc trưng hàm hàm số mũ Đối với hàm số mũ f (t) = at , (0 < a = 1), ta có đặc trưng hàm sau đây: f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R Nhờ đặc trưng hàm này, ta có phương trình hàm tương ứng Bài tốn 1.1 (Phương trình hàm Cauchy dạng mũ) Xác định hàm f (x) liên tục R thỏa mãn điều kiện sau f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R (1.1) Bài giải Dễ thấy f ≡ thỏa mãn điều kiện Xét trường hợp f ≡ 0, tồn x0 ∈ R cho f (x0) = Theo (1.1) f (x0) = f (x + (x0 − x)) = f (x)f (x0 − x) = 0, ∀x ∈ R Suy ra, f (x) = 0, ∀x ∈ R Mặt khác, ta có f (x) = f x x x + = f 2 2 > 0, ∀x ∈ R Đặt ln f (x) = g(x) f (x) = eg(x) Khi g(x) hàm liên tục R g(x + y) = ln f (x + y) = ln[f (x)f (y)] = ln f (x) + ln f (y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R Đây phương trình hàm Cauchy lớp hàm liên tục (xem [10]) nên có nghiệm g(x) = bx, b ∈ R tùy ý Suy f (x) = ax với a = eb > Vậy nghiệm toán f ≡ f (x) = ax với a > Bài toán 1.2 Giả sử hàm f (x) thỏa mãn điều kiện (1.1) liên tục điểm cho trước x0 ∈ R Chứng minh liên tục R, tức f ∈ C(R) Bài giải Thật vậy, theo giả thiết (1.2) lim f (x0 + y) = f (x0) y→0 Từ (1.2) với x = 0, y = f (0) = f (0) = Nếu f (0) = từ (1.1), thay y = 0, ta thu f (x) ≡ nên liên tục R Nếu f (0) = từ (1.1) ta có f (x0 + y) = f (x0)f (y), ∀y ∈ R, nên lim f (x0 + y) = f (x0) = lim[f (x0)f (y)] = f (x0) lim f (y) y→0 y→0 y→0 Do lim f (y) = = f (0), tức f (x) liên tục x = y→0 Xét x1 ∈ R tùy ý Theo (1.1), ta có f (x1 + y) = f (x1)f (y), ∀y ∈ R (1.3) Vì lim f (y) = 1, nên từ (1.3), ta có y→0 lim f (x1 + y) = f (x1), y→0 tức f (x) liên tục x1 Từ kết hai toán 1.1 1.2, ta thu kết sau Hệ 1.1 Mọi hàm số f xác định R liên tục điểm x0 cho trước thỏa mãn điều kiện (1.1) có dạng f (x) ≡ f (x) = ax với a > Tiếp theo, ta xét đặc trưng quan trọng khác hàm mũ Bài toán 1.3 Xác định tất số dương a cho hàm mũ f (x) = ax thỏa mãn điều kiện ax ≥ + x, ∀x ∈ R (1.4) 50 + αx x1 Ta biểu diễn hàm số f (x) dạng f (x) = b x = 0, với a α= b 1 + αx x1 Ta có ln g(x) = [ln(1 + αx ) − ln 2] Đặt g(x) = x d + αx αx ln αx suy − ln h(x) [ln g(x)] = = dx x + αx  x2 h′ (x) > x >  x xα ln α Suy h′ (x) = x = Ta có h′ (x) = x  ′ (1 + α ) h (x) < x < Mà h(0) = Suy h(x) ≥ 0, ∀x ∈ R Như ln g(x) có đạo hàm dương với x = Do ln g(x) hàm đơn điệu tăng, suy g(x) hàm đơn điệu tăng Từ suy hàm f (x) hàm đơn điệu tăng + αx x1 Lại có lim f (x) = lim b = be0 = b x→+∞ x→+∞ b + β x x1 = ae0 = a, với β = lim f (x) = lim a x→−∞ x→−∞ a Vậy phương trình f (x) = m có nghiệm a < m < b Bài tốn 2.31 Chứng minh phương trình x.ax = có nghiệm với a > Lời giải Xét trường hợp: ⊙ Trường hợp x ≤ 0: khơng thỏa mãn phương trình ⊙ Trường hợp x > 0: Xét hàm số f (x) = x.ax − liên tục điểm x ≥ Ta có f (x) liên tục đoạn [0; 1] f (0).f (1) = (−1).(a − 1) < (do a > 1) suy ∃x0 ∈ (0; 1) cho f (x0) = hay phương trình cho có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) Lại có x.ax = ⇔ ax = x1 (do x > 0) Mà khoảng (0; +∞) hàm số y = ax hàm số đồng biến, y = x1 hàm số nghịch biến Do khoảng (0; +∞) phương trình x.ax = có nghiệm 51 x0 ∈ (0; 1) Vậy với a > phương trình cho có nghiệm x0 ∈ (0; 1) b Xác định tham số để bất phương trình nghiệm với x thuộc khoảng cho Bài toán 2.32 Xác định a > để bất phương trình ax ≥ + x nghiệm với x ∈ R Lời giải Xét trường hợp: ⊙ Trường hợp x ≤ −1 x = 0: bất phương trình với a > Với x = dấu "=" xảy ⊙ Trường hợp −1 < x = 0: ta có ax ≥ + x ⇔ x ln a ≥ ln(1 + x) ◦ Nếu x > x ln a ≥ ln(1 + x) ⇔ ln a ≥ ln(1+x) x Xét g(x) = x − ln(1 + x) xác định liên tục nửa khoảng [0; +∞) x Ta có g ′ (x) = > 0, ∀x > 0, 1+x suy g(x) đồng biến nửa khoảng [0; +∞) < 1, ∀x > Suy g(x) > g(0) = 0, ∀x > ⇔ ln(1+x) x nghiệm với x > ⇔ ln a ≥ ⇔ a ≥ e Do ln a ≥ ln(1+x) x ◦ Nếu −1 < x < x ln a ≥ ln(1 + x) ⇔ ln a ≤ ln(1+x) x Xét g(x) = x − ln(1 + x) xác định liên tục nửa khoảng (−1; 0] x Ta có g ′ (x) = < 0, ∀x ∈ (−1; 0), 1+x nên g(x) nghịch biến nửa khoảng (−1; 0] Suy g(x) > g(0) = 0, ∀x ∈ (−1; 0) ⇔ ln(1+x) > 1, ∀x ∈ (−1; 0) x ln(1+x) Do ln a ≤ x nghiệm với x ∈ (−1; 0) ⇔ ln a ≤ ⇔ a ≤ e Từ trường hợp suy ax ≥ + x nghiệm với x ∈ R a = e Với a = e, ta thấy bất đẳng thức ex ≥ + x với x ∈ R Nhận xét 2.6 Từ tốn 2.32 ta có bất đẳng thức ex ≥ + x, ∀x ∈ R Dấu "=" xảy x = Như phương trình ex = + x có nghiệm x = 52 x2 Bài toán 2.33 Xác định a > để bất phương trình a ≥ + x + nghiệm với x ≥ Lời giải Xét trường hợp: ⊙ Trường hợp x = 0: bất phương trình với a > ⊙ Trường hợp x > 0, ta có x x2 ln (1 + x + ) x2 x2 ax ≥ + x + ⇔ x ln a ≥ ln (1 + x + ) ⇔ ln a ≥ 2 x x2 Xét hàm số f (x) = x − ln (1 + x + ) xác định liên tục nửa khoảng [0; +∞) Ta có f ′(x) = − x+1 = x /2 > 0, ∀x > x x 1+x+ 1+x+ 2 Suy f (x) đồng biến nửa khoảng [0; +∞), f (x) > f (0) = 0, ∀x > x2 ln (1+x+ ) x < 1, ∀x > Suy x − ln (1 + x + ) > 0, ∀x > ⇔ x x2 ) ln (1+x+ nghiệm với x > ln a ≥ Do ln a ≥ x ⇔ a ≥ e x2 Từ trường hợp suy a ≥ + x + nghiệm với x ≥ a ≥ e x x2 Nhận xét 2.7 Từ tốn 2.33 ta có bất đẳng thức e ≥ 1+x+ , ∀x ≥ Dấu "=" xảy x = x 53 CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN HÀM MŨ 3.1 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ Trong phần này, tác giả đưa số toán cực trị có liên quan đến hàm số mũ việc giải phương trình mũ Từ tốn cực trị ta có tốn phương trình mũ hệ phương trình mũ tương ứng Bài tốn 3.34 Tìm giá trị nhỏ hàm số √ √ √ √ y = (2 + 3)2x + (2 − 3)2x − 8[(2 + 3)x + (2 − 3)x ] Lời giải Tập xác định D = R √ AM-GM √ Đặt t = (2 + 3)x + (2 − 3)x ≥ √ √ (2 + 3)x (2 − 3)x = Khi hàm số trở thành y = f (t) = t2 − 8t − 2, t ≥ Vì f (t) parabol lõm có hoành độ đỉnh tS = > nên minf (t) = f (4) = −18 t≥2 √ √ √ √ ⊙ t = ⇔ (2 + 3)x + (2 − 3)x = ⇔ (2 + 3)2x − 4(2 + 3)x + = √ √ (2 + √3)x = + √3 ⇔ ⇔ (2 + 3)x = − x=1 Vậy miny = −18 x = −1 x∈R x=1 x = −1 Nhận xét 3.8 Từ tốn 3.34 ta có tốn sau: Giải phương trình: √ √ √ √ (7 + 3)x + (7 − 3)x − 8[(2 + 3)x + (2 − 3)x ] + 18 = Nghiệm phương trình: x = −1 x = 54 Bài toán 3.35 Cho x, y thỏa 3y + x ≥ − log4 Tìm giá trị nhỏ T = 4x+y−1 + 3.42y−1 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta √ có: √ √ x+3y T = 4x+y−1 + 3.42y−1 ≥ 4x+y−1.3.42y−1 = Mà 3y + x ≥ − log4 16 (do y = 4x hàm đồng biến) suy 4x+3y ≥ 42−log4 = √ ⇔ 4x+3y ≥ √ Do T ≥ Dấu "=" xảy  √  x = + log4 x+y−1 2y−1 = 3.4 ⇔ √ 3y + x = − log4  y = − log4  √  x = + log4 Vậy T = √  y = − log4 Nhận xét 3.9 Từ tốn 3.35 ta có tốn sau: 4x+y−1 + 3.42y−1 = Giải hệ phương trình  3y + x = − log4 √  x = + log4 Nghiệm hệ là: √  y = − log4 Bài toán 3.36 Cho hai số dương x, y x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 3x+1 + 9y Lời giải Ta có y = − x > nên < x < Khi A = 3x+1 + 91−x = 3.3x + x 9 x Đặt = t, với < x < < 3x = t < Do A = 3.t + , với t < t < √ 18 3.t3 − 18 ′ ′ , A = ⇔ t = Ta có A = − = t t 55 Bảng biến thiên t A √ − ′ + 27 √ 36 A √ 27 Theo bảng biến thiên: A = √ t = 36 √ √ 1 ⊙ t = ⇔ 3x = ⇔ x = log3 nên y = − log3 3   x = log3 27 Vậy A = √  36 y = − log3 Nhận xét 3.10 Từ  tốn 3.36 ta có tốn sau: 27  x+1 + 9y = √ Giải hệ phương trình 36 với điều kiện: x, y > x + y =   x = log3 Nghiệm hệ  y = − log3 Bài tốn 3.37 Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = 4| sin x| + 2| cos x| Lời giải Tập xác định D = R Ta có: | sin x| ≥ sin2 x, | cos x| ≥ cos2 x Do 4| sin x| + 2| cos x| ≥ 4sin 2 + 2cos x = 22 sin Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 4| sin x| + 2| cos x| ≥ 22 sin 2 x + 2cos x−1 + 2cos x−1 + 2cos x−1 + 2cos x−1 ≥ 22 sin x+2 cos2 x−2 =  2 22 sin x = 2cos x−1 ⇔ sin x = ⇔ x = kπ Dấu "=" xảy sin2 x = | sin x|  cos x = | cos x| Vậy miny = x = kπ x∈R x x 56 Nhận xét 3.11 Từ tốn 3.37 ta có tốn sau: Giải phương trình 4| sin x| + 2| cos x| = Nghiệm phương trình x = kπ, k ∈ C Bài tốn 3.38 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y = 2| sin x| + 2| cos x| Lời giải Tập xác định hàm số D = R Đặt | cos x| = t Khi hàm số cho trở thành y = f (t) = 2t + Ta có √ 1−t2 , với ≤ t ≤ √ 1−t2 t ln − √1−t f (t) = ln + 2 √ t 1−t2 = t ln − 2√1−t2 với < t < t 2u Để tiếp tục ta xét hàm số g(u) = khoảng (0; 1) u u ln − u u với < u < Ta có g ′ (u) = u.2 uln2 2−2 = 2u u2 Vì < u < nên < u ln < u < suy u ln − < Do g ′ (u) < với < u < Từ suy g(u) nghịch biến khoảng (0; 1) √ √ 2t 2√ 1−t ′ Khi f (t) = ⇔ = 1−t2 ⇔ g(t) = g( − t2 ) t √ √ ⇔ t = − t2 ⇔ t = Bảng biến thiên √ t ′ f ′(t) t + f f (t) √ 2 Căn vào bảng biến thiên ta có: − 57 √ √ 2 max f (t) = f = 2.2 f (t) = f (0) = f (1) = t∈[0;1] t∈[0;1] π Ta có t = ⇔ | cos x| = ⇔ cos x = ⇔ x = + kπ, k ∈ C t = 1√⇔ | cos x| = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ, k ∈ C √ √ 2 π π t= ⇔ | cos x| = ⇔ cos x = ± ⇔ x = + k , k ∈ C 2 √ π π Vậy maxy = 2.2 x = + k (k ∈ C) x∈R π x = + kπ miny = (k ∈ C) x∈R x = kπ Nhận xét 3.12 Từ tốn 3.38 ta có hai tốn sau: Giải phương trình 2| sin x| + 2| cos x| = π x = + kπ Nghiệm phương trình (k ∈ C) x = kπ √ | sin x| | cos x| Giải phương trình +2 = 2.2 π π Nghiệm phương trình x = + k (k ∈ C) 3.2 CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ LIÊN QUAN ĐẾN HÀM MŨ Các toán dãy số có nội dung đa dạng Ở tác giả quan tâm đến dạng là: tốn chứng minh dãy số có chứa hàm số mũ có giới hạn hữu hạn (hay hội tụ) tìm giới hạn dãy số Bài tốn 3.39 Cho dãy số (xn) xác định sau: x1 = 0, xn+1 = xn với n ∈ N∗ Chứng minh dãy số (xn) có giới hạn hữu 27 hạn tìm giới hạn Lời giải x nghịch biến 27 = f (xn), ∀n ∈ N∗ f (x) ≤ Nhận xét xn ≥ 0, ∀n ∈ N∗ Xét hàm số f (x) = nửa khoảng [0; +∞) Khi xn+1 58 f (0), mà f (0) = nên ≤ xn ≤ 1, ∀n ∈ N∗ Ta có x1 = 0, x2 = 1, x3 = nên x1 < x3 x4 = f (x3) < f (x1 ) = x2 27 Tiếp theo, ta chứng minh phương pháp quy nạp: x2n−1 < x2n+1 x2n+2 < x2n Thật vậy, giả sử có x2n−1 < x2n+1 f (x2n−1) > f (x2n+1) nên x2n > x2n+2 f (x2n) < f (x2n+2) Suy x2n+1 < x2n+3 Tương tự, giả sử có x2n > x2n+2 f (x2n) < f (x2n+2) nên x2n+1 < x2n+3 f (x2n+1) > f (x2n+3) Suy x2n+2 > x2n+4 Vậy (x2n−1) dãy đơn điệu tăng dãy (x2n) dãy đơn điệu giảm thuộc [0, 1] nên có giới hạn hữu hạn: lim x2n = a, lim x2n−1 = b (0 ≤ a, b ≤ 1) n→∞ n→∞ a = lim x2n+2 = lim f (x2n+1) = lim f (f (x2n)) = f (f (a)) n→∞ n→∞ n→∞ nên a 27 a= 27 x 1 x ⇔ log 271 x = 27 27 Ta có hàm số y = log 271 x hàm ngược hàm số y = Xét phương trình: x = 27 x nên đồ thị 27 hai hàm số đối xứng qua đường phân giác góc phần tư x thứ y = x Do nghiệm phương trình log 27 x = 27 x nghiệm phương trình = x 27 x Mà phương trình = x có nghiệm x = 31 27 x có nghiệm x = 13 Suy phương trình log 271 x = 27 Từ suy a = 31 1 Tương tự, ta thu b = Vậy nên a = b lim xn = · n→∞ 3 59 √ Bài toán 3.40 Cho dãy số (xn) xác định x1 = xn+1 = √ ( 2)xn , ∀n ∈ N∗ Chứng minh dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn √ Lời giải Xét hàm số f (x) = ( 2)x đồng biến khoảng (0; +∞) √ Khi dãy (xn) xác định sau: x1 = 2, xn+1 = f (xn), ∀n ∈ N∗ ⊙ Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh ∀n ∈ N∗ , xn+1 > xn (3.62) √ √2 √ Ta có x2 = f (x1) = ( 2) > = x1 : (3.62) với n = Giả sử (3.62) n = k, k ∈ N∗ , tức là: xk+1 > xk Ta chứng minh (3.62) n = k + 1, tức là: xk+2 > xk+1 Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có xk+1 > xk ⇒ f (xk+1) > f (xk ) (dof (x) hàm đồng biến) ⇔ xk+2 > xk+1 Vậy ∀n ∈ N∗ , xn+1 > xn nên (xn) dãy số tăng ⊙ Bằng phương pháp quy nạp chứng minh: ∀n ∈ N∗ , xn < √ √ Điều với n = Giả sử xn < xn+1 = ( 2)xn < ( 2)2 = Theo nguyên lý quy nạp, ta có: ∀n ∈ N∗ , xn < Vậy dãy (xn) tăng bị chặn nên dãy có giới hạn hữu hạn Gọi √ a giới hạn chuyển đẳng thức xn+1 = ( 2)xn sang giới hạn, ta √ a = ( 2)a Ngồi ta có a ≤ √ √ ln x = ln( 2) Xét phương trình x = ( 2)x ⇔ x ln x Xét hàm số g(x) = có tập xác định D = (0; +∞) x − ln x ′ , g (x) = ⇔ − ln x = ⇔ x = e Ta có: g ′ (x) = x2 Bảng biến thiên: x g ′ (x) g(x) + −∞ +∞ e e − 60 √ Ta có < ln( 2) < vào bảng biến thiên phương trình e √ x = ( 2)x có nghiệm nhỏ e nghiệm lớn e Vì nghiệm phương trình nên phương trình có nghiệm x = thỏa mãn điều kiện nhỏ Từ suy a = Vậy lim xn = n→∞ Bài toán 3.41 Cho a > dãy số (xn) xác định x1 = a, xn+1 = axn với n ∈ N∗ Hãy xác định tất giá trị a để dãy (xn) hội tụ Lời giải Xét hàm số f (x) = ax (a > 1) đồng biến khoảng (0; +∞) Khi dãy (xn) xác định sau: x1 = a xn+1 = f (xn), ∀n ∈ N∗ ⊙ Điều kiện cần: Giả sử dãy (xn) có giới hạn l, chuyển đẳng thức xn+1 = axn sang giới hạn, ta được: l = al ln x Xét phương trình x = ax ⇔ = ln a x ln x có tập xác định D = (0; +∞) Xét hàm số g(x) = x − ln x ′ Ta có: g ′ (x) = , g (x) = ⇔ − ln x = ⇔ x = e x2 Bảng biến thiên: x g ′ (x) g(x) + −∞ +∞ e − e Căn vào bảng biến thiên, ta có: Phương trình x = ax có nghiệm đường thẳng y = ln a cắt ln x ⇔ < ln a ≤ ⇔ < a ≤ e e đồ thị hàm số y = x e Từ suy điều kiện cần để tồn l < a ≤ e e ⊙ Điều kiện đủ: Với < a ≤ e e , ta chứng minh dãy (xn) hội tụ 61 ◦ Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh: ∀n ∈ N∗ , xn+1 > xn (3.63) Ta có x2 = f (x1) = aa > a = x1 : (3.63) với n = Giả sử (3.63) n = k, k ∈ N∗ , tức là: xk+1 > xk Ta chứng minh (3.63) n = k + 1, tức là: xk+2 > xk+1 Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: xk+1 > xk ⇒ f (xk+1) > f (xk ) (dof (x) hàm đồng biến) ⇔ xk+2 > xk+1 Vậy ∀n ∈ N∗ , xn+1 > xn nên (xn) dãy số tăng ◦ Bằng phương pháp quy nạp chứng minh: ∀n ∈ N∗ , xn < e Điều với n = (vì x1 = a ≤ e e < e) Giả sử có xn < e xn+1 = axn < ae ≤ (e e )e = e Theo nguyên lý quy nạp, ta có: ∀n ∈ N∗ , xn < e Như với < a ≤ e e dãy (xn) tăng bị chặn e nên dãy hội tụ Vậy với < a ≤ e e dãy (xn) cho hội tụ  x1 = a 2xn (xn ln − 1) + Bài toán 3.42 Cho dãy số (xn) xác định xn+1 = 2xn ln − ∀n ∈ N∗ Xác định a để dãy có giới hạn hữu hạn khác Lời giải 2x (x ln − 1) + có tập xác định D = R\{log2 log2 e} Xét hàm số f (x) = 2x ln − Khi dãy (xn) xác định sau: x1 = a xn+1 = f (xn), ∀n ∈ N∗ 2x (ln 2)2(x + − 2x ) ′ Ta có f (x) = − (2x ln − 1)2 ′ f (x) = ⇔ x + − 2x = ⇔ 2x − x − = ⊙ Xét hàm số g(x) = 2x − x − 1, ∀x ∈ R Ta có g ′ (x) = 2x ln − 1, g ′′ (x) = 2x (ln 2)2 > 0, ∀x ∈ R 62 Như theo hệ định lý Rolle phương trình g(x) = khơng có nghiệm phân biệt R Mà g(0) = g(1) = suy phương trình g(x) = có nghiệm x = x = Đặt log2 log2 e = m Bảng biến thiên cho hàm số f (x) x f ′(x) −∞ f (x) −∞ + 0 − +∞ −∞ +∞ m − + +∞ ⊙ Khi a < m x2 = f (x1) = f (a) ≤ 0, x3 = f (x2) ≤ f (0) = 0, , xn ≤ f (0) = 0, xn ∗ xn+1 − xn = x2nxn+1−2 ln 2−1 ≥ 0, ∀n ∈ N Suy dãy (xn) dãy tăng bị chặn nên dãy (xn) có giới hạn hữu hạn Gọi v giới hạn chuyển đẳng thức xn+1 = f (xn) sang giới hạn , ta v + = 2v , v ≤ Mà phương trình x + = 2x có hai nghiệm x = x = Từ suy v = Như lim xn = n→∞ ⊙ Khi a > m x2 = f (x1) = f (a) ≥ 1, x3 = f (x2) ≥ f (1) = 1, , xn ≥ f (1) = 1, xn ∗ xn+1 − xn = x2nxn+1−2 ln 2−1 ≤ 0, ∀n ∈ N Suy dãy (xn) dãy giảm bị chặn nên dãy (xn) có giới hạn hữu hạn Gọi v giới hạn chuyển đẳng thức xn+1 = f (xn) sang giới hạn , ta v + = 2v , v ≥ Mà phương trình x + = 2x có hai nghiệm x = x = Từ suy v = Như lim xn = n→∞ Vậy với a > log2 log2 e dãy cho có giới hạn hữu hạn khác 63 KẾT LUẬN Các kết luận văn "Hệ phương trình bất phương trình chứa hàm mũ tốn liên quan" đạt được: • Hệ thống số phương pháp giải hệ phương trình bất phương trình chứa hàm mũ • Xây dựng số dạng tốn phương trình, bất phương trình mũ dựa vào phương pháp đặt ẩn phụ tính đơn điệu hàm số • Dựa vào phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ xây dựng cách giải số hệ phương trình mũ tương ứng • Từ số kết biện luận bất phương trình mũ khoảng cho ta thu bất đẳng thức giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức tương ứng Ngược lại, từ số dạng bất đẳng thức chứng minh ta xây dựng lớp phương trình bất phương trình dạng mũ • Trình bày số dạng toán liên quan: toán cực trị, tốn tìm giới hạn dãy số tốn phương trình hàm liên quan đến hàm mũ 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Mậu (1993), Phương pháp giải phương trình bất phương trình, Nxb Giáo dục [2] Nguyễn Văn Mậu (2002), Đa thức đại số phân thức hữu tỷ, Nxb Giáo dục [3]Nguyễn Văn Mậu (2004), Bất đẳng thức, Định lý áp dụng,Nxb Giáo dục [4] N.V Mậu, T.N Dũng, N.Đ Phất, N.T Thanh (2009), Số phức áp dụng, Nxb Giáo dục Tiếng Anh [5] D Djukic, V Jankovic, I Matic and N Petrovic (2004), The IMO Compendium 1959-2004, Springer-Verlag ... Chương I Trình bày tính chất hàm số mũ kiến thức liên quan Chương II Trình bày phương trình, bất phương trình hệ phương trình mũ Khảo sát số dạng phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ. .. log2 a 2.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ Các phương pháp giải phương trình mũ áp dụng vào giải hệ phương trình mũ Mục tiêu phương pháp chuyển hệ phương trình mũ xét giải phương trình mũ tương ứng trình bày... hệ thống số dạng toán, phương pháp giải hệ phương trình, bất phương trình mũ số dạng tốn liên quan đến hàm mũ Mục đích nghiên cứu Hệ thống số dạng toán, phương pháp giải hệ phương trình bất phương