BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VÕ THỊ KIM OANH MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI CÁC HỆ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC HAI ẨN Chuyên ngành : Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu kết nghiên cứu nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Đà Nẵng, ngày 12 tháng 09 năm 2013 Người cam đoan Võ Thị Kim Oanh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Phƣơng pháp nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Nội dung luận văn CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC 1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ LƢỢNG GIÁC 1.2 CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VÀ CÁC BỔ ĐỀ CẦN SỬ DỤNG 1.3 CÁC PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN 1.4 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC CHƯƠNG CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 10 2.1 HỆ PHƢƠNG TRÌNH NỬA LƢỢNG GIÁC HAI ẨN 10 2.2 HỆ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC HAI ẨN 18 2.2.1 Hệ phƣơng trình lƣợng giác giải phƣơng pháp phƣơng pháp cộng đại số 18 2.2.2 Hệ phƣơng trình lƣợng giác giải phƣơng pháp khử sau bình phƣơng phƣơng pháp đặt ẩn phụ 25 2.3 HỆ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC HAI ẨN GIẢI BẰNG PHƢƠNG PHÁP SO SÁNH .38 2.3.1 Sử dụng bất đẳng thức đại số .38 2.3.2 Sử dụng đạo hàm số phƣơng pháp khác .42 CHƯƠNG MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ HỆ LƯỢNG GIÁC HAI ẨN 48 3.1 ỨNG DỤNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH 48 3.2 ỨNG DỤNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ 62 KẾT LUẬN 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO 75 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ BẢN SAO (bản sao) MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lượng giác phần quan trọng phần khó chương trình tốn phổ thông Ở lớp 10 học sinh tiếp xúc với định nghĩa công thức biến đổi lượng giác, lên 11 học sinh học lượng giác cao mở rộng hơn.Tuy nhiên đa số học sinh gặp khó khăn nhiều việc giải toán liên quan đến lượng giác, đặc biệt hệ phương trình lượng giác hai ẩn Hơn hệ phương tình lương giác phần quan trọng, thường đề cập đề thi đại học đồng thời góp phần giải số tốn phương trình, hệ phương trình đại số khó chứng minh số bất đẳng thức Với hy vọng tìm hiểu sâu hệ phương trình lượng giác hai ẩn, đồng thời trình bày số kĩ giải toán cho toán hệ phương trình lượng giác hai ẩn chương trình tốn trung học phổ thơng, tơi chọn đề tài luận văn cho là: Một số phương pháp giải hệ phương trình lượng giác hai ẩn Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Hệ thống số kiến thức lượng giác, từ trình bày số phương pháp giải hệ phương trình lượng giác hai ẩn, ứng dụng hệ phương trình lượng giác hai ẩn để giải số phương trình, hệ phương trình đại số chứng minh số bất đẳng thức chương trình tốn phổ thơng Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, giáo trình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, tài liệu tiếng anh, trang Wed, từ trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp giải phương trình lượng giác hai ẩn chương trình phổ thơng Nghiên cứu từ tài liệu lượng giác Nội dung luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia thành chương Chương 1: Trình bày sơ lược kiến thức lượng giác như: số định nghĩa, tính chất, cơng thức lượng giác phương trình lượng giác cầ sử dụng Chương 2: Trình bày hệ phương trình nửa lượng giác, hệ phương trình lượng giác hai ẩn số phương pháp giải hệ phương trình Chương 3: Trình bày ứng dụng hệ phương trình lượng giác để giải số phương trình, hệ phương trình đại số chứng minh số bất đẳng thức Chương 4: Trình bày ứng dụng Maple để giải số hệ phương trình lượng giác CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC 1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC 1.1.1 Bảng lượng giác góc có liên quan đặc biệt Ta gọi cung có liên quan đặc biệt với cung α cung - Đối với α là: -α - Bù với α : π − α - Hiệu π với α : π + α π π - Hơn với α : ± α 2 Ta có bảng 1.1 sau: π π -α π − α π + α +α −α 2 cos cos α -cos α -cos α sin α -sin α sin α -sin α sin α -sin α tan α -tan α -tan α tan α cot α -cot α -cot α cot α cos α cos α cot α -cot α tan α -tan α 1.1.2 Các tính chất Tính chất 1.1 ∀α ta ln có −1≤ cos α ≤ ∀α ta ln có −1≤ sin α ≤ Tính chất 1.2 sin(α + k2π) = sin α ; cos(α + k2π) = cos α ; tan(α + k2π)=tan α ; cot(α + k2π)=cot α; Khi biểu thức có nghĩa Tính chất 1.3 sin2 α + cos2 α = 1.2 CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VÀ CÁC BỔ ĐỀ CẦN SỬ DỤNG 1.2.1 Các công thức lượng giác cần sử dụng a Công thức bản: π (α= + kπ; k ∈ Z) sin2 α + cos2 α = 1; + tan2 α = cos2 α sin α tan α = ; + cot2 α = (α=kπ; k ∈ Z) cos α sin α π (k∈Z) tan α.cot α = với α=k cos α cot α = sin α b.Công thức cộng sin (a±b) = sin a.cos b±sin b.cos a cos (a±b) = cos a.cos b∓cos b.cos a tan a±tan b tan (a±b) = 1∓tan a.tan b c.Công thức nhân * Công thức nhân đôi sin 2α = 2sin α.cos α; cos 2α = cos2 α − sin2 α cos 2α = 2cos2 α − 1; cos 2α = − 2sin2 α π 2tan α với α, 2α= + kπ (k∈Z) tan 2α = − tan2 α * Công thức nhân ba sin 3α = sin α − 4sin3 α cos 3α = 4cos3 α − cos α 3tan α − tan3 α tan 3α = − 3tan2 α * Công thức tính theo t = tan α 2t − t2 sin 2α = ; cos 2α = + t2 + t2 2t π tan 2α = ; với α= + kπ (k∈Z) − t2 * Công thức hạ bậc − cos 2α + cos 2α sin2 α = ; cos2 α = 2 − cos 2α tan2 α = + cos 2α d Các công thức biến đổi * Cơng thức biến đổi tích thành tổng cos a.cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)] −1 sin a.sin b = [cos(a + b) − cos(a − b)] sin a.cos b = [sin(a + b) − sin(a − b)] * Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a−b cos a + cos b = 2cos cos 2 a+b a−b cos a − cos b = −2sin sin 2 a+b a−b sin a + sin b = 2sin cos 2 a+b a−b sin a − sin b = 2cos sin 2 sin(b±a) π tan a±tan b = với a, b= + kπ (k∈Z) cos a.cos b sin(b±a) với a, b=kπ (k∈Z) cot a±cot b = sin a.sin b e Các công thức bổ sung √ π sin a±cos a = 2sin(a± ) 4π √ cos a±sin a = 2cos(a∓ ) 4π √ π 3sin a±cos a = 2sin(a± ) = 2cos(a∓ ) √ π π sin a± 3cos a = 2sin(a± ) = 2cos(a∓ ) 1.2.2 Các bổ đề thường dùng Bổ đề 1.1 Cho x,y,z số dương thỏa: x+y+z = xyz, tồn tam giác nhọn ABC cho: x = tan A; y = tan B; z = tan C π Chứng minh Do x>0; y>0; z>0; nên ∃A, B, C∈(0; ) cho:    x = tan A   y = tan B    z = tan C Từ giả thiết: x + y + z = xyz ta có: tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C ⇔ tan A + tan B = tan C(tan A tan B − 1) tan A + tan B = − tan C ⇔ − tan A.tan B ⇔ tan (A + B) = − tan C ( Vì giả sử xy = 1, ta có:x + y + z = z ⇒ x + y = ⇔ x = −y Khi xy = 1⇔x2 = −1 (vô lý) Vậy xy=1 hay tan A.tan B=1 suy − tan A tan B=0) Từ đó: tan (A + B) = − tan C ⇔ A + B = −C + kπ ⇔A + B + C = kπ (k∈Z) π Vì A, B, C∈(0; ) nên 3π 3π A + B + C∈(0; )⇒0 < kπ < ⇔0 0; y > 0; z > 0; nên ∃α, β, γ∈(0; ) cho:    x = tanα   y = tanβ    z = tanγ Ta có: xy + yz + zx = 1⇔tan α.tan β + tan β.tan γ + tan γ.tan α = ⇔tan α(tan β + tan γ = − tan β.tan γ − tan β.tan γ = cot(β + γ) ⇔tan α = tan β + tan γ π ⇔α = − (β + γ) + kπ (k∈Z) Mà π π 3π −1 α, β, γ∈(0; ) nên < + kπ < ⇔ < k < (k∈Z)⇔k = 0, 2 2 π hay α + β + γ = 61 x = Nghiệm phương trình là:  x=1 Bài tốn  3.15 Giải hệ phương trình sau:   x − x1 = 2y   y − y1 = 2z    z − = 2x  z Hướng dẫn: Đặt x = cot t, t ∈ (0; π) \ { π2 } Bài tốn 3.16 Giải hệ phương trình sau:  x = tan α Hướng dẫn: Đặt y = tan β  2y   =x + y2   2x = y + x2 π với α, β ∈ ( −π ; 2) Khi  hệ phương trình trở thành:  tan β   = tan α  sin 2β = tan α + (tan β)2 ⇔ tan α  sin 2α = tan β   = tan β + (tan α) Xét sin α = ⇒ sin β = ⇒ x = y = nghiệm Xét sin α = ⇒ sin β = x=y=0 giải phương trình ta có nghiệm hệ là: x=y=1 Bài tốn 3.17 Giải phương trình: √ 64x6 − 112x4 + 56x2 − = − x2 Hướng dẫn: Đặt: x = cos t; t ∈ [0; π] phương trình trở thành: 64cos7 t − 112cos5 t + 56cos3 t − 7cos t = sin 2t Ta có: cos (k + 1)t + cos (k − 1)t = cos kt cos t ⇒ cos (k + 1)t = cos t cos kt − cos (k − 1)t, cơng thức: cos 3t = 4cos3 t−3 cos t ⇒ cos 7t = 64cos7 t−112 cos5 t+56cos3 t−7 cos t Phương trình cho trở thành: cos 7t = sin 2t 62 Bài tốn 3.18 Giải phương trình: x3 + (1 − x2 )3 = x 2(1 − x2 ) π Hướng dẫn: Đặt x = sin t; t ∈ [ −π ; ], √ (1 − x2 )3 = x 2(1 − x2 ) ⇔ sin3 t + cos3 t = sin t cos t √ √ √ √ 1− 2− 2−1 Phương trình có nghiệm: x = x = x3 + 3.2 ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ Phương pháp lượng giác hóa để chứng minh số đẳng thức, bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số với mục đích thay đổi hình thức tốn dẫn tới việc chứng minh tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số lượng giác Phương pháp đặc biệt tỏ có hiệu hàm số nhiều ẩn Để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức giải toán cực trị phương pháp ta cần dựa vào dấu hiệu sau: Dấu hiệu 1: Nếu tốn có |x| ≤ k (với k > 0) đặt π x = k sin α (với α ∈ [ −π ; ]) đặt x = k cos α (với α ∈ [0; π]) Dấuhiệu 2: Nếu tốn có biểu thức x2 + y = k (với k > x = k sin α 0) đặt với α ∈ [0; 2π] y = k cos α Dấu hiệu 3: Nếu tốn có điều kiện x ≥ k (với k > 0) 2 2 đặt x = cosk α , α ∈ [0; π2 )∪[π; 3π ) Khi x −k = k ( cos2 α −1) = k tan α, (với tan α > 0) Dấu hiệu 4: Nếu tốn có biểu thức x2 + k đặt: x = π k2 2 2 k tan α, α ∈ ( −π ; ) Khi x +k = k (1+tan α) = cos2 α (với cos α > 0) Tuy nhiên số toán dấu hiệu không xuất từ đầu, phải biến đổi điều kiện hàm số cho để làm xuất dấu hiệu quen biết Tóm lại để chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức đại số giải toán cực trị phương pháp lượng giác ta thực qua ba bước: 63 Bước 1: Nhận biết dấu hiệu có tốn Bước 2: Lượng giác hóa toán, tức chuyển toán đại số sang toán lượng giác Bước 3: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức hay tìm giá trị nhỏ nhất, lớn hàm lượng giác tương ứng kết luận Ví dụ 3.3 Cho x > 0, y > thỏa mãn: x + y = Chứng minh rằng: 1 17 + y + ≥ x2 y2 Bước 1: Nhận biết các dấu hiệu có toán x > 0, y > √ √ Giả thiết cho: ⇒ ( x) + ( y)2 = x + y = √  x = cos α nên đặt: √y = sin α α ∈ [0; π ] Bước 2: Lượng giác hóa tốn: 1 17 1 17 x2 + + y + ≥ ⇔ cos4 α + + sin α + ≥ x y cos4 α sin α Bước 3: Chứng minh bất đẳng thức lượng giác: 17 + sin α + ≥ cos4 α + cos4 α sin4 α kết luận Thật vậy: 1 4 cos4 α + + sin α + = (cos α + sin α) + cos4 α sin4 α sin4 αcos4 α = (1−2sin2 αcos2 α) 1+ sin αcos4 α 16 sin α = (1 − ) 1+ sin4 2α   1 − sin 2α ≥ 2 Vì: < sin2 2α ≤ 1, ∀α nên: 16  1 + ≥ 17 sin4 2α Vậy 1 17 cos4 α + + sin α + ≥ cos4 α sin4 α x2 + 64 hay x2 + Ví dụ 3.4 17 + y + ≥ x2 y2 Tìm giá trị lớn hàm số (1 + x)2011 + (1 − x)2011 với −1≤x≤1 Bước 1: Nhận biết dấu hiệu có toán Giả thiết cho x ∈ [−1; 1] nên đặt x = cos t với t ∈ [0; π] Bước 2: Lượng giác hóa tốn: Bài tốn trở thành: Tìm giá trị lớn hàm số: y = (1 + cos t)2011 + (1 − cos t)2011 với t ∈ [0; π] Bước 3: Tìm giá trị lớn biểu thức: y = (1 + cos t)2011 + (1 − cos t)2011 với t ∈ [0; π] kết luận Ta có y = (1 + cos t)2011 + (1 − cos t)2011 với t ∈ [0; π] t 2011 t 2011 = (2cos2 ) + (2sin2 ) 2 t t t t 4022 = 22011 (cos4022 + sin ) ≤ 22011 (cos2 + sin2 ) = 22011 2 2 2011 Vậy khi:  ymax =   t t  cos4022 = cos2 cos t = cos t = −1 2 ⇔ t t  sin t = sin t = sin4022 = sin2 2 ⇔ x = x = −1 Bài toán 3.19 Chứng minh rằng: −1 (x2 − y )(1 − x2 y ) ∀x, y ta có: ≤ ≤ 4 (1 + x2 )2 (1 + y )2 −π π Bài giải Đặt x = tan α; y = tan β với < α, β < 2 Bất đẳng thức có dạng: −1 (tan2 α − tan2 β)(1 − tan2 αtan2 β) ≤ ≤ 2 4 (1 + tan2 α) (1 + tan2 β) Thật vậy: Đặt: 65 A= (tan2 α − tan2 β)(1 − tan2 αtan2 β) 2 (1 + tan2 α) (1 + tan2 β) Ta có: sin2 αcos2 β − sin2 βcos2 α cos2 αcos2 β − sin2 αsin2 β cos2 αcos2 β cos2 αcos2 β A= cos4 αcos4 β = sin (α − β) sin (α + β) cos (α + β) cos (α − β) = sin [2(α − β)] sin [2(α + β)] Do đó: −1 (tan2 α − tan2 β)(1 − tan2 αtan2 β) ≤ ≤ 2 4 (1 + tan2 α) (1 + tan2 β) A = khi:   sin [2(α − β)] = sin [2(α − β)] = −1 hoặc sin [2(α + β)] = sin [2(α + β)] = −1   −π π  2(α − β) = 2(α − β) = Chẳng hạn: −π  2(α + β) = π 2(α + β) = 2 π hay α = ± ; β = tức x = ±1; y = −1 khi: A=   sin [2(α − β)] = sin [2(α − β)] = −1 hoặc sin [2(α + β)] = −1 sin [2(α + β)] = π Chẳng hạn: α = 0; β = ± tức x = 0; y = ±1 Bài toán 3.20 Cho x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = Chứng minh rằng: x (1 + y )(1 + z ) +y + x2 Bài giải Đặt (1 + z )(1 + x2 ) +z + y2 (1 + x2 )(1 + y ) =2 + z2 66 (1 + y )(1 + z ) (1 + z )(1 + x2 ) (1 + x2 )(1 + y ) ;B = y ;C = z A=x + x2 + y2 + z2 Vì x, y, z > xy + yz + zx = nên theo [chương 1, bổ đề 1.2] π π ∃α, β, γ ∈ (0; ) cho: x = tan α, y = tan β, z = tan γ α+β+γ =    sin α = cos (β + γ)   Do đó: sin β = cos (α + γ)    sin γ = cos (α + β) Ta có: cos α sin α cos (β + γ) cos2 α A = tan α = tan α = cos2 βcos2 γ cos β cos γ cos β cos γ cos β cos γ cos β cos γ − sin β sin γ = = − tan β tan γ = − yz cos β cos γ Chứng minh tương tự ta được: B = − zx C = − xy, suy (1 + y )(1 + z ) (1 + z )(1 + x2 ) (1 + x2 )(1 + y ) +y +z =2 x + x2 + y2 + z2 ⇔ A + B + C = ⇔ − yz + − xz + − xy = ⇔ − (xy + yz + zx) = ⇔ − = (hiển nhiên đúng) Bài toán 3.21 Cho số dương m, n, p Chứng minh với tam giác ABC ta ln có: n + p 2A p + m 2B m + n 2C tan + tan + tan ≥ m n p Bài giải Ta có: n + p 2A p + m 2B m + n 2C tan + tan + tan m n p n m p m p n = ( tan2 A2 + tan2 B2 ) + ( tan2 A2 + tan2 C2 ) + ( tan2 B2 + tan2 C2 ) m n m p n p theo bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ta có: m n tan2 A2 + tan2 B2 ≥ tan A2 tan B2 m n p m 2A tan + tan2 C2 ≥ tan A2 tan C2 m p p n B tan2 + tan2 C2 ≥ tan B2 tan C2 n p Cộng vế tương ứng bất đẳng thức sử dụng [ bổ đề 1.2, chương 1] ta có: n + p 2A p + m 2B m + n 2C tan + tan + tan ≥ m n p 67 Dấu  " = " xảy khi:  n m 2B 2A  tan = tan   2   n2 tan2 A2 = m2 tan2 B2   m n  p m tan2 A2 = tan2 C2 ⇔ p2 tan2 A2 = m2 tan2 C2 m p       n 2C p p2 tan2 B = n2 tan2 C  B  tan = tan 2 n p 1 Suy tan2 A2 = tan2 B2 = tan2 C2 m n p A B C tan tan tan hay = = m n p β α Đặt m = tan ; n = tan ; p = tan γ2 với < α, β, γ < π Khi ta có: tan A2 tan B2 tan C2 = = tan α2 tan γ2 tan β2 Suy C A+B+C π A B = = = = α β γ α+β+γ α+β+γ A = α1 π; B = β1 π; C = γ1 π α β γ với α1 = ; β1 = ; γ1 = α+β+γ α+β+γ α+β+γ Vậy A = α1 π; B = β1 π; C = γ1 π góc tam giác Dấu " = " xảy tam giác ABC đồng dạng với tam giác có góc tương ứng là: α1 π; β1 π; γ1 π Bài toán 3.22 Cho ba số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện: abc + a + c = b Tìm giá trị lớn biểu thức: P = + − + a2 + c2 + b2 Bài giải Ta có: abc + a + c = b ⇔ a + c = b(1 − ac) Giả sử ac = đó: abc + a + c = b ⇔ a + c =  ⇔ a = −c ⇔ c2 = a = tan α a+c −1(vô lý) Do ac = 1, suy ra: b = , nên đặt: c = tan β − ac π b = tan (α + β), với α, β thỏa mãn điều kiện α, β > α + β < Khi đó: P = + − + tan2 α + tan2 β + tan2 (α + β) = 2cos2 α + 3cos2 β − 2cos2 (α + β) 68 = cos 2α − cos (2α + 2β) + 3cos2 β = sin (2α + β) sin β + 3(1 − sin2 β) 1 = −3sin2 β+2 sin (2α + β) sin β− sin2 (2α + β)+3+ sin2 (2α + β) 3 √ 1 = −[ sin β − √ sin (2α + β)] + + sin (2α + β) 3 10 ≤ + sin (2α + β) ≤ + =  3  √   sin (2α + β) = √ sin (2α + β) = sin β − 10 khi: P = ⇔  sin β = sin2 (2α + β) =  π  2α + β = Chẳng hạn  sin β = 3√ √ √ 2 2 Vì sin β = nên cos β = tan β = hay c = 3 4 √ √ tan α π nên Lại có: tan 2α = tan ( − β) = cot β = 2 ⇒ = 2√ − tan2 α √ 2 tan α = , suy a = 2 Và √ π b = tan (α + β) = tan ( − α) = cot α = 2 √ √ √ 10 2 Vậy maxP = , đạt a = ; b = 2; c = Bài tốn 3.23 Tìm giá trị lớn hàm số: √ √ u = x + y + y + x với x2 + y =  x = cos α 2 Bài giải Vì x + y = nên ta đặt: với y = sin α α ∈ [0; 2π] Hàm số trở thành: √ √ u = cos α + sin α + sin α + cos α Ta có √ √ u2 = cos α + sin α + sin α + cos α ≤ (cos2 α + sin2 α)(1 + sin α + + cos α) hay 69 √ u2 ≤ + sin α + cos α = + sin (α + π4 ) √ ≤2+ suy √ u≤ 2+ Ta có √ √  + sin α + cos α  √ = cos α sin α u= 2+ ⇔  π sin (α + ) = π (do ≤ α < 2π ) ⇔α= Tức √ √ 2 sin α = cos α = hay x = y = 2 √ √ Vậy maxu = + đạt x = y = Bài toán 3.24 Trong nghiệm (x, y) bất phương trình logx2 +y2 (x + y) ≥ (3.61) Hãy tìm nghiệm cho x+y đạt giá trị lớn Bài giải Ta có: (3.61) ⇔ logx2 +y2 (x + y) ≥ logx2 +y2 (x2 + y ) Xét hai trường hợp Nếu x2 + y > bất phương trình (3.61) tương đương với 1 x + y ≥ x2 + y ⇔ (x2 − x + ) + (y − y + ) ≤ 4 hay 2 (x − ) + (y − ) ≤ (3.62) 2 Mặt khác 1 (x − ) + (y − ) = phương trình đường trịn tâm 2 I( 12 ; 21 ) bán kính R = √12 Vì tập hợp điểm M (x, y) nghiệm bất phương trình x + y ≥ x2 + y hình trịn tâm I( 21 ; 12 ) bán kính R = √12 nên  x − = r cos ϕ Đặt: với r ≥ ≤ ϕ < 2π y − = r sin ϕ Ta có (3.62) trở thành r ≤ √1 ≤ ϕ < 2π 70 Và √ x + y = + r(cos ϕ + sin ϕ) = + 2r sin (ϕ + π4 ) Suy √ x + y ≤ + √ = 2 Ta có:  x + y = khi   r = √1 r = √ 2 ⇔ π   π sin (ϕ + ) = ϕ = 4 Khi x = 1; y = Nếu < x2 + y < bất phương trình (3.61) tương đương với < x + y ≤ x2 + y Rõ ràng với cặp (x, y) thỏa mãn điều kiện ta có: x + y ≤ x2 + y < Vậy giá trị lớn x+y la đạt x = y = Bài toán 3.25 Cho 2a2 + b2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: √ √ E = + 2a + + 2b √ Bài giải Vì2a2 + b2 = ⇔ ( 2a) + b2 = nên ta đặt: b = cos α với −π ≤ α < π a√2 = sin α √    −1 −   1 + 2a ≥ a ≥ sin α ≥ 2 Từ điều kiện: ta có −1 −1 1 + 2b ≥   b ≥ cos α ≥ 2 −π 2π nên ≤α≤ Khi đó: √ √ E = + sin α + + cos α = f (α) Ta xét trường hợp: √   sin α ≥ = sin 2π π 2π Nếu ≤ α ≤ tức là: −1 2π  cos α ≥ = cos 71 + 32 π Nếu ≤ α ≤ ⇒ sin α > 0, cos α > E > 2  √  −  sin α ≥ √ −π Nếu ≤ α ≤ tức là: E ≥ +   cos α ≥ √  √ √     a = √3 sin α = 2 đạt tức Vậy: minE = + −1   −1  cos α = b = 2 E ≥ f ( 2π ) = Một số toán đề nghị Bài toán 3.26 Cho < c ≤ a c ≤ b Chứng minh rằng: √ (a − c)c + (b − c)c ≤ ab Hướng dẫn: √ c c c c (a − c)c + (b − c)c ≤ ab ⇔ (1 − ) + (1 − ) ≤ a b b a  c c  = cos2 α 1 − = sin2 α π a với α, β ∈ [0; ] suy a Đặt:  c = cos2 β 1 − c = sin2 β b b Bài toán 3.27 Cho số dương x, y, z thỏa mãn: x+y+z = xyz Chứng minh √ x z y 3 a) √ + +√ ≤ + x2 + z2 + y2 1 b) √ + +√ ≤ + x2 1√ + z2 + y2 c) (x − 1)(y − 1)(z − 1) ≤ − 10 Hướng dẫn: Áp dụng bổ đề 1.1 kết hợp bất đẳng thức tam giác nêu chương I Bài toán 3.28 Chứng minh bất đảng thức sau: √ √ a) |1 + ab| ≤ a2 + b2 + 1 (a + b)(1 − ab) b) − ≤ ≤ (1 + a2 )(1 + b2 ) 72  a = tan α b = tan β Hướng dẫn: Đặt a) Biến đổi |1 + ab| = π π với α, β ∈ (− ; ) 2 √ √ cos (α − β) ≤ = a2 + b + cos α cos β cos α cos β b) Biến đổi (a + b)(1 − ab) = sin 2(α + β) (1 + a2 )(1 + b2 ) Bài toán 3.29 Cho số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = Chứng minh xy + xy + z yz + yz + x xz ≤ xz + y Hướng dẫn: Ta có xy xz xy yz xz yz + + =1 z y z x y x Áp dụng bổ đề 1.2 chương I ta có điều phải chứng minh Bài toán 3.30 Cho x, y, z > thỏa mãn: xy + yz + xz = xyz Chứng minh √ (1 + y )(1 + z ) − + y − + z yz √ √ (1 + z )(1 + x2 ) − + z − + x2 + zx√ 2 (1 + x )(1 + y ) − + x2 − + y =0 + xy Hướng dẫn: Áp dụng bổ đề 1.1 chương I ∃α, β, γ cho: x = tan α, y = tan β, z = tan γ α + β + γ = π Đặt: √ (1 + y )(1 + z ) − + y − + z − cos β − cos γ A= = yz√ sin β sin γ √ 2 2 − cos γ − cos α (1 + x )(1 + z ) − + x − + z = B= zx√ sin α sin γ 2 2 (1 + x )(1 + y ) − + x − + y − cos α − cos β C= = yz sin α sin β x+y+z =1⇔ 73 Bài toán 3.31 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 3y − 4xy x2 + y 2 y x y Hướng dẫn: Ta có P = 3( ) − 4( )( ) + y2 + y2 x2 + y x x  x   = cos t  2 x y x2 + y ) +( ) = nên đặt Vì ( y  x2 + y x2 + y  = sin t  x2 + y y y Kết Pmin = −1 = ; Pmax = = −2 x x Bài toán 3.32 Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x y P =√ +√ 1−y 1−x P = Hướng  dẫn: x = sin2 α π Đặt α ∈ (0; ) y = cos2 α √ 3t − t3 Khi đó: P = với t = sin α + cos α, t ∈ (1; 2] t −1 √ √ √ Xét hàm số P (t) (1; 2] có Pmin = t = hay x = y = 74 KẾT LUẬN Luận văn Một số phương pháp giải hệ phương trình lượng giác hai ẩn giải vấn đề sau: Đưa số phương pháp để giải hệ phương trình lượng giác hai ẩn Ứng dụng hệ phương trình lượng giác hai ẩn để giải số tốn đại số giải tích cụ thể là: ” giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình; chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức đại số giải toán cực trị” Hi vọng số phương pháp giải hệ phương trình lượng giác hai ẩn trình bày luận văn cịn tiếp tục mở rộng hồn thiện nhằm giải nhiều lớp tốn khác Nội dung luận văn tài liệu tham khảo cho học sinh phổ thông quan tâm đến hệ phương trình lượng giác hai ẩn phương pháp lượng giác hóa 75 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Conhiagin X.C, Tononian G.A, Sarygin I.F (1996), Đề thi vơ địch tốn 19 nước, NXB Giáo dục [2] Trần Quốc Chiến (2008), Giáo trình phần mềm tốn học [3] Lê Hồng Đức (chủ biên) (2009), Phương pháp giải toán-Lượng giác hóa-Hàm số lượng giác-Hệ thức lượng, NXB Đại học Sư Phạm [4] Phan Huy Khải (1997), Tuyển tập toán lượng giác, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Văn Mậu, Phạm Thị Bạch Ngọc, Một số toán chọn lọc lượng giác, NXB Giáo dục [6] Nguyễn Văn Mậu (2008), Chuyên đề chọn lọc lượng giác áp dụng, NXB Giáo dục [7] Nguyễn Văn Mậu, Một số chuyên đề đại số bồi dưỡng học sinh giỏi-THPT, NXB Giáo dục [8] Trần Phương (2002) , Hệ thức lượng giác, NXB Hà Nội [9] Trần Phương (2003) , Tuyển tập chun đề luyện thi đại học mơn Tốn-Phương trình lượng giác, NXB Hà Nội [10] Nguyễn Vũ Thanh (2000), 263 toán bất đẳng thức chọn lọc, NXB Đại học Quốc Gia Thành phố Hồ Chí Minh [11] http://www.toanthpt.net ... CHƯƠNG CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 2.1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NỬA LƯỢNG GIÁC HAI ẨN Hệ phương trình lượng giác hai ẩn xét hệ phương trình gồm có phương trình lượng giác hệ gồm phương trình trình... thống số kiến thức lượng giác, từ trình bày số phương pháp giải hệ phương trình lượng giác hai ẩn, ứng dụng hệ phương trình lượng giác hai ẩn để giải số phương trình, hệ phương trình đại số chứng... phương trình lượng giác hai ẩn số phương pháp giải hệ phương trình Chương 3: Trình bày ứng dụng hệ phương trình lượng giác để giải số phương trình, hệ phương trình đại số chứng minh số bất đẳng