BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG HÀ THỊ THU SƯƠNG TÍNH CHẤT CHÍNH QUY VÀ NỬA CHÍNH QUY TRÊN CÁC ĐỒNG CẤU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG HÀ THỊ THU SƯƠNG TÍNH CHẤT CHÍNH QUY VÀ NỬA CHÍNH QUY TRÊN CÁC ĐỒNG CẤU Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Hà Th Thu S ng MỤC ỤC MỞ ĐẦ chọ đề ụ đ ứ Đố ượ ứ ươ ứ ĩ ọ ấ CHƯƠN ậ ự ủ đề ă ẾN THỨC C ễ ẨN Ị I NIỆN Ơ Đ CHƯƠN ĐỒN T T NH CH NH NỬA CH NH CỦA C C 12 CẤ 2.1 ĐỒNG C U CHÍNH QUY 12 2.2 ĐỒNG CẤ U N A CHÍNH QUY 18 Ấ T CHƯƠN Ớ ĐỀ om R ( M , N ) ỆN CH NH 23 3.1 M I QUAN H GI A C N VÀ MÔ UN CON SUY BI N (HAY MÔ UN CON 3.2 ẾT T I SUY BI N) TRONG omR ( M , N ) 24 NG C U I-CHÍNH QUY 31 ẬN 38 Ệ THAM ẾT ĐỊNH ẢO AO ĐỀ T ản ) DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU N Tập hợp số tự nhiên Z Vành số nguyên Q Trường số hữu tỉ R Trường số thực MR M R-môđun phải A≤M A môđun môđun M M/A Môđun thương M xác định A A ≤e M A môđun cốt yếu môđun M A≪M A môđun đối cốt yếu M A⊕B Tổng trực tiếp A B A ≤⊕ M A hạng tử trực tiếp M EM = EndR (M ) Vành tự đồng cấu M Ker(f ) Hạt nhân đồng cấu f Im(f ) Ảnh đồng cấu f rad(M ) Căn môđun M J, J(R) Căn vành R r(X) Linh hóa tử phải X R M −→ N R-đồng cấu từ M đến N Tổng trực tiếp (ngồi) mơđun Ai i∈I (Ai ) [M, N ] := HomR (M, N )Tập tất đồng cấu từ M vào N J[M, N ] Căn [M, N ] △[M, N ] Môđun suy biến [M, N ] ▽[M, N ] Môđun đối suy biến [M, N ] MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hiện nay, với phát triển tốn học đại nói chung, lý thuyết vành mơđun nói riêng nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Trong năm vừa qua, lý thuyết đạt nhiều kết có nhiều đóng góp quan trọng góp phần làm phong phú thêm cho cấu trúc đại số Chẳng hạn kết Osofsky chứng tỏ vành nửa đơn môđun xyclic nội xạ Một vài năm gần đây, số tác giả nước quan tâm nghiên cứu cấu trúc HomR (M, N ) căn, môđun suy biến, môđun đối suy biến, (nửa) quy tương tự vành môđun Những kiến thức giới thiệu nghiên cứu Beidar Kasch [4], Kasch-Mader [7], Lee-Zhou [9], Nicholson-Zhou [13] Quynh-Kosan-Thuyet [15] Để tiếp tục nghiên cứu mở rộng vấn đề này, tơi chọn nghiên cứu đề tài: "Tính chất quy nửa quy đồng cấu." Trong nội dung đề tài trước hết làm rõ đặc tính quy nửa quy đồng cấu đồng thời tiếp tục nghiên cứu cấu trúc căn, môđun suy biến (môđun đối suy biến), (nửa) quy HomR (M, N ) Đề tài chia làm ba chương với mở đầu, kết luận, danh mục kí hiệu tài liệu tham khảo Chương trình bày khái niệm sử dụng luận văn như: môđun cốt yếu, môđun đối cốt yếu, môđun nội xạ xạ ảnh kết liên quan đề tài Chương trình bày định nghĩa tính chất quy, nửa quy tổng quan số đặc trưng quy [M, N ] Chẳng hạn, cho M N môđun Với M hữu hạn sinh [M, N ] nửa quy đồng cấu từ môđun M -sinh vào N chẻ địa phương, đồng cấu M −→ N chẻ địa phương (Định lý 2.1.5) Trong Định lý 2.1.9, cho M N mơđun Khi [M, N ] quy N M -xạ ảnh trực tiếp môđun M -sinh hữu hạn N hạng tử trực tiếp N Chương trình bày mối quan hệ cấu trúc Hom(M, N ) căn, môđun suy biến, môđun đối suy biến với điều kiện (nửa) quy tổng quan số kết tác giả nước nghiên cứu Chẳng hạn, Định lý 3.1.4, môđun M vừa liên tục tổng quát vừa N -nội xạ trực tiếp [M, N ] nửa quy △[M, N ] = J[M, N ] Mặt khác, môđun M vừa (GC2) vừa N -nội xạ trực tiếp [M, N ] nửa quy △[M, N ] = J[M, N ] Ker(α) nằm hạng tử trực tiếp M với α ∈ [M, N ] (Định lý 3.1.2) Trong Định lý 3.1.6, môđun N vừa rời rạc tổng quát vừa M -xạ ảnh trực tiếp [M, N ] nửa quy ▽[M, N ] = J[M, N ] Hơn nữa, môđun N vừa (GD2) vừa N -xạ ảnh trực tiếp [M, N ] nửa quy ▽[M, N ] = J[M, N ] Im(α) nằm hạng tử trực tiếp M với α ∈ [M, N ] (Định lý 3.1.3) Mục đích nghiên cứu - Tổng quan tính chất quy nửa quy đồng cấu - Nghiên cứu cấu trúc HomR (M, N ) Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Các tài liệu mơđun, nửa quy quy, - Phạm vi: Nghiên cứu tính chất (nửa) quy, cấu trúc HomR (M, N ) Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu từ tài liệu giáo viên hướng dẫn, báo, giáo trình Đồng thời tham gia trao đổi với giáo viên hướng dẫn bạn học viên Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài - Làm rõ nghiên cứu có, tìm hiểu sâu tính chất đồng cấu (nửa) quy cấu trúc HomR (M, N ) - Làm tài liệu cho nghiên cứu khoa học tính quy nửa quy đồng cấu Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn có chương Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm 1.2 Một số kết biết Chương Tính quy nửa quy đồng cấu 2.1 Đồng cấu quy 2.2 Đồng cấu nửa quy Chương Cấu trúc HomR (M, N ) với điều kiện quy 3.1 Mối quan hệ môđun suy biến (hay môđun đối suy biến) HomR (M, N ) 3.2 Đồng cấu I-chính quy CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong đề tài này, vành R cho giả thiết vành kết hợp có đơn vị khác khơng, kí hiệu môđun R môđun unita Với vành R cho, ta viết MR (R M ) R-môđun phải (tương ứng, trái) Với N môđun M , viết N ≤ M (N < M ) N ≤⊕ M , có nghĩa N mơđun M N hạng tử trực tiếp M 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Định nghĩa 1.1.1 Cho MR N ≤ M Khi đó, N gọi hạng tử trực tiếp M (kí hiệu N ≤⊕ M ) tồn môđun P M cho M = N ⊕ P Lúc ta nói P mơđun phụ N M Từ định nghĩa ta suy ra: N hạng tử trực tiếp M ∃P ≤ M [M = N + P N ∩ P = 0] Định nghĩa 1.1.2 Một môđun K M cốt yếu (lớn) M , kí hiệu K ≤e M , trường hợp với môđun L ≤ M , K ∩ L = suy L = Đối ngẫu, môđun K M gọi đối cốt yếu (nhỏ) M , kí hiệu K ≪ M , trường hợp với môđun L ≤ M , K + L = M suy L = M Định nghĩa 1.1.3 Đơn cấu f : K −→ M gọi cốt yếu Im(f ) ≤e M Toàn cấu g : M −→ N gọi đối cốt yếu Ker(f ) ≪ M Định nghĩa 1.1.4 Cho UR môđun Nếu MR môđun, U gọi xạ ảnh theo M (hay U M -xạ ảnh) trường hợp với toàn cấu g : MR −→ NR đồng cấu v : UR −→ NR tồn đồng cấu v¯ : U −→ M cho v = g¯ v Định nghĩa 1.1.5 Cho UR môđun Nếu MR mơđun, U gọi nội xạ theo M (hay U M -nội xạ) trường hợp với đơn cấu f : KR −→ MR đồng cấu v : KR −→ UR tồn đồng cấu v¯ : M −→ U cho v¯f = v Định nghĩa 1.1.6 Cho PR mơđun Lúc P gọi xạ ảnh trường hợp với toàn cấu β : B −→ C đồng cấu ψ : P −→ C tồn đồng cấu λ : P −→ B cho ψ = βλ Mệnh đề 1.1.7 Cho P R-mơđun phải Khi điều kiện sau tương đương: (1) P xạ ảnh (2) Với toàn cấu ϕ : B −→ P chẻ ra, nghĩa Ker(ϕ) hạng tử trực tiếp B (3) Mọi toàn cấu β : B −→ C ánh xạ HomR (1P , β) : HomR (P, B) −→ HomR (P, C) toàn cấu Định nghĩa 1.1.8 Cho QR môđun Lúc Q gọi nội xạ trường hợp với đơn cấu f : KR −→ MR , với KR , MR đồng cấu v : KR −→ UR tồn R-đồng cấu v¯ : M −→ U cho v¯f = v 26 Chứng minh (1) ⇒ (2) Cho α ∈ [M, N ] Theo (1) tồn β ∈ [N, M ] cho β = βαβ α − αβα ∈ J[M, N ] Đặt π = αβ Khi π = π ∈ [N, N ], (1N − π)α ∈ J[M, N ] π(N ) ≤ α(M ) Theo (2) ta có α(M ) ∩ (1N − π)(N ) = (1N − π)α(M ) ≪ N Vậy α(M ) nằm hạng tử trực tiếp π(N ) N (2) ⇒ (1) Cho α ∈ [M, N ] Theo (2) ta viết N = P ⊕ K, với P ≤ α(M ) α(M ) ∩ K ≪ K Gọi π : N −→ N đồng cấu cho π = π, π(N ) = P (1N − π)(N ) = K Khi πα : M −→ P tồn cấu Do N M -xạ ảnh trực tiếp nên tồn đồng cấu γ : N −→ M cho παγ = π Đặt β = γπ Từ ta có βαβ = β (α − αβα)(M ) = (1N − αβ)α(M ) = α(M ) ∩ (1N − αβ)(N ) = α(M ) ∩ K ≪ N Vì J[M, N ] ⊂ ▽[M, N ] J[M, N ] = ▽[M, N ] theo Bổ đề 3.1.1 (2) Do ta suy α − αβα ∈ J[M, N ] Định lý 3.1.4 Cho M N môđun Giả sử M vừa liên tục tổng quát vừa N -nội xạ trực tiếp Khi [M, N ] nửa quy J[M, N ] = △[M, N ] Chứng minh Theo Bổ đề 3.1.1 (1), ta có △[M, N ] ⊂ J[M, N ] Cho α ∈ [M, N ] Khi ta có α − αβα = α(1M − βα) ∈ △[M, N ] 1M − βα đẳng cấu Từ suy α ∈ △[M, N ] nên J[M, N ] ⊂ △[M, N ] Do △[M, N ] = J[M, N ] Hơn nữa, M thỏa mãn (C1), nên M có phân tích M = P ⊕ Q cho Ker(α) ≤e P Q ≤ M Suy α|Q : Q −→ N đơn cấu Mặt khác M N -nội xạ trực tiếp nên ta suy α(Q) hạng tử trực tiếp N Khi N = α(Q) ⊕ W với W ≤ N Xét p : N −→ α(Q) phép chiếu tắc, ι : Q −→ M đơn cấu tắc β = ι(α|Q )−1 p Với n ∈ N , ta viết n = α(q) + ω với q ∈ Q, ω ∈ W Bây ta suy β(n) = (ι(α|Q )−1 )(α)(q) = q 27 (βαβ)(n) = (ι(α|Q )−1 pαι(α|Q )−1 p)(n) = (ι(α|Q )−1 pαι(α|Q )−1 )(α)(q) = (ι(α|Q )−1 pα)(q) = (ι(α|Q )−1 α)(q) = q = β(n) Ta thấy Ker(α) ≤ Ker(α − αβα) Q ≤ Ker(α − αβα) Khi Ker(α) ⊕ Q ≤ Ker(α − αβα) Do Ker(α) ⊕ Q ≤e P ⊕ Q = M , nên ta suy Ker(α − αβα) cốt yếu M , tức α − αβα ∈ △[M, N ] Vậy [M, N ] nửa quy Trường hợp M = N Định lý 3.1.4 ta có hệ sau Hệ 3.1.5 ([13, Định lý 1.25]) Cho M mơđun liên tục Khi EM nửa quy J(EM ) = {α ∈ S = End(M )|Ker(α) ≤e M } Định lý sau đối ngẫu Định lý 3.1.4 Định lý 3.1.6 Cho M N môđun Giả sử N vừa rời rạc tổng quát vừa M -xạ ảnh trực tiếp Khi [M, N ] nửa quy J[M, N ] = ▽[M, N ] Chứng minh Theo Bổ đề 3.1.1 (2), ta có ▽[M, N ] ⊂ J[M, N ] Cho α ∈ [M, N ] Do N thỏa mãn (D1), nên tồn N = N1 ⊕ N2 với N1 ≤ Im(α) N2 ∩ Im(α) ≪ N Do với m ∈ M , ta có α(m) = n1 + x với n1 ∈ N1 , x ∈ N2 ∩ Im(α) Ta xét ϕ : M/α−1 (N2 ) −→ N1 xác định ϕ(m + α−1 (N2 )) = n1 Khi ϕ đẳng cấu Do N M -xạ ảnh trực tiếp, nên α−1 (N2 ) hạng tử trực tiếp M Do ta giả sử M = α−1 (N2 ) ⊕ H với H ≤ M Khi đó, với m ∈ M , ta có m = x + y với x ∈ α−1 (N2 ), y ∈ H Bây ta xét đơn cấu ι : M/α−1 (N2 ) −→ M xác định ι(m + α−1 (N2 )) = y Gọi p : N −→ N1 phép chiếu tắc β = ιϕ−1 p Từ suy βαβ = ιϕ−1 pαιϕ−1 p = ια−1 αιϕ−1 p = ι2 ϕ−1 p = β 28 Im(α − αβα) ≤ Im(α) ∩ N2 Do ta α − αβα ∈ ▽[M, N ] Suy J[M, N ] ⊂ ▽[M, N ] Vậy [M, N ] nửa quy ▽[M, N ] = J[M, N ] Với M = N , ta có hệ sau Hệ 3.1.7 ([12, Định lý 5.4]) Nếu M môđun rời rạc, EM nửa quy J(EM ) = {α ∈ S = End(M )|Im(α) ≪ M } Hệ 3.1.5 Hệ 3.1.7 chứng minh hai định lý Trước hết ta có bổ đề sau Bổ đề 3.1.8 Cho M N môđun (1) Nếu M thỏa mãn (GC2) N -nội xạ △[M, N ] = J[M, N ] (2) Nếu N thỏa mãn (GD2) M -xạ ảnh ▽[M, N ] = J[M, N ] Chứng minh (1) Theo Bổ đề 3.1.1 (1), ta có △[M, N ] ⊂ J[M, N ] Ngược lại, với α ∈ J[M, N ], ta giả sử Ker(α) ∩ X = 0, với X ≤ M Cho ι : X −→ M đơn cấu tắc Khi αι : X −→ N đơn cấu Do M N -nội xạ nên tồn đồng cấu β : N −→ M cho βαι = ι Vậy (1M − βα)ι = Bây ta có ι = α ∈ J[M, N ] Do X = (2) Theo Bổ đề 3.1.1 (2), ta có ▽[M, N ] ⊂ J[M, N ] Ngược lại, với α ∈ J[M, N ] N = Im(α) + X với X ≤ N Gọi p : N −→ N/X tồn cấu tắc Khi pα : M −→ N/X tồn cấu Vì N M -xạ ảnh nên tồn đồng cấu β : N −→ M cho pαβ = p Do p(1N − αβ) = Bây ta có p = α ∈ J[M, N ] Suy X = N , nghĩa Im(α) ≪ N Vậy α ∈ ▽[M, N ] Định lý 3.1.9 Cho M N môđun Nếu M vừa (GC2) vừa N -nội xạ, điều kiện sau tương đương: (1) [M, N ] nửa quy 29 (2) Ker(α) nằm hạng tử trực tiếp M với α ∈ [M, N ] Chứng minh (1) ⇒ (2) Cho α ∈ [M, N ] Khi tồn β ∈ [N, M ] cho β = βαβ α − αβα ∈ J[M, N ] Đặt π = βα Suy π = π ∈ [M, M ], α(1M − π) ∈ J[M, N ] Ker(α) ≤ Ker(π) = (1M − π)(M ) Điều có nghĩa Ker[α(1M − π)] ∩ Ker(π) = Ker(α) Theo (1) ta có Ker(α) cốt yếu Ker(π) mà Ker(π) = (1M − π)(M ) ≤⊕ M , từ ta có (2) (2) ⇒ (1) Cho α ∈ [M, N ] Theo (2) tồn π = π ∈ [M, N ] cho Ker(α) ≤e π(M ) = Ker(1M − π) Ta nhận thấy α|(1M −π)(M ) : (1M − π)(M ) −→ N đơn cấu Do M N -nội xạ nên tồn đồng cấu γ : N −→ M cho γα = 1M − π Đặt β = (1M − π)γ Khi βαβ = (1M − π)γα(1M − π)γ = (1M − π)(1M − π)(1M − π)γ =β Ker(α − αβα) = Ker(α) ⊕ (1M − π)(M ) ≤e M Suy α − αβα ∈ △[M, N ] Vì M (GC2) N -nội xạ nên theo Bổ đề 3.1.8(1), ta có α − αβα ∈ J[M, N ], (1) chứng minh Hệ 3.1.10 Cho M N môđun Nếu M nội xạ [M, N ] nửa quy J[M, N ] = △[M, N ] Định lý sau đối ngẫu Định lý 3.1.9 Định lý 3.1.11 Cho M N môđun Nếu N vừa (GD2) vừa M -xạ ảnh, điều kiện sau tương đương: (1) [M, N ] nửa quy (2) Im(α) nằm hạng tử trực tiếp M với α ∈ [M, N ] Chứng minh (1) ⇒ (2) Cho α ∈ [M, N ] Vì [M, N ] nửa quy nên tồn β ∈ [N, M ] cho β = βαβ α − αβα ∈ J[M, N ] Đặt 30 π = αβ Khi π = π ∈ [N, N ], (1N −π)α ∈ J[M, N ] π(N ) ≤ α(M ) Theo (2) ta có α(M ) ∩ (1N − π)(N ) = (1N − π)α(M ) ≪ N Suy α(M ) nằm hạng tử trực tiếp π(N ) N (2) ⇒ (1) Cho α ∈ [M, N ] Theo (2) ta viết N = P ⊕ K, với P ≤ α(M ) α(M ) ∩ K ≪ K Gọi π : N −→ N đồng cấu cho π = π, π(N ) = P (1N − π)(N ) = K Khi πα : M −→ P tồn cấu Do N M -xạ ảnh nên tồn đồng cấu γ : N −→ M cho παγ = π Đặt β = γπ Từ ta có βαβ = β (α − αβα)(M ) = (1N − αβ)α(M ) = α(M ) ∩ (1N − αβ)(N ) = α(M ) ∩ K ≪ N Suy α − αβα ∈ ▽[M, N ] Vì N (GD2) M -xạ ảnh nên theo Bổ đề 3.1.8 (2), ta suy α − αβα ∈ J[M, N ] (1) chứng minh Định lý sau mở rộng Định lý 1.2.9 Nicholson Yousif Định lý 3.1.12 Cho M N môđun Nếu N xạ ảnh, điều kiện sau tương đương: (1) [M, N ] nửa quy (2) N/K có phủ xạ ảnh với môđun M -sinh hữu hạn K N Chứng minh (1) ⇒ (2) Cho K môđun M -sinh hữu hạn N Khi tồn số nguyên k toàn cấu α : M k −→ N cho Im(α) = K Do [M, N ] nửa quy, nên [M k , N ] nửa quy theo Bổ đề 2.1.4 Do N = P ⊕ Q với P ≤ K K ∩ Q ≪ Q theo Định lý 3.1.3 Vậy N/K có phủ xạ ảnh (2) ⇒ (1) Cho α ∈ [M, N ] Khi Im(α) mơđun M -sinh hữu hạn N Theo (2), N/Im(α) có phủ xạ ảnh Theo Bổ đề 1.2.8 ta có N = P ⊕ Q với P ≤ α(M ) α(M ) ∩ Q ≪ Q Nên suy α(M ) nằm hạng tử trực tiếp M với α ∈ [M, N ] Vậy [M, N ] nửa quy theo Định lý 3.1.3 31 Theo Tutuncu Tribak [14], môđun M gọi T -đối suy biến tương N với đồng cấu khác không f : M −→ N , f∈ / ▽[M, N ] Bổ đề 3.1.13 Cho M N mơđun Nếu [M, N ] quy M T -đối suy biến tương N Chứng minh Giả sử [M, N ] quy Gọi f ∈ [M, N ] cho f ∈ ▽[M, N ] Khi tồn g ∈ [N, M ] cho f = f gf Do f g(M ) hạng tử trực tiếp N Ta thấy f g(N ) ≤ f (M ) f (M ) ≪ N Khi f g(N ) ≪ N Điều có nghĩa f g = f = Định lý 3.1.14 Giả sử môđun M T -đối suy biến tương môđun N Nếu N rời rạc tổng quát mơđun M -xạ ảnh trực tiếp, [M, N ] quy Chứng minh Định lý chứng minh theo Bổ đề 3.1.13 Định lý 3.1.6 3.2 ĐỒNG CẤU I-CHÍNH QUY Cho M N mơđun I EM − EN song môđun [M, N ] [M, N ] gọi I-chính quy với f ∈ [M, N ] tồn g ∈ [N, M ] cho f gf − f ∈ I Trong [7], cho X ≤ [M, N ], Ker(X) = {Ker(g)|g ∈ X} gọi mơđun M -linh hóa tử M Định lý 3.2.1 Cho M N môđun Nếu M N -nội xạ M thỏa mãn ACC mơđun M -linh hóa tử M , [M, N ] △[M, N ]-chính quy Chứng minh Cho α ∈ [M, N ] với α ∈ / △[M, N ] Chúng ta cần tồn β ∈ [N, M ] cho α − αβα ∈ △[M, N ] Giả sử tồn 32 m ∈ M, m = cho Ker(α) ∩ mR = Khi α|mR : mR −→ N đơn cấu Gọi ι : mR −→ M đơn cấu tắc Do M N -nội xạ, nên tồn γ ∈ [N, M ] cho γα = ι Khi Ker(α) < Ker(α − αγα) Nếu α − αγα ∈ △[M, N ], ta chứng minh Nếu α − αγα ∈ / △[M, N ], đặt α1 = α − αγα Khi tồn γ1 ∈ [N, M ] cho Ker(α1 ) < Ker(α1 −α1 γ1 α1 ) Nếu α1 −α1 γ1 α1 ∈ △[M, N ] α1 △[M, N ]-chính quy nên α △[M, N ]-chính quy theo Bổ đề 1.2.7 Lặp lại trình trên, ta nhận dãy tăng ngặt Ker(α) < Ker(α1 ) < < Ker(αn ) , với αi+1 = αi −αi γi αi γi ∈ [N, M ], điều mâu thuẫn có số k cho αk △[M, N ]-chính quy Từ suy αk−1 , αk−2 , , α1 △[M, N ]-chính quy theo Bổ đề 1.2.7 Vậy α △[M, N ]-chính quy Định lý sau đối ngẫu Định lý 3.2.1 Định lý 3.2.2 Cho M N môđun Nếu N M -xạ ảnh N thỏa mãn DCC {Im(α)|α ∈ [M, N ]}, [M, N ] ▽[M, N ]-chính quy Chứng minh Với α ∈ [M, N ], α ∈ / ▽[M, N ] Chúng ta cần tồn β ∈ [N, M ] cho α − αβα ∈ ▽[M, N ] Giả sử tồn A ≤ M cho Im(α) + A = N Gọi π : N −→ N/A phép chiếu tắc Từ ta suy πα : M −→ N/A toàn cấu Do N M -xạ ảnh, nên tồn đồng cấu γ ∈ [N, M ] cho παγ = π Vì Im(α) = A, nên ta có Im(α) > Im(α − αγα) Nếu α − αγα ∈ ▽[M, N ], ta chứng minh Nếu α − αγα ∈ / ▽[M, N ], đặt α1 = α − αγα Khi tồn γ1 ∈ [N, M ] cho Im(α1 ) > (α1 − α1 γ1 α1 ) Nếu α1 − α1 γ1 α1 ∈ ▽[M, N ] α1 ▽[M, N ]-chính quy nên α ▽[M, N ]-chính quy theo Bổ đề 1.2.7 Lặp lại trình trên, ta nhận dãy giảm ngặt Im(α) > Im(α1 ) > Im(αn ) , 33 với αi+1 = αi − αi γi αi γi ∈ [N, M ] Điều mâu thuẫn có số k cho αk ▽[M, N ]-chính quy Từ suy αk−1 , αk−2 , , α1 ▽[M, N ]-chính quy theo Bổ đề 1.2.7 Vậy α ▽[M, N ]-chính quy Bổ đề 3.2.3 Cho M N môđun Nếu a ∈ [M, N ], b ∈ [N, M ] c = 1N − ab, điều kiện sau thỏa mãn (1) [M, N ] = aEM + c[M, N ] (2) aEM ∩ c[M, N ] = caEM Chứng minh (1) Với f ∈ [M, N ] Do 1N = ab + c, nên ta có f = abf + cf ∈ aEM + c[M, N ] (2) Cho α ∈ aEM ∩ c[M, N ] Khi α = as = ct với s ∈ EM t ∈ [M, N ] Từ suy t = a(s + bt) nên α ∈ caEM Ngược lại, cho β = cav ∈ caEM với v ∈ EM Khi β ∈ c[M, N ] β = a(1M − ba)v ∈ aEM Do β ∈ aEM ∩ c[M, N ] Mệnh đề 3.2.4 Cho M N môđun Giả sử 1N ∈ [M, N ][N, M ] Khi điều kiện sau tương đương: (1) [M, N ] J[M, N ]-chính quy (2) Với f ∈ [M, N ], tồn A ≤ [M, N ]EM cho [M, N ] = f EM + A f EM ∩ A ≤ J[M, N ] Chứng minh (1) ⇒ (2) Cho f ∈ [M, N ] \ J[M, N ] Theo (1), tồn g ∈ [N, M ] cho f − f gf ∈ J[M, N ] Đặt h = 1N − f g Khi [M, N ] = f EM + h[M, N ] f EM ∩ h[M, N ] = f hEM ≤ J[M, N ] theo Bổ đề 3.2.3 Vậy (2) chứng minh (2) ⇒ (1) Cho f ∈ [M, N ], tồn A ≤ [M, N ]EM cho [M, N ] = f EM +A f EM ∩A ≤ J[M, N ] Do 1N ∈ [M, N ][N, M ], 1N = f g + ah với g, h ∈ [N, M ] a ∈ A Từ suy f − f gf = ahf ahf EM = f EM ∩ ah[M, N ] ≤ f EM ∩ A theo Bổ đề 3.2.3 Vậy f − f gf ∈ J[M, N ] 34 Cho M = N , điều cho ta hệ sau Hệ 3.2.5 Cho M môđun với S = End(M ) Những điều kiện sau tương đương: (1) S/J(S) quy (2) Với s ∈ S, tồn I ≤ SS cho S = sS + I sS ∩ I ≤ J(S) Cho M N mơđun Ta sử dụng kí hiệu sau ′ ′ r.U (EN ) = {t ∈ EN |∃t ∈ EN , tt = 1N } ′ ′ l.U (EN ) = {t ∈ EN |∃t ∈ EN , t t = 1N } ′ ′ r.U (EM ) = {s ∈ EM |∃s ∈ EM , ss = 1M } ′ ′ l.U (EM ) = {s ∈ EM |∃s ∈ EM , s s = 1M } Bổ đề 3.2.6 Cho M N môđun Giả sử f ∈ [M, N ] g ∈ [N, M ], điều kiện sau tương đương: (1) f EM = (f − f gf )EM (hay EN f = EN (f − f gf )) (2) 1N − f g ∈ r.U (EN ) (hay 1N − f g ∈ l.U (EN )) (3) 1M − gf ∈ r.U (EM ) (hay 1M − gf ∈ l.U (EM )) Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử f EM = (f − f gf )EM Khi ta có f = (f − f gf )s cho s ∈ EM Bây giờ, ta có 1N = (1N − f g) + f g = (1N − f g) + (f − f gf )sg = (1N − f g) + (1N − f g)f sg = (1N − f g)(1N + f sg) 35 (2) ⇒ (3) Theo (2), ta có 1N = (1N − f g)t với t ∈ EN Khi 1M = (1M − gf ) + gf = (1M − gf ) + g(1N − f g)tf = (1M − gf ) + (1M − gf )gtf = (1M − gf )(1M + gtf ) (3) ⇒ (1) Theo (3), ta có (1M − gf )s = 1M (f − f gf )s = f Từ suy f EM = (f − f gf )EM Định lý 3.2.7 Những điều kiện sau tương đương môđun M N : (1) Dãy f0 EM ≥ f1 EM ≥ ≥ fn EM ≥ EN f0 ≥ EN f1 ≥ ≥ EN fn ≥ dừng, với gi ∈ [N, M ], fi ∈ [M, N ] fi+1 = fi − fi gi fi (2) Với gi ∈ [N, M ] fi ∈ [M, N ], đặt fi+1 = fi − fi gi fi Khi ta có dãy (a) Im(f0 ) ≥ Im(f1 ) ≥ ≥ Im(fn ) ≥ ; (b) Ker(f0 ) ≤ Ker(f1 ) ≤ ≤ Ker(fn ) ≤ dừng Trong trường hợp [M, N ] J[M, N ]-chính quy Chứng minh (1) ⇒ (2) Theo giả thiết, tồn số nguyên m cho fn EM = fn+1 EM EN fn = EN fn+1 với n > m Do đó, với n > m, fn EM = (fn − fn gn fn )EM EN fn = EN (fn − fn gn fn ) Vì theo Bổ đề 3.2.6, ta 1M − gn fn ∈ U (EM ) Từ ta suy 1M − gn fn đẳng cấu Do fn+1 (M ) = (fn − fn gn fn )(M ) = fn (1M − gn fn )(M ) = fn (M ) 36 Mặt khác, Ker(fn+1 ) = Ker(fn ) ⊕ Ker(1M − gn fn ) = Ker(fn ) (2) ⇒ (1) Theo giả thiết, tồn số nguyên m cho với n > m fn+1 (M ) = fn (M ) Ker(fn+1 ) = Ker(fn ) Khi ta có Ker(fn+1 ) = Ker(fn ) ⊕ Ker(1M − gn fn ) = Ker(fn ) với n > m, Ker(1M − gn fn ) = Từ ta Ker(1N − fn gn ) = Thật vậy, với x ∈ Ker(1N − fn gn ), ta có (1N − fn gn )(x) = hay x = fn gn (x) Suy gn (x) = gn fn gn (x) hay (1M − gn fn )(gn (x)) = Từ ta có gn (x) = Ker(1M − fn gn ) = Vậy x = Bây ta có fn+1 (M ) = (fn −fn gn fn )(M ) = fn (M ) fn (M ) ≤ (1N −fn gn )(N ) Với x ∈ N , tồn y ∈ N cho fn gn (x) = (1N − fn gn )(y) Từ suy x = (1N − fn gn )(x) + (fn gn )(x) = (1N − fn gn )(x) + (1N − fn gn )(y) = (1N − fn gn )(x + y) ∈ (1N − fn gn )(N ) Do (1N − fn gn ) toàn cấu suy đẳng cấu Vậy, theo Bổ đề 3.2.6, ta có (1) Cuối cùng, ta [M, N ] J[M, N ]-chính quy Với f ∈ [M, N ] f ∈ / J[M, N ] Khi tồn g ∈ [N, M ] cho 1M − gf ∈ / r.U (EM ) Do đó, theo Bổ đề 3.2.6, ta f EM > (f − f gf )EM Lặp lại trình chứng minh Định lý 3.2.1, tồn g0 ∈ [N, M ] cho f − f g0 f ∈ J[M, N ] Suy f J[M, N ]-chính quy hay [M, N ] J[M, N ]-chính quy Cho M = N , Định lý 3.2.7 ta có hệ sau Hệ 3.2.8 Cho N môđun Cho fi ∈ Hom(N, RR ), n0 ∈ N, ni+1 = ni − ni fi (ni ), dãy n0 R ≥ n1 R ≥ ≥ nk R ≥ mơđun NR dừng, điều kiện sau tương đương: (1) Với fi ∈ Hom(N, RR ), n0 ∈ N, ni+1 = ni − ni fi (ni ), dãy EN n0 ≥ EN n1 ≥ ≥ EN nk ≥ 37 EN -môđun N dừng (2) Với fi ∈ N ∗ , n0 ∈ N, ni+1 = ni − ni fi (ni ), dãy r(n0 ) ≤ r(n1 ) ≤ ≤ r(nk ) ≤ linh hóa tử dừng Ta nhận thấy EM hay EN không chứa tập vô hạn phần tử lũy đẳng trực giao r.U (EM ) = l.U (EM ) r.U (EN ) = l.U (EN ) Hệ 3.2.9 Cho M N môđun, với T = End(N ) S = End(M ) Giả sử EM hay EN không chứa tập vô hạn phần tử lũy đẳng trực giao Khi điều kiện sau tương đương: (1) Với gi ∈ [N, M ], f0 ∈ [M, N ], fi+1 = fi − fi gi fi , dãy f0 EM ≥ f1 EM ≥ ≥ fn EM ≥ dừng (2) Với gi ∈ [N, M ], f0 ∈ [M, N ], fi+1 = fi − fi gi fi , dãy EN f0 ≥ EN f1 ≥ ≥ EN fn ≥ dừng (3) Với gi ∈ [N, M ], f0 ∈ [M, N ], fi+1 = fi − fi gi fi , dãy sau đây: (a) Im(f0 ) ≥ Im(f1 ) ≥ ≥ Im(fn ) ≥ ; (b) Ker(f0 ) ≤ Ker(f1 ) ≤ ≤ Ker(fn ) ≤ dừng 38 KẾT LUẬN Phần nội dung luận văn trình bày ba chương Chương 1, chúng tơi trình bày nội dung sử dụng hai chương sau Trong chương 2, chúng tơi trình bày lại định nghĩa (nửa) quy nghiên cứu số đặc trưng quy [M, N ] (Định lý 2.1.5, Định lý 2.1.9) Trong chương 3, tiếp tục nghiên cứu cấu trúc HomR (M, N ): căn, môđun suy biến, môđun đối suy biến tổng quan lại số kết tác giả nước nghiên cứu (Định lý 3.1.2, Định lý 3.1.3, Định lý 3.1.4, Định lý 3.1.6) Hướng phát triển luận văn: tiếp tục nghiên cứu, phát triển mối quan hệ J[M, N ], △[M, N ], ▽[M, N ], T ot[M, N ] điều kiện (nửa) quy Ệ THAM KHẢO T Tiếng ệ L Văn T ết (2 ), thuyết v v đun, Huế Tiếng Anh Anderson, F New Yor , Fuller, K R (1974), Rings an Cat gori s ul , Springer-Verl g A dogdu, P., Oz n, A C (2 8), "Semi oHopfi n nd Semi Hopfi n Modules", East Azum st J Math, (1), 7-72 , G ( ), "Some Ch teriz tions of regul modules", ubl Mat, 34(2), 241-248 Beid r, K I., K s h, F (2 1), "Good onditions for the tot l", Tr Math matics Boston, MA Birkh user, 43Chen, J., Ding, N ( s 1), "On Regul rit of Rings", Alg bra Colloq, 8(3), 7-274 Dung, N V., Hu nh, D V., Smith, P F., uer, R (1 ), Ext n ing Mo ul , Pitm n K s h, F., der, A ( 9), R gularity an ubstructur s o Hom, Frontiers in M them ti s Lee, T K., hou, Y ( alg bras, a r, 4), "Redu ed Modules", Rings, mo ul s, ab lian gro ork, Lee, T K., ,3 , tur Not s in ur an A l Math., -377 , Y (2 1), "S stru ture of Hom", J Alg bra (1), 119-127 11 Lee, T K., semiregul , Y (2 1), "On (strong) lifting of idempotents nd endomorphism rings", Colloq Math, , 99-113 , 12 Moh mmed, S H., Muller, B J (199 ), "Continous nd Dis rete Modules", Lon on Math oc LN, 14 13 Ni holson, K., Yousif, M F (2 m ridge Univ Press ), uasi Frob nius Rings, m ridge Univ Press 14 Ni holson, K., hou, Y (2 ), "Semiregul morphism", Comm Alg bra, 34, 219-233 T C Qu nh, T M Kos n nd L V Thu et (2 13), "On (semi)regul morphisms", Comm Alg bra, 41(8), 2933-2947 Tutun u, D K., Tr k, R ( ), "On T-non osingul modules", Bull Aust Math oc., (3), 2-471 17 uer, R (1991), Foun ations o Mo ul a nd h Re ding Ring Th ory, Gordon ... tính chất quy nửa quy đồng cấu 2.1 ĐỒNG CẤU CHÍNH QUY Định nghĩa 2.1.1 Cho MR NR môđun Đồng cấu α ∈ [M, N ] gọi quy tồn β ∈ [N, M ] cho α = αβα Môđun [M, N ] gọi quy α ∈ [M, N ] quy EM vành quy. .. Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm 1.2 Một số kết biết Chương Tính quy nửa quy đồng cấu 2.1 Đồng cấu quy 2.2 Đồng cấu nửa quy Chương Cấu trúc HomR (M, N ) với điều kiện quy 3.1 Mối quan hệ môđun... quan tính chất quy nửa quy đồng cấu 3 - Nghiên cứu cấu trúc HomR (M, N ) Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Các tài liệu mơđun, nửa quy quy, - Phạm vi: Nghiên cứu tính chất (nửa)