TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN −−− −−− LÊ THỊ HỒNG SƯƠNG PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA LẶP CHO BÀI TỐN NGƯỢC TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Cử nhân Toán - Tin LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khoa học TS PHẠM QUÝ MƯỜI Đà Nẵng, 5/2013 MỤC LỤC Bảng kí hiệu Lời cảm ơn Lời nói đầu Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Các khái niệm liên quan 1.2 Bài tốn đặt khơng chỉnh 1.3 Bài toán thuận toán ngược 1.4 Ví dụ tốn đặt khơng chỉnh 10 Chương TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP CHÍNH QUY HĨA 2.1 2.2 15 Phương pháp quy hóa 15 Định lí tính chất 16 Chương PHƯƠNG PHÁP CHÍNH QUY HÓA LẶP 24 3.1 Phương pháp 24 3.2 Tính đặt chỉnh 3.3 Tốc độ hội tụ 28 3.4 Ứng dụng 33 25 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 BẢNG KÍ HIỆU R : Trường số thực Q : Trường số hữu tỷ C : Trường số phức K K∗ : Chuẩn toán tử K : Tốn tử liên hợp K (µj , xj , yj ) : Hệ kì dị N (K) = {x ∈ X | Kx = 0} R(K) = {Kx | x ∈ X} = {y ∈ Y | ∃x : Kx = y} L(X, X) : Không gian gồm tất ánh xạ tuyến tính bị chặn từ X vào X KL : Tập {kl | k ∈ K, l ∈ L} Lời cảm ơn! Bài luận văn hoàn thành hướng dẫn trực tiếp TS.Phạm Quý Mười, giảng viên Trường đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng Trong trình làm luận văn, em nhận quan tâm giúp đỡ nhiệt tình thầy Em xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc người thầy kính u Em xin chân thành cảm ơn thầy nhiệt tình giúp đỡ em hồn thành tốt khóa luận Trong q trình học tập, hoàn thành luận văn, em tham gia buổi seminar: + Seminar " Bài toán đặt khơng chỉnh, ví dụ " + Seminar "Phương pháp chỉnh hóa, phương pháp chỉnh hóa lặp " Em xin gửi tới thầy bạn seminar lời cảm ơn chân thành ý kiến đóng góp quý báu, giúp đỡ tận tình cỗ vũ to lớn suốt thời gian qua Em xin gửi tới Ban lãnh đạo Khoa Toán, Trường ĐHSP - Đại học Đà Nẵng lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ, tạo điều kiện thuận lợi suốt thời gian học tập Em xin cảm ơn thầy cơ, gia đình bạn bè quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện động viên cỗ vũ em để em hồn thành tốt nhiệm vụ Đà Nẵng, tháng 5, năm 2013 Sinh viên Lê Thị Hồng Sương Lời nói đầu Bài toán ngược thu hút quan tâm, nghiên cứu nhiều nhà toán học giới Trong khoảng hai mươi năm nay, toán nghiên cứu nhiều nhà toán học Colton, A Kirsch, Kress, Monk, Grinberg, đạt kết quan trọng Tuy nhiên, nước ta, tốn nghiên cứu góc độ tốn học Có nhiều tốn thực tiễn, vật lý, khoa học, dẫn đến tốn ngược (bài tốn đặt khơng chỉnh) theo định nghĩa Hadamard (Xem [14], [15]) Do tính khơng ổn định toán mà việc giải nghiệm số tốn khó khăn Vì vậy, Landweber đưa phương pháp lặp để giải toán cách ổn định Đề tài "Phương pháp quy hóa lặp Landweber cho tốn ngược tuyến tính ứng dụng" đề tài làm luận văn tốt nghiệp em Mục đích đề tài nhằm nghiên cứu phương pháp, hội tụ tốc độ hội tụ khả áp dụng phương pháp lặp vào việc giải tốn ngược tuyến tính Ngồi phần mở đầu phần kết luận, luận văn bao gồm ba chương: Chương một: em thu thập định nghĩa sử dụng luận văn, ngồi cịn có định nghĩa tốn đặt chỉnh, toán thuận toán ngược, với số ví dụ tốn đặt khơng chỉnh Chương hai: Trình bày định nghĩa phương pháp quy hóa, phát biểu định lí, tính chất, chứng minh định lí Chương ba: Trình bày phương pháp quy hóa lặp: phương pháp, tính đặt chỉnh, tốc độ hội tụ Cuối cùng, đưa kết giải số áp dụng phương pháp vào toán ngược Đà Nẵng, tháng 5, năm 2013 Sinh viên Lê Thị Hồng Sương Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Các khái niệm liên quan Trong luận văn này, em có sử dụng số khái niệm kết từ giải tích hàm Vì chương này, trình bày số định nghĩa, khái niệm liên quan luận văn Định nghĩa 1.1.1 (Không gian định chuẩn) Cho X không gian vectơ trường R Một chuẩn X ánh xạ · : X −→ R, với tính chất sau đây: (i) x ≥ 0, với x ∈ X x = ⇔ x = 0, (ii) αx = |α| x , với x ∈ X α ∈ R, (iii) x + y ≤ x + y , với x, y ∈ X Một không gian vectơ X R với chuẩn · gọi không gian định chuẩn R Định nghĩa 1.1.2 (Chuẩn toán tử) Cho X, Y không gian định chuẩn A : X → Y tốn tử tuyến tính A gọi bị chặn tồn c > cho Ax ≤ c x ∀x ∈ X Cực tiểu số gọi chuẩn A, tức A := sup x=0 Ax x Định nghĩa 1.1.3 (Không gian Hilbert) Cho X không gian vectơ trường R Một tích vơ hướng tích ánh xạ (·, ·) : X × X −→ R, với tính chất sau đây: (i) (x + y, z) = (x, z) + (y, z), với x, y ∈ X α ∈ K, (ii) (αx, y) = α(x, y), (iii) (x, y) = (y, x), với x, y, z ∈ X, với x, y ∈ X, (iv) (x, x) ∈ R (x, x) ≥ 0, với x ∈ X, (v) (x, x) > 0, x = Một không gian vectơ X R với tích (·, ·) gọi khơng gian tiền Hilbert R Một không gian định chuẩn X R gọi không gian đầy đủ dãy Cauchy hội tụ vào X Một không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi khơng gian Hilbert Định nghĩa 1.1.4 (Tốn tử liên hợp) Cho A : X → Y tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Hilbert Khi tồn tốn tử tuyến tính bị chặn A∗ : Y → X thỏa mãn (Ax, y) = (x, A∗ y) với x ∈ X, y ∈ Y Toán tử A∗ : Y → X gọi toán tử liên hợp A Cho X = Y , toán tử A gọi tự liên hợp A∗ = A Định nghĩa 1.1.5 (Hệ kì dị) Cho X Y không gian Hilbert K : X → Y toán tử compact với toán tử liên hợp K ∗ : Y → X Căn bậc hai µj = λj , j ∈ J λij giá trị riêng tốn tử liên hợp K ∗ K : X → X gọi giá trị kì dị K (Ở đây, J ⊂ N hữu hạn J = N) Cho µ1 ≥ µ2 ≥ µ3 · · · > dãy xếp giá trị kì dị dương K , tính tốn tương đối đến bội số Thì tồn hệ trực chuẩn (xj ) ⊂ X (yj ) ⊂ Y với tính chất sau Kxj = µj yj K ∗ yj = µj xj với j ∈ J Hệ (µj , xj , yj ) gọi hệ kì dị với K Mỗi x ∈ X có khai triển x = x0 + (x, xj )xj , j∈J với x0 ∈ N (K) Kx = µj (x, xj )yj j∈J Định nghĩa 1.1.6 (Khả vi Fre’chet) Cho X Y không gian định chuẩn trường R, U ⊂ X tập mở, x ˆ ∈ U , T : X ⊃ U → Y ánh xạ (có thể khơng tuyến tính), T gọi khả vi Fre’chet xˆ ∈ U tồn tốn tử tuyến tính bị chặn A : X → Y (phụ thuộc vào x ˆ) cho T (ˆ x + h) − T (ˆ x) − Ah →0 h h → Khi A gọi đạo hàm Fre’chet T x ˆ, kí hiệu: T (ˆ x) := A 1.2 Bài tốn đặt khơng chỉnh Chúng ta phát biểu lại khái niệm Hadamard [2] vấn đề đặt chỉnh (xem Lanczos [3]) Định nghĩa 1.2.1 (Vấn đề đặt chỉnh: well-posed) Cho X Y không gian định chuẩn: K : X → Y ánh xạ (tuyến tính khơng tuyến tính) Phương trình Kx = y gọi đặt đặt chỉnh thỏa mãn: Sự tồn tại: Với y ∈ Y , có x ∈ X cho Kx = y Tồn nhất: Với y ∈ Y , có nhiều x ∈ X cho Kx = y Sự ổn định : Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào y, có nghĩa là: cho dãy (xn ) ⊂ X với Kxn → Kx (n → ∞) xn → x (n → ∞) Bài tốn khơng thỏa mãn điều kiện gọi tốn đặt khơng chỉnh * Trong tốn học, tồn nghiệm phương trình có cách mở rộng thu hẹp nghiệm Vậy vi phạm điều kiện giải Nhưng tốn thiếu tính chất ổn định nghiệm khơng tính tốn cách xác Vì vậy, điều kiện định nghĩa điều kiện điều kiện quan trọng 1.3 Bài toán thuận toán ngược Đối với tất cặp tốn trình bày, có khác biệt toán thuận toán ngược Để làm rõ vấn đề xét trường hợp cụ thể sau: Vấn đề : Xét K : X → Y tốn tử từ khơng gian Hilbert X vào khơng gian Hilbert Y Ta có: * Trường hợp 1: Cho x tìm Kx * Trường hợp 2: Giả thiết tốn cho trước thơng tin y mục đích tìm x cho Kx = y Nếu quy định trường hợp tốn thuận trường hợp tốn ngược ngược lại trường hợp toán thuận trường hợp tốn ngược Tuy nhiên, tất trường hợp, ta ngầm qui ước toán thuận toán dễ, toán đặt chỉnh toán ngược tốn khó, tốn đặt khơng chỉnh Sau số ví dụ tốn đặt khơng chỉnh tốn đặt chỉnh: 1.4 Ví dụ tốn đặt khơng chỉnh Ví dụ 1: Cho K : L2 ([0, 1]) → L2 ([0, 1]) định nghĩa t (Kx)(t) = x(s)ds (1.1) Bài tốn 1: Cho x ∈ L2 ([0, 1]), tính Kx Bài tốn 2: Cho y ∈ L2 ([0, 1]), tìm x ∈ L2 ([0, 1]) : Kx = y Giải: Với toán 1, tồn tồn thỏa mãn Ta xét ổn định toán: liệu cho x, cần chứng minh xn → x Kxn → Kx Ta có: xn → x L2 ([0, 1]) nghĩa xn − x −→ (n → ∞) 1/2 ⇔ |xn (t) − x(t)| dt −→ (n → ∞) Ta phải chứng minh: Kxn → Kx L2 ([0, 1]) tức Kxn − Kx −→ Ta có: Kxn − Kx 2 Kxn (t) − Kx(t) dt = t [xn (s) − x(s)]ds dt = 0 10 (1.2) bước giảm nhanh với kích thước bước a Chứng minh Từ công thức nhị thức dẫn đến ψ(z + x) − ψ(z) − (Kz − y, Kx) = Áp dung bất đẳng thức Cauchy cho Kx Kx ta được: Kx x Trong cần chứng minh xạ ảnh x → (Kz − y, Kx) phép lấy đạo hàm ψ(z + x) − ψ(z) − (Kz − y, Kx) ≤ F r´ echet ψ z 3.2 Tính đặt chỉnh Định lý 3.2.1 Cho K : X → Y toán tử compact < a < K Khi họ toán tử Rm : Y → X xác định lược đồ quy hóa, tức xm → x m → ∞ hay xm − x → m → ∞ Chứng minh Bài toán (3.1) cơng thức đệ quy tuyến tính cho xm Bởi phép quy nạp với mối quan hệ đến m, dễ dàng thấy xm có dạng chi tiết xm = Rm y , toán tử Rm : Y → X định nghĩa bởi: m−1 (I − aK ∗ K)k K ∗ Rm := a cho m = 1, 2, (3.3) k=0 Chọn hệ kì dị (µj , xj , yj ) cho tốn tử compact K Với {y} sở K ta có: ∞ y= (y, yj )yj j=1 25 (3.4) Từ (3.3) (3.4) ta có Rm y biểu diễn dạng: ∞ m−1 ∗ k (I − aK K) K Rm y = a ∞ ∗ (y, yj )K ∗ yj k (I − aK K) = a j=1 k=0 ∞ = a (y, yj )yj j=1 k=0 m−1 m−1 (I − aK ∗ K)k (y, yj )xj µj j=1 Mà ta có : ∗ (3.5) k=0 m−1 (I − aK ∗ K)k (y, yj )xj Cm = k=0 k = ⇒ Cm = (I − aK ∗ K)0 (y, yj )xj = (y, yj )xj k = ⇒ Cm = (I − aK ∗ K)(y, yj )xj = (y, yj )xj − aK ∗ (y, yj )Kxj = (y, yj )xj − aK ∗ (y, yj )µj yj = (y, yj )xj − a(y, yj )µj K ∗ yj = (y, yj )xj − a(y, yj )µ2j xj = (1 − aµ2j )(y, yj )xj k = ⇒ Cm = (I − aK ∗ K)2 (y, yj )xj = (y, yj )xj − 2aK ∗ (y, yj )Kxj − a2 (K ∗ )2 K(y, yj )Kxj = (1 − 2aµ2j )(y, yj )xj − a2 K ∗ K(y, yj )µj K ∗ yj = (1 − 2aµ2j )(y, yj )xj − a2 K ∗ (y, yj )µ2j Kxj = (1 − 2aµ2j )(y, yj )xj − a2 (y, yj )µ3j K ∗ yj = (1 − 2aµ2j )(y, yj )xj − a2 (y, yj )µ4j xj = (1 − aµ2j )2 (y, yj )xj k = m − ⇒ Cm = (1 − aµ2j )m−1 (y, yj )xj 26 Vậy Cm viết lại dạng : m−1 m−1 ∗ (1 − aµ2j )k (y, yj )xj k (I − aK K) (y, yj )xj = Cm = (3.6) k=0 k=0 Thay (3.6) vào (3.5) ta được: ∞ Rm y = a m−1 (1 − aµ2j )k (y, yj )xj µj j=1 ∞ = j=1 ∞ = n=0 k=0 (1 − (1 − aµ2j )m )(y, yj )xj µj q(m, µj ) (y, yj )xj , µj y∈Y (3.7) với q(m, µ) = (1 − (1 − aµ2 )m ) Ta có: lim Rα Kx = lim Rm Kx m→∞ α→0 Từ (3.7) suy ∞ lim Rm Kx = lim m→0 m→∞ j=1 ∞ = lim m→∞ j=1 ∞ = lim m→∞ j=1 ∞ = lim m→∞ j=1 ∞ = lim m→∞ j=1 q(m, µj ) (Kx, yj )xj µj (Kx, yj )xj µj (x, K ∗ yj )xj µj (x, µj xj )xj µj µj (x, xj )xj → x m → ∞ µj Vậy, xm − x → m → ∞ 27 (3.8) 3.3 Tốc độ hội tụ Ta có ∞ Rm y = n=0 q(m, µj ) (y, yj )xj , µj y ∈ Y, với q(m, µ) = (1 − (1 − aµ2 )m ) Chúng ta biết hàm lọc q chương trước Định lí 2.2.5, phần (b), định nghĩa α = m Vì thế, ứng dụng Định lí 2.2.4 Định lí 2.2.3 cho kết sau: Định lý 3.3.1 (a) Cho K : X → Y toán tử compact < a < 1/ K Định nghĩa tốn tử tuyến tính bị chặn Rm : Y → X (3.3) Toán tử Rm định nghĩa phương pháp quy hóa với tham số quy hóa √ rời rạc α = 1/m, m ∈ N, Rm ≤ am Dãy xm,δ = Rm y δ tính tốn lặp lăp lại (3.1); có nghĩa là: x0,δ = xm,δ = (I − aK ∗ K)xm−1,δ + aK ∗ y δ , (3.9) cho m = 1, 2, Mọi phương pháp m(δ) → ∞(δ → 0) với δ m(δ) → 0(δ → 0) chấp nhận (b) Trường hợp cho x = K ∗ z ∈ R(K ∗ ) với z ≤ E < c1 < c2 Cho lựa chọn m(δ) với c1 Eδ ≤ m(δ) ≤ c2 Eδ , ước lượng sau cố định: √ xm(δ),δ − x ≤ c3 δE (3.10) Đối với số số c3 phụ thuộc vào c1 , c2 a Vì vậy, phương pháp lặp Landweber tối ưu thông tin (K ∗ )−1 x ≤ E (c) Bây cho x = K ∗ Kz ∈ R(K ∗ K) với z ≤ E < c1 < c2 Đối với lựa chọn m(δ) với c1 ( Eδ )2/3 ≤ m(δ) ≤ c2 ( Eδ )2/3 , 28 có: xm(δ),δ − x ≤ c3 E 1/3 δ 2/3 (3.11) Đối với số số c3 phụ thuộc vào c1 , c2 a Vì phương pháp lặp Landweber tối ưu thông tin (K ∗ K)−1 x ≤ E Chứng minh Tổ hợp ước lượng (2.3) với Định lí 2.2.4 Định lí 2.2.5 cho ước lượng sai số : √ z , xα,δ−x ≤ δ am + √ 2a với phần (b) √ xα,δ−x ≤ δ am + z , a với phần (c) Thay m điều kiện đầu cận điều kiện thứ cận tương ứng cho ước lượng (3.9) (3.10) Trường hợp cụ thể: (Phương pháp lặp Landweber’s với quy tắc dừng) Ta sử dụng tiêu chí dừng sau đây, thực tất thuật toán lặp lặp lại cho lời giải phương trình Kx = y Cho r > số cố định Dừng thuật toán xuất m ∈ N0 với Kxm,δ − y δ ≤ rδ Định lí sau cho thấy lựa chọn m hợp lí cho phương pháp lặp Landweber’s dẫn đến phương pháp quy hóa chấp nhận chí tối ưu Định lý 3.3.2 Cho K : X → Y tuyến tính, compact, 1-1 với miền giá trị trù mật Cho r > y δ ∈ Y nhiễu với y − y δ ≤ δ y δ ≥ rδ với δ ∈ (0, δ0 ) Cho dãy xm,δ , m = 0, 1, 2, , xác định phương pháp Landweber’s; là: xm+1,δ = xm,δ + aK ∗ (y − Kxm,δ ), m = 0, 1, 2, , cho < a < 1/ K Thì khẳng định sau đúng: 29 (3.12) (1) limm→∞ Kxm,δ − y δ = với δ > 0; có nghĩa là, quy tắc dừng sau xác định tốt: Cho m = m(δ) ∈ N0 số nguyên nhỏ với Kxm,δ − y δ ≤ rδ (2) δ m(δ) → với δ → 0; có nghĩa là, lựa chọn m(δ) chấp nhận Vì vậy, khẳng định Định lí 3.1, dãy xm(δ),δ hội tụ đến x (3) Nếu x = K ∗ z ∈ R(K ∗ ) x = K ∗ Kz ∈ R(K ∗ K) số z với z ≤ E , ta có bậc sau hội tụ: xm(δ),δ − x √ ≤ c Eδ, xm(δ),δ − x ≤ cE 1/3 δ 2/3 , (3.13) (3.14) với c > Điều có nghĩa lựa chọn m(δ) tối ưu Chứng minh Trong (3.7), với hệ kì dị (µj , xj , yj ) thấy biểu diễn ∞ Rm y = j=1 − (1 − aµ2j )m (y, yj )xj , µj với y ∈ Y ∞ KRm y − y 2 (1 − aµ2j )2m (y, yj ) = j=1 Từ − aµ2j < 1, ta kết luận KRm − I ≤ Áp dụng với y δ thay y ta có m,δ Kx −y δ ∞ (1 − = aµ2j )2m j=1 (1) Với ε > cho Chọn J ∈ N với ∞ (y δ , yj ) < j=J+1 30 ε2 δ (y , yj ) Bởi limm→∞ Kxm , δ − y δ = hay |1 − aµ2j |2m → m → ∞ thống cho j = 1, , J , tìm m0 ∈ N với J 1− 2m aµ2j J δ ≤ (y , yj ) j=1 ≤ max (1 − j=1, ,J aµ2j )2m (y δ , yj ) j=1 ε2 , với m ≥ m0 Điều cho thấy Kxm,δ − y δ ≤ ε2 với m ≥ m0 ; có nghĩa là, phương pháp chấp nhận Điều đủ để chứng minh khẳng định (2) với trường hợp m(δ) → ∞ Chúng ta đặt m := m(δ) Bởi chọn m(δ), cho y = Kx KRm−1 y − y ≥ KRm−1 y δ − y δ − (KRm−1 − I)(y − y δ ) ≥ rδ − KRm−1 − I δ ≥ (r − 1)δ, ∞ 2 m r−1 δ − aµ2j 2m−2 m − aµ2j 2m−2 ≤ m (y, yj ) j=1 ∞ = µ2j (x, xj ) (3.15) j=1 Chúng ta thấy chuỗi hội tụ δ → (Sự phụ thuộc vào δ ẩn m) Đầu tiên ý mµ2j − aµ2j 2m−2 ≤ 1/2a với m ≥ µ ≥ Bây lại chia chuỗi thành tổng hữu hạn chuỗi lại ước lượng "long tail" biểu thức m − aµ2j 2m−2 µj 1/2a ý m − aµ2j 2m−2 dần tới m → ∞ j ∈ {1, , J} Điều chứng tỏ hội tụ phần (2) Về phần (3) nhắc nhở người đọc ước lượng (2.3), mà chúng tơi cần sau (xem Định lí 3.3.1, phần (a)): √ xm,δ − x ≤ δ am + Rm Kx − x 31 (3.16) Đầu tiên, cho x = K ∗ z z ≤ E Viết m = m(δ) lần kết luận từ (3.14) mà ∞ 2 m2 (1 − aµ2j )2m−2 µ4j |(z, yj )|2 (r − 1) δ m ≤ j=1 Ước lượng √ m2 µ4j (1 − aµ2j )2m−2 ≤ 1/a2 ∀m ≥ ≤ µ ≤ 1/ a, cho (r − 1)2 δ m2 ≤ z 2; a có nghĩa là, ta cận m(δ) ≤ E a(r − 1) δ Bây ước tính điều kiện thứ hai phía bên phải (3.15) Từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, kết luận rằng: ∞ (I − Rm K)x µ2j (1 − aµ2j )2m |(z, yj )|2 = j=1 ∞ µ2j (1 − aµ2j )m |(z, yj )| (1 − aµ2j )m |(z, yj )| = j=1 ∞ ∞ µ4j (1 ≤ − aµ2j )2m j=1 ≤ j=1 KRm y − y ≤ E (1 − aµ2j )2m |(z, yj )|2 |(z, yj )|2 ≤1 z (I − KRm )(y − y δ ) + (I − KRm )y δ ≤ E (1 + r) δ Vì vậy, kết luận từ (3.15) xm(δ),δ − x ≤ δ am(δ) + Rm(δ) Kx − x ≤ c 32 √ Eδ Bây cho x = K ∗ Kz với z ≤ E Bởi lập luận tương tự trước đó, kết luận ∞ 2 (1 − aµ2j )2m−2 µ6j |(z, yj )|2 (r − 1) δ ≤ j=1 Sử dụng ước lượng m3 µ6 (1 − aµ2 )2m−2 ≤ 27/(8a3 ) ∀m ≥ , ≤ µ ≤ √ 1/ a , 27 (r − 1)2 δ ≤ 3 z ; 8a m là, m(δ) ≤ cE 2/3 δ −2/3 , cho c > với 1/p + 1/q = Với p = 2/3 q = 3, kết luận ∞ (I − Rm K)x µ4j (1 − aµ2j )2m |(z, xj )|2 = j=1 ∞ µ4j (1 − aµ2j )4m/3 |(z, xj )|4/3 (1 − aµ2j )2m/3 |(z, xj )|2/3 = j=1 ∞ 2/3 µ6j (1 ≤ − aµ2j )2m |(z, xj )| j=1 ≤ ∞ 1/3 (1 − j=1 KRm y − y 4/3 2/3 z aµ2j )2m |(z, xj )| ≤1 , có nghĩa là, (I − Rm K)x ≤ E 1/3 (1 + r)2/3 δ 2/3 Do đó, (3.16) cho xm(δ),δ − x ≤ δ 3.4 am(δ) + Rm(δ) Kx − x ≤ cE 1/3 δ 2/3 Ứng dụng Bài toán : Cho K : L2 ([0, 1]) → L2 ([0, 1]) định nghĩa (1 + ts)ets x(s)ds, (Kx)(t) = 33 < t ≤ Cho y ∈ L2 ([0, 1]), tìm x ∈ L2 ([0, 1]) : Kx = y Giải: Nghiệm số: Với x(t) = 1, y(t) = et Theo quy luật hình thang, ta có xấp xỉ tích phân sau: n−1 1 (1+jht)ejht x(jh) , (1+ts)e x(s)ds ≈ h x(0)+ (1+t)et x(1)+ 2 j=1 ts với h := n1 Cho t = ih, ta hệ tuyến tính sau: 1 h x0 + (1 + t)et xn + 2 n−1 (1 + jht)ejht xj = y(ih), i = 0, , n j=1 Thì xi xấp xỉ đến x(ih) Bảng sau cho ta thấy nghiệm xấp xỉ xi nghiệm xác x(t) với t = 0, 0.25, 0.5, 0.75 Ở đây, i chọn cho ih = t t n=4 n=8 n = 16 x(t) 0.615 0.555 −2.601 · 1015 0.25 1.435 -0.293 −3.344 · 1016 0.5 0.515 -1.354 −5.384 · 1015 0.75 1.433 -0.289 -77.937 1 0.617 0.556 −3.456 · 1013 Ta thấy sử dụng phương pháp để giải tốn nghiệm số tốn khơng tối ưu sai số nghiệm xác nghiệm xấp xỉ khơng ổn định Sử dụng phương pháp lặp Chọn a = 0.5 n = x0 := xm = (I − aK ∗ K)xm−1 + aK ∗ y, 34 cho m = 1, 2, , 10, 20 Phương trình cho nghiệm xấp xỉ xδ (xδ )m = (I − aK ∗ K)(xδ )m−1 + aK ∗ y δ , Ở đây, y δ = yiδ ∈ Rn+1 nhiễu phía phải yi = ei/n cho y−y δ := n+1 n (yi − yiδ )2 ≤ δ i=0 Với  0.063  0.063   0.063   0.063  K= 0.063  0.063   0.063  0.063  0.063 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.129 0.133 0.137 0.141 0.146 0.150 0.155 0.133 0.141 0.150 0.159 0.169 0.179 0.190 0.137 0.150 0.164 0.179 0.195 0.212 0.230 0.141 0.159 0.179 0.201 0.224 0.250 0.278 0.146 0.169 0.195 0.224 0.257 0.293 0.334 0.150 0.179 0.212 0.250 0.293 0.343 0.399 0.155 0.190 0.230 0.278 0.334 0.399 0.475 0.159 0.201 0.250 0.309 0.379 0.463 0.562  0.063  0.080   0.100   0.125  0.155   0.190   0.232  0.281  0.340 Bảng sau cho ta thấy chuẩn rời rạc sai số nghiệm xác x(t) = nghiệm xấp xỉ xδ áp dụng phương pháp lặp cho toán tử K 35 m δ = 0.00015 δ = 0.0015 δ = 0.015 δ = 0.15 0.917 0.918 0.930 1.049 0.848 0.848 0.847 0.838 0.780 0.781 0.792 0.901 0.725 0.725 0.723 0.708 0.67 0.671 0.680 0.78 0.625 0.632 0.623 0.605 0.581 0.582 0.591 0.683 0.546 0.545 0.544 0.525 0.51 0.511 0.519 0.604 10 0.483 0.482 0.480 0.462 20 0.322 0.352 0.321 0.328 Chúng ta thấy sai số giảm xuống cách nhanh chóng bước sau chậm dần Mặt khác, phương pháp Landweber ổn định nhiễu loạn bên phải cho kết tốt sai số lớn δ 36 KẾT LUẬN Luận văn đề cập giải vấn đề sau: • Mơ tả toán thuận ngược, phát biểu lại khái niệm tốn đặt chỉnh tốn đặt khơng chỉnh • Trình bày phương pháp quy hóa để giải tốn ngược tuyến tính, chứng minh định lí tính chất • Trình bày phương pháp chỉnh hóa lặp Mặc dù có nhiều cố gắng, nỗ lực việc tìm tịi nghiên cứu kiến thức hạn chế thời gian không cho phép nên đề tài tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn hình thức Em mong nhận ý kiến đóng góp q báu từ phía thầy giáo bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J.B Keller Inverse problems Am Math Mon., 83:107–118, 1996 [2] J Hadamard Lectures on the Cauchy Problem in Linear Partial Differential Equations Yale University Press, New Haven, 1923 [3] C Lanczos Linear Differential Operators Van Nostrand, NewYork, 1961 [4] L Landweber An iteration formula for Fredholm integral equations of the first kind Am J Math., 73:615–624, 1951 [5] J Baumeister Stable Solutions of Inverse Problems Vieweg, Braunschweig, 1987 [6] C.W Groetsch The Theory of Tikhonov Regularization for Fredholm Equations of the First Kind Pitman, Boston, 1984 [7] A.K Louis Inverse und schlecht gestellte Probleme Teubner–Verlag, Stuttgart, 1989 [8] H Engl Necessary and sufficient conditions for convergence of regularization methods for solving linear operator equations of the first kind Numer Funct Anal Optim., 3:201–222, 1981 [9] H Engl Regularization methods for the stable solution of inverse problems Surv Math Ind., 3:71–143, 1993 [10] J Graves and P.M Prenter Numerical iterative filters applied to first kind Fredholm integral equations Numer Math., 30:281–299, 1978 [11] S Twomey The application of numerical filtering to the solution of integral equations en-countered in indirect sensing measurements.J Franklin Inst., 279:95–109, 1965 38 [12] V Fridman A method of successive approximations for Fredholm integral equations of the first kind.Uspeki Mat Nauk., 11:233–234, 1956 in Russian [13] H Bialy Iterative Behandlung linearer Funktionalgleichungen.Arch Rat Mech Anal., 4:166, 1959 [14] C.W Groetsch.Inverse Problems in the Mathematical Sciences Vieweg, Braunschweig Wies-baden, 1993 [15] J.B Keller Inverse problems Am Math Mon., 83:107–118, 1996 [16] Andreas Kirsch An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems 39 ... giải toán ngược tuyến tính 23 Chương PHƯƠNG PHÁP CHÍNH QUY HĨA LẶP Để giải tốn ngược tuyến tính (bài tốn đặt không chỉnh) , phương pháp tối ưu mà Landweber [4], Fridman [12], Bialy [13] sử dụng phương. .. "Phương pháp quy hóa lặp Landweber cho tốn ngược tuyến tính ứng dụng" đề tài làm luận văn tốt nghiệp em Mục đích đề tài nhằm nghiên cứu phương pháp, hội tụ tốc độ hội tụ khả áp dụng phương pháp. .. toán đặt chỉnh tốn đặt khơng chỉnh • Trình bày phương pháp quy hóa để giải tốn ngược tuyến tính, chứng minh định lí tính chất • Trình bày phương pháp chỉnh hóa lặp Mặc dù có nhiều cố gắng,