BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ HỒNG HOA PHỦ CHÍNH QUY VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ KHẢ MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ HỒNG HOA PHỦ CHÍNH QUY VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ KHẢ MÊTRIC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Giáo viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển ĐÀ NẴNG 2015 LỜI CAM ĐOAN Những nội dung trình bày luận văn thực hướng dẫn Tiến sĩ Lương Quốc Tuyển Mọi tài liệu luận văn trích dẫn rõ ràng trung thực tên tác giả, tên cơng trình, thời gian địa điểm cơng bố Nếu có chép khơng hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo, tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm Tác giả LỜI CẢM ƠN Luận văn tốt nghiệp cao học hoàn thành Đại học Đà Nẵng Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới Tiến sĩ Lương Quốc Tuyển, người thầy trực tiếp hướng dẫn bảo cho kiến thức chuyên môn thiết thực quý báu Sự tận tình dìu dắt thầy phần lớn giúp thực tốt luận văn Tôi xin gởi lời cảm ơn tới ba mẹ, bạn bè góp ý, ủng hộ động viên tinh thần vật chất cho Đà Nẵng, ngày 08 tháng 11 năm 2014 Nguyễn Thị Hồng Hoa MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG CƠ CỞ LÝ THUYẾT 4 1.1 Không gian mêtric 1.2 Không gian tôpô 10 1.3 Cơ sở sở lân cận không gian tôpô 17 1.4 Các tiên đề tách 20 1.5 Không gian 23 1.6 Không gian tôpô khả mêtric 24 CHƯƠNG PHỦ CHÍNH QUY VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ KHẢ MÊTRIC 2.1 26 Cơ sở yếu, sn-mạng cs∗ -mạng 26 2.2 Tính chất phủ quy 32 2.3 Một số định lí khả mêtric 43 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO) DANH MỤC CÁC QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU ĐƯỢC DÙNG TRONG LUẬN VĂN Kí hiệu N tập hợp tất số tự nhiên Kí hiệu R tập hợp tất số thực Không gian tôpô viết gọn không gian Giả sử P phủ không gian tôpô X , x ∈ X , K tập X {xn } dãy hội tụ đến x X Khi đó, (a) P= {P : P ∈ P} (b) P= {P : P ∈ P} (c) St(A, P) = {P ∈ P : P ∩ A = ∅} (d) (P)K = {P ∈ P : P ∩ K = ∅} (e) T (x) = {x} {xn : n ∈ N} (f) T (x, m) = {x} {xn : n ≥ m} MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mêtric hóa khơng gian tơpơ tốn trọng tâm tơpơ đại cương Năm 1960, A V Arhangel’skii giới thiệu khái niệm phủ quy chứng minh không gian với sở quy khả mêtric (xem [1]) Sau đó, năm 1976, H W Martin chứng minh không gian với sở yếu quy khả mêtric, kết mở rộng thực kết A V Arhangel’skii [1] Đến năm 1987, J Jiang suy rộng khái niệm phủ quy thu số kết tính mêtric hóa khơng gian tơpơ (xem [4]) Sau đó, S Lin chứng minh T2 -không gian với sở cs-chính quy khả mêtric nhận lại số kết tác giả khác đưa trước (xem [6]) Ngồi ra, tác giả cịn đặt tốn : “Khơng gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ quy với k -mạng cs-chính quy có khơng gian khả mêtric hay khơng?” Bài toán thu hút nhiều nhà toán học giới quan tâm Mãi đến năm 1998, M Sakai, K Tomano Y Yajima đưa câu trả lời riêng cho tốn trường hợp khơng gian quy Gần đây, S Lin thu câu trả lời khẳng định cho toán chứng minh không gian với dãy cs∗ -mạng cs-chính quy khả mêtric cho tốn lớp khơng gian dãy (xem [9]) Để hiểu rõ vấn đề trên, định hướng thầy giáo Lương Quốc Tuyển, định chọn nghiên cứu đề tài: “Phủ quy số định lí khả mêtric” Tôi hi vọng tạo tài liệu tham khảo tốt cho người quan tâm đến tính mêtric hóa khơng gian tơpơ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu nhằm tìm hiểu làm rõ vấn đề sau (1) Hệ thống lại số kiến thức tôpô đại cương, số kiến thức không gian mêtric suy rộng (2) Tìm hiểu phủ quy chứng minh số định lí khả mêtric Đối tượng phạm vi nghiên cứu (1) Đối tượng nghiên cứu: Phủ quy số định lí khả mêtric (2) Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tính khả mêtric khơng gian tơpơ với mạng cs-chính quy Phương pháp nghiên cứu (1) Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức (2) Thu thập báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến “Phủ quy số định lí khả mêtric” (3) Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài (4) Phân tích, đánh giá, tổng hợp trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu để hoàn chỉnh luận văn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng tài liệu tham khảo dành cho quan tâm nghiên cứu tính khả mêtric hóa khơng gian tôpô, mối quan hệ mạng suy rộng sở không gian mêtric suy rộng Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn trình bày chương Ngồi ra, luận văn cịn có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận, Tài liệu tham khảo Chương Cơ sở lý thuyết Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất khơng gian mêtric không gian tôpô nhằm để phục vụ cho việc chứng minh Chương Luận văn Chương Phủ quy số định lí khả mêtric Chương dành cho việc trình bày khái niệm tính chất sở yếu, sn-mạng, cs-mạng, cs∗ -mạng mối quan hệ chúng Ngoài ra, chứng minh chi tiết số kết mối quan hệ phủ quy khơng gian tôpô khả mêtric Mặc dù cố gắng song luận văn tránh hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến q thầy bạn để luận văn hoàn chỉnh Tác giả xin trân trọng cảm ơn! 41 {x} {xni : i ∈ N} ⊂ P Do đó, nhờ Bổ đề 2.2.8 ta suy tồn R ∈ P m cho {x} {xni : i ∈ N} ⊂ P ⊂ R Điều chứng tỏ P m cs∗ -phủ X 2.2.10 Bổ đề Giả sử P họ gồm tập không gian X Khi đó, khẳng định sau (1) Nếu P phủ điểm-chính quy X , P ∪ I(X) phủ điểmchính quy X ; (2) Nếu P cs∗ -mạng X , P ∪ I(X) cs∗ -mạng X Chứng minh (1) Giả sử P phủ điểm-chính quy X Ta cần chứng minh P ∪ I(X) phủ điểm-chính quy X Thật vậy, với x ∈ X U lân cận mở x X , P phủ điểm-chính quy X nên {P ∈ P : x ∈ P, P ⊂ U } tập hợp hữu hạn Hơn nữa, {P ∈ I(X) : x ∈ P } = {x} nên suy tập hợp sau hữu hạn {P ∈ P ∪ I(X) : x ∈ P, P ⊂ U } Như vậy, P ∪ I(X) phủ điểm-chính quy X (2) Giả sử P cs∗ -mạng X Ta chứng minh P ∪ I(X) cs∗ -mạng X Thật vậy, giả sử {xn } dãy hội tụ đến x ∈ X U lân cận mở x X Khi đó, P cs∗ -mạng X nên tồn dãy {xnk } {xn } P ∈ P cho 42 {x} {xnk : k ∈ N} ⊂ P ⊂ U Mặt khác, P ⊂ P ∪ I(X) nên ta suy tồn P ∈ P ∪ I(X) cho {x} {xnk : k ∈ N} ⊂ P ⊂ U Do đó, P ∪ I(X) cs∗ -mạng X 2.2.11 Bổ đề Giả sử P phủ khơng gian X Ta đặt Q = (P\P m ) ∪ I(X) Khi đó, khẳng định sau (1) Nếu P phủ điểm-chính quy X , Q phủ điểm-chính quy X (2) Nếu P cs∗ -mạng X , Q cs∗ -mạng X Chứng minh (1) Giả sử P phủ điểm-chính quy X Khi đó, nhờ Bổ đề 2.2.10 ta suy H = P ∪ I(X) phủ điểm-chính quy X Mặt khác, Q ⊂ H phủ H nên theo Nhận xét 2.2.3 ta suy Q phủ điểm-chính quy X (2) Giả sử P cs∗ -mạng X , x ∈ X , U lân cận mở x {xn } dãy hội tụ đến x X Khi đó, P cs∗ -mạng X nên theo Bổ đề 2.1.5 ta giả thiết P khép kín với phép giao hữu hạn Ta xét hai trường hợp sau Trường hợp Nếu x ∈ I(X), xn = x với n ∈ N Mặt khác, {x} ⊂ I(X) ⊂ Q nên ta suy tồn P = {x} ∈ Q cho {x} {xn : n ∈ N} ⊂ P ⊂ U 43 Trường hợp Nếu x ∈ / I(X), P cs∗ -mạng X nên tồn dãy {xnk } {xn } P1 ∈ P cho {x} {xnk : k ∈ N} ⊂ P1 ⊂ U Mặt khác, x không điểm cô lập nên tồn k0 ∈ N cho xk0 = x Bây giờ, ta đặt V = U \ {xk0 }, V lân cận x Lại P cs∗ -mạng X nên tồn dãy {xnkj } {xnk } P2 ∈ P cho {x} {xnkj : j ∈ N} ⊂ P2 ⊂ U Cuối cùng, ta đặt P = P1 ∩ P2 , P khép kín với phép giao hữu hạn nên ta suy P ∈ P Hơn nữa, từ cách đặt ta suy P ∈ / P m , kéo theo P ∈ Q Như vậy, tồn dãy {xnkj } {xn } P ∈ Q cho {x} {xnkj : j ∈ N} ⊂ P ⊂ U , suy Q cs∗ -mạng X 2.3 MỘT SỐ ĐỊNH LÍ KHẢ MÊTRIC 2.3.1 Định nghĩa ([10]) Giả sử {Pn : n ∈ N} dãy gồm tập hợp X Khi đó, {Pn : n ∈ N} gọi khai triển yếu X Pn+1 mịn Pn với n ∈ N {St(x, Pn ) : n ∈ N} sở lân cận yếu x với x ∈ X 2.3.2 Bổ đề Giả sử P cs∗ -mạng điểm-chính quy X Khi đó, tồn dãy {Pn : n ∈ N} ⊂ P gồm cs∗ -phủ X cho Pm+1 mịn Pn với n ∈ N, 44 {St(x, Pn ) : n ∈ N} sn-mạng x với x ∈ X Chứng minh Giả sử P cs∗ -mạng điểm-chính quy X Khi đó, theo Bổ đề 2.1.5 Bổ đề 2.2.4 ta giả thiết P khép kín với phép giao hữu hạn Ta đặt Q = P\P m ∪ I(X) Khi đó, nhờ Bổ đề 2.2.11 ta suy Q cs∗ -mạng điểm-chính quy X Tiếp theo, với n ∈ N, ta đặt P1 = P m n Pn+1 = P\ Pi ∪ I(X) m i=1 Ta thu khẳng định sau (1) Pn ⊂ P với n ∈ N Suy trực tiếp từ cách đặt Pn (2) Pn+1 mịn Pn với n ∈ N Giả sử P ∈ Pn+1 Khi đó, theo Bổ đề 2.2.8, tồn Q ∈ Pn cho Q ⊂ P (3) Nhờ Bổ đề 2.2.9 ta suy Pn cs∗ -phủ X với n ∈ N (4) {Pn : n ∈ N} khai triển yếu X , nghĩa {St(x, Pn ) : n ∈ N} sở lân cận yếu x với x ∈ X Thật vậy, với x ∈ X , ta đặt Px = {St(x, Pn ) : n ∈ N}; G= Px x∈X Khi đó, (4.1) Px mạng x với x ∈ X Thật vậy, giả sử x ∈ X U lân cận mở x Khi đó, (a) Nếu x ∈ I(X), tồn m ∈ N cho {x} ∈ P m Do đó, tồn km ∈ N cho {x} ∈ Pkm Mặt khác, từ cách đặt P m ta suy St(x, Pkm ) = {x} Như vậy, tồn km ∈ N cho x ∈ St(x, Pkm ) = {x} ⊂ U 45 (b) Nếu x ∈ X\I(X), từ cách đặt Px ta suy Px tập vô hạn {P ∈ P : x ∈ P } Do đó, theo Bổ đề 2.2.7, {St(x, Pn ) : n ∈ N} mạng x (4.2) Giả sử P1 , P2 ∈ Px Khi đó, tồn m, n ∈ N cho P1 = St(x, Pm ), P2 = St(x, Pn ) Bởi Pn+1 mịn Pn với n ∈ N nên ta đặt k = max{m, n}, St(x, Pk ) ⊂ P1 ∩ P2 Do đó, tồn P = St(x, Pk ) cho P ⊂ P1 ∩ P2 (4.3) Mỗi phần tử Px lân cận dãy x với x ∈ X Giả sử x ∈ X , P ∈ Px {xn } dãy hội tụ đến x X Khi đó, tồn n ∈ N cho P = St(x, Pn ) Bây giờ, ta chứng tỏ tồn k ∈ N cho {x} {xn : n ∈ N} ⊂ P Thật vậy, giả sử ngược lại {x} {xn : n ∈ N} ⊂ P với n ∈ N Khi đó, tồn dãy {xni } {xn } cho xni ∈ / P với n ∈ N Mặt khác, theo (3), Pn cs∗ -phủ nên tồn dãy {xnij } {xni } H ∈ Pn cho {x} {xnij : k ∈ N} ⊂ H Hơn nữa, H ⊂ St(x, Pn ) = P nên ta suy {x} {xnij : k ∈ N} ⊂ P 46 Điều mâu thuẫn với xni ∈ / P với n ∈ N Như vậy, phần tử Px lân cận dãy x Từ (4.1), (4.2) (4.3) ta suy G sn-mạng X Mặt khác, X khơng gian dãy nên theo Bổ đề 2.1.7 suy G sở yếu X Do đó, {St(x, Pn ) : n ∈ N} sở lân cận yếu x với x ∈ X 2.3.3 Hệ Giả sử P cs∗ -mạng điểm-chính quy khơng gian dãy X Khi đó, tồn dãy {Pn : n ∈ N} ⊂ P gồm cs∗ -phủ X cho {Pn : n ∈ N} khai triển yếu X Chứng minh Suy trực tiếp từ Bổ đề 2.1.7 Định lí 2.3.2 2.3.4 Bổ đề ([10]) Không gian X khả mêtric X có khai triển yếu {Pn : n ∈ N} cho {St2 (x, Pn ) : n ∈ N} sở lân cận yếu x với x ∈ X 2.3.5 Bổ đề Giả sử X không gian khả mêtric Khi đó, phủ mở X có mịn mở hữu hạn địa phương 2.3.6 Định lí ([9]) Đối với không gian X , khẳng định sau tương đương (1) X không gian khả mêtric; (2) X khơng gian dãy có cs∗ -mạng cs-chính quy; (3) X có khai triển yếu {Pn : n ∈ N} thoả mãn với dãy hội tụ T (x) T (x) ⊂ U ∈ τ , tồn n ∈ N cho St(T (x), Pn ) ⊂ U 47 Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử X khơng gian khả mêtric Khi đó, hiển nhiên X không gian dãy Bây giờ, với n ∈ N, ta đặt Fn = B x, :x∈X n Mặt khác, X khơng gian khả mêtric nên với n ∈ N, theo Bổ đề 2.3.5 ta suy tồn phủ mở Pn cho Pn mịn Fn Pn họ hữu hạn địa phương Bây giờ, ta đặt P= Bởi {Pn : n ∈ N} {Fn : n ∈ N} sở X nên ta suy P sở X Thật vậy, giả sử x ∈ U với U lân cận mở x Khi đó, {Fn : n ∈ N} sở X nên tồn n ∈ N F ∈ Fn cho x ∈ F ⊂ U Mặt khác, Pn mịn Fn nên tồn P ∈ Pn cho P ⊂ F Điều chứng tỏ rằng, tồn P ∈ P cho x∈P ⊂U P sở X Bây giờ, để hoàn thành chứng minh ta cần chứng tỏ P phủ quy X Thật vậy, giả sử x ∈ X U lân cận mở x X ⊂ U Đặt V0 = B x, , ta có n n (1) St(V0 , Fn ) ⊂ U Thật vậy, giả sử ngược lại St(V0 , Fn ) ⊂ U Khi Khi đó, tồn n ∈ N cho B x, đó, tồn y ∈ St(V0 , Fn ) \ U Suy tồn F ∈ Fn cho y ∈ F F ∩ V0 = ∅ Bởi vậy, tồn z, t ∈ X cho 48 F = B z, t ∈ F ∩ V0 n Bây giờ, ta chứng minh F ⊂ B x, Thật vậy, lấy a ∈ F Khi đó, n d(a, x) ≤ d(a, z) + d(z, t) + d(t, x) ≤ Điều chứng tỏ F ⊂ B x, 1 + + = n n n n Như vậy, n y ∈ F ⊂ B x, n Do đó, St(V0 , Fn ) ⊂ U (2) Bởi Pk mịn Fk Fk mịn Fn với k ≥ n nên ta suy Pk mịn Fn với k ≥ n Do đó, St(V0 , Pk ) ⊂ U với k ≥ n Điều chứng tỏ {P ∈ P : P ∩ V0 = ∅, P ∈ / U} ⊂ {P ∈ Pk : P ∩ V0 = ∅} k≤n Bởi Pk họ hữu hạn địa phương nên với k ≤ n, tồn lân cận mở Vk x cho Vk giao nhiều hữu hạn phần tử Pk Bây n Vk , V lân cận x, V ⊂ U tập hợp sau giờ, ta đặt V = k=0 hữu hạn {P ∈ P : P ∩ V = ∅, P ⊂ U } Do đó, P phủ quy X Cuối cùng, nhờ Bổ đề 2.1.7 Nhận xét 2.2.5 ta suy P cs∗ -mạng cs-chính quy X (2) =⇒ (3) Giả sử P cs∗ -mạng cs-chính quy khơng gian dãy X Trước tiên, ta chứng minh X có khai triển yếu {Pn : n ∈ N} 49 Thật vậy, P phủ cs-chính quy X nên theo Bổ đề 2.1.5 ta giả thiết P khép kín với phép giao hữu hạn Mặt khác, X khơng gian dãy nên theo Hệ 2.3.3 ta suy tồn dãy {Pn : n ∈ N} gồm cs∗ -phủ X cho P= {Pn : n ∈ N}, {Pn : n ∈ N} khai triển yếu X Tiếp theo, giả sử T (x) dãy hội tụ đến x X T (x) ⊂ U Ta cần chứng minh St(T (x), Pn ) ⊂ U với n ∈ N Thật vậy, P phủ cs-chính quy nên tồn m ∈ N cho {P ∈ P : P ∩ T (x, m) = ∅, P ⊂ U } tập hợp hữu hạn Do đó, tồn n0 ∈ N cho St(T (x, m), Pn ) ⊂ U với n ≥ n0 Cuối cùng, với i < m, {St(x, Pn ) : n ∈ N} mạng xi nên tồn ni ∈ N cho xi ∈ St(xi , Pni ) ⊂ U Bởi thế, ta đặt k0 = max{ni : ≤ i < m}, ta suy St(T (x), Pn ) ⊂ U với n ≥ k0 50 Như vậy, khẳng định (3) thỏa mãn (3) =⇒ (1) Giả sử {Pn : n ∈ N} khai triển yếu X thoả mãn với dãy hội tụ T (x) T (x) ⊂ U ∈ τ , tồn n ∈ N cho St(T (x), Pn ) ⊂ U Bởi {Pn : n ∈ N} khai triển yếu X nên ta suy Pn+1 mịn Pn với n ∈ N Hơn nữa, nhờ Định lí 2.3.4 ta cần chứng minh {St2 (x, Pn ) : n ∈ N} sở lân cận yếu x với x ∈ X Thật vậy, giả sử ngược lại tồn x ∈ X cho {St2 (x, Pn ) : n ∈ N} không sở lân cận yếu x Bởi {St(x, Pn ) : n ∈ N} sở yếu x với x ∈ X nên ta suy tồn x ∈ X cho {St2 (x, Pn ) : n ∈ N} khơng mạng x Do đó, tồn lân cận U mở x cho St2 (x, Pn ) ⊂ U với n ∈ N Mặt khác, St2 (x, Pn ) = {P ∈ Pn : P ∩ St(x, Pn = ∅} nên với n ∈ N, tồn Pn ∈ Pn cho St(x, Pn ) ∩ Pn = ∅ Pn ⊂ U Do đó, với n ∈ N, ta chọn xn ∈ St(x, Pn ) ∩ Pn Khi đó, dãy {xn } hội tụ đến x Thật vậy, giả sử U lân cận mở x X Bởi {Pn : n ∈ N} khai triển yếu X nên tồn m0 ∈ N cho x ∈ St(x, Pm0 ) ⊂ U Mặt khác, Pn+1 mịn Pn với n ∈ N 51 xn ∈ St(x, Pn ) với n ∈ N nên ta suy xn ∈ St(x, Pn ) ⊂ St(x, Pm0 ) ⊂ U với n ≥ m0 Điều chứng tỏ {xn } dãy hội tụ đến x X Như vậy, tồn m0 ∈ N cho T (x, m0 ) ⊂ U Bởi thế, theo khẳng định (3) ta suy tồn n0 ∈ N cho St(T (x, m0 ), Pn0 ) ⊂ U Do đó, kết hợp với cách đặt ta suy Pn0 +m0 ∈ St(T (x, m0 ), Pn0 +m0 ) ⊂ St(T (x, m0 ), Pn0 ) ⊂ U Điều mâu thuẫn với Pn ⊂ U với n ∈ N Bởi vậy, {St2 (x, Pn ) : n ∈ N} sở lân cận yếu điểm x ∈ X 2.3.7 Hệ Không gian với sở (hoặc sở yếu ) cs-chính quy khả mêtric Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.7 Định lí 2.3.6 ta suy để hồn thành chứng minh ta cần chứng tỏ X không gian dãy Thật vậy, giả sử P = {Px : x ∈ X} sở yếu điểm-chính quy X Khi đó, theo Bổ đề 2.1.7 ta suy P cs∗ -mạng X Nhờ Định lí 2.3.2, tồn dãy {Pn : n ∈ N} ⊂ P gồm cs∗ -phủ X cho {St(x, Pn ) : n ∈ N} sn-mạng x với x ∈ X Khi đó, ta có khẳng định sau (1) {St(x, Pn ) : n ∈ N} sở yếu x với x ∈ X Thật vậy, {St(x, Pn ) : n ∈ N} sn-mạng x với x ∈ X nên ta cần chứng minh rằng, với U tập X thỏa mãn với x ∈ U , tồn n ∈ N cho x ∈ St(x, Pn ) ⊂ U , U mở X 52 Bởi P ⊂ St(x, Pn ) với P ∈ Px nên ta suy với x ∈ U , tồn P ∈ Px cho x ∈ P ⊂ U Hơn nữa, P sở yếu X nên ta suy U tập mở X (2) X không gian dãy Giả sử ngược lại X khơng khơng gian dãy Khi đó, tồn tập A X thỏa mãn khơng có dãy A hội tụ đến điểm nằm A A khơng đóng X Bởi A khơng đóng X nên X \ A khơng tập mở X Bởi thế, tồn x ∈ X \ A cho St(x, Pn ) ⊂ X \ A với n ∈ N Do đó, với n ∈ N, tồn xn ∈ St(x, Pn ) ∩ A Lúc này, ta có (2.1) {xn } ⊂ A (2.2) {xn } hội tụ đến x Giả sử U lân cận x X Khi đó, {St(x, Pn ) : n ∈ N} sn-mạng x nên tồn m ∈ N cho St(x, Pm ) ⊂ U Mặt khác, Pn+1 ⊂ Pn với n ∈ N nên ta suy St(x, Pn+1 ) ⊂ St(x, Pn ) với n ∈ N Bởi vậy, xn ∈ St(x, Pn ) ⊂ St(x, Pm ) ⊂ U với n ≥ m, suy {xn } dãy hội tụ đến x Từ (2.1) (2.2) ta suy tồn dãy A hội tụ đến điểm nằm A Điều dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết phản chứng Như vậy, X không gian dãy 2.3.8 Hệ Không gian với sở (hoặc sở yếu ) quy khả mêtric Chứng minh Suy trực tiếp từ Bổ đề 2.2.5 Hệ 2.3.7 53 2.3.9 Hệ Không gian dãy với sn-mạng (hoặc cs-mạng ) cs-chính quy khả mêtric Chứng minh Suy trực tiếp từ Bổ đề 2.1.7 Định lí 2.3.6 2.3.10 Hệ Không gian dãy với sn-mạng (hoặc cs-mạng ) quy khả mêtric Chứng minh Suy trực tiếp từ Bổ đề 2.2.5 Hệ 2.3.9 54 KẾT LUẬN Trong luận văn này, nghiên cứu tính khả mêtric khơng gian tơpơ nhờ tính chất mạng phủ quy Luận văn đạt kết sau (1) Hệ thống lại số kiến thức không gian mêtric, khơng gian tơpơ (2) Trình bày số khái niệm chứng minh số tính chất sở yếu, sn-mạng, cs-mạng, cs∗ -mạng mối quan hệ chúng (3) Trình bày khái niệm phủ quy, phủ điểm-chính quy, phủ cs-chính quy chứng minh chi tiết số tính chất phủ quy (4) Chứng minh chi tiết số định lí hệ tính khả mêtric khơng gian tơpơ thơng qua tính chất phủ quy mà S Lin J Jiang đưa gần tài liệu [4, 8] 55 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Arhangel A V (1960), “On the metrization of topological spaces (in Russian)”, Bull Acad Polon Sci Sér Sci Math Astronom Phys., 8, 589–595 [2] Engelking R (1988), General Topology, Sigma series in pure mathematics, 6, Heldermann Verlag, Berlin [3] Franklin S P (1965), “Spaces in which sequences suffice”, Fund Math., 57, 107–115 [4] Jiang J (1987), “Metrizablity of topological with cs-regular base”, Questions and Answers in General topology, 5, 243–248 [5] Junnila H., Yajima Y (1988), “Normality ang countable paracompactness of products with σ spaces having special nets ”, Topology Appl., 85, 375–394 [6] Lin S (1993), “Weak bases and metrization theorems (in Chinese)”, J Sichuan Univ Nat Sci Ed., 30, 164–166 [7] Lin S (2002), “Point-Countable Covers and Sequence-Covering”, Mappings, Chinese Science Press, Beijing [8] Lin S (2002), “Regular covers and metrization”, Bull Pol Acad Math., 50, 427–432 [9] Lin S., Yan P (2006), “cs-regular networks and metrization theorems”, Topology Proc., 30 (2), 1–8 [10] Martin H W (1976), “Weak bases and metrization theorems ”, Trans Amer Math Soc., 30, 337–344 ... hữu hạn Q phủ điểm -chính quy X 2.2.5 Bổ đề Giả sử P phủ X Khi đó, (1) Nếu P phủ quy, P phủ cs -chính quy (2) Nếu P phủ cs -chính quy, P phủ điểm -chính quy Chứng minh (1) Giả sử P phủ quy X , x... lại số kiến thức tôpô đại cương, số kiến thức không gian mêtric suy rộng (2) Tìm hiểu phủ quy chứng minh số định lí khả mêtric Đối tượng phạm vi nghiên cứu (1) Đối tượng nghiên cứu: Phủ quy số định. .. gian tôpô khả mêtric 24 CHƯƠNG PHỦ CHÍNH QUY VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ KHẢ MÊTRIC 2.1 26 Cơ sở yếu, sn-mạng cs∗ -mạng 26 2.2 Tính chất phủ quy