SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN TƯ DUY GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM SỐ CHO HỌC SINH KHỐI 12 Người thực hiện: Lê Mạnh Hùng Chức vụ: TTCM SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn học 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Mỗi nội dung chương trình Tốn phổ thơng có vai trị quan trọng việc hình thành phát triển tư học sinh Trong trình giảng dạy, giáo viên phải đặt đich giúp học sinh nắm kiến thức bản, hình thành phương pháp giải tốn, phát triển tư logic, từ tạo thái độ động học tập đắn Vì việc lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp với nội dung kiến thức định đặc biệt quan trọng Nó vừa giúp người thầy có sự định hướng việc giảng dạy - tuỳ thuộc vào mục tiêu, nội dung cần đạt, trình độ nhận thức học sinh,vừa giúp người học dễ dàng tiếp cận kiến thức, tích lũy kiến thức, từ biết vận dụng vào làm thi đạt kết cao Trong dạy học mơn Tốn, phương pháp tư học sinh phần lớn hình thành rèn luyện q trình giải tốn, thơng qua hoạt động học sinh hoạt động tích cực để tìm tịi, khám phá chiếm lĩnh tri thức mới Trong tác phẩm tiếng “ Giải toán nào”, G.Polya cho rằng: “Ví dịng sơng bắt nguồn từ suối nhỏ, tốn dù khó đến đâu có nguồn gốc từ tốn đơn giản, có quen thuộc đối với chúng ta” Là giáo viên dạy Toán, việc hướng dẫn rèn luyện cho học sinh biết cách chuyển từ toán mới tốn quen thuộc, tốn “khó” trở tốn “dễ”, biết cách “xử lí” tình có vấn đề tình đơn giản điều cần thiết thiết thực Hơn nữa, toán cực trị hàm số đề thi kỳ thi Trung học phổ thông Quốc gia Bộ giáo dục Đào tạo đề cập, khai thác mức độ khác nhau, dạng tiếp cận khác gây khơng ít khó khăn cho học sinh trình giải toán này.Đặc biệt từ Bộ GD ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho mơn Tốn, địi hỏi học sinh khơng phải có kiến thức sâu, rộng mà cịn phải có cách tiếp cận, phương pháp phù hợp để giải toán cách nhanh Với lý cùng với kinh nghiệm giảng dạy định chọn đề tài: “PHÁT TRIỂN TƯ DUY GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM SỐ CHO HỌC SINH KHỐI 12’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm thân năm học 2020– 2021 Rất mong nhận sự đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài phát triển lực tư duy, quy lạ quen thơng qua lớp tốn cực trị hàm số nhằm rèn luyện kỹ toán học định hướng phát triển cho học sinh lực sau: - Năng lực tư duy, lực tính toán, lực tự học lực giải tình thực tiễn - Năng lực sử dụng máy tính cầm tay casio - Năng lực sử dụng ngơn ngữ Tốn học - Kỹ vận dụng kiến thức hàm số 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài lớp toán cực trị hàm số chương trình học lớp 12 để rèn luyện kỹ phát triển lực Toán học học sinh 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu sử dụng đề tài bao gồm - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Giải tích 12 - Nâng cao Cơ bản, sách tập giải tíchNâng cao Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình, tài liệu dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh, đề minh họa đề thi THPT Quốc gia từ năm 2017-2021 - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê xử lý số liệu lớp thực nghiệm lớp đối chứng để qua thấy hiệu đề tài NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện thao tác tư cho học sinh dạy học giải Tốn có vai trị quan trọng việc phát triển khả tư học sinh, để từ có khả thích ứng đứng trước vấn đề cần giải Giúp học sinh có nhìn phương pháp dễ hiểu, dễ vận dụng vào thực tế giải tốn, giúp em có sự tự tin gặp dạng toán đồng thời giúp học sinh phát triển tư đam mê học toán 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm - Trong trình giảng dạy khả học phần cực trị hàm số học sinh chưa tốt Đa số học sinh gặp toán thường làm sai trong đề thi THPT năm gần xuất nhiều câu cực trị hàm ẩn phức tạp Do học sinh lo ngại tỏ sợ hãi trước câu hỏi Một cách cho toán yêu cầu học sinh làm việc với hàm số ẩn, khơng cho định nghĩa hàm số cách tường minh mà cho tính chất đặc trưng, buộc người học phải giải chính hiểu biết lực thân - Học sinh ít ý đến tính chất cực trị, không nắm rõ mục tiêu, chất phương pháp tính tích phân Đối với học sinh, việc giải tích cực với hàm số cho cách tường minh khó việc sử lý cực trị hàm ẩn lại khó khăn nhiều lần Do em nhiều thời gian làm mà hiệu lại không cao - Việc học nhiều môn gây cho em học sinh cảm giác chán nản, không tập trung học tập Các hình thức dạy học truyền thống làm hạn chế sự phát triển kỹ sống toàn diện học sinh, học sinh giảm hứng thú thiếu sự say mê học tập nói chung mơn Tốn nói riêng 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Kiến thức cực trị hàm số: ( a; b ) x0 liên tục khoảng chứa điểm có ( a; x0 ) ( x0 ; b ) đạo hàm khoảng Khi : Định lý: Giả sử hàm số Nếu Nếu  f ' ( x0 ) < 0, x ∈ ( a; x0 )   f ' ( x0 ) > 0, x ∈ ( x0 ; b )  f ' ( x0 ) > 0, x ∈ ( a; x0 )   f ' ( x0 ) < 0, x ∈ ( x0 ; b ) f hàm số đạt cực tiểu điểm hàm số đạt cực đại điểm x0 x0 Điểm cực đại , cực tiểu hàm số gọi chung điểm cực trị hàm số Như : Điểm cực trị hàm số phải điểm tập f ( x) f '( x) x0 D x0 ∈ D hợp điểm cực trị hàm số qua đạo hàm đổi dấu Chú ý : Nếu Điểm số) x0 điểm cực trị hàm số ( x0 ; f ( x0 )) y0 = f ( x0 ) f ( x) thì: gọi điểm cực trị đồ thịhàm số f ( x) gọi làgiá trị cực trị hàm số ( gọi cực trị hàm 2.3.2 Hướng dẫn học sinh phương pháp nhận dạng tập vận dụng giải tập liên quan 2.3.2.1.Dạng tập để học sinh nhận biết làm quen: Dạng 1: Cho biết đồ thị (hoặc BBT) hàm số f ( x) định số điểm cực trị hàm số f ( x) Xác Bài tập 1.1: (Đề thi THPTQG năm 2018-Mã đề 101)[1] Cho hàm số y = ax3 + bx + cx + d ( a, b, c, d ∈ ¡ ) có đồ thị hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số cho A C B D Bài tập 1.2:(Đề minh họa THPTQG năm 2019)[1] Cho hàm số bên y = f ( x) có đồ thị hình vẽ Hàm số cho có điểm cực đại? A B Dạng 2:Cho đồ thị f '( x) C D .Xác định số điểm cực trị hàm số f ( x) Bài tập 2.1: (Đề thi thử THPTQG trường THPT Phan Đình Phùng – Hà Tĩnh)[2] Cho hàm số hình vẽ y = f ( x) liên tục ¡ Biết đồ thị hàm số y = f ′( x ) y O −1 Số điểm cực trị hàm số A B y = f ( x) C x là: D y = f ( x) Bài tập 2.2:Cho hàm số có đạo hàm liên tục R Đồ thị hàm số y = f ′( x ) cho hình vẽ bên.Số điểm y = f ( x) cực trị hàm số A B C D Nhận xét: Ở dạng học sinh thường mắc số sai lầm: - Lấy số điểm cực trị hàm số y = f ( x) y = f ′( x ) số điểm cực trị hàm số - Số điểm chung đồ thị với trục Ox số điểm cực trị hàm số y = f ( x) Để tránh sai lầm, GV nhấn mạnh dạng ta y = f '( x ) Ox cần tìm số giao điểm đồ thị trục , không kể điểm y = f '( x ) Ox mà đồ thị tiếp xúc với trục Nếu yêu cầubài toán hỏi cụ thể điểm cực đại, cực tiểu GV hướng y = f ′( x ) dẫn học sinh lập bảng xét dấu hàm số , từ đưa kết luận y = f ′( x ) Bảng xét dấu đạo hàm lập từ đồ thị dựa theo y = f ′( x ) ( a; b ) Ox nguyên tắc: Trên khoảng đồ thị nằm phía trục ( a; b ) khoảng đạo hàm nhận giá trị dương khoảng đồ thị y = f ′( x ) Ox nằm phía trục khoảng đạo hàm nhận giá trị âm Tại “điểm nối” hai khoảng đạo hàm nhận giá trị không Dạng 3: Cho biểu thức f ( x) hàm số Bài tập 3.1: Cho hàm số Số điểm cực trị hàm số A B f '( x) y = f ( x) y = f ( x) Xác định số điểm cực trị có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x + 3) ( x − ) là: C D y = f ( x) Bài tập 3.2: Cho hàm số có đạo hàm y = f ( x) điểm cực trị hàm số là: A B f ′ ( x ) = x ( x + 3) ( x − ) C y = f ( x) A x = B x = Bài tập 3.4: Cho hàm số C y = f ( x) x = có đạo hàm y = f ( x) Số điểm cực đại hàm số là: A B D f ′ ( x ) = ( x − 1) ( − x ) Bài tập 3.3:Cho hàm số có đạo hàm y = f ( x) x ∈ R Hàm số đạt cực đại Số D với x = f ′ ( x ) = ( x − 1) ( x − 3) ( x − ) C D Nhận xét: Ở dạng 3, giáo viên cần ý cho học sinh qua nghiệm f ′( x ) = f ′( x ) kép pt khơng đổi dấu; giá trị nghiệm kép không gọi điểm cực trị 2.3.2.2 Giới thiệu toán với tư cách tình gợi vấn đề vấn đề trở nên hấp dẫn, tạo khả kích thích hoạt động tích cực học sinh; từ định hướng cho học sinh tìm lời giải, chốt phương pháp cho dạng tốn Tình gợi vấn đề tình gợi cho học sinh khó khăn lý luận hay thực tiễn mà họ cần thiết có khả vượt qua tức khắc làm nhờ quy tắc có tính chất thuật tốn mà phải trải qua q trình tích cực suy nghĩ, địi hỏi tính sáng tạo để biến đổi đối tượng hoạt động điều chỉnh kiến thức sẵn có… Bài toán đưa cần làm cho học sinh thấy rõ chưa có lời giải có số kiến thức, kỹ liên quan đến vấn đề đặt em học sinh tin tích cực suy nghĩ, vận động tích cực sáng tạo, tư giải Dạng 1: Cho đồ thị f '( x ) điểm cực trị hàm số BBT hàm số f u ( x )  f '( x ) Xác định số f '( x ) Từ dạng tập cho đồ thị Xác địnhsố điểm cực trị hàm số y = f ( x) f '( x ) , GV mở rộng vấn đề cho đồ thị BBT hàm số f u ( x )  f '( x ) Xác định số điểm cực trị hàm số Bài tập1.1:(Đề thi thử THPTQG năm 2018-Trường THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa)[2] Cho hàm số đạo hàm y = f '( x ) y = f '( x ) ¡ xác định có y -1 Biết đồ thị o x hàm số -1 -2 hình vẽ dưới Số điểm cực trị hàm số A y = f ( x) B C g ( x ) = f ( x − 1) -4 D Phân tíchvà lựa chọn đáp án: - Đối với phép suy luận tìm bảng xét dấu sau:  f ( x − 1)  ' ta thực  f ( x − 1)  = ( 2x − 1) ' f ' ( x − 1) = f ' ( x − 1) ' • • Sử dụng cơng thức:  x − = −1 ⇔ x = (nghiem kep)  f ( 2x − 1)  ' = ⇔ f ' ( x − 1) = ⇔  2x − = ⇔ x =   f ( x − 1)  = f ' ( x − 1) ' • Xét dấu Ví dụ khoảng 3   ;+ ∞ ÷ 2  - Từ ta có bảng xét dấu x −∞ cho x=2 − y = f ( x − 1) ta có: g ' ( x ) =  f ( x − 1)  g '( x) - Vậy hàm số khoảng g ' ( ) = f ' ( 3) > ' sau +∞ 3/2 − + x= có điểm cực trị (cực đại) ( số điểm cực trị hàm số y = f ( x) ) y = f ( x − 1) Chọn D số điểmcực trị y x O f ( x) f ′( x ) Bài tập 1.2:Cho hàm số có đồ thị K, K khoảng hình vẽ Khi hàm số y = f ( x − 2020 ) có điểm cực trị? A B C ( số điểm cực trị hàm số y = f ( x) ) D y = f ( x − 2020 ) số điểm cực trị 10 B C 2 điểm cực đại, điểm cực đại, điểm cực tiểu điểm cực tiểu D điểm cực đại, điểm cực tiểu Phân tíchvà lựa chọn đáp án: Dựa vào đồ thị, ta có: x =  f ( x ) = ⇔  x = 1( nghiem kep )  x =  x = a ( < a < 1)  f ′( x ) = ⇔  x =  x = b ( < b < 3)  Ta có  x = a ( < a < 1)  x =1  x = b ( < b < 3)  f ′( x ) = g′ ( x ) = f ′ ( x ) f ( x ) ; g′( x ) = ⇔  ⇔ f x = x =  ( )    x = ( nghiem boi )  x = Bảng biến thiên Dựa vào BBT, ta kết luận C g ( x) có điểm cực đại, điểm cực tiểu.Chọn 22 y = f ( x) Bài 4.2:Cho hàm số có đạo hàm R có đồ thị hình vẽ bên Hàm số g ( x ) = f  f ( x )  A C có điểm cực trị ? B D Phân tíchvà lựa chọn đáp án: Dựa vào đồ thị ta thấy Suy Ta có +) f ( x) đạt cực trị x = 0, x =  x = ( nghiem don ) f ′( x ) = ⇔  x = nghiem don ( )   f ′( x ) = g ′ ( x ) = f ′ ( x ) f ′  f ( x )  ; g ′ ( x ) = ⇔   f ′  f ( x )  =  x = ( nghiem don ) ′ f ( x) = ⇔   x = ( nghiem don ) suy  f ( x ) = ( 1) ′ f  f ( x )  = ⇔   f ( x ) = ( ) Dựa vào đồ thị suy ra: -Phương trình ( 1) (nghiệm kép) có hai nghiệm x = a ( a > 2) - Phương trình x = b ( b > a) ( 2) Vậy phương trình x = b Suy hàm số x=0 có nghiệm g′( x ) = có g ( x ) = f  f ( x )  nghiệm bội lẻ có x = 0, x = 2, x = a điểm cực trị Chọn B 23 y = f ( x) Bài 4.3:[3]Cho hàm số có đạo hàm R có đồ thị hình vẽ bên dưới Tìm số điểm cực trị hàm số A C B D g ( x) = f ( x) −3 f ( x) Phân tíchvà lựa chọn đáp án: Ta có f x f x g ′ ( x ) = f ′ ( x )  ( ) ln − ( ) ln 3 ;  f ′( x ) =  f ′( x ) = ( 1)  f ′( x ) =   g′ ( x ) = ⇔  f x ⇔   f ( x ) ln ⇔  ln f ( x) ( ) f x = log < − ( ) ( )  ln − ln =  ÷ =  ln ln    Dựa vào đồ thị ta thấy: ( 1) +) pt có ba nghiệm bội lẻ phân biệt (vì đồ thị hàm số điểm cực trị) +) f ( x ) ≥ −1, ∀x ∈ R  → Vậy hàm số g ( x) = f ( x) phương trình −3 f ( x) có ( 2) y = f ( x) có vơ nghiệm điểm cực trị Chọn B Qua định hướng tìm lời giải tập trên, GV cho học sinh chốt phương pháp cho dạng tốn 4: + Tính đạo hàm hàm số g ( x) = f u ( x )  ( g ' ( x ) = u '( x ) f ' ( u ( x) ) ) y = f ( x) + Dựa vào đồ thị hàm số xác định nghiệm phương g '( x ) f ′( x ) = f ( x) = trình Từ xét dấu suy số điểm cực trị f u ( x )  24 Dạng 5: Bài toán cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Bài toán: Đồ thị hàm số y = f ( x) = y = f ( x) f ( x) ⇒ y′ = f ( x) y = f ( x) chính số giao điểm đồ thị số nghiệm ( 2) Vậy tổng số nghiệm bội lẻ tìm ( 1) Bài 1: (Chuyên Vinh – Lần 2) Đồ thị Tất giá trị tham số trị là: m ≤ −1 m≥3 B m m ≤ −3 ( 2) ( C) m ≥ y=0 Còn , dựa vào đồ thị suy chính số cực trị cần có hình vẽ bên để hàm số Số nghiệm trục hoành y = f ( x) số cực trị hàm số ( 2) A  f ( x) = ( 1) y′ = ⇒   f ′( x) = ( ) f ( x) f ′( x ) định nghĩa) ( 1) có điểm cực trị(Áp dụng y = f ( x) + m C m = −1 có ba điểm cực m=3 D ≤ m ≤ Giải Cách 1:Do y = f ( x) + m ba điểm cực trị ⇔ hàm số bậc ba Khi đó, hàm số hàm số y = f ( x) + m có y = f ( x) + m có yCD yCT ≥ 25  m ≤ −1 ⇔ ( + m ) ( −3 + m ) ≥ ⇔  → m ≥ Đáp án A Bài 2: (Đề Tham Khảo 2018) Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x − x3 − 12 x + m A.5 B có điểm cực trị? C D Lời giải y = f ( x ) = x − x3 − 12 x + m Chọn C: f ′( x) = ⇔ x = Do hàm số trị f ( x) Phương trình Vậy có x = −1 x=2 Ta có: f ′ ( x ) = 12 x3 − 12 x − 24 x có ba điểm cực trị nên hàm số f ( x) = có nghiệm ; y = f ( x) m > ⇔ ⇔0