MỤC LỤC Trang PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu 4 Phương pháp nghiên cứu .4 Phạm vị nghiên cứu .4 Cấu trúc sáng kiến PHẦN II NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CỞ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Cơ sở lý luận Cơ sở thực tiễn CHƯƠNG 2: GIẢI PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC CHO HỌC SINH KHỐI 12 THÔNG QUA CHỦ ĐỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ .6 I HƯỚNG DẪN HỌC NHÀ SINH TỰ HỌC Ở II HƯỚNG DẪN HỌC SINH LẬP VÀ THỰC HIỆN KẾ HOẠCH HỌC TẬP CHỦ ĐỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng toán 1: Xét khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số .7 Dạng tốn 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến nghịch biến khoảng xác định .12 Dạng tốn 3: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến nghịch biến khoảng (a;b) .17 Dạng tốn 4: Tính đơn điệu hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 24 Dạng tốn 5: Tính đơn điệu hàm hợp 27 Dạng tốn 6: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình biện luận phương trình, bất phương trình, hệ bất phương 31 III MỘT SỐ GIẢI PHÁP TẠO HỨNG THÚ HỌC TẬP CHO HỌC SINH TRONG QUÁ TRÌNH TỰ HỌC .37 1 Tạo hứng thú học tập cho học sinh cách nâng dần mức độ khó khăn trình hướng dẫn học sinh tự học ( học sinh khá, giỏi) 37 Phân tích số sai lầm thường gặp toán tính đơn điệu hàm số nhằm gây ý tạo hứng thú cho học sinh trình hướng dẫn học sinh tự học, giúp học sinh giảm bớt sai sót làm tập 41 IV HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 44 Kết từ thực tiễn 44 Kết từ thực nghiệm sư phạm 44 PHẦN III : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 45 Kết luận .45 Kiến nghị 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO .47 ĐỀ TÀI BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC CHO HỌC SINH KHỐI 12 THƠNG QUA CHỦ ĐỀ: “TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ” PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Đổi toàn diện giáo dục đổi nội dung dạy học, đổi phương pháp dạy học, hình thức tổ chức dạy học, phương pháp kiểm tra đánh giá kết học tập học sinh Một biểu rõ nét đổi hình thức tổ chức dạy học rèn luyện cho học sinh lực tự học, Bộ Giáo Dục Đào Tạo yêu cầu: “Chủ động rèn luyện cho học sinh phương pháp tự học, tự nghiên cứu sách giáo khoa để tiếp nhận vận dụng kiến thức thông qua giải nhiệm vụ học tập đặt học” Đứng trước cách mạng công nghiệp 4.0, phát triển nhanh khoa học kĩ thuật, nhà trường đáp ứng hết nhu cầu học tập phong phú đa dạng học sinh Vì có tự học mang lại đa dạng kiến thức đáp ứng yêu cầu xã hội đại Tự học hoạt động gắn liền với trình học tập Nhưng thái độ, kỹ năng, phương pháp tự học học sinh khác dẫn đến chất lượng học tập khác Do đó, q trình dạy học phải hướng đến mục tiêu quan trọng bồi dưỡng lực tự học nhằm nâng cao chất lượng giáo dục Từ thực tế nhiều năm trở lại ta, học sinh trường trung học phổ thông (THPT) giảng dạy chủ yếu em gia đình nơng dân, số học sinh có bố mẹ làm xa, với ông bà, thiếu quan tâm thường xuyên bố mẹ, số phụ huynh chưa thật để tâm đến việc học giáo dục cái, phó mặc cho nhà trường, chủ yếu học sinh nhà xa trường, đường sá lại khó khăn em nhiều thời gian cho việc lại từ nhà đến trường, nhiều học sinh không chọn học đường để phát triển thân, em có mục tiêu xuất lao động, làm cơng nhân Những năm gần có nhiều học sinh bỏ bê việc học, thực tự học khơng mục đích, đầu tư thời gian cho trị chơi vơ bổ, dành nhiều thời gian cho facebook,zalo Sự biểu yếu nhận thức, thái độ kĩ năng, phương pháp lực tự học Vì dạy học giáo viên cần tích cực rèn luyện phát triển kỹ năng, lực tự học cho học sinh, nhằm giúp rời xa trị chơi vơ bổ, từ e tích cực tự học, tự chiếm lĩnh kiến thức, kỹ cách hiệu xa nhằm đào tạo nên người mới: chủ động, sáng tạo, phù hợp với phát triển khoa học kỹ thuật Năm học 2019-2020 thể giới gồng với đại dịch COVID, nhiều trường học đất nước phải nghỉ dạy học, Bộ Giáo Dục – Đào Tạo yêu cầu trường triển khai thực dạy học trực tuyến, vấn đề tự học học sinh lúc vô quan trọng Trong chương trình tốn lớp 12 chủ đề tính đơn điệu hàm số góp phần khơng nhỏ, xuất đề thi THPT Quốc Gia năm trước đề thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia năm 2020 Tính đơn điệu hàm số xuất đề thi học sinh giỏi tỉnh Trong công đổi phương pháp dạy học, phát triển lực tự học cho học sinh vấn đề cấp thiết nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện Xuất phát từ lý định chọn đề tài: “ bồi dưỡng lực tự học cho học sinh khối 12 thơng qua chủ đề tính đơn điệu hàm số.” Mục đích nghiên cứu Đề xuất số giải pháp bồi dưỡng lực tự học cho học sinh khối 12 thơng qua chủ đề tính đơn điệu hàm số Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận xác định số giải pháp bồi dưỡng lực tự học cho học sinh thông qua giảng dạy mơn Tốn lớp 12 - Trên sở lý luận số giải pháp xác định đề xuất phương án bồi dưỡng lực tự học cho học sinh khối 12 qua chủ đề tính đơn điệu hàm số Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp lấy ý kiến đồng nghiệp - Phương pháp rút kinh nghiệm qua thực tiễn thân Phạm vi nghiên cứu: - Nghiên cứu qua thực tiễn dạy học trường THPT Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, sáng kiến kinh nghiệm gồm: Chương 1: Cơ sở lý luận Chương 2: Giải pháp bồi dưỡng lực tự học cho học sinh khối 12 thông qua chủ đề tính đơn điệu hàm số PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Cơ sở lý luận 1.1 Khái niệm tự học a) Tự học “Tự học hoạt động độc lập chiếm lĩnh kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo, tự động não, suy nghĩ, sử dụng lực trí tuệ (quan sát, so sánh, phân tích, tổng hợp…) phẩm chất, động cơ, tình cảm để chiếm lĩnh tri thức lĩnh vực hiểu biết đó, hay kinh nghiệm lịch sử, xã hội nhân loại” Tự học giúp ta chủ động tìm hiểu, thu thập kiến thức, tự làm giàu kho kiến thức Tự học lúc cịn học phổ thông tiền đề tốt cho việc tự học bậc đại học, sau đại hoc sau Tự học tự tìm tịi học hỏi kiến thức, thơng qua người khác hiểu suy nghĩ nhận thức Tự học phương pháp học tập tốt cho người, giúp chủ động chuyển hóa kiến thức cách sáng tạo b) Vị trí vai trò tự học Tự học mục tiêu trình dạy học Trong trình hoạt động dạy học, giáo viên không truyền thụ tri thức có sẵn, khơng u cầu học sinh ghi nhớ mà quan trọng phải định hướng, tổ chức cho học sinh tự khám phá quy luật thuộc tính vấn đề khoa học Giúp học sinh không nắm bắt tri thức mà cịn biết cách tìm đến tri thức Thực tiễn phương pháp dạy học đại xác định rõ: “Càng học lên cao tự học cần coi trọng, nói tới phương pháp dạy học cốt lõi dạy tự học” Bồi dưỡng lực tự học phương cách tốt để tạo động lực mạnh mẽ cho trình học tập Một phẩm chất quan trọng cá nhân tính tích cực, chủ động sáng tạo hoàn cảnh nhiệm vụ quan trọng giáo dục hình thành phẩm chất cho người học Tự học giúp cho người chủ động học tập suốt đời, học tập để khẳng định lực phẩm chất để cống hiến Tự học giúp người thích ứng với biến cố phát triển kinh tế - xã hội Bằng đường tự học, cá nhân không cảm thấy bị lạc hậu so với thời cuộc, thích ứng bắt nhịp nhanh với tình lạ mà sống đại mang đến, kể thách thức to lớn từ môi trường nghề nghiệp sau Nếu rèn luyện cho học sinh có phương pháp, kỹ tự học, biết linh hoạt vận dụng điều học vào thực tiễn tạo cho họ lịng ham học Nhờ kết học tập ngày nâng cao Với lý nêu nhận thấy xây dựng phương pháp tự học, đặc biệt tự giác, ý chí tích cực chủ động, sáng tạo khơi dậy lực tiềm năng, tạo động lực nội sinh to lớn cho học sinh 1.2 Các kĩ hoạt động tự học Kỹ tự học khả thực hệ thống thao tác tự tổ chức, tự điều khiển hoạt động tự học sở vận dụng kinh nghiệm có liên quan đến hoạt động Đối với học sinh THPT, hoạt động tự học gồm nhóm kỹ sau: a Kĩ định hướng Trước tiên, để trình tự học diễn thành cơng người học cần thiết lập sở định hướng hành động Đó hệ thống định hướng dẫn mà chủ thể sử dụng để thực hành động xác định Nó có chức nhận thức đối tượng, vạch kế hoạch, kiểm tra điều chỉnh hành động theo kế hoạch b Kĩ lập kế hoạch học tập Mọi việc dễ dàng người học xác định mục tiêu, nội dung phương pháp học Muốn vậy, người học phải xây dựng kế hoạch học tập Trên sở đó, người học tiếp cận chiếm lĩnh tri thức cách dễ dàng Trong trình lập kế hoạch cần ý - Thứ nhất, người học phải xác định tính hướng đích kế hoạch Đó kế hoạch ngắn hạn, dài hạn, kế hoạch cho phần Kế hoạch phải tạo lập thật rõ ràng, quán cho thời điểm, giai đoạn cụ thể cho phù hợp với điều kiện, hồn cảnh - Thứ hai, lập kế hoạch người học phải chọn trọng điểm, cần xác định quan trọng để ưu tiên tác động trực tiếp dành thời gian cơng sức cho c Kĩ thực kế hoạch Muốn thực thành cơng kế hoạch tạo lập, người học cần có số kỹ sau: - Tiếp cận thông tin: lựa chọn chủ động tiếp nhận thông tin từ nhiều nguồn khác từ hoạt động xác định đọc sách, nghe giảng… - Xử lý thông tin: Việc xử lý thơng tin q trình tự học khơng diễn vơ thức mà cần có gia cơng, xử lý sử dụng Q trình tiến hành thơng qua kỹ ghi chép, phân tích, đánh giá, tóm lược, tổng hợp… - Vận dụng tri thức, thơng tin: thể qua việc vận dụng thông tin tri thức khoa học để giải vấn đề liên quan thực hành tập, thảo luận,… - Trao đổi, phổ biến thông tin: Việc trao đổi kinh nghiệm, chia sẻ thông tin tri thức thông qua hình thức thảo luận, thuyết minh, tranh luận… cơng việc cuối trình tiếp nhận tri thức d Kĩ tự kiểm tra, đánh giá, rút kinh nghiệm Khi người học tự đánh giá kết học tập mình, người học tự đánh giá lực học tập thân, hiểu làm được, chưa làm để từ có hướng phát huy khắc phục Để có kỹ tự kiểm tra, đánh giá học sinh cần: - Tự trả lời câu hỏi tập sách giáo khoa cách xác định yêu cầu câu hỏi, dự kiến câu trả lời, tái kiến thức liên quan - Làm tập thầy cô giao cho tập thân tự tìm kiếm sau tự kiểm tra đáp án để tự rút kinh nghiệm Cơ sở thực tiễn 2.1 Thực trạng hoạt động tự học học sinh Qua khảo sát thực tế trường công tác cho thấy, tỷ lệ học sinh tự học tự học có hiệu thấp hoạt động tự học học sinh chưa đạt hiệu quả, nhiều học sinh không tự học tự học q ít, chí có học sinh không tự học Nguyên nhân phần em chưa có ý thức tự giác trình học tập, phần khác em chưa định hướng cách cụ thể hoạt động tự học thân Do vậy, vai trò người giáo viên việc phát triển kỹ tự học cho học sinh góp phần nâng cao chất lượng dạy học trường phổ thông quan trọng 2.2 Những việc giáo viên cần làm để phát triển kĩ tự học Thứ nhất, muốn học sinh có ý thức tự học trước hết học sinh phải u thích mơn học Vì vậy, giáo viên cần tạo cho học sinh niềm say mê mơn Tốn, khơi dậy hứng thú tạo nhu cầu cần học tốt mơn Tốn cho em Thứ hai, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh cách xây dựng kế hoạch học tập từ ban đầu Ngay từ tiết học đầu tiên, giáo viên cần giới thiệu sơ lược chương trình, nội dung phương pháp học cách khái quát để học sinh hiểu từ xây dựng cho kế hoạch học tập phù hợp Thứ ba, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh cách tìm đọc tài liệu liên quan đến chủ đề dạy học Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh thấy rằng, kiến thức môn học không giới hạn nội dung sách giáo khoa, giảng giáo viên mà đến từ nhiều nguồn khác Thứ tư, giáo viên nên dạy cho học sinh cách ghi chép nghe giảng khả học tập vô quan trọng, ảnh hưởng trực tiếp đến trình học tập học sinh Thứ năm, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh cách học Thứ sáu, giáo viên cần giao nhiệm vụ cụ thể cho học sinh tiết học Sau tiếp nhận kiến thức cũ, em tìm hiểu kiến thức mới, có chuẩn bị tốt nhà, việc học lớp trở nên có hiệu 2.3 Những điều học sinh cần ý trình tự học Vấn đề tự học học sinh vấn đề không đơn giản Muốn hoạt động học tập đạt kết cao, đòi hỏi học sinh phải tự giác, tích cực, khơng ngừng tìm tịi, học hỏi nhiều hình thức khác nhau, ln nỗ lực để hồn thành kế hoạch giao có hiệu việc chiếm lĩnh tri thức CHƯƠNG 2: GIẢI PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC CHO HỌC SINH KHỐI 12 THÔNG QUA CHỦ ĐỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Chủ đề tính đơn điệu hàm số chương trình sách giáo khoa Giải Tích 12 theo chương trình chuẩn trình bày chương Đây chủ đề có nhiều ứng dụng góp phần khơng nhỏ chương trình ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia, học sinh giỏi cấp mơn Tốn THPT Vì vậy, giúp học sinh có kỹ tự học học tốt chủ đề nhiệm vụ quan trọng giáo viên dạy mơn tốn lớp 12 Với tinh thần đó, tơi mạnh dạn đề xuất số giải pháp nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh khối 12 thơng qua chủ đề tính đơn điệu hàm số I HƯỚNG DẪN HỌC SINH TỰ HỌC Ở NHÀ Ôn tập kiến thức cần nắm * Bảng đạo hàm hàm sơ cấp *Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến * Định lý Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm khoảng K +) Nếu f ′( x) ≥ 0, ∀x ∈ K f ′( x) = xảy số hữu hạn điểm hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng K +) Nếu f ′( x) ≤ 0, ∀x ∈ K f ′( x) = xảy số hữu hạn điểm hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng K *Lưu ý: +) Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [a; b] f '( x) > 0, ∀x ∈ ( a; b) ta nói hàm số đồng biến đoạn [a; b] +) Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [a; b] f '( x) < 0, ∀x ∈ (a; b) ta nói hàm số nghịch biến đoạn [a; b] +) Tương tự với khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến nửa khoảng Làm tập giáo viên sau dạng toán Làm tập sách giáo khoa sách tập Giải Tích 12 Đọc sách tham khảo: Học tốt mơn tốn lớp 12 chủ đề Giải Tích, bí đạt điểm 10 mơn Tốn chủ đề Giải Tích Đọc thêm tài liệu chủ đề tính đơn điệu hàm số thơng qua mạng internet toanmath, tốn THPT, Lập nhóm học tập, xây dựng nhóm bạn tiến II HƯỚNG DẪN HỌC SINH LẬP VÀ THỰC HIỆN KẾ HOẠCH HỌC TẬP CHỦ ĐỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng toán 1:Xét khoảng đồng biến ,nghịch biến hàm số 1.1 Phương pháp giải: Bước 1: Tìm tập xác định D Bước 2: Tính đạo hàm y′ = f ′( x) Bước 3: Tìm nghiệm f ′( x) giá trị x làm cho f ′( x) không xác định Bước 4: Lập bảng biến thiên Bước 5: Kết luận 1.2 Các ví dụ minh họa: VD 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = x3 − 3x + Hướng dẫn giải: - Ví dụ đơn giản hy vọng học sinh áp dụng theo bước sau Tập xác định D = ¡ x = Ta có: y′ = x − x ; y′ = ⇔ 3x − x = ⇔  x = Bảng biến thiên Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −∞;0 ) ( 2;+∞ ) Hàm số nghịch biến khoảng ( 0;2 ) VD 2: Tìm khoảng đơn điệu hàm số y có bảng biến thiên sau : Hướng dẫn giải: Nhìn bảng biến thiên học sinh dễ dàng tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến khoảng ( −4;2 ) , nghịch biến khoảng ( −∞; −4 ) ( 2;+∞ ) VD 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số Hướng dẫn giải: - Dựa vào đồ thị hy vọng học sinh dễ dàng tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: Ta thấy khoảng (0;2) đồ thị hàm số y = f ( x ) xuống từ trái sang phải, suy hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng (0;2) , khoảng ( −∞;0 ) ( 2;+∞ ) đồ thị hàm số y = f ( x ) lên từ trái sang phải, suy hàm số đồng biến khoảng ( −∞;0 ) ( 2;+∞ ) VD 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ có đồ thị hàm số f ′ ( x ) đường cong hình bên Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = f ( x ) Hướng dẫn giải: -Từ đồ thị hàm số f ′ ( x ) hướng dẫn học sinh xét dấu f ′ ( x ) Từ suy khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Học sinh tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số cho sau 10 Bảng biến thiên Phương trình (2) có nghiệm phân biệt t ∈ [ −2;2] \ { −1} ⇔ Vậy với ≤m≤ ≤ m ≤ phương trình cho có hai nghiệm phân biệt - Với toán chứa tham số giáo viên nhấn mạnh với học sinh phải tìm điều kiện chặt cho ẩn phụ không dẫn tới lời giải sai, chẳng hạn cần điều kiện t ∈ [ −2;2] 2 VD 7: Tìm m để bất phương trình 2019sin x + 2020cos x ≥ m.2021cos x có nghiệm  π π thuộc  − ;   3 Hướng dẫn giải: Ta có: 2019sin 2x + 2020cos 2x ≥ m.2021cos 2x ⇔ 2019 2019 cos x   ⇔ 2019  ÷  2019.2021  cos x + 2020 cos x cos2 x ≥ m.2021 cos x  2020  + ÷  2021  ≥m (1)  π π Đặt t = cos x với x ∈  − ;  suy t ∈ [ 0;1]  3 t t    2020  Khi đó, bất phương trình (1) trở thành: 2019  ÷ + ÷ ≥ m (2)  2019.2021   2021  t t    2020  Xét hàm số f ( t ) = 2019  ÷ + ÷ với t ∈ [ 0;1]  2019.2021   2021  f ( t ) = f ( ) = 2020 Hàm số f ( t ) nghịch biến [ 0;1] ⇔ Max t∈[ 0;1] 38  π π Bất phương trình (1) có nghiệm thuộc  − ;  bất phương trình  3 f ( t ) hay m ≤ 2020 f (t ) ≥ m có nghiệm t ∈ [ 0;1] ⇔ m ≤ Max t∈[ 0;1] Vậy với m ≤ 2020 bất phương trình cho có nghiệm 6.2 Hướng dẫn học sinh tự học nhà Bài 1: Phương trình sin x + 3sin x + sin x = cos3 x + 4cos x + có nghiệm thuộc [ −10π ;10π ] ? A 18 B 19 C 21 D 20 Bài 2: Có số nguyên m cho phương trình sau có nghiệm? 4log 21 ( x − x + 3) − 3log A Vô số (x − x + 3) − m = (1) B.3 C D 6.3 Đánh giá hoạt động học nhà học sinh: * Kiểm tra tập học sinh làm nhà theo hướng dẫn giáo viên: Đa số học sinh làm tập đầy đủ * Hình ảnh minh họa BTVN học sinh ( ảnh 11) Ảnh 11 39 III MỘT SỐ GIẢI PHÁP TẠO HỨNG THÚ HỌC TẬP CHO HỌC SINH TRONG QUÁ TRÌNH TỰ HỌC Tạo hứng thú học tập cho học sinh cách nâng dần mức độ khó khăn trình hướng dẫn học sinh tự học (đối với học sinh khá, giỏi) Như nói phần mở đầu, tính đơn điệu hàm số chủ đề quan trọng chương trình giải tích 12 xuất đề thi TNTHPTQG kỳ thi học sinh giỏi tỉnh lớp 12 Vì tạo hứng thú học tập giúp học sinh rèn luyện tốt kỹ tự học học tốt chủ đề nhiệm vụ quan trọng cần thiết trình dạy học Và biện pháp để tạo hứng thú cho học sinh nâng dần mức độ khó khăn hệ thống tập sau trang bị kiến thức, kỹ tập cần thiết cho học sinh Sau số ví dụ: VD 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x − 3) ( x + mx + 16 ) với x ∈ ¡ Có số nguyên dương m để hàm số g ( x ) = f ( − x ) đồng biến khoảng ( 6;+ ∞ ) Hướng dẫn giải: - Đây dạng toán đơn điệu hàm hợp, cho hàm đạo hàm chứa tham số Khi học sinh nắm vững cách làm tốn đây, hy vọng học sinh xử lý tốt toán sau 2 Ta có : g ′ ( x ) = ( − x ) ′ f ′ ( − x ) = ( x − ) ( − x ) ( − x ) + m ( − x ) + 16  Hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( 6;+ ∞ ) g ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 6; + ∞ ) Dấu “ = ” xảy hữu hạn điểm ) 2 ⇔ ( x − ) ( − x ) ( − x ) + m ( − x ) + 16  ≥ 0, ∀x ∈ ( 6; + ∞ )   ⇔ ( − x ) + m ( − x ) + 16 ≥ 0, ∀x ∈ ( 6; + ∞ ) (vì x − > ( − x ) > 0, ∀x ∈ ( 6; + ∞ ) ) ⇔ m ≤ h ( x ) với h ( x ) = ( x − ) + 16 ( 6;+∞ ) x −5 - Đến vì x − > ( − x ) > 0, ∀x ∈ ( 6; + ∞ ) ) nên học sinh cần linh hoạt sử dụng bất đẳng thức AM-GM để đánh sau Do x ∈ ( 6; +∞ ) nên x − > , áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: h( x) ( x − 5) = 16 + 16 = ( x − 5) + ≥2 x −5 x −5 ( x − 5) 16 = , dấu “=” xảy x−5 h ( x ) = ⇒ m ≤ , kết hợp với điều kiện m nguyên dương ta suy x = ⇒ (min 6; +∞ ) 40 m ∈ { 1;2;3;4;5;6;7;8} Vậy có giá trị m thỏa mãn x −x VD 2: Cho hàm số f ( x ) = − + 2019 x Gọi S tập hợp giá trị nguyên 2 m thỏa mãn điều kiện f x − x + x − m + f ( x − x − ) < 0, ∀x ∈ ( 0;1) Tìm S ( ) Hướng dẫn giải: x −x - Học sinh cần phát hàm f ( x ) = − + 2019 x hàm số lẻ để có − f ( x − x − ) = f ( x − x + ) dựa vào tính đồng biến hàm số f ( x ) đưa bất phương trình cho bất phương trình mà lập m để xử lý tốn Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm lời giải sau: x −x Ta có f ′ ( x ) = ln + ln + 2019 > ∀x ∈ ¡ ⇒ f ( x ) đồng biến ¡ ( ) 2 Từ giả thiết suy f x − x + x − m < − f ( x − x − ) ( ) ⇔ f x3 − x + 3x − m < f ( x − x + ) số lẻ) x −x (do f ( x ) = − + 2019 x hàm  x3 − x + 3x − m < x − x + ⇔ x − x + 3x − m < x − x + ⇔  2  x − x + x − m > −2 x + x − 2  x3 − x + x − < m ⇔  x + x+5>m - Đến tốn quen thuộc học sinh làm sau 3 Xét g ( x ) = x − x + x − h ( x ) = x + x + ( 0;1) có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy ( ) f x3 − x + x − m + f ( x − x − ) < 0, ∀x ∈ ( 0;1) m ≥ −3 ⇒ −3 ≤ m ≤ Vậy tập S có phần tử  m ≤  41 VD 3: Giải phương trình: x +1 − = (1) (Học Sinh Giỏi lớp 12 tỉnh 2x + − x + Nghệ An 2012) Hướng dẫn giải:  x ≥ −1 Điều kiện  (*) Với ta phải biến đổi để đưa hàm đặc trưng  x ≠ 13 Ta có (1) ⇔ ( x + 1) x + + x + = x + + x + ⇔ ( ) x +1 + x +1 = ( ) x + + x + (2) Từ ta xét hàm đặc trưng f(t) = t3 + t R , (2) ⇒ f ( x + 1) = f ( x + 1) (3) Dễ thấy f(t) liên tục đồng biến R nên từ (3) ta có: x + = 2x + 1  x ≥ −   x =  x ≥ −  x ≥ −    ⇔ ⇔ ⇔  x = ⇔ x = 1+ ( x + 1) = ( x + 1)  x3 − x2 − x =      x = ±   Đối chiếu (*) ta có nghiệm phương trình cho là: x = 1+ x = ìï ( x +1) x +( y - 3) - y = ï VD 4: Cho hệ phương trình íï ( x, y ẻ Ă ; m l tham ùùợ x + y + - x = m số thực) Tìm tất giá trị ngun m để hệ phương trình cho có nghiệm ( Học Sinh Giỏi lớp 12 tỉnh Nghệ An 2020) Hướng dẫn giải: Điều kiện x ≤ ; y ≤ 2  +)Từ phương trình thứ cho ta : ( 2x ) + 1 x =   ( ) + 1 − y , (*)  2 +) Xét hàm số : f ( t ) = ( t + 1) t ⇒ f ' ( t ) = 3t + > ⇒ Hàm số f ( t ) đồng biến ¡ , từ : − 2y 42 (*) ⇔ f (2 x) = f (  x≥0  x≥0  − y ⇒ 2x = − y ⇒  ⇒ − 4x2 4 x = − y  y =  )  − x2  +) Thế vào phương trình thứ hai ta có : x +  ÷ + − 4x = m   25 ⇔ x4 − x2 + + − x = m ( **) , với ≤ x ≤ 4  3 +) Bài tốn trở thành, tìm m để phương trình ( **) có nghiệm x ∈ 0;   4 25  3 + − x , x ∈ 0;  Ta có : Xét hàm số : g ( x ) = x − x +  4 g ' ( x ) = 16 x − 12 x − 4  3 = x ( x − 3) − < 0, ∀x ∈ 0;  − 4x − 4x  4   ≤m≤ +2 Hệ có nghiệm ⇔ g  ÷ ≤ m ≤ g ( ) ⇔ 64 4 265 25 Vậy giá trị m nguyên cần tìm 5,6,7,8,9 VD Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + z (Học Sinh Giỏi tỉnh Nghệ An 2020) Hướng dẫn giải: Từ giả thiết cho ta z = P= x+ y+ 2x + y xy − > Khi : xy − 2x + y 11    2x + y  =x+ +  y − ÷+  − xy − 2x  x   xy − x ÷  11  xy − ( x + )  =  x + ÷+ + 2x  2x x ( xy − )  Đặt 11   ≥  x + ÷+ + AM −GM 2x  x  1 11 = t , t > Xét hàm số f ( t ) = + t + + 7t , t > x t Ta có f ' ( t ) = 11 14t + − 2 + 7t t 43 + 7t − Lại có f '' ( t ) = 14 7t 2 + 7t + = + >0 3 2 t t + t ( ) + 7t ( + t ) Suy phương trình f ' ( t ) = có nghiệm t = Lập bảng biến thiên suy x = 15    15 f ( t ) = f  ÷= minP = ⇔  Vậy ( 0; ∞ ) 3  y = ; z = VD Cho số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời điều kiện x + y ≥ ( x + y) +1 10 = z Tìm giá trị lớn biểu thức P = xy ( x + y ) ( z + 1) z4 ( Học Sinh Giỏi tỉnh Nghệ An 2020- Bảng B ) Hướng dẫn giải: +) Từ giả thiết suy z > Lại có ( x + y ) +) Từ ( x + y) 2 ( x + y) ≥ xy ⇒ ≥ 4z xy z2 + = 10 z ⇒ ( x + y ) + = 10 z 2 x+ y x+ y ⇒ = 10 − ÷ = 10 − ⇒ z z z  z  xy x + y  1 1   1 +) Do P =  + ÷ ≤  10 − ÷  + ÷ z z  z  4 z   z Đặt ( ( ) 2 = t < t ≤ 10 Xét hàm số f ( t ) = ( t + ) ( 10 − t ) 10 − t , t ∈ 0; 10  z ( 2 Ta có f ' ( t ) = −2 ( 2t + 3t − ) 10 − t ⇒ f ' ( t ) = ⇔ t = 1∈ 0; 10  z = 81  max f t = 81 ⇔ t = Lập bảng biến thiên ta có ( 0; 10  ( ) Hay maxP = ⇔   x = y =  44 Phân tích số sai lầm thường gặp toán tính đơn điệu hàm số nhằm gây ý tạo hứng thú cho học sinh trình hướng dẫn học sinh tự học, giúp học sinh giảm bớt sai sót làm tập VD 1: Hàm số y = f ( x ) = A ( −∞;2 ) ( 2;+∞ ) 2x + đồng biến khoảng −3 x + B ( −∞;2 ) ∪ ( 2;+∞ ) C R \ { 2} 1  D R \   2 Lời giải sai: Tập xác định: D = R \ { 2} Ta có : y′ = 15 ( −3 x + ) > , ∀x ≠ Vậy hàm số cho đồng biến ( −∞;2 ) ∪ ( 2;+∞ ) Chọn đáp án B Nguyên nhân sai lầm: Không nắm rõ khái niệm dẫn tới kết luận sai Chẳng hạn lấy x1 = 1∈ ( −∞;2 ) x2 = ∈ ( −∞;2 ) ∪ ( 2; +∞ ) ; x1 < x2 , ,tuy nhiên f ( 1) = > f ( ) = − ,mâu thuẫn với định nghĩa Lời giải : 15 > , ∀x ≠ Tập xác định: D = R \ { 2} Ta có : y′ = ( −3 x + ) Vậy hàm số cho đồng biến ( −∞;2 ) ( 2;+∞ ) Chọn đáp án A VD2:Tìm tất giá trị thực tham số m để y = x − 2mx + ( m + 3) x + m − đồng biến ¡ 3 A − ≤ m ≤ B m ≥ C − < m < 4 hàm số D m ≤ − Lời giải sai: Tập xác định D = ¡ Ta có : y′ = x − 4mx + m + Hàm số cho đồng biến ¡ 1 > ⇔ y′ > 0, ∀x ∈ ¡ ⇔  ⇔ 4m − m − < ⇔ − < m < Chọn đáp án C  ∆′ < Nguyên nhân sai lầm: -Điều kiện f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ K điều kiện đủ để hàm số đồng biến K điều kiện cần , dẫn tới sai lầm Chẳng hạn hàm số f ( x ) = x đồng biến ¡ Tuy nhiên f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ đẳng thức xẩy x = -Lưu ý phải vận dụng định lý mở rộng sau Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm khoảng K 45 +) Nếu hàm số +) Nếu hàm số f ′( x) ≥ 0, ∀x ∈ K f ′( x) = xảy số hữu hạn điểm y = f ( x ) đồng biến khoảng K f ′( x) ≤ 0, ∀x ∈ K f ′( x) = xảy số hữu hạn điểm y = f ( x ) nghịch biến khoảng K Lời giải đúng: Tập xác định D = ¡ Ta có: y′ = x − 4mx + m + Hàm số cho đồng biến ¡ 1 > ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔  ⇔ 4m − m − ≤ ⇔ − ≤ m ≤ Chọn đáp án A  ∆′ ≤ VD 3: Tìm m để hàm số y = mx − nghịch biến khoảng xác định x+ m−3 A < m < B ≤ m ≤ C m > m < D m ≥ m ≤ Lời giải sai Tập xác định: Ta có: Hàm số y = y′ = m − 3m + ( x + m − 3) mx − nghịch biến khoảng xác định x+m−3 ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ D ⇔ m2 − 3m + ≤ ⇔ ≤ m ≤ Chọn đáp án B Nguyên nhân sai lầm : Khi y′ = tức m = m = hàm số cho hàm Lời giải Tập xác định: Ta có: Hàm số y = y′ = m − 3m + ( x + m − 3) mx − nghịch biến khoảng xác định x+m−3 ⇔ y′ < 0, ∀x ∈ D ⇔ m2 − 3m + < ⇔ < m < Chọn đáp án A VD 4: Tìm m để hàm số y = 2cot x + π π  đồng biến khoảng  ; ÷ cot x + m 4 2 46 Lời giải sai : Đặt t = cot x Xét hàm số f ( t ) = 2m − 2t + , t ≠ −m Ta có f ′ ( t ) = Hàm số ( t + m) t+m π π  cho đồng biến khoảng  ; ÷ ⇔ f ' ( t ) > ⇔ 2m − > ⇔ m > 4 2 Vậy m > thỏa mãn yêu cầu toán Ngun nhân sai lầm: -Sai lầm khơng tìm điều kiện t sở điều kiện x -Sai lầm khơng ý tới điều kiện có nghĩa hàm số f ( t ) π π  -Sai lầm khơng xét tính đơn điệu hàm t = cot x khoảng khoảng  ; ÷ 4 2 Lời giải đúng: −1 π π  π π  < 0, ∀x ∈  ; ÷ nên hàm số t = cot x Đặt t = cot x , x ∈  ; ÷ Vì t ′ = sin x 4 2 4 2 2t + π π  nghịch biến  ; ÷ ⇒ t ∈ ( 0;1) Xét hàm số f ( t ) = khoảng ( 0; 1) , t+m 4 2 t ≠ −m Ta có f ′ ( t ) = 2m − ( t + m) , ∀t ∈ ( 0;1) , t ≠ −m π π  Hàm số cho đồng biến khoảng  ; ÷ hàm số f ( t ) nghịch biến 4 2 khoảng ( 0; 1) ⇔ f ' ( t ) < 0, ∀t ∈ ( 0;1) 1   m< m<  m ≤ −1    2m − < 2   ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − m ≤ m ≥ 0 ≤ m < −m ∉ ( 0;1)        − m ≥   m ≤ −1  m ≤ −1 Vậy  thỏa mãn yêu cầu toán 0 ≤ m <  47 IV HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Kết từ thực tiễn Ban đầu học sinh gặp nhiều khó khăn học chủ đề tính đơn điệu hàm số Sau giáo viên hướng dẫn cụ thể cách lập kế hoạch bước thực kế hoạch học tập cách bản, chi tiết, từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó, học sinh hứng thú học tập mơn Tốn, đồng thời kỹ lực tự học nâng cao Thời gian em tự học nhà nhiều Hiệu học tập nâng lên thể kết khảo sát thực nghiệm Kết từ thực nghiệm sư phạm a) Mục đích thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm đánh giá giả thuyết khoa học đề tài “bồi dưỡng lực tự học cho học sinh khối 12 thông qua chủ đề tính đơn điệu hàm số ” nhằm tích cực hố hoạt động học sinh, phát triển kĩ tự học để nâng cao chất lượng dạy học THPT Cụ thể để trả lời câu hỏi sau: +) Đề tài có giúp học sinh có kĩ tự học tốt hay không? +) Đề tài có tạo hứng thú cho học sinh q trình học tự học hay khơng? +) Thời gian tự học nhà học sinh có tăng cao hay khơng? +) Đề tài có góp phần nâng cao kết học tập (thông qua việc làm kiểm tra) hay không? b) Đối tượng thời gian thực nghiệm sư phạm: * Đối tượng: Học sinh lớp 12 THPT công tác * Thời gian thực nghiệm: Năm học 2019-2020 c) Kết thực nghiệm sư phạm: *Mơ tả q trình dạy thực nghiệm: Nhìn chung, ứng dụng đề tài vào trình dạy học, giáo viên dễ dàng thực Về phía học sinh, đa số có khả thích ứng tốt, học tập sôi Đề tài triển khai học sinh lớp 12 từ trung bình đến giỏi Trong giảng dạy, tập vận dụng đề tài xếp từ dễ đến khó theo trình tự nội dung Nên đề tài dể dàng áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh lớp 12 Qua khảo sát số học sinh thấy học sinh học tập hứng thú hẳn Thời gian tự học nhà tăng lên Tỉ lệ học sinh đạt mức , giỏi tăng Tư khả phát triển tốt hơn, kĩ tự học nâng cao, qua vừa phát huy kĩ tự học vừa phát huy tính tích cực sáng tạo 48 học sinh, từ góp phần nâng cao chất lượng dạy học phát triển lực tự học cho học sinh PHẦN III : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Nghiên cứu rèn luyện phát triển kỹ tự học cho học sinh khối 12 thông qua dạy học chủ đề tính đơn điệu hàm số thực có ý nghĩa q trình dạy học Vì vậy, áp dụng sáng kiến giúp học sinh u thích mơn học hơn, khuyến khích tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh đồng thời rèn luyện phát triển kỹ tự học cho học sinh tốt Từ học sinh có kỹ tự học tốt – đường chinh phục tri thức hiệu Học sinh học tập chủ động hơn, có lực tư duy, suy nghĩ tích cực nên tự học, tự tìm tịi kiến thức đạt kế cao trình học tập Kiến nghị a Đối với giáo viên: Trong trình dạy học, nên chủ động đổi phương pháp dạy học, cần trọng rèn luyện phát triển kĩ năng, lực tự học cho học sinh Dạy học sinh biết cách tự học có khả tự học tốt để học sinh chinh phục đỉnh cao tri thức nhân lthứ b Đối với học sinh: Cần phải có mục tiêu rõ ràng cần chủ động tích cực học tập, cần cố gắng nhiều để đạt mục tiêu đề ra, cố gắng hồn thành tốt nhiệm vụ thầy giao Tích cực nghiên cứu tài liệu, tìm tịi học hỏi nhớ thời gian khả tự học nhà vô quan trọng đường học tập c Đối với nhà trường: Rèn luyện phát triển kĩ tự học cho học sinh luôn vấn đề xuyên suốt trình dạy học Đổi phương pháp dạy học phải trọng rèn luyện kĩ tự học cho học sinh Vì vậy, nhà trường cần tạo điều kiện để tổ chuyên môn tổ chức buổi học tập chuyên đề để nâng cao kiến thức chuyên môn, để đổi phương pháp dạy học, nâng cao hiệu dạy học Trên nội dung đề tài sáng kiến kinh nghiệm thân tơi Những tơi trình bày đề tài nghiên cứu tìm tòi vận dụng vào thực tiễn suốt trình dạy học mang lại hiệu thiết thực góp phần rèn luyện kĩ tự học cho học sinh nhằm nâng cao chất lượng dạy học Đề tài thân áp dụng dạy cho học sinh lớp 12, thực tạo niềm hứng thú, say mê cho em trình học tập, rèn luyện cho em kĩ tự học cần thiết, giúp em biết cách tự học tự học có hiệu Tuy nhiên, đề tài cịn chỗ thực chưa thoả đáng Tơi 49 mong nhận góp ý từ bạn đồng nghiệp, Hội đồng khoa học cấp bạn bè chia sẻ, bổ sung để đề tài hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! PHỤ LỤC Một số hình ảnh học sinh tự học, học nhóm 50 TÀI TIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Giải Tích 12- NXB Giáo dục năm 2010- Trần Văn Hạo tổng chủ biên Bí đạt điểm 10 mơn Tốn chun đề Giải tích – NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Toán học Bắc Trung Nam STRONG TEAM TOÁN VD-VTOÁN Internet 51 52 ... chọn đề tài: “ bồi dưỡng lực tự học cho học sinh khối 12 thông qua chủ đề tính đơn điệu hàm số. ” Mục đích nghiên cứu Đề xuất số giải pháp bồi dưỡng lực tự học cho học sinh khối 12 thơng qua chủ đề. .. khoa học đề tài ? ?bồi dưỡng lực tự học cho học sinh khối 12 thông qua chủ đề tính đơn điệu hàm số ” nhằm tích cực hoá hoạt động học sinh, phát triển kĩ tự học để nâng cao chất lượng dạy học THPT... nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh khối 12 thơng qua chủ đề tính đơn điệu hàm số I HƯỚNG DẪN HỌC SINH TỰ HỌC Ở NHÀ Ôn tập kiến thức cần nắm * Bảng đạo hàm hàm sơ cấp *Định nghĩa hàm số đồng