BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ THU HIỀN LUẬT TÁC ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT NHÓM VÀ SỐ HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ THU HIỀN LUẬT TÁC ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT NHÓM VÀ SỐ HỌC Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Đạo Dõng Đà Nẵng - Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Học viên Trần Thị Thu Hiền MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Trong lý thuyết nhóm, có hai kiểu luật tác động: Kiểu thứ nhất: Tác động nhóm lên tập hợp: Cho G nhóm X tập hợp Một tác động G lên X đồng cấu nhóm từ nhóm G vào nhóm đối xứng (X) X Kiểu thứ hai: Tác động nhóm lên nhóm: Cho hai nhóm G H Một tác động H lên G đồng cấu nhóm từ nhóm H vào nhóm tự đẳng cấu Aut(G) Hai kiểu luật tác động có nhiều ứng dụng thú vị bất ngờ lý thuyết nhóm lý thuyết số Cụ thể lý thuyết nhóm hữu hạn, kiểu tác động thứ đưa chứng minh hoàn toàn khác với chứng minh cổ điển, với nội dung ngắn gọn, dễ hiểu hấp dẫn Chẳng hạn, số kết lý thuyết p-nhóm Kiểu tác động thứ cịn có ứng dụng lý thuyết số qua định lý Fermat, Wilson Lucas Bên cạnh đó, kiểu tác động thứ hai đóng góp nhiều tốn phân loại nhóm Cụ thể sử dụng tích nửa trực tiếp qua tác động nhóm lên nhóm để xây dựng nhóm cho việc phân loại; chẳng hạn, nhóm Dihedral Quaternion suy rộng Với lý trình bày trên, tơi chọn đề tài: “Luật tác động ứng dụng lý thuyết nhóm số học” làm đề tài luận văn thạc sĩ Đề tài tập trung tìm hiểu hai kiểu tác động nhóm trình bày ứng dụng chúng lý thuyết nhóm số học, vấn đề có ý nghĩa sâu sắc hấp dẫn lĩnh vực đại số lý thuyết số 2 Mục tiêu nghiên cứu đề tài Nghiên cứu luật tác động nhóm lên tập hợp luật tác động nhóm lên nhóm, đồng thời đưa ứng dụng thú vị lý thuyết nhóm số học Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: lý thuyết nhóm lý thuyết số • Phạm vi nghiên cứu: hai kiểu tác động nhóm ứng dụng chúng lý thuyết nhóm số học Phương pháp nghiên cứu • Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu Lý thuyết nhóm số học liên quan đến tác động nhóm lên tập hợp tác động nhóm lên nhóm • Tham gia buổi hội thảo giảng viên hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Trao đổi qua email, blog, diễn đàn với chuyên gia ứng dụng tác động nhóm Ý nghĩa khoa học thực tiễn • Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến Lý thuyết nhóm số học sử dụng đến hai kiểu tác động nhóm, nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu Luật tác động nhóm ứng dụng lý thuyết nhóm lý thuyết số • Chứng minh chi tiết làm rõ số mệnh đề, đưa số ví dụ minh hoạ nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đề cập Bố cục đề tài Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương: • Chương Giới thiệu khái niệm kết hai kiểu tác động nhóm ví dụ minh họa • Chương Trình bày ứng dụng hai kiểu tác động nhóm vào lý thuyết nhóm số học CHƯƠNG HAI KIỂU TÁC ĐỘNG NHÓM Chương giới thiệu khái niệm kết hai kiểu tác động nhóm ví dụ minh họa Những khái niệm kết chương tìm thấy tài liệu [1], [2], [3], [5], [7] [4] 1.1 TÁC ĐỘNG CỦA MỘT NHÓM LÊN MỘT TẬP HỢP Mục khảo sát định nghĩa tính chất sở tác động nhóm lên tập hợp Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập hợp Một song ánh từ X lên X gọi hoán vị X Định nghĩa 1.1.2 Cho G nhóm X tập khác rỗng Một tác động G lên X hoán vị ϕg : X → X , cho ứng với g ∈ G, thỏa mãn hai điều kiện sau: i ϕe phép đồng nhất, với e phần tử đơn vị G ii Với g1 , g2 ∈ G ta có ϕg1 ◦ ϕg2 = ϕg1 ·g2 Để thuận tiện, ta ký hiệu ϕg (x) = g · x, ∀g ∈ G, x ∈ X Khi điều kiện định nghĩa trở thành: i e · x = x, với x ∈ X , e phần tử đơn vị G ii (g1 g2 ) · x = g1 · (g2 · x) với g1 , g2 ∈ G, x ∈ X Ví dụ 1.1.3 Cho G = R∗ nhóm nhân số thực khác X = R = {(a, b, c)|a, b, c ∈ R} Khi đó, G tác động lên X qua phép nhân vô hướng: g · (a, b, c) = (ga, gb, gc), với số thực g khác Thật vậy, ta có: i · (a, b, c) = (1a, 1b, 1c) = (a, b, c), với (a, b, c) ∈ X ii Với g1 , g2 ∈ G, (a, b, c) ∈ X (g1 g2 )·(a, b, c) = (g1 g2 a, g1 g2 b, g1 g2 c) = g1 ·(g2 a, g2 b, g2 c) = g1 ·(g2 ·(a, b, c)) Định nghĩa 1.1.4 Cho X tập hợp, ký hiệu song ánh từ X vào X Tập (X) tập gồm tất (X) với phép hợp thành ánh xạ nhóm, gọi nhóm đối xứng tập hợp X hay nhóm phép X Đặc biệt, tập X = {1, 2, , n} nhóm đối xứng X ký hiệu Sn gọi nhóm đối xứng bậc n Ví dụ 1.1.5 Cho Sn nhóm đối xứng bậc n tập X = {1, 2, , n} Khi đó, Sn có tác động tự nhiên lên X xác định với hoán vị σ ∈ Sn sau: ϕσ :X → X x → ϕσ (x) = σ(x) Thật vậy, xét ánh xạ ◦ : X → X với x → σ ◦ x = σ(x) Ta có i Với e ∈ Sn , x ∈ X , ϕe (x) = e(x) = x ii Với σ1 , σ2 ∈ Sn , x ∈ X , ta có ϕ(σ1 σ2 ) (x) = (σ1 σ2 )(x) = σ1 [σ2 (x)] = ϕσ1 (ϕσ2 (x)) = (ϕσ1 ◦ ϕσ2 )(x) Để thấy rõ chất tác động nhóm lên tập hợp, ta xem tác động đồng cấu nhóm từ nhóm G lên nhóm đối xứng (X) Trước hết, ta có tính chất sau: Định lý 1.1.6 Cho nhóm G tác động lên tập X Khi a Nếu x ∈ X , g ∈ G y = g · x x = g −1 · y b Nếu x, x ∈ X , g ∈ G x = x g · x = g · x Chứng minh a Từ y = g · x, ta suy g −1 · y = g −1 · (g · x) = (g −1 g) · x = x Hay x = g −1 · y b Để chứng minh x = x suy g · x = g · x , ta chứng minh phương pháp phản chứng Giả sử g · x = g · x Khi g −1 (g · x) = g −1 (g · x ) ⇒ (g −1 g) · x = (g −1 g) · x ⇒ x = x Điều mâu thuẫn với giả thiết Vì g · x = g · x Định lý 1.1.7 Cho G nhóm X tập hợp Khi đó, tác động G lên X xác định đồng cấu nhóm từ G vào nhóm đối (X) X xứng Chứng minh Cho G nhóm tác động lên tập X Với g ∈ G, xét hoán vị ϕg : X → X xác định ϕg (x) = g · x Khi ϕg song ánh, nên ϕg ∈ (X) Tiếp theo, ta chứng minh ánh xạ ϕ:G→ (X) xác định ϕ(g)(x) = ϕg (x), với x ∈ X đồng cấu nhóm Thật vậy, ∀g1 , g2 ∈ G, ∀x ∈ X , ta có: ϕ(g1 g2 )(x) = ϕ(g1 g2 ) (x) = (g1 g2 ) · x = g1 · (g2 · x) = g1 · [ϕg2 (x)] = ϕg1 [ϕg2 (x)] = (ϕg1 ◦ ϕg2 )(x) = [ϕ(g1 ) ◦ ϕ(g2 )](x) Suy ϕ(g1 g2 ) = ϕ(g1 ) ◦ ϕ(g2 ) Ví dụ 1.1.8 Cho Sn nhóm đối xứng bậc n tập X = {1, 2, , n} Khi đó, (X) = Sn Tác động Sn lên X ví dụ 1.1.5 xác định 45 Chứng minh Ta chứng minh phép đồng dư dạng sau: Cho ≤ m ≤ n, n = pn + a0 , m = pm + b0 , ≤ a0 , b0 ≤ p − Khi ta có Cnm ≡ Cab00 Cnm (mod p) Đặt Ai = {in + 1, in + 2, in + 3, , (i + 1)n } tập gồm số nguyên liên tiếp từ tới pn , với ≤ i ≤ p − Khi Sn = {1, 2, , n} = A0 ∪A1 ∪ ∪Ap−1 ∪{pn +1, pn +2, pn +3, , pn +a0 } Với ≤ t ≤ n , gọi σt = (t, n + t, 2n + t, , (p − 1)n + t) xích có độ dài p σt hốn vị cách tuần hoàn số ≡ t (mod n) A0 , A1 , , Ap−1 Cho σ = σ1 σ1 · · · σn Khi σ có cấp p, σ hốn vị Sn (cố định tất số pn ) Gọi X tập tất tập Sn có m phần tử Suy |X| = Cnm Xét tác động nhóm σ lên tập X Vì σ có cấp p, nên theo định lý 2.1.4 ta có |X| = {các điểm cố định} (mod p) Gọi M tập Sn có m phần tử cố định σ Nếu M chứa số từ tới pn σ bất biến, dẫn đến M chứa số khoảng từ tới n , tức M ∩ A0 = Giả sử M chứa q số A0 Khi M hợp số số biến đổi thành p tập hợp A0 , A1 , , Ap−1 , với tập hợp số từ pn + tới pn + a0 Khi 46 |M | = pq + r, r số phần tử tập hợp số từ pn + tới pn + a0 Vì M có cấp m = pm + b0 , b0 ≡ r mod p Mà b0 , r ∈ [0, p − 1], r = b0 Do q = m Chọn điểm ổn định X qua σ , giống chọn m số từ tới n sau chọn b0 số từ pn + tới pn + a0 Do số điểm ổn định Cnm Cab00 Vậy Cnm ≡ Cab00 Cnm (mod p) 2.3 ỨNG DỤNG KIỂU TÁC ĐỘNG NHÓM THỨ HAI CHO NHÓM QUATERNION SUY RỘNG Mục bao gồm số kết tác động nhóm lên loại nhóm quan trọng, nhóm Quaternion suy rộng Định nghĩa 2.3.1 Ta gọi nhóm Quaternion Q, n > nhóm sinh hai phần tử i cấp 2n−1 j cấp 4, với quan hệ xác định n−2 i2 = j , jij −1 = i−1 Nhóm Q nhóm khơng giao hốn, cấp 2n , có biểu diễn: n−1 Q = i, j/i2 n−2 = e, i2 = j , jij −1 = i−1 Khi n = 3, ta có nhóm Quaternion cấp Q8 = i, j/i4 = e, i2 = j , jij −1 = i−1 Q8 viết dạng Q8 = {±1, ±i, ±j, ±k}, với quan hệ sau: i2 = j = k = −1, ij = −ji = k 47 Định lý 2.3.2 Cho nhóm H = Z/(4) Z/(4), với (a, b)(c, d) = (a + (−1)b c, b + d) Khi phần tử (2, 2) ∈ H có cấp 2, nằm tâm H nhóm thương H/ (2, 2) ∼ = Q8 Chứng minh Vì −2 = ∈ Z/(4), (a, b)(2, 2) = (a + (−1)b 2, b + 2) = (a + 2, b + 2) (2, 2)(a, b) = (2 + (−1)b a, + b) = (2 + a, b + 2) = (a + 2, b + 2), nên (2, 2) ∈ Z(H) Ta có (2, 2)(2, 2) = (2 + (−1)2 2, + 2) = (0, 0), (2, 2) có cấp H Do nhóm thương Q := H/ (2, 2) xác định có cấp 16/2 = Vì H sinh phần tử (1, 0) (0, 1): (a, b) = (a, 0)(0, b) = (1, 0)a (0, 1)b Trong Q, tập hợp i lớp (1, 0) j lớp (0, 1), i j sinh Q: (a, b) = ia j b Để tạo đồng cấu từ Q → Q8 , ta tạo đồng cấu từ tích nửa trực tiếp H vào Q8 , kiểm tra phần tử (2, 2) có nằm hạt nhân khơng, ta nhận đồng cấu cảm sinh từ Q vào Q8 Ta định nghĩa f : H → Q8 xác định f (a, b) = ia j b Vì i4 = j = nên định nghĩa xác định đắn Ta có b f ((a, b)(c, d)) = f (a + (−1)b c, b + d) = ia+(−1) c j b+d 48 b f (a, b)f (c, d) = ia j b ic j d = ia (j b ic j −b )j b+d = ia (j b ij −b )c j b+d = ia i−1 c j b+d , suy f đồng cấu nhóm Ảnh f nhóm nhóm Q8 chứa i = f (1, 0) j = f (0, 1), f (H) = Q8 , f tồn cấu Vì f (2, 2) = i2 j = nên Kerf chứa (2, 2), f cảm sinh đồng cấu toàn ánh từ Q → Q8 xác định ia jb → ia j b Nhóm Q Q8 có cấp nên tồn cấu đẳng cấu Trong nhóm Q8 tạo từ hai nhóm có cấp 4, ta mở rộng phép xây dựng cách để hai nhóm cyclic 2-nhóm cyclic Định nghĩa 2.3.3 Cho n ≥ 3, tập hợp Q2n = (Z/(2n−1 ) Z(4))/ (2n−2 , 2) , với tích nửa trực tiếp có luật nhóm (a, b)(c, d) = (a + (−1)b c, b + d) Khi nhóm Q2n gọi nhóm quaternion suy rộng Từ định nghĩa ta thấy: Q2n khơng phải tích nửa trực tiếp Z/(2n−1 ) Z/(4) mà thương số nhóm mơđun với nhóm (2n−2 , 2) Vì 2n−2 mod 2n−1 mod có cấp nhóm cộng Z/(2n−1 ) Z/(4), dễ dàng (2n−2 , 2) nằm tâm tích nửa trực tiếp có cấp 2, nhóm (2n−2 , 2) nhóm chuẩn tắc Z/(2n−1 ) Z/(4) |Q2n | = (2n−1 · 4)/2 = 2n Định lý cho thấy xác định nhóm Q2n theo phần tử sinh 49 Định lý 2.3.4 Trong nhóm Q2n , cho x = (1, 0) y = (0, 1) Khi Q2n = x, y , với a x có cấp 2n−1 , y có cấp b Mọi phần tử Q2n viết dạng xa xa y, với a ∈ Z n−2 c x2 = y2 d Với g ∈ Q2n cho g ∈ x , g xg −1 = x−1 Chứng minh Vì Z/(2n−1 ) sinh Z/(4) sinh 1, Q2n sinh lớp kề (1, 0) (0, 1), nên x y sinh Q2n a Lũy thừa nhỏ (1, 0) (2n−2 , 2) = {(2n−2 , 2), (0, 0)} lũy thừa thứ 2n−1 nó, (0, 0), x có cấp 2n−1 Q2n Tương tự, lũy thừa nhỏ (0, 1) (2n−2 , 2) lũy thừa thứ nó, y có cấp Q2n b Một phần tử điển hình (đại biểu) nhóm Z/(2n−1 ) Z/(4) có dạng (a, b) = (1, 0)a (0, 1)b , phần tử Q2n có dạng xa yb Với b = b = ta suy (b) n−2 c Vì (2n−2 , 2) tầm thường Q2n (2n−2 , 2) = (1, 0)2 n−2 x2 (0, 1)2 , nên = y−2 = y2 d Với g ∈ x có dạng g = xa y, g xg −1 = xa yxy−1 x−a Do dẫn tới trường hợp g = y Trong nhóm Z/(2n−1 ) Z/(4), (0, 1)(1, 0)(0, 1)−1 = (−1, 1)(0, 1) = (−1, 0) = (1, 0)−1 , yxy−1 = x−1 Từ định lý ta thấy Q2n xác định cách lấy nhóm cyclic cấp 2n−1 nhóm cyclic cấp "dán" chúng vào phần tử có cấp khơng giao hốn Khi n ≥ 3, x có cấp lớn 2, điều kiện yxy−1 = x−1 = x cho thấy Q2n nhóm khơng giao hốn Trong 50 ta không xác định Q2n n = 2, nhóm Q4 có nghĩa nhóm cyclic cấp sinh y (với x = y2 ) Định lý tiếp sau mô tả tính chất đặc biệt Q2n , tất nhóm có đặc điểm tương tự Q2n ảnh đồng cấu Q2n n−1 Định lý 2.3.5 Khi n ≥ 3, cho G = x, y với x2 yxy −1 = x−1 , x2 n−1 = 1, y = 1, = y Khi đó, có đồng cấu từ Q2n → G cho x → x y → y, tồn cấu Nếu |G| = 2n đồng cấu đẳng cấu Ta thấy nhóm tầm thường thỏa mãn định lý (lấy x = y = 1), khơng phải tất nhóm đẳng cấu với Q2n (chỉ có nhóm có cấp với Q2n đẳng cấu với nó) Ngồi ra: n−1 nói x2 = y = khơng có nghĩa x có cấp 2n−1 y có cấp mà cấp chúng chia hết 2n−1 Chứng minh Nếu có đồng cấu từ Q2n → G cho x → x y → y , đồng cấu hồn tồn xác định nơi x y sinh Q2n Vì đồng cấu Để thực xây dựng đồng cấu vậy, ta dùng ý tưởng chứng minh định lý 2.3.2: thay trực tiếp tạo đồng cấu từ Q2n → G, ta quay ngược lại bắt đầu với ánh xạ từ tích nửa trực tiếp tới G Xét ánh xạ f : Z/(2n−1 ) Z/(4) → G xác định f (a, b) = xa y b Điều hồn tồn đắn x2 n−1 = y = Để kiểm tra f b đồng cấu, ta sử dụng điều kiện yxy −1 = x−1 , suy y b xy −b = x(−1) Trước hết ta có b f ((a, b)(c, d)) = f (a + (−1)b c, b + d) = xa+(−1) c y b+d 51 f (a, b)f (c, d) =xa y b xc y d = xa (y b xc y −b )y b+d b = xa (y b xy −b )c y b+d = xa x−1 c y b+d , f đồng cấu Vì x, y sinh G x, y giá trị f nên f toàn cấu n−2 Hơn f (2n−2 , 2) = x2 y = y y = y = 1, nên f (2n−2 , 2) ∈ Kerf , f cảm sinh đồng cấu toàn ánh từ Q2n → G xác định xa yb → xa y b , G ảnh đồng cấu Q2n Khi |G| = 2n f đồng cấu tồn ánh hai nhóm có cấp, f đẳng cấu Với n ≥ 3, hai nhóm dihedral D2n−1 nhóm quaternion Q2n có cấp 2n Các phần tử sinh quan hệ chúng tương tự (nhưng tất nhiên không giống nhau): D2n−1 = r, s/r2 n−1 = 1, s2 = 1, srs−1 = r−1 n−1 Q2n = x, y/x2 = 1, y4 = 1, yxy−1 = x−1 , x2 n−1 = y2 Điều kiện y4 = bỏ điều kiện đầu cuối suy điều Nhưng ta thêm vào thấy tương tự với nhóm dihedral Trong trường hợp suy biến n = 2, D2 ∼ = Z/(2) × Z/(2) Q4 ∼ = Z/(4) hai nhóm có cấp Định lý tiếp sau cho số tính chất nhóm D2n−1 kết tương tự với nhóm Q2n Định lý 2.3.6 Cho n ≥ Khi D2n−1 có tính chất sau đây: a Nhóm r có số phần tử D2n−1 nằm ngồi r có cấp b Tâm nhóm D2n−1 {1, r2 n−2 } D2n−1 /Z(D2n−1 ) ∼ = D2n−2 52 c Nhóm giao hốn tử D2n−1 r2 , D2n−1 / r2 ∼ = Z/(2)×Z/(2) d D2n−1 có 2n−2 + lớp liên hợp, với đại diện cho bảng sau: Đại diện r r2 ··· Cấp 2 ··· r2 n−2 −1 n−2 r2 s rs 2n−2 2n−2 Bảng 2.1: Các lớp liên hợp đại diện D2n−1 Định lý 2.3.7 Cho n ≥ Khi Q2n có tính chất sau đây: a Nhóm x có số phần tử Q2n nằm ngồi x có cấp } = {1, y2 } Q2n /Z(Q2n ) ∼ = D2n−2 c Nhóm giao hốn tử Q2n x2 , Q2n / x2 ∼ = Z/(2) × Z/(2) n−2 b Tâm nhóm Q2n {1, x2 d Q2n có 2n−2 + lớp liên hợp, với đại diện cho bảng sau: Đại diện x x2 ··· Cấp 2 ··· n−2 −1 x2 n−2 x2 y xy 2n−2 2n−2 Bảng 2.2: Các lớp liên hợp đại diện Q2n Chứng minh a Vì x có cấp 2n−1 , [Q2n : x ] = Các phần tử Q2n lũy thừa x có dạng xa y, (xa y)2 = xa (yxa y−1 )y2 = xa (yxy−1 )a y2 = xa x−a y = y2 , xa y có cấp n−2 b Vì x2 n−2 = y2 , x2 giao hoán với x y, giao hốn với tất phần tử Q2n , x2 n−2 = y2 nằm tâm Q2n Nếu xa ∈ Z(Q2n ) yxa y−1 = xa Mà yxa y−1 = x−a nên x−a = xa Do n−2 x2a = Suy 2n−1 |2a hay 2n−2 |a, nghĩa xa lũy thừa x2 Khơng có phần tử Q2n lũy thừa x nằm tâm nó, x(xa y)x−1 = xa+1 xy = xa+2 y = xa y n−2 Nhóm thương Q2n /Z(Q2n ) có phần tử sinh x y cho x2 =1 53 (vì x2 n−2 = y2 ∈ Z(Q2n )), y2 = yxy−1 = x−1 Do nhóm thương ảnh đồng cấu D2n−2 Vì |Q2n /Z(Q2n )| = 2n−1 = D2n−2 , nên Q2n /Z(Q2n ) ∼ = D2n−2 (Hai lớp kề x y Q2n /Z(Q2n ) đóng vai trị r s nhóm dihedral) c Vì xyx−1 y−1 = x2 , nhóm giao hoán tử Q2n chứa x2 (Tất nhiên xa yx−a y−1 = x2a , tất phần tử x2 giao hốn tử) Nhóm x2 có cấp 2n−2 , x2 có số Vì yx2 y−1 = x−2 ∈ x2 nên nhóm x2 chuẩn tắc Q2n / x2 Nhóm Q2n / x2 có cấp 4, nên Q2n / x2 nhóm giao hốn, giao hoán tử Q2n nằm nhóm x2 Do x2 nhóm giao hoán tử Q2n Chứng minh tương tự (b) ta có Q2n / x2 ∼ = Z/(2) × Z/(2) d Với g ∈ Q2n ta tính xa g x−a (xa y)g(xa y)−1 = xa yg y−1 xa a biến thiên Trước hết, giả sử g lũy thừa x, tức g = xk Khi xa xk x−a = xk , (xa y)xk (xa y)−1 = x−k , lớp liên hợp xk {xk , x−k }, có cấp x2k = 1, trừ g = n−2 g = x2 nằm tâm Q2n Nếu g = y xa yx−a = x2a y, (xa y)y(xa y)−1 = x2a y, lớp liên hợp y tập gồm tất phần tử có dạng x2a y a biến thiên Cuối cùng, g = xy xa xyx−a = x2a+1 y, (xa y)xy(xa y)−1 = x2a−1 y, lớp liên hợp xy tập gồm tất phần tử có dạng x2a+1 y a biến thiên 54 Định lý 2.3.6 (a) 2.3.7 (a) khác biệt đáng ý hai nhóm D2n−1 Q2n Có nửa số phần tử nhóm dihedral có cấp nửa số phần tử nhóm Q2n có cấp Phần tử nhóm D2n−1 có cấp r2 n−2 , cịn phần tử nhóm Q2n cấp gì? Hệ sau làm rõ điều Hệ 2.3.8 Phần tử nhóm Q2n có cấp x2 n−2 Chứng minh n−1 Vì x có cấp 2n−1 , lũy thừa x có cấp x2 Theo định lý 2.3.7 (a), phần tử Q2n lũy thừa x có cấp Hệ 2.3.9 Cho N nhóm khơng giao hốn, N nhóm chuẩn tắc nhóm Q2n Khi [Q2n : N ] = [Q2n : N ] = Chứng minh Vì N nhóm khơng giao hoán nên N ⊂ x Ta chọn phần tử g ∈ N cho g ∈ G Khi g có cấp (theo định lý 2.3.7 a), g có cấp n−2 Tức g = x2 (theo hệ 2.3.8) Theo định lý 2.3.7 (d), phần tử g Q2n nằm ngồi x liên hợp với x tạo thành x−1 , g xg −1 = x−1 Vì N Q2n , N chứa g(xg −1 x−1 ) = (g xg −1 )x−1 = x−2 , N ⊃ x2 , g Nhóm x2 có số nhóm Q2n N lớn cách chặt chẽ, số Hệ 2.3.10 Khi n ≥ 4, Aut(Q2n ) 2−nhóm Chứng minh Nếu Aut(Q2n ) khơng phải 2-nhóm, có phần tử f có cấp số lẻ lớn Cho G = x Tất phần tử Q2n nằm tập G có cấp (theo định lý 2.3.7 a), G nhóm cyclic có cấp 2n−1 > (vì n ≥ 4), f phải biến phần tử sinh G thành phần tử sinh khác G Do f (G) = G, f hạn 55 chế đẳng cấu G Vì G ∼ = (Z/(2n−1 ))× , = Z/(2n−1 ), Aut(G) ∼ (Z/(2n−1 ))× 2-nhóm (ϕ(2n−1 ) = 2n−2 ), f phải G f có cấp số lẻ Vì f (G) = G, cịn f (Q2n − G) = Q2n − G Tuy Q2n − G khơng phải nhóm mà tập hợp f hoán vị tập Cấp Q2n − G 2n − 2n−1 = 2n−1 , lũy thừa 2, f có cấp lẻ hốn vị tập này, phải điểm cố định: f (q) = q , với q ∈ Q2n − G Khi f nhóm G, q = x, q , nhóm Q2n G có số Q2n Tiếp theo vai trò thú vị nhóm quaternion suy rộng với p−nhóm cyclic Định lý 2.3.11 [6] Cho G p−nhóm hữu hạn Khi đó, điều kiện sau tương đương: a G có nhóm cấp p b Tất nhóm giao hốn G nhóm cyclic c G nhóm cyclic G nhóm quaternion suy rộng Hệ 2.3.12 [6] Mọi nhóm nhóm Q2n nhóm cyclic nhóm quaternion suy rộng Hệ 2.3.13 [6] Cho p số nguyên tố lẻ Khi a Một p−nhóm hữu hạn nhóm cyclic có nhóm cấp p b Một 2−nhóm hữu hạn nhóm cyclic có nhóm cấp nhóm cấp Hệ 2.3.14 [6] Nếu D vành thương, nhóm Sylow nhóm hữu hạn D× nhóm cyclic nhóm quaternion suy rộng 56 Hệ 2.3.15 Cho F trường hữu hạn có đặc số khác Khi 2-nhóm nhóm SL2 (F ) nhóm quaternion suy rộng Chứng minh Ta thấy, nhóm SL2 (F ) có phần tử cấp ma trận −1 A= Vì S2 −nhóm SL2 (F ) có −1 phần tử cấp Do S2 −nhóm nhóm cyclic nhóm quaternion suy rộng Đặt q = |F |, q lũy thừa nguyên tố lẻ |SL2 (F )| = q(q −1) Đa thức đặc trưng A đa thức bậc 2, có hai trị riêng λ µ thuộc vào F mở rộng đơn F Vì det(A) = nên λµ = Nếu λ = µ λ = µ = λ = µ = −1 Vì A liên hợp với −1 b −1 Vì A = ± b Hai ma trận có cấp lũy thừa bậc b = 0 Ma trận A có cấp hai chia hết q + q − Nếu λ = µ A có hai trị riêng phân biệt, A ma trận chéo hóa 1 Chúng ta Aq−1 = Aq+1 = 1 Nếu λ, µ ∈ F A liên hợp với λ Vì Aq−1 = Nếu µ λ, µ ∈ F đa thức đặc trưng A đa thức bất khả quy F , λ µ liên hợp Galois F Theo định lý Galois trường hữu hạn, ta có µ = λq Suy λq+1 = λµ = µq+1 = q+1 = λ λ Vì A liên hợp với nên Aq+1 = µ Vì q số lẻ nên q + q − không chia hết cho lũy thừa cao 57 SL2 (F ) Do cấp S2 −nhóm khơng với cấp phần tử SL2 (F ) Vì S2 −nhóm khơng phải nhóm cyclic S2 −nhóm thuộc vào SL2 (F ), S2 −nhóm viết rõ ràng q ≡ (mod 4) Cho 2k lũy thừa cao q − 1, lũy thừa cao q(q − 1) = q(q − 1)(q + 1) = 2k+1 Nhóm F × nhóm cyclic có cấp q − 1, F × nhóm nhân phần tử khả nghịch F Vì chứa phần tử a có cấp 2k Đặt a 0 −1 x = ∈ SL2 (F ), ord(x) = 2k y = ∈ SL2 (F ), 1/a −1 ord(y) = 4, x2 k−1 =− = y , y ∈ x , x, y ∼ = Q2k+1 Do nhóm x, y có cấp 2k+1 , x, y S2 −nhóm SL2 (F ) 58 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu lý thuyết nhóm số học, hướng dẫn khoa học, nhiệt tình giáo viên hướng dẫn, luận văn hoàn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: Đã trình bày khái niệm kết hai kiểu tác động nhóm ví dụ chúng Ứng dụng kiểu tác động nhóm thứ để chứng minh định lý quan trọng lý thuyết p−nhóm số học Ứng dụng kiểu tác động nhóm thứ hai tích nửa trực tiếp để xây dựng nhóm khảo sát nhóm quaternion suy rộng Với khảo sát được, luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân tiếp tục sâu nghiên cứu sau hi vọng nguồn tư liệu tốt cho quan tâm nghiên cứu lý thuyết nhóm số học Do hạn chế lực thời gian nên luận văn chưa sâu nghiên cứu số lĩnh vực liên quan hình học vi phân (cấu trúc nhóm Lie, đa tạp, ), hướng phát triển Mặc dù cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến q thầy bạn bè để luận văn hoàn chỉnh Tác giả xin chân thành cảm ơn tất quý thầy cô giúp đỡ suốt trình nghiên cứu hoàn thiện luận văn TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Giao Thị Kim Đông (2001), Các định lý nhóm hữu hạn, Luận văn tốt nghiệp cao học, Đại học Đà Nẵng 2011 [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng (2004), Đại số đại cương, NXB Giáo dục Hà Nội Tiếng Anh [3] B Baumslag, B Chandler (1968), Theory and Problems of Group Theory, McGraw Hill [4] M Suzuki (1982), Group theory I, II, Springer-Verlag, McGraw Hill Website [5] Keith Conrad, Group Actions, http : //math.uconn.edu/ kconrad/blurbs/grouptheory/gpaction.pdf [6] Keith Conrad, Generalized Quaternions, http : //math.uconn.edu/ kconrad/blurbs/grouptheory/genquat.pdf [7] Patrick J Morandi, Group Actions, http : //sierra.nmsu.edu/morandi/notes/groupactions.pdf ... hai: Tác động nhóm lên nhóm: Cho hai nhóm G H Một tác động H lên G đồng cấu nhóm từ nhóm H vào nhóm tự đẳng cấu Aut(G) Hai kiểu luật tác động có nhiều ứng dụng thú vị bất ngờ lý thuyết nhóm lý thuyết. .. kiểu tác động nhóm ứng dụng chúng lý thuyết nhóm số học Phương pháp nghiên cứu • Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu Lý thuyết nhóm số học liên quan đến tác động nhóm lên tập hợp tác. .. tác giả nghiên cứu liên quan đến Lý thuyết nhóm số học sử dụng đến hai kiểu tác động nhóm, nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu Luật tác động nhóm ứng dụng lý thuyết nhóm lý thuyết