SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CỬA LÒ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỐN HỌC CHO HỌC SINH PHỔ THƠNG QUA BÀI TỐN XÁC ĐỊNH SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH DỰA VÀO TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ Người thực hiện: Nguyễn Thị Hường Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực mơn: Tốn Cửa lị - 2021 MỤC LỤC PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Giới hạn đề tài Nhiệm vụ đề tài Phương pháp nghiên cứu PHẦN II- NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I Thực trạng vấn đề trước áp dụng II Kết đạt kinh nghiệm rút III Khả ứng dụng triển khai kết IV Cơ sở lý luận Năng lực tốn học Dạy học hình thành phát triển lực toán học cho h ọc sinh Tiêu chí hành động mà học sinh thực Một số kiến thức sở đề tài V Nội dung đề tài y = f ( x) Bài toán cho biết đồ thị bảng biến thiên hàm số , xét f ( x) = a f ( u ( x) ) = a a tốn liên quan đến phương trình có dạng , ( a = g ( m) số tham số) y = f ( x) Bài toán cho biết đồ thị bảng biến thiên hàm số , xét f ( x ) = a; f ( x) = a; tốn liên quan đến phương trình có dạng f u ( x) = a ; f ( u ( x ) ) = a a a = g ( m) ( số tham số) y = f ( x) Bài toán cho biết đồ thị bảng biến thiên hàm số , xét tốn liên quan đến phương trình có dạng f ( x) = g ( x) ; f ( u ( x) ) = g ( v( x) ) y = f ( x) Bài toán cho biết đồ thị bảng biến thiên hàm số , xét tốn liên quan đến phương trình, bất phương trình chứa f ' ( x ) ; f '' ( x ) ( ) Bài toán cho biết đồ thị bảng biến thiên hàm số tốn liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = 0; f ( u ( x ) ) = 0; f ( x ) = g ( x ) ; f ( u ( x ) ) = g ( v ( x ) ) Bài toán cho biết số nghiệm phương Drinh f ' ( x ) ; f '' ( x ) liên quan đDn phDDng trình có chDa Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm tự ôn luyện PHẦN III KẾT LUẬN I Những kết luận II Những kiến nghị đề xuất f ( x) = y = f '( x ) , xét , xét toán PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ I.Lý chọn đề tài: Theo Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể “năng lực thuộc tính cá nhân hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có q trình học tập, rèn luyện, cho phép người huy động tổng hợp kiến thức, kỹ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí, … thực thành cơng hoạt động định, đạt kết mong muốn điều kiện cụ thể” Trong trình giảng dạy, trải qua nhiều phương pháp dạy học tích cực tơi ln ý thức tìm tịi nâng cao chất lượng dạy học Bản thân nhận thấy phải làm cho học sinh phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động khám phá điều chưa biết Để có giảng thu hút học sinh, giúp học sinh phát triển lực tốn học địi hỏi giáo viên phải tìm tịi, cập nhật phương pháp, kĩ thuật dạy học phù hợp với đối tượng học sinh Dạy học dựa phát triển lực chìa khóa để nâng cao chất lượng dạy học Do dạy học theo hướng phát triển lực học sinh trọng lấy học sinh làm trung tâm giáo viên người hướng dẫn, giúp em chủ động việc đạt lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với đặc điểm cá nhân Thông qua dạy học nội dung xác định số nghiệm phương trình dựa vào tương giao đồ thị hàm số, học sinh cần hình thành phát triển lực toán học, biểu tập trung lực tính tốn Năng lực toán học bao gồm thành tố cốt lõi sau: Năng lực tư lập luận toán học; lực mơ hình hóa tốn học; lực giải vấn đề toán học; lực giao tiếp toán học; lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn Các tốn xét số nghiệm phương trình liên quan đến dạng hàm ẩn, hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gây nhiều khó khăn cho học sinh trình vận dụng kiến thức để giải Vì vậy, tơi viết đề tài nghiên cứu cho sáng kiến mình: “Phát triển lực tốn học cho học sinh phổ thơng qua tốn xác định số nghiệm phương trình dựa vào tương giao đồ thị hàm số.” II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm khó khăn thuận lợi học sinh tiếp cận tốn tìm số nghiệm phương trình dựa vào tương giao đồ thị hàm số Phát triển lực toán học cho học sinh như: Năng lực tư lập luận toán học; lực mơ hình hóa tốn học; lực giải vấn đề toán học; lực giao tiếp toán học; lực sử dụng công cụ, phương tiện học tốn Đặc biệt, học sinh lớp 12 có thêm tài liệu tham khảo tốt để ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia năm 2020 III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Học sinh lớp 12 THPT - Giáo viên giảng dạy toán bậc THPT IV KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU Quá trình giảng dạy áp dụng cho lớp đối tượng học sinh khác để hoàn thiện dần Từ tìm kiếm thêm khó khăn, sai lầm mà học sinh thường gặp Trao đổi chuyên mơn q Thầy, Cơ mơn Tốn tổ, ngồi trường diễn đàn toán học V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Tìm kiếm tài liệu tham khảo từ nguồn liên quan đến xác định số nghiệm phương trình dựa vào tương giao đồ thị hàm số, phương pháp dạy học theo phát triển lực.Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực Giảng dạy lớp 12 trường THPT Cửa lò PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG Trong chương trình sách giáo khoa giải tích 12 vấn đề xác định số nghiệm phương trình dựa vào tương giao đồ thị hàm số trình bày đơn giản Vì gặp tốn vấn đề tìm số nghiệm đề thi thử thi THPTQG học sinh lúng túng thường bỏ qua Khi chưa áp dụng nghiên cứu đề tài để dạy học nâng cao lực giải tập xác định số nghiệm phương trình dựa vào tương giao đồ thị hàm số, em thường thụ động việc tiếp cận toán phụ thuộc nhiều vào kiến thức giáo viên cung cấp làm mẫu, em chưa ý thức việc tìm tịi, sáng tạo tạo niềm vui, hứng khởi khám phá, giải toán II KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ KINH NGHIỆM RÚT RA Sau áp dụng kết nghiên cứu đề tài, qua khảo sát cho thấy Có 80% em học sinh có hứng thú với học 50% số biết cách tìm tịi, xây dựng toán tương tự, toán Trong kỳ thi thử THPT quốc gia toàn quốc có 90% học sinh lớp dạy thử nghiệm giải tốn xác định số nghiệm phương trình dựa vào tương giao đồ thị hàm số III KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ Đề tài tài liệu tham khảo ôn thi THPT quốc gia cho học sinh học lớp 12 THPT Đề tài áp dụng để phát triển thêm lớp toán khác cho giáo viên Toán trường THPT Đề tài ứng dụng để phát triển thành mơ hình sách tham khảo cho học sinh giáo viên phục vụ học tập giảng dạy mơn tốn IV CƠ SỞ LÝ LUẬN Năng lực toán học Theo Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể, “năng lực thuộc tính cá nhân hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có q trình học tập, rèn luyện, cho phép người huy động tổng hợp kiến thức, kỹ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí, … thực thành công hoạt động định, đạt kết mong muốn điều kiện cụ thể” Năng lực toán học khả cá nhân biết lập cơng thức, vận dụng giải thích tốn học nhiều ngữ cảnh Năng lực tốn học phổ thơng khả nhận biết ý nghĩa, vai trò kiến thức toán học sống; vận dụng phát triển tư toán học để giải vấn đề thực tiễn, đáp ứng nhu cầu đời sống tương lai cách linh hoạt; khả phân tích, suy luận, lập luận, khái qt hóa, trao đổi thơng tin hiệu thơng qua việc đặt ra, hình thành giải vấn đề tốn học tình huống, hồn cảnh khác nhau, trọng quy trình, kiến thức hoạt động Năng lực tốn học phổ thơng khơng đồng với khả tiếp nhận nội dung chương trình tốn nhà trường phổ thơng truyền thống, mà điều cần nhấn mạnh kiến thức tốn học học, vận dụng phát triển để tăng cường khả phân tích, suy luận, lập luận, khái qt hóa phát tri thức tốn học ẩn dấu bên tình huống, kiện 1.1 Năng lực tư lập luận Năng lực tư tổng hợp khả cá nhân ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải vấn đề, xử lý linh cảm trình phản ánh, phát triển tri thức vận dụng vào thực tiễn Năng lực lập luận toán học khả cá nhân dựa vào tiền đề cho trước, sử dụng ngơn ngữ tốn học, phương pháp luận để đưa kết luận 1.2 Năng lực mơ hình hóa tốn học Năng lực mơ hình hóa toán học khả cá nhân phiên dịch vấn đề thực tiễn thông qua phương tiện ngôn ngữ viết sang ngơn ngữ biểu tượng, kí hiệu, bảng biểu, đồ thị… 1.3 Năng lực giải vấn đề toán học Năng lực giải vấn đề khả cá nhân sử dụng hiệu trình nhận thức, hành động thái độ, động cơ, xúc cảm để giải tình mà khơng có sẵn quy trình, thủ tục, giải pháp thơng thường 1.4 Năng lực giao tiếp toán học Năng lực giao tiếp toán học khả cá nhân sử dụng ngôn ngữ toan học để tiếp nhận, chuyển tải ý tưởng, kiến thức, đưa lập luận, chứng minh, phản ánh, thảo luận trình giao tiếp để đạt mục tiêu dạy học 1.5 Năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn Năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện dạy học tốn khả cá nhân hiểu, biết sử dụng, bảo quản công cụ, phương tiện khoa học để đạt mục tiêu dạy học Dạy học hình thành phát triển lực toán học cho học sinh 2.1 Phương pháp dạy học phải phù hợp với tiến trình nhận thức học sinh Phương pháp dạy học phải từ cụ thể đến trừu tượng; từ dễ đến khó; khơng coi trọng tính logic khoa học toán học mà cần ý cách tiếp cận dựa vốn kinh nghiệm trải nghiệm học sinh 2.2 Quán triệt tinh thần “lấy người học làm trung tâm” Phương pháp dạy học phải phát huy tính tích cực, tự giác, ý nhu cầu, lực nhận thức, cách thức học tập khác cá nhân học sinh; tổ chức trình dạy học theo hướng kiến tạo, học sinh tham gia tìm tịi, phát hiện, suy luận giải vấn đề 2.3 Linh hoạt việc vận dụng phương pháp kỹ thuật dạy học tích cực Kết hợp nhuần nhuyễn, sáng tạo kĩ thuật dạy học tích cực với việc vận dụng phương pháp, kĩ thuật dạy học truyền thống; kết hợp hoạt động dạy học lớp học với hoạt động thực hành trải nghiệm, vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn Cấu trúc học bảo đảm tỉ lệ cân đối, hài hòa kiến thức cốt lõi, kiến thức vận dụng thành phần khác 2.4 Sử dụng phương tiện, thiết bị dạy học Sử dụng đủ hiệu phương tiện, thiết bị dạy học tối thiểu theo quy định môn Tốn; sử dụng đồ dùng dạy học tự làm phù hợp với nội dung học đối tượng học sinh; tăng cường sử dụng công nghệ thông tin phương tiện, thiết bị dạy học đại cách phù hợp hiệu Tiêu chí hành động mà học sinh thực Thành tố lực toán học Các tiêu chí Năng lực tư lập luận tốn học - Thực thao tác tư duy: So sánh, phân tích, tổng hợp; đặc biệt hóa, khái qt hóa; tương tự; quy nạp, diễn dịch - Biết đặt trả lời câu hỏi; biết chứng cứ, lí lẽ lập luận hợp lí trước kết luận - Giải thích điều chỉnh cách thực giải vấn đề phương tiện toán học Năng lực mơ hình hóa tốn học - Sử dụng phép tốn cơng thức để mơ tả tình đặt thực tế - Giải vấn đề tốn học mơ hình thiết lập - Thể đánh giá lời giải ngữ cảnh thực tế cải tiến mơ hình có cách giải không phù hợp Năng lực giải vấn đề toán học - Nhận biết, phát vấn đề cần giải toán học - Đề xuất, lựa chọn cách thức, giải pháp giải vấn đề kiến thức, kĩ toán học tương thích - Đánh giá giải pháp đề khái quát hóa cho vấn đề tương tự Năng lực giao tiếp toán học TT - Nghe hiểu, đọc hiểu ghi chép thông tin cần thiết trình bày dạng văn tốn học - Trình bày, diễn đạt ý tưởng giải pháp toán học tương tác với người khác - Sử dụng ngơn ngữ tốn học kết hợp với ngơn ngữ thơng thường để trình bày, giải thích đánh giá ý tưởng thảo luận với người khác Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán - Biết gọi tên, tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức bảo quản, phương tiện khoa học cơng nghệ phục vụ cho việc học tốn - Sử dụng thành thạo linh hoạt công cụ phương tiện khoa học cơng nghệ để tìm tịi giải vấn đề toán học phù hợp lứa tuổi - Chỉ ưu điểm, hạn chế công cụ, phương tiện hỗ trợ để cách sử dụng hợp lý Đánh giá kết giáo dục mơn tốn 4.1 Mục tiêu đánh giá Cung cấp thơng tin xác, kịp thời, có giá trị phát triển lực tiến học sinh sở yêu cầu cần đạt lớp học, cấp học Điều chỉnh hoạt động dạy học, bảo đảm tiến học sinh nâng cao chất lượng giáo dục mơn Tốn nói riêng chất lượng giáo dục nói chung 4.2 Hình thức đánh giá Đánh giá trình (hay đánh giá thường xuyên) giáo viên phụ trách môn học tổ chức, kết hợp với đánh giá giáo viên môn học khác; thân học sinh đánh giá học sinh khác tổ, lớp hoạc đánh giá cha mẹ học sinh; liền với tiến trình hoạt động học tập học sinh, tránh tình trạng tách rời trình dạy học trình đánh giá, bảo đảm mục tiêu đánh giá tiến học tập học sinh Đánh giá định kì (hay đánh giá tổng kết) có mục đích đánh giá việc thực mục tiêu học tập Kết đánh giá định kì đánh giá tổng kết sử dụng để chứng nhận cấp độ học tập, công nhận thành tích học sinh Đánh giá định kì sở giáo dục tổ chức thơng qua kì kiểm tra, đánh giá quốc gia 4.3 Phương pháp đánh giá Quan sát, ghi lại trình thực hiện; Vấn đáp, trắc nghiệm khách quan; Tự luận, kiểm tra viết; Bài tập thực hành; Các dự án/ sản phẩn học tập; Thực nhiệm vụ thực tiễn, … 4.4 Mức độ đánh giá Bốn mức độ đánh giá đường phát triển lực mơn tốn Mức 1: Nhận biết, nhắc lại Mức 2: Hiểu, trình bày, giải thích theo cách hiểu cá nhân Mức 3: Vận dụng giải vấn đề quen thuộc, tương tự học tập, sống Mức 4: Vận dụng giải vấn đề đưa phản hồi hợp lý học tập, sống cách linh hoạt Một số kiến thức sở đề tài: I Kiến thức sở: Phép tịnh tiến đồ thị hàm Oxysố Trong mặt phẳng tọa độ , cho đồ thị (G) hàm số hai số dương tùy ý Khi đó: y = f ( x) ; p q y =Tịnh f ( xtiến 1) ) + q(G) lên q đơn vị ta đồ thị hàm số 2) y =Tịnh f ( xtiến ) − q(G) xuống q đơn vị ta đồ thị hàm số 3) y =Tịnh f ( xtiến + p (G) ) sang trái p đơn vị ta đồ thị hàm số 4) y =Tịnh f ( xtiến − p (G) ) sang phải p đơn vị ta đồ thị hàm số y = f ( x + b) 5) y =Đồf (thị x ) hàm số cób > cách tịnh tiến đồbthị < 0hàm số sang trái , sang phải b đơn vị y =bmđơn vị Ox 6) Đường thẳng ln song song trùng với trục hồnh Oy cắt trục tung y = fđiểm y = g ( x) ( x ) có tung độ ( C ) m ( C2Cho ) hàm số có đồ thị ( C1 ) ( C2 ) Số giao điểm đồ thị f ( x ) = g ( x) ; hàm số số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm y = f bảng ) ) thiên hàm sốd Cho đồ thị ( u ( xbiến đồ thị hàm số với đường thẳng Định hướng: u ( x) = t có đồ thị t y = f ( x) Xét giao điểm + Đặt , xác y =định f ( xđiều y = biến f ( t) ) kiện Dựa đồ thị bảng thiên hàmdsố , xác định giao điểm đồ thị với đường thẳng S4 S3 S2 S1 −2 y x S1 S2 S3 S4 Gọi , , , diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ′( x ) với trục hoành Quan sát hình vẽ, ta có ∫ f ′ ( x ) d x > ∫ − f ′ ( x ) dx  −2 ⇔ f ( x ) −2 > f ( x ) 0 ⇔ f ( ) − f ( −2 ) > f ( ) − f ( ) ⇔ f ( −2 ) < f ( ) ∫ − f ′ ( x ) dx < ∫ f ′ ( x ) dx  ⇔ f ( x) < f ( x) ⇔ f ( ) − f ( ) < f ( 5) − f ( ) ∫ f ′ ( x ) dx > ∫ − f ′ ( x ) dx  ⇔ f ( x) > f ( x) 5 ⇔ f ( 5) − f ( ) > f ( ) − f ( ) ⇔ f ( ) < f ( ) Ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu toán ⇔ f ( −2 ) ≤ m ≤ f ( ) f ( x) = Bài tốn Cho biết số nghiệm phương trình f ' ( x ) ; f '' ( x ) tốn liên quan đến phương trình có chứa Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) liên tục ¡ , xét có đồ thị đường cong trơn g ( x ) = f  f ( x )  (khơng bị gãy khúc), hình vẽ bên Gọi hàm Hỏi phương trình g′( x ) = có nghiệm phân biệt? Lờigiải g ( x ) = f  f ( x )  ⇒ g ′( x) = f ′( x) f ′  f ( x )  g ′( x) = ⇔ f ′( x) f ′  f ( x )  =  f ′( x) = ⇔  f ′  f ( x )  =  x = x1 ∈ ( −2; − 1)  x =  x = x ∈ ( 1;2 )  x = ⇔  f ( x ) = x1 ∈ ( −2; − 1) ⇔ x = x3 < −2  f ( x) = ⇔ x ∈ { −2;0;2}   f ( x) = x2 ∈ ( 1;2 ) ⇔ x ∈ { x4 ; x5 ; x6 } , x3 < x4 < x5 < < < x6   f ( x) = ⇔ x ∈ { x7 ; x8 ; x9 } , x4 < x7 < x8 < x5 < x6 < x9 g′( x ) = 12 Kết luận phương trình có nghiệm phân biệt y = f ( x) ¡ Ví dụ Cho hàm số có đạo hàm có đồ thị hình vẽ bên Đặt g ( x) = f  f ( x )  g′( x ) = Tìm số nghiệm phương trình Lời giải g ′( x ) = f ′ ( x ) f ′  f ( x )  Ta có: (1)  f ′( x) = ⇔ g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) f ′  f ( x )  =  f ′[ f ( x)] = (2) y = f ( x) Dựa vào đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nên f ′( x) = (1) x1 = x2 < x2 < có hai nghiệm phân biệt ; với  f ( x) = x1 = f ′ [ f ( x) ] = ⇔  (2)  f ( x) = x2 ; < x2 < PT : y = f ( x) f ( x) =  Dựa vào đồ thị hàm số có ba nghiệm phân biệt  Kẻ đường thẳng y = f ( x) y = x2 cắt đồ thị hàm số ba diểm phân f ( x) = x2 biệt nên phương trình có ba nghiệm phân biệt (2) Nên phương trình có nghiệm phân biệt g′( x ) = Vậy phương trình có tất nghiệm phân biệt Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hình vẽ: Tìm số nghiệm phương trình Ta có g′( x ) = g ( x) = f ( x) − f ( x) + , biết Lời giải g ′ ( x ) = f ′ ( x ) f ( x ) − f ′ ( x ) f ( x )   f ′( x ) =  ⇔  f ( x) =   f ( x) =  =0 y = f ( x) Dựa vào đồ thị hàm số ta f ′( x ) = −1;0;1 + Phương trình có nghiệm phân biệt f ( x) = + Phương trình có nghiệm phân biệt f ( x) = + Phương trình có nghiệm phân biệt (để tìm nghiệm 2 f ( x) = y= 3 phương trình ta kẻ đường thẳng , thấy đường thẳng y= y = f ( x) cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt ) Vậy phương trình có tất 15 nghiệm phân biệt f ( x) = Ví dụ Cho hàm số nghiệm phương trình Tập xác định ax + b , ( ac ≠ 0; ad − bc ≠ 0; a, b, c, d Ô ) cx + d g '( x ) = g ( x) : −e f ( x) Tìm số Lời giải:  −d  D=¡ \   c  g '( x ) = f '( x ) e f ( x) Ta có: Phương trình g '( x ) = ⇔ f '( x ) e , biết g ( x) = e f ( x) f ( x) − f '( x ) e − f '( x ) e f ( x) có TXĐ: f ( x) +) Giải (1) vô nghiệm  e f ( x ) = ( 3) ( 2) ⇔  1 − 3e f ( x ) = +) Giải (2):  −d  D=¡ \   c   f ' ( x ) = ( 1) = ⇔  f ( x) f ( x) =0 e − 3e ( 4) ( 2)  f ( x) e = ( 5)   e f ( x ) = − (VN )  Ta có (3) vơ nghiệm PT(4)  f ( x ) = ln f ( x) Từ (5) ta có Dựa vào dạng đồ thị ta có PT có nghiệm Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c có đồ thị hình vẽ thỏa mãn f ( x + 1) − f ( x ) = x ( x + 1) ( x + 1) đẳng thức sau: Cho hàm số f ( x ) = g ( x − 1) g ( x ) = mx + nx + p Tìm nghiệm phương trình g′( x ) = Với f ( 1) = f ( ) x=0 f ( 1) = f ( ) Vì ( 0; −1) ( 2;11) Lời giải đồ thị hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c , nên ta có hệ phương trình:  f ( 1) = f ( ) a + b + c = c a =    ⇔ b = −1  f ( ) = −1 ⇔ c = −1    16a + 4b + c = 11 c = −1  f ( ) = 11 f ( x) = x − x −1 Vậy f ( x ) = g ( x − 1) ⇔ x − x − = m ( x − 1) + n ( x − 1) + p Ta có qua ⇔ x − x − = mx + ( −2m + n ) x + ( m − n + p ) m = m =   ⇔ −2m + n = −1 ⇔ n = m − n + p = −1  p = −1   Do g ( x ) = x2 + x − g′( x ) = ⇔ x + = ⇔ x = − x=− Vậy 2 f ( x) = x3 + ax + bx + c f ( x) = Nếu phương trình có 2 f ( x ) f "( x ) =  f ′ ( x )  nghiệm phân biệt thi phương trình có nhiều nghiệm? Lời giải f ( x) = x1 , x2 , x3 Giả sử có nghiệm phân biệt g ( x ) = f ( x ) f "( x ) −  f ′ ( x )  Xét ⇒ g ′ ( x ) =  f ′ ( x ) f "( x ) + f ( x ) f ''' ( x )  − f ′ ( x ) f "( x ) Ví dụ Cho hàm số = f ( x ) f ''' ( x ) = f ( x)  x = x1 g ′ ( x ) = ⇔  x = x2  x = x3 Khi Ta có bảng biến thiên g ( x) = Từ bảng biến thiên suy phương trình có nhiều Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm tự ôn luyện Câu Cho hàm số y = f ( x) Số nghiệm thuộc đoạn [ 0;2π ] Câu Cho hàm số Số nghiệm thuộc đoạn [ −π ;π ] A Câu Cho hàm số phương trình B y = f ( x) f ( cos x ) = −2 C D có bảng biến thiên sau phương trình B f ( x) nghiệm có bảng biến thiên sau A 1  f  sin x − cos x ÷ = −2 3  C D có đồ thị đường cong hình vẽ bên f ( x3 f ( x ) ) + = Số nghiệm thực phân biệt phương trình A B C D Câu Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau Số nghiệm dương phương trình A Câu Cho hàm số B y = f ( x) A B y = f ( x) C D có bảng biến thiên sau Số nghiệm phương trình Câu Cho hàm số  f ( x ) ′ = e ( ) f x2 =4 C có đồ thị hình vẽ D Có số nguyên [ −2;2] thuộc đoạn A m 11 Câu Cho hàm số để phương trình B y = f ( x) x  f  + ÷+ x = m 2  C D 10 ¡ có đồ thị hình vẽ Có bao m nhiêu giá trị nguyên tham số để phương trình π  x ∈  ;π ÷ f f ( cos x ) = m 2  có nghiệm ( ) A Câu Cho hàm số m liên tục có nghiệm B y = f ( x) để phương trình C D có đồ thị sau Hỏi có giá trị nguyên f ( x) =m có hai nghiệm dương phân biệt A B y = f ( x) Câu Cho hàm hàm số C A B Câu 10 Cho hàm số ( y = f ( x) ) D có bảng biến thiên hình vẽ Có giá trị ngun tham số nghiệm phân biệt 12 198 m để phương trình f ( x + 1) = m C D có 190 liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Hỏi f x2 − x = phương trình có tất nghiệm? y −2 A Câu 11 Cho hàm số B y = f ( x) −1 O −1 x C có liên tục ¡ D có đồ thị hình vẽ Tìm f ( x3 − 3x ) + 3x3 − x − 13 = ( x − ) − ( x − 1) số nghiệm phương trình A B Câu 12 Cho hàm số y = f ( x) f ( x − 1) = Hỏi phương trình C liên tục −5 x − x + 12 [ 1;3] y = f ( x) có nghiệm Câu 14 Cho hàm số y = f ( x) [ 2;4] C ? D C ¡ B có bảng biến thiên hình Câu 13 Cho hàm số liên tục có đồ thị f ( a) = f ( x) = biết Phương trình có nghiệm? A D B A f ′( x ) hình vẽ, có bảng biến thiên hình D Phương trình ( 0;4 ) khoảng ? f ( x − x ) = − x + 3x − x + 3 A B Câu 15 Cho hàm số bậc ba thị hình vẽ sau đây: có nghiệm thực C y = f ( x) D có đạo hàm hàm số y = f ′( x ) với đồ y −1 −2 O x −3 Biết đồ thị hàm số âm Hỏi phương trình A y = f ( x) tiếp xúc với trục hoành điểm có hồnh độ f ( x − 3) = có nghiệm? B C h ( x ) = mx + nx3 + px + qx Câu 16 Cho hàm số y = h′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Có tất giá trị nguyên nghiệm phân biệt? A B 10 m D ( m, n, p, q ∈ ¡ ) để phương trình C 71 Hàm số h ( x ) = m2 + m D có hai 2022 Đáp án A B A C D C D C C 10 11 12 13 14 15 B C C B A A 16 B TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa,sách tập 12(cơ nâng cao), NXB Giáo Dục Năm 2007 [2] Phan huy Khải- Nguyễn Đạo Phương Các phương pháp giải tốn sơ cấp Hình học khơng gian Nhà xuất Hà Nội Năm 2000 [3] IF.Sharygin Tuyển tập 340 tốn hình học khơng gian Nhà xuất tổng hợp Nghĩa Bình Năm 1988 [4] Phan Huy Khải Tốn nâng cao hình học lớp 11 Nhà xuất Hà Nội Năm 2002 [5] Đỗ Thanh Sơn Phương pháp giải tốn hình học 12 theo chủ đề Nhà xuất Giáo dục Năm 2008 [6].Tuyển trọn theo chuyên đề chuẩn bị thi tốt nghiệp THPT thi vào ĐH- CĐ mơn tốn,Nhà xuất Giáo dục Năm 2017 [7] http://www diễn dàn toán học.net [8]http://www.thuvientailieu… [9] http://www.thuvienbaigiang ... lợi học sinh tiếp cận tốn tìm số nghiệm phương trình dựa vào tương giao đồ thị hàm số Phát triển lực toán học cho học sinh như: Năng lực tư lập luận tốn học; lực mơ hình hóa tốn học; lực giải... cứu cho sáng kiến mình: ? ?Phát triển lực tốn học cho học sinh phổ thơng qua tốn xác định số nghiệm phương trình dựa vào tương giao đồ thị hàm số. ” II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm khó khăn thuận lợi học. .. C 2Cho ) hàm số có đồ thị ( C1 ) ( C2 ) Số giao điểm đồ thị f ( x ) = g ( x) ; hàm số số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm y = f bảng ) ) thiên hàm sốd Cho đồ thị ( u ( xbiến đồ thị hàm số