CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi : Hội đồng sáng kiến: Sở GDĐT Ninh Bình Kính gửi : Hội đồng sáng kiến: Sở GDĐT Ninh Bình Họ tên: Ngơ Thị Yến Chức vụ: Giáo viên Trình độ chun mơn: Đại học Đơn vị công tác: Trường THPT Kim Sơn B – Ninh Bình Hộp thư điện tử: ngoyenksb@gmail.com ĐT: 0965791238 Phần trăm đóng góp : 100% I Tên sáng kiến: “ Nâng cao, phát triển số dạng toán mức độ vận dụng, vận dụng cao chương 2: mặt nón – mặt trụ - mặt cầu hình học 12.” Lĩnh vực áp dụng: Phương pháp dạy học mơn Tốn II Nội dung sáng kiến: Giải pháp cũ thường làm: Hiện với hình thức thi trắc nghiệm, nội dung thi Chương 2: Mặt nón – mặt trụ - mặt cầu thay đổi nhiều so với trước nên cách dạy học chương theo kiểu cũ khơng cịn phù hợp Trong đề thi trước câu “ Chương 2: Mặt nón – mặt trụ - mặt cầu ” khơng có đề, có dừng mức độ dễ, nội dung mang tính hàn lâm, ơn thi cho học sinh cần tập trung số dạng toán cụ thể Trong đề thi đại học cũ (từ năm 2002 đến 2016) có câu liên quan tới nội dung Chương 2: Mặt nón – mặt trụ - mặt cầu Câu IV (B-2010) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có AB = a , góc hai mặt phẳng ( A′BC ) ( ABC ) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A′BC Tính thể tích khối lăng trụ cho bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a Tuy nhiên đề thi trắc nghiệm nội dung chương xuất nhiều hơn, có nhiều nội dung lạ, đa dạng, nhiều câu hỏi mang tính thực tế, đặc biệt câu vận dụng, vận dụng cao nhằm phân loại học sinh giỏi Dưới xin minh họa câu thuộc chủ đề MẶT NÓN – MẶT TRỤ - MẶT CẦU đề thi Đề thi THPT QG năm 2016 – 2017 Mã 104 Câu 18 Cho hình nón có bán kính đáy r = độ dài đường sinh l = Tính diện tích xung quanh S xq hình nón cho A S xq = 12π B S xq = 3π C S xq = 39π D S xq = 3π Câu 30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = 3a, BC = 4a, SA = 12a SA vng góc với đáy Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 5a 17 a 13a A R = B R = C R = D R = 6a 2 Câu 32 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AD = 8, CD = 6, AC ′ = 12 Tính diện tích tồn phần Stp hình trụ có hai đường trịn đáy hai đường trịn ngoại tiếp hai hình chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' A Stp = 576π B Stp = 10(2 11 + 5)π C Stp = 26π D Stp = 5(4 11 + 5)π Câu 44 Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R = Mặt phẳng (P) cách O khoảng cắt (S) theo giao tuyến đường trịn (C) có tâm H Gọi T giao điểm HO với (S), tính thể tích V khối nón đỉnh T đáy hình trịn (C) 32π 16π A V = B V = 16π C V = D V = 32π 3 Đề minh họa năm 2017 – 2018 Câu 14 Cho hình nón có diện tích xung quanh 3π a bán kính đáy a Độ dài đường sinh hình nón cho bằng: 3a A 2a B 3a C 2a D Câu 33 Cho tứ diện ABCD có cạnh tính diện tích xung quanh S xq hình trụ có đường trịn đáy đường trịn nội tiếp tam giác BCD chiều cao chiều cao tứ diện ABCD 16 2π 16 3π A S xq = B S xq = 2π C S xq = D S xq = 3π 3 Đề thi THPT QG năm 2017 – 2018 Mã đề 101 Câu 10 Diện tích mặt cầu bán kính R bằng: A π R B 2π R C 4π R D π R Câu 27 Một bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy 3mm chiều cao 200mm Thân bút chì làm gỗ phần lõi làm than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều dài bút đáy hình trịn bán kính 1mm Giá định 1m3 gỗ có giá a (triệu đồng), 1m3 than chì có giá 8a (triệu đồng) Khi đógiá ngun liệu làm bút chì gần với kết đây? A 9, 7.a (đồng) B 97, 03.a (đồng) C 90, 7.a (đồng) D 9, 07.a (đồng) Đề minh họa năm 2018 – 2019 Câu Thể tích khối cầu bán kính a bằng: A π a B 4π a C π a3 D 2π a Câu 25 Cho khối nón có độ dài đường sinh 2a bán kính đáy a Thể tích khối nón cho bằng: 2π a π a3 3π a 3π a A B C D 3 Câu 32 Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ ( H1 ) , ( H ) xếp chồng lên nhau, có bán r1 , h2 = 2h1 (tham khảo hình vẽ) Biết thể tích tồn khối đồ chơi 30 (cm3 ) , thể tích khối kính đáy chiều cao tương ứng r1 , h1 , r2 , h2 thỏa mãn r2 = trụ ( H1 ) A 24 ( cm ) B 15 ( cm ) C 20 ( cm ) D 10 ( cm ) Đề thi THPT QG năm 2018 – 2019 104 Câu Thể tích khối lăng trụ diện tích đáy B chiều cao h là: B Bh C 3Bh Bh 3 Câu 13 Thể tích khối nón có chiều cao h bán kính đáy r A A 2π r h B π r h C πr h D Bh D πr h Câu 22 Một sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy 1m 1,5m Chủ sỏ dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao tích tổng thể tích hai bể Bán kính đáy bể nước dư định làm gần với kết đây? A 1, 6m B 2,5m C 1,8m D 2,1m Câu 39 Cho hình trụ có chiều cao 3 Cắt hình trụ cho mặt phẳng song song với trục cách trục khoảng , thiết diện thu có diện tích 18 Diện tích xung quanh hình trụ đẫ cho bằng: A 6π B 6π 39 C 3π 39 D 12π Đề minh họa lần năm 2019 – 2020 Câu 3: Diện tích xung quanh hình nón có độ dài đường sinh l bán kính đáy r π rl Câu 22 Cho hình trụ có bán kính đáy Biết cắt hình trụ cho mặt phẳng qua trục, thiết diện thu hình vng Diện tích xung quanh hình trụ cho bằng: A 18π B 36π C 54π D 27π A 4π rl B 2π rl C π rl D Câu 40 Cho hình nón có chiều cao Một mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác có diện tích Thể tích khối nón giới hạn hình nón cho bằng: 32 5π A B 32π C 32 5π D 96π Đề minh họa lần năm 2019 – 2020 Câu Cho khối nón có chiều cao h = bán kính đáy r = Thể tích khối nón cho A 16π B 48π C 36π D 4π Câu Cho mặt cầu có bán kính R = Diện tích mặt cầu cho 32 π A B 8π C 16π D 4π Câu 12 Diện tích xung quanh hình trụ có đường sinh l bán kính đáy r A 4π rl B π rl C π rl D 2π rl Câu 32: Trong không gian cho tam giác ABC vuông A , AB = a AC = 2a Khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh góc vng AB đường gấp khúc ACB tạo thành hình nón Diện tích xung quanh hình nón A 5π a B 5π a C 5π a D 10π a Câu 44: Cho hình trụ có chiều cao 6a Khi cắt hình trụ cho mặt phẳng song song với trục cách trục khoảng 3a ,thiết diện thu hình vng.Tính thể tích khối trụ giới hạn hình trụ cho A 216π a B 150π a C 54π a3 D 108π a Như dạy học theo nội dung cũ không giải hết vấn đề chủ đề Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu, đặc biệt số câu mức độ vận dụng, vận dụng cao chưa xuất đề thi trước toán thực tế, max mặt nón, mặt trụ mối quan hệ mặt nón, mặt trụ mặt cầu Giải pháp cải tiến: Trước thực tế tơi đầu tư nghiên cứu đưa sáng kiến để giải trọn vẹn vấn đề nâng cao chương Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Đặc biệt tập trung vào dạng toán vận dụng, vận dụng cao dễ xuất đề thi Sáng kiến trình bày cách khoa học, có hệ thống, đầy đủ dạng tốn, đầy đủ hướng dẫn giải Học sinh tự học, phù hợp với phương pháp dạy học tích cực lấy học sinh làm trung tâm Chắc chắn sáng kiến giúp ích nhiều cho thầy em học sinh mong muốn đạt điểm cao kì thi trung học phổ thông quốc gia tới 2.1 Cơ sở lý luận: Toàn kiến thức tơi tóm tắt chi tiết theo chương nhằm giúp người đọc dễ theo dõi ghi nhớ, kèm với ví dụ minh họa có định hướng cách giải lời giải cụ thể tập áp dụng tương ứng theo đơn vị kiến thức có đầy đủ cách định hướng giải( xem phần phụ lục sáng kiến) Dưới nội dung sáng kiến CHƯƠNG Mặt nón, khối nón CHƯƠNG Mặt trụ, khối trụ CHƯƠNG Mặt cầu, khối cầu CHƯƠNG Quan hệ mặt nón, mặt trụ CHƯƠNG Quan hệ mặt nón, mặt cầu CHƯƠNG Quan hệ mặt trụ, mặt cầu CHƯƠNG Quan hệ mặt nón, mặt trụ, mặt cầu 2.2 Giải pháp Do nội dung kiến thức nhiều, tổng chủ đề chúng tối viết khoảng 154 trang kèm với nhiều dạng tốn mới, nhiều giải pháp để giải dạng toán nên giới thiệu đầy đủ giải pháp sáng kiến này, tơi xin phép chuyển tồn nội dung sang phần phụ lục Dưới xin giới thiệu qua số nội dung tiêu biểu đảm biểu tiêu chí lạ kèm cách giải sáng tạo CHƯƠNG MẶT NÓN – KHỐI NÓN DẠNG MIN MAX HÌNH NĨN, KHỐI NĨN A VÍ DỤ MINH HỌA Câu Cho hình nón đỉnh S có đáy đường trịn O , bán kính R = góc đỉnh 2α với sin α = Một mặt phẳng ( P ) vng góc với SO H cắt hình nón theo đường trịn tâm H Gọi V thể tích khối nón đỉnh O đáy đường tròn tâm a a phân số tối giản Tính H Biết V đạt giá trị lớn SH = với a, b ∈ N * b b giá trị biểu thức T = 3a − 2b3 A 21 B 23 C 32 D 12 Định hướng giải Để tính giá trị biểu thức T = 3a − 2b3 bắt buộc phải tìm a, b hay tìm tỉ số b SH = để V đạt giá trị lớn a - B1: Đặt SH = x, với < x < ; Tìm r bán kính đường trịn tâm H độ dài đường cao hình nón OH theo x - B2: Viết cơng thức tính thể tích khối nón theo x - B3: Dùng bất đẳng thức Côsi phương pháp hàm số để tìm GTLN - B4: Kết luận Lời giải Chọn A OA = nên SO = Đặt SH = x, với < x < ; r : bán kính đường trịn tâm H SH HB x r 2x = ⇒ = ⇒r= 5 Ta có: SO OA 5 OH = SO − SH = − x 2 Thể tích : 15 16π  x x  200  4x  x x 16π  V = OH π r =  − x ÷π = − x ≤ − x + + π  ÷  ÷ = 3 15  2 2 81   2 15.27  200 x ⇒ Vmax = π ⇔ −x= ⇔ x= 81 2 Vậy T = 3a − 2b3 = 3.25 − 2.27 = 21 Ta có: sin α = B BÀI TẬP ÁP DỤNG Câu Cho ∆ ABC cạnh a nội tiếp đường tròn tâm O , AD đường kính đường trịn tâm O Thể tích khối trịn xoay sinh cho phần tô đậm quay quanh đường thẳng AD bằng: A π a3 24 B 20π a 3 217 C 23π a 3 216 D 4π a 3 27 Định hướng giải Nhận xét: Thể tích phần tơ đậm quay quanh đường thẳng AD thể tích khối trịn xoay sinh hình trịn đường kính AD quay quanh đường thẳng AD trừ thể tích khối trịn xoay sinh hình tam giác ABC quay quanh đường thẳng AD - B1: Gọi thể tích khối trịn xoay sinh phần tô đậm quay quanh đường thẳng AD ; hình tam giác ABC quay quanh đường thẳng AD ; hình trịn đường kính AD quay quanh đường thẳng AD V1 , V2 , V3 - B2: Tính V1 = V3 − V2 - B3: Kết luận Đáp án Chọn C 4  a   a  a 23π a 3 V1 = V3 − V2 = π OA − π HC AH = π  = ÷ − π  ÷ 3    2 216 DẠNG C BÀI TỐN THỰC TẾ VÍ DỤ MINH HỌA Câu Tại trung tâm thành phố người ta tạo điểm nhấn cột trang trí hình nón có kích thước sau: chiều dài đường sinh l = 10m , bán kính đáy R = 5m Biết tam giác SAB thiết diện qua trục hình nón C trung điểm SB Trang trí hệ thống đèn điện tử chạy từ A đến C mặt nón Xác định giá trị ngắn chiều dài dây đèn điện tử A 10m B 15m C 5m D 3m Nhận xét: Cắt hình nón theo đường sinh SA trải phẳng ta hình quạt có bán kính SA Định hướng giải - B1: Tính góc đỉnh ·ASB = α - B2: Cung AC ln ≥ đoạn AC Tính độ dài đoạn AC - B3: Kết luận Lời giải Chọn C Cắt hình nón theo đường sinh SA trải phẳng ta hình quạt có bán kính SA = 10m Gọi góc ·ASB = α Ta có độ dài cung »AB 5π = 10.α ⇒ α = π Suy ACmin = AS + SC = 102 + 52 = 5 Câu Một sinh viên trọ sử dụng xơ đựng nước có hình dạng kích thước hình vẽ, đáy xơ hình trịn có bán kính 20 cm, miệng xơ đường trịn có bán kính 30 cm, chiều cao xơ 80 cm Mỗi tháng sinh viên dùng hết 10 xơ nước đầy Hỏi sinh viên phải trả tiền nước tháng, biết giá nước chủ nhà trọ quy định 20000 đồng/m3 (số tiền làm tròn đến đơn vị đồng)? A 42116 đồng B 35279 đồng C 38905 đồng D 31835 đồng Định hướng giải - B1: Xơ đựng nước có hình dạng hình nón cụt Tính thể tích: V= π 2 ( r1 + r2 + r1.r2 ) h - B2: Tính giá tiền - B3: Kết luận Lời giải Chọn D Thể tích xơ nước : π 2 π 19π 2 r1 + r2 + r1.r2 ) h = ( 0, ) + ( 0,3) + ( 0,2 ) ( 0,3 )  ( 0,8 ) = m3 ) ( (  3 375 38π m3 ) Lượng nước sinh viên sử dụng hàng tháng là: 10V = ( 75 38π 20000 ; 31835 đồng Số tiền sinh viên phải trả hàng tháng là: 75 V= D BÀI TẬP ÁP DỤNG Câu Alexander Đại đế chinh phục Ba Tư xuất thành thơ: “Ta đem quân đến Mười vạn binh sĩ khỏe Mỗi người nắm đất Ném lại thành núi cao Ta đứng đỉnh núi Nhìn biển mênh mơng” Biết nắm đất tích trung bình 343 cm3 , “núi cao” có dạng hình nón, đường sinh tạo với đáy góc 45o Chiều cao “núi” gần với số sau đây? A 32m B 47m C 4, 7m D 3, 2m Định hướng giải - B1: Bán kính độ dài đường cao nên thể tích núi: 1 V = π r h = π h3 ⇒ đường cao h 3 - B2: Kết luận Đáp án Chọn D Thể tích núi: 1 3V V = π r h = π h3 ⇒ h = ≈ 3, 2m 3 π CHƯƠNG MẶT TRỤ – KHỐI TRỤ PHẦN II MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP NÂNG CAO DẠNG HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ A VÍ DỤ MINH HỌA Câu Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A ¢B ¢C ¢D ¢có ABCD hình vng thể tích khơng đổi 54 Khối hộp chữ nhật ABCD.A ¢B ¢C ¢ D ¢nội tiếp hình trụ Diện tích tồn phần hình trụ nhỏ bằng: A 10p C 8p B 9p D 11p Định hướng giải - B1: Đặt AB = x, AA ¢= h Tính diện tích tồn phần hình trụ theo x - B2: Dùng bất đẳng thức phương pháp hàm số tìm GTNN - B3: Kết luận Lời giải Chọn B Đặt AB = x, AA ¢= h ị BD = x 2;V = VABCD.A ÂB ¢C ¢D ¢ = hx2 Þ h = V x2 Bán kính mặt đáy hình trụ: r = BD = x 2 Diện tích ton phn ca hỡnh tr: ổ V ỗ 2ữ ữ ỗ Stp = 2prh + 2pr = p ỗ +x ữ ữ ỗ ữ ỗ ố x ứ ổ ỗV V 2ữ V 2V 2 V2 ữ Stp = p ỗ + + x ữ ỗ p x = p = 9p ữ ỗ 2x ữ ỗ 2x 2x ố 2x ứ Do đó: Stp = 9p x = Câu Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O ¢, bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A , đường trịn tâm O ¢ lấy điểm B Đặt a góc AB đáy Biết thể tích khối tứ diện OO ¢AB đạt giá trị lớn Khẳng định sau đúng? 1 A tan a = B tan a = C tan a = D tan a = 2 Định hướng giải - B1: Gọi A ¢là hình chiếu A lên mặt phẳng chứa đường tròn tâm O ¢ Điểm B ¢ hình chiếu B lên mặt phẳng chứa đường tròn tâm O 10 Câu Lon bia Hà Nội có hình trụ cịn cốc uống bia có hình nón cụt (như hình vẽ đây) Khi rót bia từ lon cốc chiều cao h phần bia lại lon chiều cao phần bia có cốc Hỏi chiều cao h bia lon gần số sau đây? A 9,18 cm B 8,58cm C 14, cm D 7,5cm Định hướng giải - B1: Gọi V , V1 , V2 thể tích lon bia lúc đầu, thể tích bia cịn lại lon, thể tích bia rót Ta có : V = V1 + V2 - B2: Tính V , V1 , V2 theo h Thết lập phương trình theo h - B3: Kết luận Lời giải Chọn B Thể tích lon bia lúc đầu V = π 32.15 = 135π Gọi V1 thể tích bia cịn lại lon Ta có V1 = π h = 9π h Gọi V2 thể tích bia rót Ta có V2 = πh r + r ′2 + rr ′ ) r = , r ′ bán ( kính mặt phần bia cốc r 15 30 + 2h ⇒ r′ = Nhận thấy = (do r = ) r ′ 15 + h 15 28 Vì V = V1 + V2 nên ta có phương trình π h  30 + 2h  30 + 2h    + 9π h = 135π ÷ +4+2  15  15  ⇔ 4h3 + 180h + 8775h − 91125 = ⇔ h ≈ 8,58 Q BÀI TẬP ÁP DỤNG Câu Một lọ đựng mỹ phẩm hình trụ có độ cao 6(cm) kể nắp, chu vi đường tròn đáy 8π ( cm) thiết kế hình vẽ Để giảm lượng mỹ phẩm cho vào lọ người ta tạo phần không gian bên để chứa mỹ phẩm hình nón có đỉnh nằm trục hình trụ cách đáy trụ 0,5(cm) , đáy hình nón tạo đường trịn có tâm nằm trục trụ bán kính đáy trụ hình cách đáy hình trụ khoảng 0, 5(cm) Người ta cho đầy mỹ phẩm vào lọ, thể tích mỹ phẩm cho vào lọ là: bán kính A 45π (cm3 ) B 36π (cm3 ) C 18π (cm3 ) D 15π (cm3 ) Định hướng giải - B1: Nhận xét thể tích mỹ phẩm cho vào lọ thể tích khối nón tạo Tính đường cao khối nón Bán kính đáy khối nón - B2: Tính thể tích V khối nón - B3: Kết luận Đáp án Chọn D 29 CHƯƠNG QUAN HỆ MẶT NÓN – MẶT CẦU DẠNG R MỐI QUAN HỆ GIỮA MẶT NĨN - MẶT CẦU VÍ DỤ MINH HỌA Câu Cho hình nón chứa bốn mặt cầu có bán kính , ba mặt cầu tiếp xúc với đáy, tiếp xúc lẫn tiếp xúc với mặt xung quanh hình nón Mặt cầu thứ tư tiếp xúc với ba mặt cầu tiếp xúc với mặt xung quanh hình nón Tính bán kính đáy hình nón A + + B 1+ + C + + D + + Định hướng giải - B1: Gọi A, B,C , D tâm mặt cầu thứ tư ba mặt cầu tiếp xúc đáy Suy ABCD tứ diện cạnh 2 có G tâm D BCD Xét hình nón có đỉnh S , bán kính đáy FT Tính BG ⇒ FE - B2: Tính ET - B3: Kết luận Lời giải Chọn A Gọi A, B,C , D tâm mặt cầu thứ tư ba mặt cầu tiếp xúc đáy Suy ABCD tứ diện cạnh 2 có G tâm D BCD Xét hình nón có đỉnh S , bán kính đáy FT hình vẽ 30 2 6 BG = = Þ FE = 3 · · F = 2BT · E = 2a Ta chứng minh ABG = ST BG Þ 1- tan a = Þ tana = cos2a = = = + tan2 a AB 2 Þ ET = EB = + tana Vậy bán kính đáy hình nón FT = FE + ET = + + S BÀI TẬP ÁP DỤNG Câu Một hình nón bị cắt mặt phẳng ( P ) song song với đáy Mặt phẳng ( P ) chia hình nón làm hai phần ( N 1) ( N ) Cho hình cầu nội tiếp ( N ) hình vẽ cho thể tích hình cầu nửa thể tích ( N ) Một mặt phẳng qua trục hình nón vng góc với đáy cắt ( N ) theo thiết diện hình thang cân, gọi góc nhọn hình thang cân α Khi giá trị tan α là: A B C D 31 Định hướng giải - B1: Gọi R, r0 , r bán kính hình nón ban đầu, bán kính Gọi V1 ,V2 thể tích khối cầu thể tích khối nón cụt ( N ) Biểu diễn V1 ,V2 qua yếu tố V CK h = ; h = BC − ( R − r ) = Rr , tìm tan α - B2: Sử dụng = tan α = V2 KB R − r - B3: Kết luận DẠNG BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ MỐI QUAN HỆ MẶT NĨN, MẶT CẦU T VÍ DỤ MINH HỌA Câu Người ta sản xuất vật lưu niệm ( N ) thủy tinh suốt có dạng khối trịn xoay mà thiết diện qua trục hình thang cân (xem hình vẽ) Bên ( N ) có hai khối cầu ngũ sắc với bán kính R = 3cm, r = 1cm tiếp xúc với tiếp xúc với mặt phẳng xung quanh ( N ) , đồng thời hai khối cầu tiếp xúc với hai mặt đáy ( N ) Tính thể tích vật lưu niệm A 485p cm3 ( ) B 81p ( cm ) C 72p ( cm ) D 728p cm3 ( ) Định hướng giải - B1: Vật lưu niệm khối nón cụt Tính thể tích từ cơng thức h V = B + B ¢+ BB ¢ Chiều cao khối nón cụt HP = 8p Chỉ SJ = 3SI · - B2: Tính SJ ;SI Tìm số đo góc ISE Tính HK ; PQ - B3: Tính V Lời giải Chọn D ( ) Gọi tên điểm hình vẽ SI IE Ta có = = Þ SJ = 3SI SJ JF 32 Þ I J = SJ SI = SJ 3 Þ SJ = I J = ; SI = SJ = IE sin I· SE = = Þ I· SE = 30° IS Trong tam giác D SHK có HK = SH tan30° = ( SI - IH ) = 3 Trong tam giác SPQ có PQ = SP tan30° = ( SJ + J P ) = = 3 Theo cơng thức thể tích nón cụt ta tích vật lưu niệm h HP 8p ổ 728p ữ ỗ ữ V = B + B ¢+ BB ¢ = pHK + pPQ + pHK PQ ) = + 27 + = ỗ ( ữ ỗ ữ 3 è3 ø ( U ) BÀI TẬP ÁP DỤNG Bạn An có cốc giấy hình nón với đường kính đáy 10cm độ dài đường sinh 8cm Bạn dự định đựng viên kẹo hình cầu cho tồn viên kẹo nằm cốc (không phần viên kẹo cao miệng cốc) Hỏi bạn An đựng viên kẹo có đường kính lớn bao nhiêu? Câu A 10 39 cm 13 Định hướng giải B 32 39 cm C 39 cm 13 D 64 39 cm · - B1: Nhận xét : r = SI tanASI Þ viên kẹo có đường kính lớn SI lớn nhất, viên kẹo tiếp xúc với đáy cốc giấy hình nón Hay r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác SAB - B2: Tìm r , sử dụng r = SSAB p - B3: Kết luận Đáp án Chọn A 33 Câu (Thi thử ĐH 2019 – 2020 tỉnh Ninh Bình) Có bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước Người ta cho khối nón giống có thiết diện qua trục tam giác vuông cân vào bể nước cho đường trịn đáy khối nón đơi tiếp xúc với nhau,một khối nón có đường kính đáy tiếp xúc với cạnh đáy bể hai khối nón cịn lại có đường kính đáy tiếp xúc với hai cạnh đáy bể Sau người ta đặt lên đỉnh ba khối nón khối cầu có bán kính lần bán kính đáy khối nón 337π (lít) Thể tích nước 24 ban đầu bể thuộc khoảng (đơn vị tính: lit)? A ( 150;151) B ( 138;139 ) C ( 151;152 ) D ( 139;140 ) Biết khối cầu vừa đủ ngập nước tổng lượng nước trào Định hướng giải - B1: Để tính thể tích nước ban đầu, ta cần tính : Chiều dài khối hộp b ; Chiều rộng khối a hộp chiều cao khối hộp c Gọi r bán kính hình nón, biểu diễn đường cao hình nón, bán kính khối cầu theo r Thể tích nước tràn tổng thể tích khối nón thể tích khối cầu ⇒ r - B2: Tính a, b, c từ b = 4r ; a = r + h∆ABC + r ; c = h + R + d ( I , ( MNP ) ) , với h∆ABC đường cao tam giác ABC ; d ( I , ( MNP ) ) khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng qua đỉnh hình nón - B3: Tính thể tích nước ban đầu abc Lời giải Chọn C 34 CHƯƠNG QUAN HỆ MẶT TRỤ – MẶT CẦU DẠNG V MỐI QUAN HỆ GIỮA HÌNH TRỤ VÀ HÌNH CẦU, MIN MAX VÍ DỤ MINH HỌA Câu Cho hình trụ có bán kính đáy cố định R ( R > 0) , chiều cao thay i h , ổ 3R 3R ữ ỗ ữ Ê h Ê ỗ , v O ' l tõm đáy, điểm I thuộc đoạn thẳng OO ' cho ữ ỗ ữO 2ứ ố4 OO ' = 3OI Gọi ( S ) mặt cầu qua điểm I chứa đường tròn đáy tâm O hình trụ Tính thể tích khối trụ khối cầu ( S ) tích nhỏ A VT = pR B VT = 3pR C VT = 3pR D VT = pR Định hướng giải - B1: Gọi AB đường kính đáy tâm O hình trụ K , r tâm bán kính mặt cầu ( S ) Chỉ O nằm K I - B2: Từ tam giác AK O vng O Þ r = Chỉ V( S ) nhỏ Û Từ OI £ R + OI 2OI R + OI nhỏ 2OI R tìm GTNN khối trụ - B3: Kết luận Lời giải Chọn C Gọi AB đường kính đáy tâm O hình trụ Gọi K , r tâm bán kính mặt cầu ( S ) é3R 3R ù éR R ù ; únên OI Ỵ ê ; úÞ OI < OA Þ O nằm Vì OO ' = 3OI OO ' = h Ỵ ê ê4 ú ê4 ú ë û ë û K I Xét tam giác AK O vng O, có: AK = OA2 +OK Þ r = R + ( r - OI ) Þ r = Ta có: V( S) = R + OI 2OI pr 2 V( S) nhỏ r nhỏ Û R + OI nhỏ 2OI 35 3 R R2 + 2OI ³ 2R - OI ³ - R (do OI £ ) 2OI 2 R + OI R Suy = + 2OI - OI ³ R 2OI 2OI R 3R Dấu " = " xảy OI = Þ h = OO ' = Vậy thể tích khối cầu ( S ) nhỏ 2 Vì 3pR thể tích khối trụ là: VT = p.R 2.h = p.R R = 2 W BÀI TẬP ÁP DỤNG Câu Người ta xếp hai cầu có bán kính r vào chiệc hộp hình trụ cho cầu tiếp xúc với hai đáy, đồng thời hai cầu tiếp xúc với cầu tiếp xúc với đường sinh hình trụ (tham khảo hình vẽ) Biết thể tích khối trụ 120cm2 , thể tích khối cầu A 10cm B 20cm C 30cm D 40cm Định hướng giải - B1:Gọi R , h bán kính đáy chiều cao hình trụ, tìm R , Þ R = h = 2r - B2: Từ thể tích khối trụ 120cm2 Þ r - B3: Tìm thể tích khối cầu Đáp án Chọn B 36 DẠNG X BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ MỐI QUAN HỆ MẶT TRỤ, MẶT CẦU VÍ DỤ MINH HỌA 256 p cm3 đặt vào bánh cốc dạng hình trụ với đường kính đáy r chiều cao h = 2r Biết phần kem nhô khỏi 27 bánh cốc chiếm viên kem, tính thể tích cốc 32 Câu Một viên kem hình cầu tích A 432p 3( cm ) B 1296p 3( cm ) C 16p 3( cm ) D 48p 3( cm ) ( ) Định hướng giải - B1: Từ thể tích viên kem tìm bán kính viên kem Gọi a chiều cao phần kem bánh ( < a < 4) , tìm thể tích phần kem bánh theo a - B2: Thiết lập phương trình theo a - B3: Kết luận Lời giải Chọn D Tính bán kính viên kem 4cm Gọi a chiều cao phần kem bánh ( < a < 4) , thể tích phần kem là: V = pa 256p 3r + a2 = Û a 3r + a2 = 80 32 ( ) ( ) Mà ( - a) + r = 42 Û r = 8a - a2 ( Þ aé ê ë éa = 2( T M ) ê ê 2ù 8a - a + a ú= 80 Û 2a - 24a + 80 = Û êa = - ( L ) Þ r = û ê êa = + 5( L ) ê ë ) Vậy thể tích cốc Vtru = pr 2r = 48 3p ( cm ) 37 Y BÀI TẬP ÁP DỤNG Câu Một cốc nước có dạng hình trụ chiều cao 15cm , đường kính đáy 6cm , lượng nước ban đầu cốc cao 10cm Thả vào cốc 5viên bi hình cầu có đường kính 2cm Hỏi sau thả 5viên bi, mực nước cốc cách miệng cốc cm ? (Kết làm tròn sau dấu phẩy chữ số) A 4,26cm B 4,81cm C 4,25cm D 3,52cm Định hướng giải - B1: Mực nước cốc cách miệng khoảng l = 15 − 10 − h với h mực nước sau thả viên bi vào cốc tăng thêm V - B2: Tìm h = , đó: V thể tích viên bi Sday - B3: Kết luận Đáp án Chọn A CHƯƠNG QUAN HỆ MẶT NÓN - MẶT TRỤ – MẶT CẦU Cho hình cầu ( S ) tâm O , bán kính R Hình cầu (S) ngoại tiếp hình trụ trịn xoay ( T ) có đường cao đường kính đáy hình cầu ( S ) lại nội tiếp nón trịn xoay ( N ) có góc đỉnh 60o Tính tỉ số thể tích hình trụ ( T ) hình nón Câu ( N) A VT = VN B VT = VN C VT = VN D Đáp án khác Định hướng giải 38 - B1: Phân tích đề: Nhận xét: Khi cắt hình theo mặt cắt qua đỉnh nón vng góc với mặt phẳng đáy ta thiết diện hình trịn tâm O bán kính R ngoại tiếp hình vng ABCD nội tiếp tam giác SEF , EF / / AB - B2: Tính thể tích khối trụ:  AB  VT = π  ÷ BC   Do O trọng tâm tam giác SEF ⇒ SH ; EH ⇒ VN - B3: Lập tỉ số, kết luận Lời giải Chọn A Khi cắt hình theo mặt cắt qua đỉnh nón vng góc với mặt phẳng đáy ta thiết diện hình bên Khi đó, gọi R bán kính hình cầu ( S ) Bài toán quy về: Cho hình trịn tâm O bán kính R ngoại tiếp hình vuông ABCD nội tiếp tam giác SEF , EF / / AB Tam giác OAB vuông cân O nên AB = BC = R π R3  AB  Thể tích khối trụ: VT = π  BC = ÷   Ta thấy, tâm O hình trịn tâm hình vng ABCD đồng thời trọng tâm tam giác SEF Như vậy, đường cao tam giác SEF SH = 3OH = 3R ¼ = 30° ) ⇒ EH = OH = R Tam giác EOH (vuông H , EOH 1 2 Thể tích hình nón VN = π EH SH = π 3R 3R = 3π R 3 πR V Vậy T = = VN 3π R 39 V Hiệu kinh tế xã hội dự kiến đạt Hiệu kinh tế: Với việc sáng kiến kinh nghiệm tự tổng hợp, biên soạn không tiền quyền tốn chi phí in ấn, sáng kiến tiết kiệm đến 50.000 với 1000 học sinh sử dụng( Học sinh khóa từ 2018 đến 2020) tiết kiệm đến 30 triệu Nếu áp dụng nhân rộng toàn tỉnh với số luợng 27 trường THPT tiết kiệm số tiền lớn sản phẩm tri thức có giá trị Hiệu xã hội: - Đối với học sinh, phụ huynh xã hội: Với tài liệu tay thầy cô trường viết, học sinh cảm thấy hào hứng học tập, phụ huynh cảm thấy tự hào ngơi trường mà gửi gắm em Trong kì thi học kì thi thử thấy em tự tin nhiều gặp câu hỏi chủ đề này, kể câu khó Nhà trường ngày thu hút nhiều học sinh có chất lượng dự thi vào trường - Đối với nhà trường THPT Kim Sơn B: Sau áp dụng sáng kiến nhà trường thu kết tốt, tạo tin tưởng chuyên môn nhóm tốn nhà trường Đồng thời khích lệ phong trào viết sáng kiến, cải tiến phương pháp dạy học đạt hiệu cao Đóng góp vào nâng cao chất lượng giảng dạy nhà trường nhiều năm gần đơn vị có điểm thành tích học tập mơn tốn tốp dẫn đầu khối THPT tỉnh Ninh Bình - Đối với việc giảng dạy: Sáng kiến tiếp tục đóng góp vào việc giáo viên tích cực đổi phương pháp giảng dạy, đặc biệt em học sinh có lực học trở lên tự học, tự đọc nhà Nội dung Sáng kiến tài liệu tham khảo áp dụng cho tất trường THPT toàn tỉnh (27 trường THPT) Đặc biệt cho đối tượng học sinh ôn thi THPT Quốc gia Là chuyên đề giảng dạy hiệu cho giáo viên VI Điều kiện khả áp dụng Khả áp dụng sáng kiến thực tiễn: Rộng rãi tất trường trung học phổ thông Hiện nay, hầu hết trường THPT coi trọng vấn đề dạy ôn thi THPT Quốc gia cho học sinh, mà mơn Tốn mơn thi nằm nhiều khối thi học sinh Vì vấn đề dạy ơn thi THPT Quốc gia mơn Tốn nhà trường quan tâm nhiều Mà nội dung chuyên đề “Mặt nón – Mặt trụ - Mặt cầu” phần nội dung quan trọng khó nhiều học sinh khó khăn với giáo viên công việc soạn đề kiểm tra đề thi Do đó, việc 40 áp dụng sáng kiến vào thực tiễn giảng dạy khả quan Vấn đề khơng cịn nằm khả truyền đạt thầy giáo mà cần có cố gắng nhà trường, giáo viên học sinh Điều kiện áp dụng sáng kiến: Để áp dụng sáng kiến cho đạt hiệu tốt cần: + Nhiều dạng toán mới, nhiều dạn tốn khó giáo viên cần nghiên cứu kĩ trước sáng kiến để truyền thụ tốt lượng kiến thức đến đối tượng học sinh + Tùy theo đối tượng học sinh lớp mà đưa mức độ ví dụ sáng kiến cho phù hợp Tuy nhiên sáng kiến phù hợp với đối tượng học sinh giỏi ôn luyện thi đạt điểm cao + Kiểm tra tiếp thu học sinh nội dung sáng kiến qua việc làm giải tập nhà + Thường xuyên cập nhật đề thi THPT Quốc gia thi thử trường để bổ sung vào sáng kiến góp phần làm phong phú kho tập Tôi xin cam đoan thông tin nêu đơn trung thực, thật hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật Kim Sơn, ngày 07 tháng 05 năm 2019 XÁC NHẬN CỦA LÃNH ĐẠO ĐƠN VỊ Người nộp đơn (Ký ghi rõ họ tên) Ngô Thị Yến 41 PHỤ LỤC 42 ... CHƯƠNG Mặt nón, khối nón CHƯƠNG Mặt trụ, khối trụ CHƯƠNG Mặt cầu, khối cầu CHƯƠNG Quan hệ mặt nón, mặt trụ CHƯƠNG Quan hệ mặt nón, mặt cầu CHƯƠNG Quan hệ mặt trụ, mặt cầu CHƯƠNG Quan hệ mặt nón, ... vấn đề chủ đề Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu, đặc biệt số câu mức độ vận dụng, vận dụng cao chưa xuất đề thi trước toán thực tế, max mặt nón, mặt trụ mối quan hệ mặt nón, mặt trụ mặt cầu Giải pháp... mặt cầu ngoại tiếp BC - B2: Tính R = IA = OI + OA2 , OA = RABC = 2sinA - B3: Kết luận Đáp án Chọn B CHƯƠNG QUAN HỆ MẶT NÓN – MẶT TRỤ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP NÂNG CAO DẠNG MỐI QUAN HỆ MẶT NĨN – MẶT