ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TOÁN - - KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀO GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Giảng viên hướng dẫn : Ths Nguyễn Viết Đức Sinh viên thực : Lê Thị Khánh Linh Lớp : 11ST Đà Nẵng, tháng 05 năm 2015 Lời cảm ơn Được phân cơng khoa Tốn, trường Đai học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng với đồng ý giáo viên hướng dẫn, tơi tiến hành làm khóa luận với đề tài “Ứng dụng đại số tuyến tính vào giải hệ phương trình vi phân” Để thực khóa luận này, em xin gởi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy giáo khoa Tốn tận tình giảng dạy, hướng dẫn cho em suốt q trình học Tốn trường Đại học Sư Phạm Đặc biệt, cho phép em gởi lời biết ơn đến thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Viết Đức người trực tiếp hướng dẫn em suốt trình nghiên cứu đề tài Trong khoảng thời gian nghiên cứu, em gặp nhiều khó khăn bỡ ngỡ thân cố gắng vượt qua yếu để hồn thành khóa luận Tuy nhiên thời gian nghiên cứu có hạn, kiến thức cịn nhiều hạn chế nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì thế, kính mong q thầy bạn đọc góp ý, bổ sung giúp đỡ để em hoàn thiện đề tài Xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, tháng năm 2015 Sinh viên thực Lê Thị Khánh Linh MỤC LỤC Trang bìa Lời cảm ơn Mục lục Phần mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Ý nghĩa khoa học Bố cục khóa luận Phần nội dung Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN Các kiến thức cần biết đại số tuyến tính 1.1 Khơng gian vectơ 1.2 Ma trận phép biến đổi tuyến tính 1.3 Tốn tử tuyến tính, trị riêng vectơ riêng 1.4 Đa thức đặc trƣng 1.5 Ma trận chéo Các kiến thức hệ phƣơng trình vi phân 2.1 Các định nghĩa 2.2 Phƣơng pháp thơng thƣờng giải hệ phƣơng trình vi phân chuẩn tắc cấp 2.3 Các tính chất đại số nghiệm hệ phƣơng trình vi phân Chƣơng 2: CÁC PHƢƠNG PHÁP ÁP DỤNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀO GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Phƣơng pháp trị riêng – vectơ riêng 1.1 Trƣờng hợp trị riêng thực phân biệt 1.2 Trƣờng hợp trị riêng phân biệt số phức Phƣơng pháp dùng hàm mũ ma trận Tiểu kết Chƣơng 3: MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Phƣơng pháp trị riêng – vectơ riêng Ví dụ Ví dụ Ví dụ Ví dụ Phƣơng pháp dùng hàm mũ ma trận Ví dụ Ví dụ Ví dụ 3 Một vài tập áp dụng Phần kết luận Tài liệu tham khảo PHẦN MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Ngày nay, lĩnh vực phƣơng trình vi phân không ngừng đƣợc phát triển chuyên ngành quan trọng toán học với nhiều ứng dụng khoa học công nghệ thực tiễn Hệ phƣơng trình vi phân khái niệm quan trọng chuyên ngành phƣơng trình vi phân Nhìn chung, việc giải hệ phƣơng trình vi phân phức tạp trừ vài dạng quen thuộc Vì vậy, bên cạnh việc tìm cơng thức nghiệm ngƣời ta cịn sâu vào việc nghiên cứu tốn tồn nghiệm, toán tính ổn định, tính trơn nghiệm… Nhìn chung, lý thuyết hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính lý thuyết khó, nghiệm hệ cho bao gồm n hàm số cần tìm ta phải tìm đƣợc n nghiệm độc lập tuyến tính nhƣ tìm đƣợc nghiệm tổng quát phƣơng trình Trong hệ phƣơng trình vi phân, hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hệ số hệ đơn giản Tuy nhiên, số lƣợng tốn giải hệ phƣơng trình vi phân loại mà chƣa giải đƣợc nhiều hay số phƣơng pháp giải dẫn đến giải phức tạp, địi hỏi sinh viên phải có nhiều kiến thức tổng hợp hiểu đƣợc Với phát triển vƣợt bậc Toán học, kiến thức đại số tuyến tính gần nhƣ quan trọng thiết yếu hầu hết sinh viên trƣờng đại học Để việc giải hệ phƣơng trình vi phân trở nên đơn giản hơn, dể hiểu sinh viên, nhà Toán học tìm số phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình vi phân cách sử dụng kiến thức đại số tuyến tính mà kiến thức tƣơng đối gần gũi dễ hiểu sinh viên Hơn nữa, phƣơng pháp giải đƣợc số hệ phƣơng trình phức tạp cách đơn giản Để tổng hợp kiến thức đại số tuyến tính áp dụng vào giải hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hệ số thông thƣờng nhƣ khó nữa, trình bày cụ thể cách thức áp dụng chúng để giải hệ phƣơng trình vi phân cho trƣớc, định chọn đề tài: Ứng dụng đại số tuyến tính vào giải hệ phương trình vi phân MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Nghiên cứu số kiến thức đại số tuyến tính để áp dụng vào giải hệ phƣơng trình vi phân trình bày cụ thể phƣơng pháp để áp dụng kiến thức đại số tuyến tính vào giải hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hệ số cho trƣớc Từ đó, sinh viên hiểu sâu có cơng thức nghiệm hệ phƣơng trình vi phân mà ta có đƣợc giải phƣơng pháp khác, đồng thời giúp sinh viên biết cách giải tốn hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hệ số phƣơng pháp đại số tuyến tính NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: - Nghiên cứu sở lí luận có liên quan đến đại số tuyến tính hệ phƣơng trình vi phân - Nghiên cứu kiến thức đại số tuyến tính cần có để giúp giải hệ phƣơng trình vi phân - Nghiên cứu phƣơng pháp cách áp dụng kiến thức đại số tuyến tính vào giải hệ phƣơng trình vi phân PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: - Tìm kiếm, tổng hợp tài liệu từ giáo trình, sách vở, trang web phƣơng trình vi phân, đại số tuyến tính - Sau đó, đọc - dịch sàn lọc, khái qt, hệ thống hóa để trình bày rõ ràng, lôgic nội dung nghiên cứu PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Khóa luận tập trung nghiên cứu nội dung kiến thức đại số tuyến tính giúp giải đƣợc hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hệ số Ý NGHĨA KHOA HỌC: Khóa luận giúp làm rõ cách giải hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hệ số phƣơng pháp áp dụng kiến thức đại số tuyến tính thơng qua hệ thống ví dụ minh họa Hơn nữa, qua việc nghiên cứu hiểu rõ kiến thức lý thuyết đại số tuyến tính giúp giải đƣợc hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hệ số hằng, sinh viên hiểu rõ ràng chất cơng thức nghiệm hệ phƣơng trình vi phân mà ta có đƣợc Từ đó, tạo điều kiện, tảng để sinh viên tìm hiểu nghiên cứu dạng tổng quát BỐ CỤC CỦA KHÓA LUẬN: Ngoài mục lục, phần mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo khóa luận có phần nội dung gồm chƣơng: Chƣơng 1: Cơ sở lý luận Các kiến thức cần biết đại số tuyến tính Các kiến thức hệ phƣơng trình vi phân Chƣơng 2: Các phƣơng pháp áp dụng đại số tuyến tính vào giải hệ phƣơng trình vi phân Phƣơng pháp trị riêng – vectơ riêng Phƣơng pháp dùng hàm mũ ma trận Chƣơng 3: Một số ví dụ minh họa PHẦN NỘI DUNG Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN CÁC KIẾN THỨC CẦN BIẾT VỀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH: 1.1 Khơng gian vectơ: 1.1.1 Định nghĩa không gian vectơ: Tập hợp V đƣợc gọi không gian vectơ trƣờng số F (hay F – không gian vectơ hay không gian tuyến tính) ta xác định đƣợc phép cộng (+) V phép nhân (.) với số thuộc trƣờng F V mà thỏa mãn tiên đề sau: (1) Phép cộng V có tính chất giao hoán: x, y V : x  y  y  x (2) Phép cộng V có tính chất kết hợp: x, y, z V : x   y  z    x  y   z (3) Tồn phần tử không V, ký hiệu O: x V : O  x  x  O  x (4) Với x V tồn phần tử đối x V, ký hiệu   x  : x  x  O (5) Tồn phần tử đơn vị V, ký hiệu 1: 1.x  x (6) Phép nhân ngồi V có tính chất kết hợp:  ,   F ; x V :  .x     x  (7) Phép nhân ngồi V có tính chất phân phối phép cộng V:   F ; x, y V :   x  y    x   y (8) Phép cộng F có tính chất phân phối phép nhân V:  ,   F ; x V :    .x   x   x Mỗi phần tử x V đƣợc gọi vectơ, phần tử   F đƣợc gọi vơ hƣớng Ví dụ: + n không gian vectơ trƣờng số thực + m không gian vectơ trƣờng số phức 1.1.2 Không gian vectơ con: Cho V không gian vectơ trƣờng số F Tập hợp V ' mà  V '  V gọi không gian vectơ không gian vectơ V nếu: (1) x, y V ': x  y V ' (2) x V ;   F :  x V ' Định lý: Cho V không gian vectơ trƣờng F V '  V , điều kiện cần đủ để V ' không gian của V là:  ,   F ; x, y V ':  x   y V ' 1.1.3 Hệ độc lập tuyến tính, hệ phụ thuộc tuyến tính: - Hệ n vectơ x1, x2 , , xn  không gian vectơ V trƣờng F đƣợc gọi độc lập tuyến tính có 1x1   x2    n xn  O kéo theo 1      n  - Ngƣợc lại, hệ n vectơ đƣợc gọi hệ phụ thuộc tuyến tính Tức là: Tồn i  cho 1x1   x2    n xn  O 1.1.4 Cơ sở không gian vectơ: Cơ sở không gian vectơ V trƣờng F hệ vectơ x1, x2 , , xn  thỏa điều kiện sau: (1) x V , x tổ hợp tuyến tính x1, x2 , , xn Nghĩa x viết đƣợc dƣới dạng: x  1x1   x2    n xn , với i  F , i  1, n (2) Hệ x1, x2 , , xn  độc lập tuyến tính 1.1.5 Số chiều khơng gian vectơ: Cho V không gian vectơ trƣờng F Số vectơ sở V đƣợc gọi số chiều không gian vectơ V Ký hiệu là: dim  E  1.2 Ma trận phép biến đổi tuyến tính: 1.2.1 Phép biến đổi tuyến tính (ánh xạ tuyến tính): Cho V, W khơng gian vectơ trƣờng F Ánh xạ T: V  W tƣơng thích với phép cộng phép nhân vơ hƣớng sau: T  v1  v2   T  v1   T  v2  T  cv   cT  v  với v1, v2 , v V ; c  F đƣợc gọi phép biến đổi tuyến tính (ánh xạ tuyến tính) hay phép đồng cấu 1.2.2 Phép nhân trái ma trận A: Cho A   aij  m  n - ma trận với phần tử thuộc trƣờng F xem A nhƣ phép toán vectơ cột X   x1; x2 ; ; xn  Khi đó, A xác định phép biến t đổi tuyến tính đƣợc gọi phép nhân trái ma trận A: Fn  Fm X AX Thật vậy, A X1  X   AX1  AX A cX   c  AX  với X1, X , X  F n ; c  F 1.2.3 Hạt nhân ảnh phép biến đổi tuyến tính: Cho phép biến đổi tuyến tính T: V  W + Hạt nhân T là: ker T  v V / T  v   0 + Ảnh T: imT  w  W / w  T  v  / v V  Chú ý: Cho A n  n - ma trận thực phức Các cột ma trận etA tạo thành sở không gian vectơ nghiệm hệ phƣơng trình vi phân dX  AX dt Trƣớc chứng minh định lý này, ta ghi nhận mệnh đề bổ đề sau: + Mệnh đề (3): Cho A n  n - ma trận, xét e At nhƣ hàm ma trận giá trị, t biến vô hƣớng: t2 t3 e  I  tA  A  A  2! 3! tA Khi đó, etA hàm khả vi theo biến t đạo hàm A etA + Bổ đề: Cho A(t) B(t) hàm ma trận - giá trị khả vi theo biến t, có kích thƣớc phù hợp để tích chúng xác định Khi đó, ma trận tích A(t).B(t) khả vi đạo hàm là: d dA dB A  t  B  t    B A  dt dt dt Chứng minh định lý (*): Cho X(t) nghiệm dX  AX , ta có: dt d tA e X (t)    AetA X (t)  etA AX (t)  dt Mà A etA giao hoán, nên d tA t e X (t)   Vậy, etA X (t)  C với C   c1 , c2 , , cn   dt vectơ Do đó, X (t)  etA.C Điều thể X(t) tổ hợp tuyến tính cột etA Biểu diễn nhất, etA ma trận khả nghịch Định lý đƣợc chứng minh Nhƣ vậy, theo định lí (*), ma trận mũ giúp ta giải đƣợc hệ phƣơng trình vi phân dX  AX Tuy nhiên, khơng dễ dàng để viết phần tử ma trận e A dt Các phần tử e A thƣờng khơng thu đƣợc cách mũ hóa phần tử A Nhƣng có trƣờng hợp mà hàm mũ ma trận đƣợc tính cách dễ dàng, A ma trận chéo * Khi A chéo phần tử đƣờng chéo e A ma trận chéo phần tử đƣờng chéo e A e * Mũ hóa ma trận giải đƣợc ta biết trƣớc ma trận P cho PAP 1 chéo Sử dụng quy tắc: PAk P 1   PAP 1  tính chất phân phối phép nhân k ma trận, ta có: Pe A P 1  PIP 1  PAP 1  1 PAP 1    e PAP  2! Giả sử PAP1  A chéo, phần tử đƣờng chéo i Khi đó, e A chéo phần tử đƣờng chéo ei Vậy, ta tính e A cách rõ ràng nhƣ sau: e A  P1e A P Ví dụ:  dx1  dt  x1  x2 Giải hệ phƣơng trình:  ? dx   x  2x  dt Giải: 2 1 Đặt A    Ta có hai trị riêng A 1  1, 2  Từ ta tính đƣợc ma trận   1  chéo A    0 3  et e  At Suy ra: e   e  3 0 e  0 0  e 3t   1 1 et Vậy, e  P e P     1  0   1 1  et  e3t     e3t   1  et  e3t A At 1 At et  e3t   et  e3t  Không gian nghiệm hệ phƣơng trình vi phân cho có sở gồm hai vectơ:  x1   et  e3t   x1   et  e3t      t x    t 3t  3t   2  x2   e  e   e  e  * Hàm mũ ma trận dễ dàng tính đƣợc  - ma trận cách khai triển chuỗi Taylor’s Ví dụ, 1  1  1  1  e *  A e      Cho A   Khi đó,  0  0  0  0 e  0          Tuy nhiên, số trƣờng hợp, cách tính dẫn đến tốn tìm giá trị thành phần * biết đƣợc chuỗi Taylor’s * Áp dụng mệnh đề (2), ta cịn tính hàm mũ ma trận cách tách ma trận ban đầu thành ma trận giao hoán đơn giản Ví dụ: 2 3 0   e  Xét ma trận A   Ta có: với A  I  B 12  0  0 2   Khai triển chuỗi Taylor’s ta tính đƣợc: e2 e e I  0 2I 0 B 1 3 e  I  B  ;   1 e2    e2 3e2  Do 2I B giao hoán nên e  e e    e   A 2I B * Cuối cùng, ta chứng minh mệnh đề (1), (2) (3) phát biểu trên: Ta đặt thành phần hàng thứ i, cột thứ j ma trận A Aij  AB ij ký hiệu thành phần ma trận tích AB,  Ak  thành phần Ak ij Với ký hiệu trên, thành phần hàng thứ i, côt thứ j e A là: e  A ij  I ij  Aij   A ij  2! Ta định nghĩa chuẩn ma trận A giá trị lớn trị tuyệt đối thành phần ma trận A: A  max Aij i, j Nói cách khác, A số thực nhỏ cho: Aij  A ; i, j Bổ đề (*): Cho A, B ma trận vuông cấp n Khi đó, AB  n A B Ak  nk 1 A ; k  k Chứng minh: Ta có:  AB ij  n  Aiv Bvj   Aiv Bvj  n A B v 1 v Do đó, AB  n A B Qui nạp bất đẳng thức AB  n A B ta đƣợc bất đẳng thức Ak  nk 1 A ; k  k Chứng minh mệnh đề (1): Đặt a  n A Khi đó, e  1 A2    A3    ij ij ij 2! 3! 1   A  n A  n A  2! 3! ea  1       a  a  a   / n   2! 3! n   A  I ij  Aij  Chứng minh mệnh đề (2): (i) Các hạng tử có bậc k khai triển là:  x  y k k  / k !     x r y r / k ! r  s k  r  xr y s  r  s k r ! s ! Để chứng tỏ hạng tử ta cần chứng tỏ rằng: k   k  k! / k !  , k , r, s : r  s  k r r r !s !     r !s ! (ii) Ta kí hiệu Sn  x    x x2 xn    Khi đó, 1! 2! n!  x x2 x n  y y2 y n  n xr y s Sn  x  Sn  y   1     1        n!  1! 2! n!  r ,s 0 r ! s!  1! 2! Trong đó, n  x  y  x  y  x  y  Sn  x  y   1        1! 2! n!   n k  r s xr y s      x y / k!   k 0 r  s  k  r  k 0 r  s  k r ! s ! n So sánh hạng tử này, ta nhận thấy Sn  x  y   S n  x  S n  y  với điều kiện r  s  n Điều ta thay x, y ma trận giao hoán A, B Bây ta phải chứng minh tổng dần k dần  Bổ đề:  Ar B s  Chuỗi     hội tụ với i, j k r  s  k  r ! s ! ij Chứng minh: Đặt a  n A b  n B Theo bổ đề (*), ta có: A B  r s ij   n nr 1 A r  n s 1 B s   a b Do đó, r s  Ar B s  ar bs  e a b k r      s  k  r ! s ! ij k r  s k r ! s ! Mệnh đề đƣợc suy từ bổ đề hay nói cách khác, phần tử thứ i, j  S  A S  B   S  A  B   k k k ij  Ar B s  bị chặn    r  s  k  r ! s ! ij Theo bổ đề, tổng dần k dần  hay:  S  A S  B   S  A  B   k k k ij   e Ae B  e A B  Chứng minh mệnh đề (3): d tA e Bằng định nghĩa  e   lim h0 dt t h A  etA h Khi ma trận tA hA giao hoán, mệnh đề (2) chứng tỏ e t h A h  etA  ehA  I  tA  e h   Vì vậy, mệnh đề suy từ bổ đề: Bổ đề:  ehA  I  lim    A h0  h  Chứng minh:  ehA  I  h h2 Khai triển chuỗi ta có    A  A  A  2! 3!  h  (k) Đặt a  h n A Khi đó,  h h2  h h2  A ij   A  A     A ij  3! 3!  2! ij 2! 1 2 1  h n A  h n A   A  a  a   2! 3! 3!  2!  A a  ea     e   a   A  a  1 a    Chú ý a  h  Khi đạo hàm e x e x , ea  d x lim  e a 0 a dx  e0  x 0 Vậy, (k) dần với h TIỂU KẾT: 3.1 Các bước giải hệ phương trình vi phân phương pháp trị riêng – vectơ riêng: Hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hệ số có dạng ma trận là: dX  AX dt (*) (A n  n - ma trận; X hàm vectơ – giá trị n chiều) Hệ (*) đơn giản A ma trận chéo: (I)  dx1  dt  a1 x1 (t)   dx2  a x (t) 2  dt    dxn  a x (t) n n  dt ( phần tử đƣờng chéo A) Các hệ số hệ phƣơng trình (I) trị riêng ma trận A  x1  c1e a1t  Giải (I) ta có:  ci số  x  c e ant n  n  X  v.eat nghiệm riêng dX  AX (a trị riêng A, v vectơ dt riêng ứng với trị riêng a) Mỗi nghiệm tổ hợp tuyến tính nghiệm riêng ứng với trị riêng thực phân biệt A Nếu ma trận A khơng ma trận chéo ta hóa chéo ma trận A: Gọi sở B ma trận gồm vectơ riêng A Đặt P   B  1 Ta có, A  PAP1 chéo X  PX  X  P1 X Giải hệ dX  AX tìm đƣợc X Từ ta tìm đƣợc X nghiệm ban đầu cần tìm dt Với ma trận có trị riêng phức: Ta giải hệ phƣơng trình vi phân bình thƣờng nhƣ trƣờng hợp giá trị thực Từ đó, ta tìm đƣợc nghiệm phức Dùng công thức eat  er st  er  cos s  i sin s  để tìm phần thực, phần ảo nghiệm phức nghiệm thực hệ phƣơng trình vi phân ban đầu tổ hợp tuyến tính nghiệm thực phần thực, phần ảo nghiệm phức 3.2 Các bước giải hệ phương trình vi phân phương pháp ma trận mũ: Để giải hệ phƣơng trình vi phân phƣơng pháp ma trận mũ, ta cần ghi nhớ cách thông thƣờng để tính e A với A n  n - ma trận cho trƣớc: A A2 - Cách 1: Khai triển chuỗi: e  I    1! 2! A - Cách 2: Tách ma trận A thành hai hay nhiều ma trận giao hoán với đơn giản Sau đó, tính hàm mũ ma trận chúng - Cách 3: Hóa chéo ma trận A (nhƣng thực đƣợc ma trận có trị riêng phân biệt) Cuối dựa vào định lí (*) nêu ta suy đƣợc tập nghiệm hệ phƣơng trình vi phân dX  AX tổ hợp tuyến tính cột ma trận e At dt Chƣơng 3: MỘT VÀI VÍ DỤ MINH HỌA PHƢƠNG PHÁP TRỊ RIÊNG – VECTƠ RIÊNG: Ví dụ 1: 1  dX Cho ma trận A   Giải hệ phƣơng trình vi phân  AX ?  dt 0  Giải: Ma trận A có hai trị riêng phân biệt là: 1  , 2  1  1 Hai vectơ riêng tƣơng ứng là: v1    ; v2    0  1 Vậy, nghiệm tổng quát hệ cho là: 1  1 X (t)  c1   et  c2   e2t 0 1 Ví dụ 2:  dx1  dt  x1  x2 Giải hệ phƣơng trình sau:  ? dx   x  2x  dt Giải: Trong phần trƣớc ta giải hệ phƣơng pháp dùng hàm mũ ma trận Bây ta giải hệ phƣơng pháp trị riêng – vectơ riêng so sánh kết x  2 1 dX  AX Đặt A   X    Hệ phƣơng trình cho trở thành:  x dt    2 Ma trận A có hai trị riêng phân biệt  1 1 Hai vectơ riêng tƣơng ứng     1 1 Vậy, nghiệm cho tổ hợp tuyến tính hai nghiệm sở:  x1   et   x1  e3t   x    t   x    3t   2  e    e  Ví dụ 3:  x1'     x1  Giải hệ phƣơng trình sau:  '     x  ?  x  2    Giải: Đa thức đặc trƣng det  A   I        det  A   I       3i     3i 1 Với    3i , vectơ riêng tƣơng ứng b    i  2t 2t 2t 2t 1  23i t e cos3t  ie sin3t  e sin3t  e sin3t    2t Ta có: e b    e    2t   i  2t  2t  e sin3 t  ie cos3 t  e sin3 t e cos3 t i        t Vậy nghiệm tổng quát hệ phƣơng trình là: e2t sin3t  e2t sin3t  V  t   c1  2t   c2  2t   e sin3t  e cos3t  Ví dụ 4: 1 0  dX Cho A  0 1 Tìm nghiệm hệ  AX ? dt 0 1  Giải: Đa thức đặc trƣng det  A   I   1     1     1       2   det  A   I          i     i + Với   1, vectơ riêng tƣơng ứng v1  1,0,0  t 1  Vậy, hệ có nghiệm riêng x1  0  et 0  + Với    i , vectơ riêng v2 tƣơng ứng thỏa:  i 0   b1  0 0   A   I  v2    i 1 b2   0  v2  im với m số tùy ý Chọn  i  b3  0  m  0  v2  i    1  Nghiệm phức x  e1i t v  e1i t  v1  iv  Trong đó, v1  (0,0,1)t ; v2  (0,1,0)t Phần thực nghiệm phức là:   Re  x     sin t  et    cos t  Phần ảo nghiệm phức là:   Im  x   cos t  et    sin t  Vậy, hệ cho có nghiệm độc lập tuyến tính là: x1,Re  x  ,Im  x  Nghiệm tổng quát hệ là: x  c1.x1  c2 Re  x   c3 Im  x  với c1,c2 ,c3 số tùy ý PHƢƠNG PHÁP DÙNG HÀM MŨ MA TRẬN: Ví dụ 1: 3  dX  AX ? Cho A   Tìm nghiệm hệ  dt 1  Giải: Ma trận A có hai trị riêng phân biệt là: 1  1, 2   1 2 Hai vectơ riêng tƣơng ứng là: v1    ; v2    1 1   1 2 1  A  Đặt P 1  B   Ma trận chéo  0   1    et e  At e  Ta có: e   4 0 e  0 A  1 2 et e At  P 1e At P     1  0  Vậy, e 4t    1   et  2e4t   e4t   1  et  e4t 2et  2e4t   2et  e4t  Hệ phƣơng trình cho có nghiệm tổng quát tổ hợp tuyến tính hai nghiệm sở:  x1   et  2e4t   x1   2et  2e4t  ,  x    t 4t   t 4t  x  e  e e  e  2    2   Ví dụ 2:  2 i 2 i  Xét ma trận A    Ta có: A  2 iI  B với B  2 ie12  At  2 iIt  Bt  i   Do 2 iI Bt giao hoán, ta có: e At  e2 iIt  Bt  e2 iIt e Bt Khai triển chuỗi ta đƣợc: e2 iIt  e2 itI ; eBt  I  Bt e2 it Do đó, e    At  1 2 it  e2 it     e2 it  0 2 ite2 it   e2 it  Vậy, nghiệm tổng quát hệ cho tổ hợp tuyến tính nghiệm sở:  x1  e2 it   x1   2 ite2 it   ,     2 it  x         x2   e  Ví dụ 3:  dx1  dt  2 x1  x2 Giải hệ phƣơng trình:  ? dx   2 x1  3x2  dt Giải:  2  Đặt A   Đa thức đặc trƣng det  A   I         2  det  A   I      1    2 1  Hai vectơ riêng tƣơng ứng v1    ; v2    1   2 2 1  1 Đặt B   , P  B 1          1  Ta có: A  PAP 1   0 6  et e  At Suy ra: e   e  6 0 e  0 0  e6t  A    et Vậy, e  P e P    1   At 1 At   1  4et  e6t     e6t   1   2et  2e6t 2et  2e6t   et  4e6t  Không gian nghiệm hệ phƣơng trình vi phân cho có sở gồm hai vectơ:  x1   4et  e6t   x1   2et  2e6t      t x    t 6t  6t  x e  e  e  e  2  2     MỘT VÀI BÀI TẬP ÁP DỤNG: Áp dụng phƣơng pháp đại số tuyến tính, giải hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hệ số  1 A   ?    dX  AX với ma trận A nhƣ sau: dt  1 A   ?     6 i 4 i  A   ?  i  i   1  A   ? 1   1 0 A   1 1  ?    1 1  A   ?   1 5 A   ?   1 1 A   ?   PHẦN KẾT LUẬN Việc ứng dụng kiến thức đại số tuyến tính vào giải hệ phƣơng trình vi phân phƣơng pháp đƣợc sử dụng phổ biến chƣơng trình tốn học cao cấp, đặc biệt chƣơng trình học sinh viên ngành Toán Các phƣơng pháp mang lại cho sinh viên cách tính tốn giải hệ phƣơng trình vi phân cách đơn giản đồng thời tạo tảng để sinh viên tìm hiểu sâu mối quan hệ đại số tuyến tính hệ phƣơng trình vi phân Để áp dụng thành thạo hiểu rõ nội dung kiến thức đại số tuyến tính, sinh viên cần nghiên cứu thật kỹ kiến thức đại số tuyến tính phƣơng trình vi phân nhƣ ý đến mối quan hệ chúng Khóa luận giải đƣợc số nội dung cụ thể sau: Chƣơng 1: Trình bày đầy đủ cụ thể kiến thức đại số tuyến tính hệ phƣơng trình vi phân, giúp sinh viên nắm bắt sở lí thuyết để hình thành nên phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình vi phân đƣợc nêu chƣơng Chƣơng 2: Trình bày phƣơng pháp áp dụng đại số tuyến tính để giải hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hệ số giải thích rõ q trình hình thành cơng thức nghiệm hệ phƣơng trình vi phân Chƣơng 3: Nêu thêm số ví dụ để sinh viên hiểu rõ thành thạo cách áp dụng phƣơng pháp trị riêng – vectơ riêng phƣơng pháp dùng hàm mũ ma trận để giải hệ phƣơng trình vi phân cho trƣớc Phần trình bày nội dung khóa luận khơng tránh khỏi sai sót, kính mong q thầy bạn góp ý, bổ sung để khóa luận đƣợc hồn thiện Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Viết Đức tận tình vẽ cho tơi q trình thực đề tài TÀI LIỆU THAM KHẢO Algebra – Artin Introduction to linear algebra – Jonhson Tốn cao cấp – Nguyễn Đình Trí Đại số tuyến tính – Nguyễn Viết Đức & Đặng Ngọc Dục Hệ phƣơng trình vi phân đại số - Trung tâm học liệu – Đại học Thái Nguyên http://tailieu.vn/doc/he-phuong-trinh-vi-phan-tuyen-tinh-1668127.html http://123doc.org/document/2367076-giai-he-phuong-trinh-vi-phan-bang-phuong-phapma-tran.htm ... thức đại số tuyến tính giúp giải đƣợc hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hệ số Ý NGHĨA KHOA HỌC: Khóa luận giúp làm rõ cách giải hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hệ số phƣơng pháp áp dụng. .. giải hệ phương trình vi phân MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Nghiên cứu số kiến thức đại số tuyến tính để áp dụng vào giải hệ phƣơng trình vi phân trình bày cụ thể phƣơng pháp để áp dụng kiến thức đại số. .. trình vi phân - Nghiên cứu kiến thức đại số tuyến tính cần có để giúp giải hệ phƣơng trình vi phân - Nghiên cứu phƣơng pháp cách áp dụng kiến thức đại số tuyến tính vào giải hệ phƣơng trình vi phân