Tailieumontoan.com  Sưu tầm tổng hợp CHUYÊN ĐỀ TỶ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Thanh Hóa, tháng 10 năm 2019 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ: TỈ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô em chuyên đề tỉ lệ thức tính chất dãy tỷ số Chúng kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng tốn tỷ lệ thức tính chất dãy tỷ số thường kì thi gần Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng chuyên đề để giúp em học tập Hy vọng chuyên đề giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, cô giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Mục Lục Trang Lời nói đầu Tóm tắt lý thuyết chung Chủ đề Tìm số hạng chưa biết Dạng Tìm số hạng chưa biết Dạng Tìm nhiều số hạng chưa biết Chủ đề Chứng minh đẳng thức 11 Dạng Chứng tỏ rằng: ad = bc 11 Dạng Đặt k l| gi{ trị chung c{c tỷ số Tính c{c tỷ số a c ; b d 12 x m , theo k y n Dạng Dùng biến đổi đại số tính chất dãy tỉ số để biến đổi 14 từ vế thành vế Chủ đề Tính giá trị biểu thức 16 Chủ đề Tính giá trị biểu thức 18 Chủ đề Các toán tỷ lệ thức chia tỷ lệ 20 Chủ đề Sai lầm thường gặp giải toán tỷ lệ thức 23 Bài tập luyện tập tổng hợp 27 Hướng dẫn giải tập 34 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ: TỈ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa, tính chất cảu tỉ lệ thức a) Định nghĩa: Tỉ lệ thức l| đẳng thức hai tỉ số Tỷ lệ thức a c  b d a c  viết: a : b = c : d b d Trong đó: - a, b, c, d l| c{c số hạng tỷ lệ thức; - a v| d l| c{c số hạng ngo|i hay ngoại tỉ; - b v| d l| c{c số hạng hay trung tỉ; b) Tính chất Nếu - Tính chất (tính chất bản) a c  ad = bc b d Tính chất (tính chất ho{n vị) Nếu ad = bc v| a, b, c, d kh{c ta có c{c tỉ lệ thức: a c a b d c d b  ;  ;  ;  b d c d b a c a 2) Tính chất dãy tỉ số nhau: + Từ tỉ lệ thức a c a c ac ac b  d   ta suy    b d b d bd bd + Mở rộng: từ dãy tỉ số ta suy a c e   b d f a c e ace ace      b d f bd  f bd  f (giả thiết c{c tỉ số có nghĩa) 3.Chú ý: + Khi có dãy tỉ số a b c   ta nói c{c số a, b, c tỉ lệ với c{c số 2; 3; ta viết a:b:c = 2:3:5 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com + Vì tỉ lệ thức l| đẳng thức nên có tính chất đẳng thức, từ tỉ lệ thức a c  suy b d ka k c a c a  c  a c ra:       ; k  k  k   ;  (k1 , k2  0) b d k1b k2d b d  b d a c e từ   suy b d f c e a  c   e  a c e a            ;    d f b d   f  b d f b 3 B/ CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP PHẦN 1: TÌM SỐ HẠNG CHƯA BIẾT 1.Tìm số hạng chưa biết a) Phương pháp: {p dụng tính chất tỉ lệ thức Nếu a c b.c a.d a.d   a.d  b.c  a  ;b  ;c  b d d c b Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích trung tỉ chia cho ngoại tỉ biết, muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ biết b) Ví dụ minh họa: Thí dụ Tìm x biết: a) 0,52 : x   9,36 :16,38 b) x 3  5 x c) x2 x4  x 1 x  Hướng dẫn giải a) Ta có: -0,52 : x = -9,36 : 16,38  x  9,36   0,52.16,38  x  0,52.16,38  0,91 9,36 b) Cách 1: Ta có: x 3  5 x   x  3    x   x  21  25  x  12 x  46  x3 Sưu tầm tổng hợp Cách 2: Từ x 3 x 3 5 x    5 x 7 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : x 3 5 x x 35 x     57 12 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Do đó: x 3 5    x  3   x    x  6 c) Cách 1: Ta có: Cách 2: Từ x2 x4  x 1 x    x   x     x  1 x   x2 x4 2 x x4    x 1 x  1 x x  Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có :  x x    x    x  4      x x  1  x    x    x  x  x  14  x  x  x   x  14  x   x  x  4  14  x  10 Do đó: 2 x     x   1  x    x   3x 1 x  x5  x  3x    x  2.Tìm nhiều số hạng chưa biết x y z   a b c (1) x + y + z = d (2) Dạng : Tìm c{c số x, y, z thoả mãn : (trong a, b, c, a + b + c ≠ v| a, b, c, d l| c{c số cho trước) Cách giải: - Cách 1: Đặt x y z    k  x  ka, y  k b, z  kc a b c Thay x = ka, y = kb, z = kc vào (2) ta có: k.a + k.b + k.c = d  k  a  b  c   d  k  Từ tìm x  d abc a.d bd cd ;y ;z  abc abc abc - Cách 2: {p dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x yz d ad bd cd     x ;y ;z  a b c a bc a b c a b c a b c a b c c)Ví dụ minh họa: Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Thí dụ Tìm x , y biết rằng: x y 2x – y =  a) b) x y xy = 10  Hướng dẫn giải a) Từ tỉ số x y 2x  y 2x  y       3 5  1 Do đó: x = (-3).2 = -6 y = 5.(-3) = -15 b) Đặt x y   k  x  2k , y  5k Khi đó: xy = (2k).(5k) = 10k2 = 10  x  1 Với k = ta có: x = 2, y = Với k = -1 ta có x = -2, y = -5 Thí dụ Tìm x , y, z biết rằng: a) x y z   x +y + z = 27 b) x y z x + y - z =   Hướng dẫn giải a) Cách Đặt x y z    k  x  2k , y  3k , z  4k Từ x + y + z = 27 ta suy 2k  3k  4k  27  9k  27  k  Khi x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12 Vậy x = 6; y = 9; z = 12 - Cách Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x  y  z 27       x  2.3  6; y  3.3  9; z  4.3  12 23 b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x  y  z       x  2.1  2; y  3.1  3; z   4    4  23 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Dạng : Cho x, y, z thoả mãn : x y z   a b c (1) x + y + z = d (2) Bằng c{ch biến đổi c{c điều kiện (1) v| (2) ta c{c b|i to{n phức tạp C{c c{ch điến đổi thường gặp: + Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) sau: * k1 x  k2 y  k3 z  e * k1 x  k2 y  k3 z  f * x.y.z = g + Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) sau: x - a  y y z ;  a2 a3 a4 - a2 x  a1 y; a4 y  a3 z - b1 x  b2 y  b3 z - b1 x  b3 z b2 y  b1 x b3 z  b2 y   a b c - x  b1 y2  b2 z3  b3   a1 a2 a3 +Thay đổi hai điều kiện Thí dụ Tìm x , y, z biết rằng: a) x y z   2x + 3y – 5z = -21 b) 6x = 4y = 3z 2x + 3y – 5z = 14 Hướng dẫn giải a) Cách 1: Đặt x y z   = k suy ra: x = 2k, y = 3k, z = 4k Do đó: 2x + 3y – 5z = 2.(2k) + 3.(3k) – 5.(4k) = -21  4k  9k  20k  21  7k  21  k  Vì thế: x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 14 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Cách 2: Từ x y z x y 5z   suy   4 20 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x  y  z 21       x  6; y  9; z  12 20   20 7 b) Từ 6x = 4y = 3z  x y 3z x y z      12 12 12 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x  y  z 14      2  x  4; y  6; z  8 20   20 7 Thí dụ Tìm x , y, z biết rằng: a) a b c   a2  b2  2c2  108 b) x : y : z = : : x  y  3z  100 2 Hướng dẫn giải a) Ta có: a b c a b2 c      4 16 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b2 c a  b  2c 108     4 16   32 27 Do đó: a2   a  16  a  4 b2   b  36  b  6 c2   c  64  c  8 16 Vậy a = 4, b = 6, c = a = -4, b = -6, c = -8 x y z x2 y z   b) Ta có: x : y : z = 3: 4: nên    16 25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z 2 x  y  3z 100     4 16 25 18  32  75 25 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Do đó: x2   x  36  x  6 y2   y  64  y  8 16 z2   z  100  z  10 25 Vậy x = 6, x = 8, z = 10 x = -6, y = -8, z = -10 Thí dụ Tìm x , y, z biết rằng: a) a b c   x.y.z = 648 b) 40 20 28 x.y.z = 22400   x  30 y  15 z  21 Hướng dẫn giải a) Cách 1: Đặt x y z   = k suy ra: suy ra: x = 2k, y = 3k, z = 4k Do đó: xyz= (2k).(3k).(4k) = 648  24k  648  k  648  27  k  24 Vì thế: x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 14 Cách 2: Từ x y z   x y z xyz 648  x         27 24   24 x3   27  x3  216  x  Từ tìm y = 9; z = 12 b, Từ giả thiết suy : x  30 y  15 z  21 x y z x y z            40 20 28 40 20 28 40 20 28  x  40k x y z     k   y  20k Đặt : 40 20 28  z  28k  Mà: x y.z  22400   40k   20k   28k   22400  22400k  22400  k  Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... 5000 đồng v| 10000 đồng, trị gi{ loại ti? ??n Hỏi loại có tờ Phân tích đề bài: Gọi số tờ ti? ??n loại 2000 đồng, 5000 đồng v| 10000 đồng l| a, b, c Vì gi{ trị loại ti? ??n nên ta có: 2000a  5000b  10000c... sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, cô giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em... LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ: TỈ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU A/ TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa, tính chất cảu tỉ lệ thức a) Định nghĩa: Tỉ lệ thức l| đẳng