TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 – LUYỆN THI ĐẠI HỌC NĂM 2021 NẮM TRỌN CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC OXYZ SỐ PHỨC (Dùng cho học sinh 11,12 luyện thi Đại học năm 2021) ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ THÁNG 10/2020 LỜI NÓI ĐẦU Các em học sinh, quý thầy cô bạn đọc thân mến ! Kỳ thi THPT Quốc Gia kỳ thi quan trọng Để tham dự đạt kết cao việc trang bị đầy đủ kiến thức kĩ cần thiết điều vô quan trọng Thấu hiểu điều đó, chúng tơi cúng tiến hành biên soạn sách “ Nắm trọn chun đề mơn Tốn 2021 ” giúp em học sinh ơn luyện hồn thiện kiến thức trọng tâm phục vụ kỳ thi, làm tài liệu giảng dạy tham khảo cho quý thầy cô trước thay đổi phương pháp dạy học kiểm tra Bộ Giáo dục Đào tạo Bộ sách chúng tơi biên soạn gồm quyển: • Quyển 1: Nắm chọn chuyên đề Hàm số • Quyển 2: Nắm trọn chuyên đề Mũ – Logarit Tích phân • Quyển 3: Hình học khơng gian • Quyển 4: Hình học Oxyz Số phức Trong sách, chúng tơi trình bày cách rõ ràng khoa học – tạo thuận lợi cho em học tập tham khảo Đầu tiên tóm tắt toàn lý thuyết phương pháp giải dạng tốn Tiếp theo hệ thống ví dụ minh họa đa dạng, tiếp cận xu hướng đề kỳ thi THPT Quốc Gia năm gần bao gồm mức độ: Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng Vận dụng cao Cuối phần tập rèn luyện từ đến nâng cao để em hoàn thiện kiến thức, rèn tư rèn luyện tốc độ làm Tất tập sách tiến hành giải chi tiết 100% để em tiện lợi cho việc so sánh đáp án tra cứu thơng tin Để biên soạn đầy đủ hoàn thiện sách này, nhóm tác giả có sưu tầm, tham khảo số tốn trích từ đề thi Sở, trường Chuyên nước số toán thầy/cơ tồn quốc Chân thành cảm ơn q thầy sáng tạo tốn hay phương pháp giải toán hiệu Mặc dù nhóm tác giả tiến hành biên soạn phản biện kĩ lưỡng không tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận ý kiến phản hồi đóng góp từ q thầy cơ, em học sinh bạn đọc để sách trở nên hồn thiện Mọi ý kiến đóng góp, q vị vui lịng gửi địa chỉ: • Gmail: Blearningtuduytoanhoc4.0@gmail.com • Fanpage: 2003 – ƠN THI THPT QUỐC GIA Cuối cùng, nhóm tác giả xin gửi lời chúc sức khỏe đến quý thầy cô, em học sinh quý bạn đọc Chúc quý vị khai thác hiệu kiến thức cầm tay sách ! Trân trọng./ NHÓM TÁC GIẢ MỤC LỤC A PHẦN I: HÌNH TỌA ĐỘ OXYZ Trang CHỦ ĐỀ 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Dạng Điểm vecto hệ tọa độ Oxyz Dạng Tích vơ hướng ứng dụng 28 Dạng Phương trình mặt cầu 39 Dạng Cực trị 59 CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 79 Dạng Xác định vecto pháp tuyến, tính tích có hướng mặt phẳng 84 Dạng Viết phương trình mặt phẳng 91 Dạng Tìm tọa độ điểm liên quan đến mặt phẳng 114 Dạng Góc khoảng cách liên quan đến mặt phẳng 123 Dạng Vị trí tương đối hai mặt phẳng, mặt cầu mặt phẳng 140 Dạng Cực trị liên quan đến mặt phẳng 165 CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 185 Dạng Xác định vecto phương đường thẳng 191 Dạng Viết phương trình đường thẳng 200 Dạng Tìm tọa độ điểm liên quan đến đường thẳng 231 Dạng Góc khoảng cách liên quan đến đường thẳng 247 Dạng Vị trí tương đối hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng 257 Dạng Bài toán liên quan đường thẳng – mặt phẳng – mặt cầu 271 Dạng Cực trị liên quan đến đường thẳng 314 CHỦ ĐỀ 4: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 347 Dạng Tọa độ hóa Hình học khơng gian 353 Dạng Bài toán đại số 367 CHỦ ĐỀ 5: TỔNG HỢP VỀ HÌNH TỌA ĐỘ OXYZ 372 Đề 372 Đáp án 381 B PHẦN II: SỐ PHỨC……………………… ……………………………………… 405 Dạng toán 1: Xác định yếu tố số phức….………………………………… 406 Dạng toán 2: Phép toán cộng, trừ, nhân hai số phức …………………………………… 424 Dạng toán 3: Phép chia hai số phức………………………………………………………… 437 Dạng toán 4: BT quy giải PT, HPT tập hợp điểm biễu diễn số phức…… ……… 448 Dạng tốn 5: Phương trình bậc hai với hệ số thực…………………………… …………… 468 Dạng toán 6: Cực trị số phức…………………………………………………… …………… 482 PHẦN I HÌNH HỌC OXYZ CHUYÊN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ CHỦ ĐỀ : HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ LÍ THUYẾT ➢ Trong khơng gian xét hệ trục Oxyz , có trục Ox vng góc với trục Oy O , trục Oz vuông góc với mặt phẳng Oxy O Các vectơ đơn vị trục Ox , Oy , Oz i = (1;0;0 ) , j = ( 0;1;0 ) , k = ( 0;0;1) ▪ Nếu a = a1 i + a2 j + a3 k a = ( a1 ; a2 ; a3 ) ▪ M ( xM ; yM ; zM )  OM = xM i + yM j + z M k ▪ Cho A ( x A ; y A ; z A ) B ( xB ; yB ; z B ) ▪ Ta có: AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A ) AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( z B − z A )  x + x y + yB z A + z B  ; M trung điểm AB M  A B ; A  2   ➢ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho a = (a1 ; a2 ; a3 ) b = (b1 ; b2 ; b3 ) ta có ▪ ▪ a1 = b1  a = b  a2 = b2 a = b  3 ▪ a.b = a b cos(a; b) = a1b1 + a2b2 + a3b3 ▪ cos = cos(a, b) = ▪ a b vng góc  a.b =  a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 = a  b = (a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 ) a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 a + a22 + a32 b12 + b22 + b32 k a = (ka1 ; ka2 ; ka3 ) a = a12 + a22 + a32 (với a  , b  ) a1 = kb1  ▪ a b phương  k  R : a = kb  a2 = kb2 a = kb  ➢ Tích có hướng a = (a1 ; a2 ; a3 ) b = (b1 ; b2 ; b3 )  a, b  = (a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) ▪ ▪ ▪ ▪ a b phương   a, b  = a , b , c đồng phẳng   a, b  c = Diện tích tam giác : S ABC = [ AB, AC ] Thể tích tứ diện VABCD = [ AB, AC ] AD Thể tích khối hộp: VABCD A' B'C ' D' = [ AB, AD ] AA ' ➢ Một số kiến thức khác ▪ Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k ( MA = kMB ) ta có : x − kxB y − kyB z − kz B Với ( k  1) xM = A ; yM = A ; zM = A 1− k 1− k 1− k ▪ G trọng tâm tam giác ABC x + xB + xC y + yB + yC z +z +z xG = A ; yG = A ; zG = A B C 3 ▪ G trọng tâm tứ diện ABCD  GA + GB + GC + GD = Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ u = (1;1;− ) , v = (1;0;m ) Tìm m để góc hai vectơ u , v 45 A m = B m = 2− m = 2+ D Lời giải Chọn B C ( ) Ta có: cos u ,v = − 2m u.v − 2m = = = 2 2 2 u v + m + + ( −2 ) + m  − 2m = − m  4m2 − 4m + = + 3m2 (điều kiện m  m = −  m2 − 4m − =    m = + ) Đối chiếu điều kiện ta có 2;1; , b VÍ DỤ 2: Trong khơng gian Oxyz , cho hai véc tơ a m để A hai véc tơ u 26 2a 3mb v B 26 m = 2− 0; 2; Tất giá trị ma b vng góc với C 11 26 18 26 D Lời giải Chọn D Ta có: u 2a 3mb Khi đó: u.v 9m 2 2;2 4m 6m 3m 2; 3m v 3m m 26 m ma b 2m; m 3m 2m 2; 2m 2 VÍ DỤ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 0; −1;2 ) , B ( 2; −3;0 ) , C ( −2;1;1) , D ( 0; −1;3) Gọi ( L ) tập hợp tất điểm M không gian thỏa mãn đẳng thức MA.MB = MC.MD = Biết ( L ) đường tròn, đường tròn có bán kính r bao nhiêu? A r = B r = C r = 11 D r = Lời giải Chọn C Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ Gọi M ( x; y; z ) tập hợp điểm thỏa mãn u cầu tốn Ta có AM = ( x; y + 1; z − ) , BM = ( x − 2; y + 3; z ) , CM = ( x + 2; y − 1; z − 1) , DM = ( x; y + 1; z − 3)  MA.MB = Từ giả thiết: MA.MB = MC.MD =    MC.MD = 2  x ( x − ) + ( y + 1)( y + 3) + z ( z − ) =  x + y + z − 2x + y − 2z + =    x ( x + ) + ( y + 1)( y − 1) + ( z − 1)( z − 3) =  x + y + z + x − z + = Suy quỹ tích điểm M đường tròn giao tuyến mặt cầu tâm I1 (1; −2;1) , tâm I ( −1;0;2 ) , R1 = mặt cầu R2 = M I1 I2 Ta có: I1 I = Dễ thấy: r = R12 −  I1 I  = − = 11   VÍ DỤ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( −2;3;1) B ( 5; 6; ) Đường thẳng AB cắt mặt phẳng ( Oxz ) điểm M Tính tỉ số AM BM A AM = BM B AM = BM C AM = BM D AM = BM Lời giải Chọn B  AB = ( ; ; 1)  AB = 59 M  ( Oxz )  M ( x ; ; z ) ;    AM = ( x + ; − ; z − 1)  x + = 7k  x = −9   A, B, M thẳng hàng  AM = k AB ( k  )  −3 = 3k  −1 = k  M ( −9 ; ; )  z −1 = k z =   BM = ( −14 ; − ; − )  BM = 118 = AB VÍ DỤ 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 2; −3;7 ) , B ( 0; 4;1) , C ( 3;0;5 ) D ( 3;3;3) Gọi M điểm nằm mặt phẳng MA + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ Khi tọa độ A M ( 0;1; −2 ) B M ( 0;1; ) ( Oyz ) cho biểu thức M là: C M ( 0;1; −4 ) D M ( 2;1;0 ) Lời giải Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC Câu 10: Chọn B Ta có z − z + = ( z − + 2i )( z + 3i − 1)  ( z − 1) + = ( z − + 2i )( z + 3i − 1)  ( z − + 2i )( z − − 2i ) = ( z − + 2i )( z + 3i − 1)  z − + 2i z − − 2i = z − + 2i z + 3i −  z − + 2i =   z − − 2i = z + 3i − Trường hợp 1: z − + 2i =  z = − 2i  w = z − + 2i = − 2i − + 2i = −1  w = Trường hợp 2: z − − 2i = z + 3i −  ( z − + 2i ) + − 4i = ( z − + 2i ) + + i  w + − 4i = w + + i Gọi w = x + yi ( x; y  )  ( x + 1) + ( y − ) = ( x + 1) + ( y + 1)  y = 2 2 2 3 3 Khi w = x + y = x +    Đẳng thức xảy  x = Suy ra: w = 2 2 2 Từ suy w = Câu 11: Chọn D Ta có: z = ( z − − i ) + ( + i ) Áp dụng bất đẳng thức z1 − z2  z1 + z2  z1 + z2 ta có: z − − i − + i  z  z − − i + + i  1−  z  1+  −1  z  1+ Vậy m = − 1, M = + , M + m = Câu 12: Chọn B Theo đề z = Đặt z = cos x + i sin x ( x  ) Suy z = ( cos x + i sin x ) = cos x + i sin x 1  =  cos x + cos x +  + ( sin x + sin x ) i Khi z + z + 2  4 1  =  cos x + cos x +  + ( sin x + sin x ) = + cos x + cos 3x + cos x 2  = + 8cos x + 8cos3 x − 8cos x − 5cos x + = + f ( t ) Với f ( t ) = 8t + 8t − 8t − 5t + 1, t   −1;1   −1 + 11  9 + min−1;1 f ( t ) = + f   = 4   Câu 13: Chọn D Vì z12 − z1 z + z2 = ( z1  z2 ) suy z1 = z2  P = z2 1 Mặt khác SOMN = OM ON sin MON  12 = z1 z2 sin MON  z2 sin MON = 2 490 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC  P = z2 = sin MON Nên P = z2 nhỏ sin MON lớn  sin MON = Khi P = Câu 14: Chọn A Giả sử z = x + yi ( x , y  Ta có: P = ) Theo giả thiết ta có x + y = z − z + z + z + = z ( z − 1) + z + z + = z z − + z + z + = ( x − 1) z − = x + yi − = z −1 + z2 + z +1 + y = x2 + y − 2x + = − 2x z + z + = x − y + xyi + x + yi + = x + x + y ( x + 1) i  z + z + = x ( x + 1) + y ( x + 1) = 2 ( x + 1) (x + y2 ) = 2x + Suy P = − x + x + Xét hàm số f ( x ) = − x + x + đoạn  −1;1 1 1   Trên  −1; −  ; f ( x ) = − x − x −  f  ( x ) = − −  0, x  −1; −  2 2 − 2x   1  Mặt khác hàm số f ( x ) = − x − x − liên tục  −1; −  2  1 1   Do hàm số nghịch biến  −1; −   f ( x )  f ( −1) = 3, x   −1; −   max f ( x ) = 2 2 1    x −1;−    2    − ;1 Trên f ( x ) = − 2x + 2x +1  f  ( x ) = − 1 +  f  ( x) =  − 2x =  x = − 2x 13  1   13 Có: f  −  = ; f   = ; f (1) =  max f ( x ) =  2 8   x − ;1     Từ  max f ( x ) = x −1;1 13 13 hay Pmax = 4 Câu 15: Chọn D 10 10 − + i  ( z + ) + i ( z − 1) = lấy mơđun hai vế z z Ta có: (1 + 2i ) z =  10 = z ( z + ) + ( z − 1) 2 1 3  z = 1  ;  2 2 Câu 16: Chọn D Gọi z = a + bi ( a, b  z − − 4i = z − 2i  iz + − i = (2 − b) ) Khi đó: ( a − )2 + ( b − )2 = + ( a − 1) = (2 − b) a + (b − 2)  a = − b + (3 − b ) 2 5  = 2b − 10b + 13 =  b −  +  2 2  Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 491 CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC Vậy giá trị nhỏ iz + − i b = ; a = 2 Câu 17: Chọn B Khi M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z Gọi z = x + yi , x, y  Theo ta có z − − 3i =  ( x − 1) + ( y − 3) = 2 Suy tập hợp điểm M đường tròn tâm I (1; ) bán kính R = Khi z − = ( x − 1) + y = I M với I  (1; ) z − nhỏ I M ngắn hay I , M , I  thẳng hàng, M nằm I I  Phương trình đường thẳng II  x = Tọa độ giao điểm đường thẳng II  với đường trịn tâm I bán kính R = M (1; 1) M (1; ) Thử lại ta thấy M (1; 1) thỏa mãn Vậy z = + i Câu 18: Chọn A Cách Ta có: ( + i ) z = z z + − i  ( z − 1) + ( z + 1) i = w w  ( z − 1) + ( z + 1) i = z  w ( z − 1) + ( z + 1) Vì z − z +  z  z  Đặt t = z 2 = z z  z −2 z +2 = w w (t  0) 5t − 2t + 2 2 1  = = − + = 2 −  +  Ta có: t   w  w t t t t 2 2 Khi đó: T = w + − i  w + − i  492 + = 3 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: SỐ PHỨC  w = k (1 − i ) ( k  , k  )  2 1  k 2= Dấu đẳng thức xảy   w =  k =  w = − i 3 3  z =2  Vậy max T = Cách Ta có: ( + i ) z = z z + − i  ( z − 1) + ( z + 1) i = w w  ( z − 1) + ( z + 1) i = z  w ( z − 1) + ( z + 1) Vì z − z +  z  z  Đặt t = z 2 = z z  z −2 z +2 = w w (t  0) 5t − 2t + 2 2 1  = Ta có: = − + = 2 −  +  t   w  w t t t t 2 2 Suy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w hình trịn tâm O ( 0; ) , bán kính R = Khi đó: T = w + − i = MI Dễ thấy điểm I ( 0; ) nằm ngồi đường trịn tâm C ( O; R ) , suy T = MI đạt giá trị lớn T = MI = IO + R = + 6+ = Vậy max T = 3 Câu 19: Chọn A Cách Ta có:  z −2 z +5 = (1 + i ) z = z z − + i  z − + ( z + 1) i =  w w ( z − ) + ( z + 1) 2 = z w z w Đánh giá: z − z +  0, z  z  Đặt t = z (t  0) 2t − 2t + 5 1  = = − + = 5 −  +   w Ta có: w t t t t 5 Khi ta có: w − 2i  w + −2i  +2 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 493 CHUN ĐỀ: SỐ PHỨC  w = k ( −2i ) , ( k  k  )  5 5  w=− i  = 2k  k = Dấu đẳng thức xảy   w =  z =5  + Vậy: MaxT = Cách Ta (1 + i ) z có:  z −2 z +5 = = z z − + i  z − + ( z + 1) i =  w w ( z − ) + ( z + 1) 2 = z w z w Đánh giá: z − z +  0, z  z  Đặt t = z (t  0) 2t − 2t + 5 1  = = − + = 5 −  +   w Ta có: w t t t t 5 Suy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w hình trịn tâm O ( 0; ) , bán kính R = Khi đó: T = w − 2i = MI Dễ thấy điểm I ( 0; ) nằm ngồi đường trịn tâm C ( O; R ) , suy T = MI đạt giá trị lớn T = MI = IO + R = + Vậy max T = + Câu 20: Chọn B Ta  ( z − 1) + ( z + 1) z z + − i  z − + ( z + 1) i = iw − + 3i iw − + 3i z  13 z − z + = w+3+i ( + 2i ) z có: = z i (w + + i) = Đánh giá: 13 z − z +  0, z  z  Đặt t = z (t  0) 13t − 2t + 2  1  25 = = 13 − + =  −  +   w+3+i  Ta có: w+3+i t t t t 2 Khi ta có: w = w + + i + (−3 − i )  w + + i + −3 − i  494 + 10 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: SỐ PHỨC  w + + i = k ( −3 − i ) , ( k  , k  )   Dấu đẳng thức xảy   w + + i =  z =2   w+3+i = 5 Vậy: MaxT =  = k 10  k = 5     + 3 −  + 1 i 5  5  ( −3 − i )  w = −  + 10 Câu 21: Chọn B Đặt z = a + bi ( a, b  ) Ta có: z = z + 2i  a + b = a + ( b + )  4b + =  b = −1  z = a − i Xét: z − + 2i + z + + 3i = a − + i + a + + 2i = (1 − a ) + 12 + (1 + a ) + 22 Áp dụng BĐT Mincôpxki: (1 − a ) + 12 + (1 + a ) + 22  (1 − a + + a ) + (1 + ) 2 = + = 13 Suy ra: z − + 2i + z + + 3i đạt GTNN 13 (1 − a ) = + a  a = Nhận xét: Bài tốn giải cách đưa tốn hình học phẳng Câu 22: Chọn A Từ giả thiết: z1 z1 = z2 z2 (1) Lấy mođun hai vế ta được: z1 = z2  z1 = z2 2 Thay z1 = z2 vào (1) ta z1 = z2 Gọi z2 = a + bi ( a, b )  z1 = 3a + 3bi , Điểm M ( 3a ;3b ) , N ( a ; − b )  SOMN = z2 = a − bi −3ab − 3ab = a b Mà SOMN = nên a b = z1 + z2 = 4a + 4bi = a + b  a b = Suy z1 + z2 = Lưu ý công thức tính diện tích tam giác OAB với OA = ( a1 ; a2 ) , OB = ( b1 ; b2 ) SOAB = a1b2 − a2b1 Câu 23: Chọn D Đặt z1 = x + yi , ( x, y  ) , ta có Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” 495 CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC w= z1 + − i ( z + z ) i +1 = ( x + ) + ( y − 1) i = x + + x ( y − 1) +  y − − x ( x + ) i + xi 1 + x2 Vì w số thực nên y − − x ( x + ) =  y = x + x + 4z + + 13i =  z + + 13 13   i =  ( x + ) +  y +  = 4  P = z1 + z2 = z1 − ( − z2 ) Gọi M điểm biểu diễn z1 điểm M thuộc parabol ( P ) : y = x + x + 13   Gọi N điểm biểu diễn z điểm N thuộc đường trịn ( C ) : ( x + ) +  y +  = 4  2 13   Gọi N1 điểm biểu diễn − z2 điểm N1 thuộc đường trịn ( C1 ) : ( x − ) +  y −  = 4  Phương trình tiếp tuyến  ( P ) T ( x0 , x02 + x0 + 1) , ( x0  −1) y = ( x0 + )( x − x0 ) + x02 + x0 +  ( x0 + ) x − y − x02 + = Khi đó: 13 Pmin  ( MN1 )min  T hình chiếu vng góc I lên  , với I  2,  tâm ( C1 )  4 9   IT phương với VTPT n , với IT =  x0 − 2, x02 + x0 −  , n = ( x0 + 4, −1) 4  9  1 7  ( x0 + )  x02 + x0 −  = − x0  x03 + 24 x02 + x0 − 11 =  x0 =  T  ,  4  2 2 Vậy Pmin = IT − R = 37 37 − −1 = 4 Câu 24: Chọn B Điều kiện: w  496 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: SỐ PHỨC Ta có: ( − i ) z = z z z  w= + + − i  (3 − i ) z −1 + i = w −1 w −1 ( z − 1) + (1 − z ) i Vậy T = w + i = z z z + +1+ i  + 1+ i  ( z − 1) + (1 − z ) i ( z − 1) + (1 − z ) i 10 z − z + t Đặt t = z điều kiện: t  Xét hàm số f ( t ) = 10t − 8t + −4t + ; f  (t ) =  t = f  (t ) = 2 10t − 8t + 10t − 8t + ( + ) Bảng biến thiên: 1 Dựa vào bảng biến thiên ta có T = w + i  max f ( t ) = f   = 0;+ ) 2 Câu 25: Chọn C Gọi z = x + yi với x , y  Ta có: z + = z + 2i  ( x + yi ) + = ( x + yi ) + 2i  ( x + 2) + y = x2 + ( y + 2)  ( x + ) + yi = x + ( y + ) i 2  x = y hay z = x + xi Khi ta có: A = ( x − 1) + ( x − ) i + ( x − 3) + ( x − ) i + ( x − ) + ( x − ) i = ( x − 1) + ( x − ) 2 ( x − 3) + ( x − ) + 2 + ( x − 5) + ( x − ) 2 = x − x + + x − 14 x + 25 + x − 22 x + 61 2 2   3 1 7  11      =   x −  +   +  − x  +    +  x −  +   2 2 2 2       1 + 17 11   1  7   =   x − + − x  +  +  +  x −  +  17 + 2 2 2   2 2  2 11  x− = −x   Dấu xảy  2 x= x − =   Vậy: A = + 17 Suy a = , b = nên 3a − b = Câu 26: Chọn A Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 497 CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC ( a − 3)2 + ( b − )2 = (1)   z1 = a + bi 2 Đặt  ( a, b, c, d  ) Theo đề ta có: ( c − 3) + ( d − ) = ( )  z2 = c + di  2 ( a − c ) + ( b − d ) = ( 3) Khi lấy – theo vế có a + b − c − d = ( a − c ) + ( b − d ) Kết hợp sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz sử dụng ta có: z1 − z2 = a + b − c − d = ( a − c ) + ( b − d )  − 2 giá trị nhỏ z1 − z2 2 (6 2 + 82 ) ( a − c ) + ( b − d )  = −10 Vậy   ( a − 3)2 + ( b − )2 =  ( c − 3)2 + ( d − )2 =  −10  2 ( a − c ) + ( b − d ) = a − c b − d = =k 0    27 −   z1 = 10    33 −   z2 = 10  Tồn cặp số phức thỏa mãn là:   27 +   z1 = 10     z2 = 33 +   10 15 144 + 12 15 + i 40 15 176 + 12 15 + i 40 15 144 − 12 15 + i 40 15 176 − 12 15 + i 40 Câu 27: Chọn A Theo giả thiết có: 2(a + bi ) + − 3i =  (2a + 2) + (2b − 3)i =  ( 2a + ) + (2b − 3) = 2 3   (a + 1) +  b −  = (*) 2  Cách 1: 2 (*)  a2 + b2 = −3 − 2a + 3b Từ (*) suy  b −     b  2  Khi biến đổi sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được: P = z + + z − = (a + 2) + b + (a − 3) + b = a + b + 4a + + a + b − 6a + = (−3 − 2a + 3b) + 4a + + (−3 − 2a + 3b) + − 6a = 2a + 3b + + −8a + 3b + = 8a + 12b + + −8a + 3b +  (1 + 1)(8a + 12b + − 8a + 3b + 6) = 2(15b + 10)  2(15.2 + 10) = 498 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC 8a + 12b + = −8a + 3b + a = −1  Dấu “ = ” xảy  b = b = Suy MaxP = a = −1, b = Vậy a − b = −3 Cách 2: Gọi M ( a; b ) điểm biểu diễn hình học số phức z  Từ (*) suy M thuộc đường trịn ( C ) có tâm I  −1;  3  bán kính R = 2 Gọi A ( −2; ) , B ( 3; ) H ( −1; ) Khi P = 2MA + MB HB = −4HA Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được: P = ( 2MA + MB )  (1 + 1) ( MA2 + MB ) 2 ( ) ( Ta có: 4MA2 + MB2 = 4MA + MB = MH + HA + MH + HB ( ) ( + 2MH ( HA + HB ) + ( HA = 4MH + 8MH HA + HA2 + MH + 2MH HB + HB = 5MH 2 ) ) + HB ) = 5MH + ( HA2 + HB ) Do điểm H , A, B cố định P  nên P lớn MH lớn  M giao điểm đường thẳng IH với đường tròn ( C ) ( I nằm M H ) Dễ dàng tìm M ( −1; ) hay a = −1; b = Vậy a − b = −3 Câu 28: Chọn A Cách 1: Đặt z = w + 8i + − 4i Ta có z − − 2i + z − − 6i = w w 25 25 + + 2i + − − 2i =  w + + w− = 45 − 4i − 4i 2 Đặt w = x + yi gọi M ( x ; y ) điểm biểu diễn w Khi tập hợp điểm M elip có phương x2 y2 56 trình ( E ) : + = Suy y = 350 − x (1) 81  45  350     Mặt khác ta có T = z − 10 − 14i = w 15 125  125  − − 10i = w − = x−  +y − 4i 5   Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” 499 CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC  125  56 25 17025 x − 125 x + Suy T = x−  + 350 − x =   81 81 Từ (1) ta có − f ( x) = 45 25 17025 45 Xét hàm số f ( x ) = đoạn x x − 125 x + 81  45 45   − ;  405  45 45  50  − ;  x − 125 Xét f  ( x ) =  x = 81  2  45   45  Ta có f  −  = 7225 ; f   = 1600     Vậy giá trị lớn T  45  f  −  = 17   Cách 2: Ta có z − 10 − 14i  z − − 2i + −9 − 12i = z − − 2i + 15 Ta có z − 10 − 14i  z − − 6i + −6 − 8i = z − − 6i + 10 Suy z − 10 − 14i  + 15 + 10 = 34  z − 10 − 14i  17 Dấu '' = '' xảy z = − + i Vậy max z − 10 − 14i = 17 5 Cách 3: Gọi M ( x ; y ) điểm biểu diễn số phức z Gọi F1 (1; ) F2 ( 4;6 ) Suy MF1 + MF2 = Suy tập hợp điểm biểu diễn z Elip có F1 F2 = Ta có P = z − 10 − 14i = MA với A (10;14 )  F1 F2 =  Ta có F1 A = ( 9;12 ) , F1 F2 = ( 3; )  F1 A = 3F1 F2  F1 , A , F2 thẳng hàng có  F1 A = 15  F A = 10  Ta có MA  MF2 + F2 A  + 10 = 17 Dấu '' = '' xảy M , F1 , F2 thẳng hàng MF1 + F1F2 = MF2 Câu 29: Chọn C Ta có: iw − + 5i =  w + + 2i = 1; z =  z.z =  x + y = Đặt: z = x + iy, w = a + ib; ( x, y , a, b  ) Khi đó:  2 ( a + 5) + ( b + ) = Ta có: z − wz − = z z − w − ( ) =2 z−z −w z Gọi A, B điểm biểu diễn z − z w Dẫn đến: A ( 0; y ) với −2  y  , B thuộc đường trịn có tâm I ( −5; −2 ) có bán kính R = 500 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: SỐ PHỨC d I B A Khi đó: z − wz − = AB Ta có: ABmin = d ( I , d ) − R = Giá trị nhỏ z − wz − = Nhận xét: Ta xem toán gồm giả thiết: z =  z.z = iw − + 5i =  w + + 2i = z − wz − = z − w − z (*) Việc đầu tiên, ta rút gọn giả thiết toán Từ (*) , ta gọi A điểm biểu diễn z − z , B điểm biểu diễn w Bài toán trở thành tìm độ dài AB nhỏ Câu 30: Chọn C Cách Ta có 5w = (2 + i)( z − 4)  5w + 5i = 5i + (2 + i)( z − 4)  w + i = (2 + i ) z − + i Đặt z = x + yi với x, y  ta (2 + i )( x + yi ) − + i =  x − y − + ( x + y + 1)i =  (2 x − y − 8)2 + ( x + y + 1)2 = 45  x2 + y + 64 − xy − 32 x + 16 y + x2 + y + + xy + x + y = 45  5x2 + y − 30 x + 20 y + 20 =  ( x − 3)2 + ( y + 2)2 =  x = 3sin  + Đặt  Khi  y = 3cos  − P = x + ( y − 2)2 + ( x − 6) + ( y − 2) = 18sin  − 24 cos  + 34 + −18sin  − 24 cos  + 34 Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Copsky ta có P  12 + 12 −48cos  + 68  58  18sin  − 24cos  + 34 −18sin  − 24cos  + 34 cos  = −1 =   Dấu xảy  1 sin  =  cos  = −1  Suy max P = 58 z = − 5i Cách Ta có 5w = (2 + i)( z − 4)  5w + 5i = 5i + (2 + i)( z − 4)  w + i = (2 + i ) z − + i Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 501 CHUN ĐỀ: SỐ PHỨC  w+i = 2+i z − 8−i  = z − ( − 2i )  z − ( − 2i ) = 2+i Khi tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ( 3; −2 ) bán kính R = Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z ; A ( 0; ) điểm biểu diễn số phức z1 = 2i ; B ( 6; ) điểm biểu diễn số phức z2 = + 2i E ( 3; ) trung điểm đoạn thẳng AB Ta có P = MA + MB  P = ( MA + MB )  ( MA2 + MB ) = 4ME + AB Khi P đạt giá trị lớn ME đạt giá trị lớn hay ME = R + IE Vậy Pmax = ( R + IE ) + AB = 58 xI − xE   xM = x = 3 MI = ME  MI − 3ME =    M y − y y = − I E  M y =  M Câu 31: Chọn D  w = = a + b2  w1 = z1 + + 3i = a + bi  Đặt  với a, b, c, d  , theo giả thiết ta có:  2  w2 = z2 + + 3i = c + di w = = c + d   z1 + + 3i w1 ( a + bi )( c − di ) ac + bd + ( bc − ad ) i = = = z2 + + 3i w2 c2 + d 25 Phần thực số phức 25 ( ac + bd ) w1 w2 Ta có ( ac + bd )  ( a + b2 )( c + d )  ( ac + bd )   9  ac + bd  25 25 ( ac + bd ) w  Dấu " = " xảy ad = bc số thực w1 = w2 = w2 Vậy m0 = Câu 32: Chọn C 502 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC ( x, y  ) (1 + i ) z + + (1 + i ) z − Gọi z = x + yi Ta có =4  (1 + i ) z + (1 + i )(1 − i ) + (1 + i ) z − (1 + i )(1 − i ) =  (1 + i )( z + − i ) + (1 + i )( z − + i ) =  + i z + − i + + i z − + i = ( x + 1) + ( y − 1) + ( x − 1) + ( y + 1) M ( x; y ) , F1 ( −1;1) , F2 (1; −1) Ta có  MF1 + MF2 =  z +1− i + z −1+ i = 4 Gọi 2 2 = (*) Do tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z Elip có hai tiêu điểm F1 , F2 ; tiêu cự F1 F2 = ; độ dài trục lớn MF1 + MF2 = ; nửa độ dài trục bé Ta có m = max z = ; n = z =  w = + 2i  w =  w 2018 = ( ) 2018 = 61009 Câu 33: Chọn C Ta có (1 + i ) z + − 3i =  z − − 2i = nên tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn tâm I (1;2) , bán kính R = Đặt a = z − − 2i, b = + i ( )  z + + i = a + 3b = a + b + a.b + a.b  Ta có  2 2  z − − 3i = a − b = a + b − a.b + a.b ( )  z + + i + z − − 3i = a + 3b + a − b = a + 12 b = 60 2 2 (1 + ) ( a + 3b Khi P = a + 3b + a − b  +3 a −b 2 ) =6 Câu 34: Chọn A Ta có: z − i = z + i nên z − 2iz − = z − i = z + i ( ) 2019 z + i 2019 z + 2019i + − 2i  (1 + i ) z + i = + − 2i w w 2019 z + i 2019 z + i 2  (1 + i ) z + i + 2i − =  z +i −2+ z +i + i = w w Điều kiện: w  suy z + i  hay z + i  Như vậy: (1 + i ) z − 2iz − = ( ) ( ( ) Đặt t = z + i , t  ta có t − + t + i = (t − 2) + (t + 2) =  w= 2019 z + i w 2019t (t − 2) + (t + 2) Vậy max w = 2   w= (t ( 2019 z + i w ) 2t + ) ) Lấy môđun hai vế ta được: − 2) + (t + 2) = 2019t ( 2 w 2019t w 2019t 2019  w 2t 2009 2t =  t =  t =  z − i = Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 503 CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC 504 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” ... chọn chuyên đề Hàm số • Quyển 2: Nắm trọn chuyên đề Mũ – Logarit Tích phân • Quyển 3: Hình học khơng gian • Quyển 4: Hình học Oxyz Số phức Trong sách, chúng tơi trình bày cách rõ ràng khoa học. .. 6: Cực trị số phức? ??………………………………………………… …………… 482 PHẦN I HÌNH HỌC OXYZ CHUN ĐỀ: HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ CHỦ ĐỀ : HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ LÍ THUYẾT ➢ Trong khơng gian xét hệ trục Oxyz , có... CHỦ ĐỀ 4: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 347 Dạng Tọa độ hóa Hình học khơng gian 353 Dạng Bài toán đại số 367 CHỦ ĐỀ 5: TỔNG HỢP VỀ HÌNH TỌA ĐỘ OXYZ 372 Đề