BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ————————– NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG KHẢO SÁT CÁC DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ————————– NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG KHẢO SÁT CÁC DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Đà Nẵng - Năm 2015 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Định nghĩa định lí 1.2 Một số tính chất dãy số 17 CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THIẾT LẬP MỘT SỐ DÃY SỐ 24 2.1 Thiết lập dãy số hội tụ từ phương trình 24 2.2 Thiết lập dãy số từ phương trình bậc hai 34 2.3 Thiết lập dãy số dãy số nguyên từ phương trình Diophant 39 2.4 Thiết lập dãy số nguyên từ phương trình Pell 43 2.5 Thiết lập dãy số từ hàm số phân tuyến tính 50 CHƯƠNG SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH KHẢO SÁT DÃY SỐ 57 3.1 Hàm số tuần hoàn, phản tuần hồn nhân tính tập số tự nhiên 57 3.2 Ứng dụng phương trình hàm để xác định dãy số 63 KẾT LUẬN 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO 73 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn ký ghi rõ họ tên Nguyễn Thị Phương Thảo DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Kí hiệu Tên gọi R R+ C Q Q+ N N∗ Z Trường số thực Tập số thực dương Trường số phức Trường số hữu tỷ Tập số hữu tỷ dương Tập số tự nhiên Tập số nguyên dương Tập số nguyên ∞ {L}= n=1 [an ; bn ] Giao dãy đoạn thẳng lồng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình Tốn học bậc Trung học phổ thơng tốn dãy số chiếm vị trí quan trọng Đặc biệt hơn, nhiều kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán quốc tế, thi Olympic sinh viên trường đại học cao đẳng tốn liên quan đến dãy số hay đề cập thường thuộc loại toán khó Phương pháp giải tốn dãy số đa dạng Trong trình giảng dạy học tập tơi nhận thấy chun đề dãy số có nhiều điều thú vị liên quan đến phép toán số học, tính chất đại số hay tính chất giải tích Hai mảng lớn mà luận văn nhằm ý đến trình bày số cách xây dựng tập dãy số, nêu cách sử dụng phương trình hàm để khảo sát dãy số (xem [1]-[9]) Đặc biệt tồn tìm số hạng tổng qt dãy số tốn tìm giới hạn dãy số Ngồi ra, luận văn cịn xét số vấn đề liên quan đến ứng dụng dãy số cách tiếp cận phương pháp dãy số Tuy nhiên, tất vấn đề dãy số đề cập luận văn phần dãy số bất đẳng thức, toán đồng dư, Đề tài "Phương pháp hàm số khảo sát dạng toán dãy số" nhằm đáp ứng mong muốn thân đề tài phù hợp mà sau phục vụ thiết thực cho việc nâng cao chất lượng giảng dạy nhà trường phổ thông Luận văn gồm ba chương : Chương nhằm hệ thống lại khái niệm, công thức cần nắm vững trước tìm hiểu dãy số Chương trình bày vấn đề quan trọng dãy số cách xây dựng chúng phương pháp để giải toán dãy số Chương đề cập đến số tốn phương trình dãy Mục tiêu nghiên cứu Khảo sát tốn dãy số thơng qua hệ thức hàm số công thức nghiệm đa thức, tính tuần hồn, phản tuần hồn cộng tính, nhân tính, Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Khảo sát hàm số dãy số liên quan, Tuy nhiên không đề cập đến dãy số (hàm số) xác định Z Q tập rời rạc khác - Đề cập tới toán liên quan đến số hạng tổng quát dãy số giới hạn dãy số Phương pháp nghiên cứu Tham khảo, phân tích tổng hợp tài liệu chuyên đề, sách giáo khoa, tài liệu giáo viên hướng dẫn, tài liệu mạng Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài - Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi tốn bậc trung học phổ thơng - Giới thiệu đến học sinh phổ thông giáo viên phương pháp việc nghiên cứu dạng tốn dãy số - Đề tài đóng góp thiết thực cho việc nâng cao chất lượng dạy học chuyên đề toán trường THPT, đem lại niềm đam mê sáng tạo từ toán Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn chia thành ba chương MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa định lí 1.2 Một số tính chất dãy số Chương Một số phương pháp thiết lập số dãy số 2.1 Thiết lập dãy số hội tụ từ phương trình 2.2 Thiết lập dãy số từ phương trình bậc hai 2.3 Thiết lập dãy số dãy số nguyên từ phương trình Diophant 2.4 Thiết lập dãy số nguyên từ phương trình Pell 2.5 Thiết lập dãy số từ hàm số phân tuyến tính Chương Sử dụng phương trình hàm khảo sát dãy số 3.1 Hàm số tuần hồn, phản tuần hồn nhân tính tập số tự nhiên 3.2 Ứng dụng phương trình hàm để xác định dãy số KẾT LUẬN: Tổng kết kết đạt được, nêu số vấn đề chưa giải hướng phát triển đề tài TÀI LIỆU THAM KHẢO CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Định nghĩa định lí Ta nhắc lại định nghĩa khái niệm dãy số số đặc tính liên quan Định nghĩa 1.1 ([1]) Dãy số hàm số từ N vào tập hợp số (N, Q, R, C) hay tập tập hợp Các số hạng dãy số thường kí hiệu un , , xn , yn , thay u (n) , v (n) , x (n) , y (n) , Bản thân dãy số kí hiệu (un ) , (vn ) , (xn ) , (yn ) , {un } , {vn } , {xn } , {yn } , Định nghĩa 1.2 ([1],[2],[5]) Dãy số {un } gọi tăng không nghiêm ngặt (viết tắt knn) (giảm knn) với n, ta có un+1 ≥ un (un+1 ≤ un ) Dãy số tăng giảm (knn) gọi chung dãy đơn điệu Dãy số {un } gọi dãy số bị chặn tồn số M cho ∀n ∈ N∗ , un ≤ M Dãy số {un } gọi dãy số bị chặn tồn số m cho ∀n ∈ N∗ , un ≥ m Dãy số {un } gọi dãy số bị chặn vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, nghĩa tồn số M số m cho ∀n ∈ N∗ , m ≤ un ≤ M Định nghĩa 1.3 ([1],[2],[5]) Ta nói dãy số {un } có giới hạn hữu hạn a với ε > 0, tồn số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số un ε) cho với n > N0 ta có |un − a| < ε lim un = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N, ∀n > N0 : |un − a| < ε Ta nói dãy số {un } dần đến +∞ với số thực dương M lớn tùy ý, tồn số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số un M ) cho với n > N0 ta có un > M lim un = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N0 ∈ N, ∀n > N0 : un > M Tương tự, lim un = −∞ ⇔ ∀M < 0, ∃N0 ∈ N, ∀n > N0 : un < M Dãy số có giới hạn hữu hạn gọi dãy hội tụ Dãy số khơng có giới hạn hữu hạn dần đến vô (+∞ −∞) gọi dãy phân kì Định lý 1.1 ([1],[3]) Mọi dãy hội tụ có giới hạn Chứng minh Ta thấy a1 , a2 ∈ R |a1 − a2 | < ε Với ε dương nhỏ tùy ý cho trước a1 = a2 |a1 − a2 | ⇒ |a1 − a2 | > ε, mâu thuẫn Thật vậy, a1 = a2 ta chọn ε = Giả sử lim un = a1 , lim = a2 x→+∞ x→+∞ Khi ∀ε > : ∃n1 , ∀n > n1 : |un − a1 | < ε |un − a2 | < Đặt n0 = max {n1 ; n2 } ta thấy n > n0 ε ∃n2 , ∀n > n2 : |a1 − a2 | = |a1 − un + un − a2 | ≤ |un − a1 | + |un − a2 | < ε ε + = ε 2 Theo nhận xét lim un = a1 = a2 x→+∞ Định nghĩa 1.4 (Dãy con) [1],[4] Cho dãy số thực (un ) dãy số nguyên dương (nk ) cho n1 < n2 < · · · < nk < Dãy (unk ) = {un1 , un2 , , unk , } gọi dãy dãy (un ) Ta ý n1 ≥ 1, n2 > n1 ≥ ⇒ n2 ≥ 2, tương tự ta có nk ≥ k, ∀k ∈ N∗ Dãy (un ) dãy với nk = k Định lý 1.2 ([1]) Mọi dãy dãy hội tụ dãy hội tụ có giới hạn dãy Chứng minh Giả sử lim un = a, theo định nghĩa ta có: x→+∞ ∀ε > 0, ∃n0 , ∀n > n0 : |un − a| < ε Cho (unk ) dãy (un ) Khi ∀k > n0 , ta có nk ≥ k > n0 59 Lời giải Giả sử u0 = α, u1 = β, u2 = γ un+3 = un , ∀n ∈ N Khi ta thấy (bằng quy nạp toán học ) dãy {un } có dạng (3.55) Ngược lại, moi dãy xác định theo (3.55) dãy tuần hoàn chu kỳ 3: α, β, γ, α, β, γ, Bài toán 3.44 Cho k ∈ Q\Z Chứng minh dãy {un }xác định theo công thức u0 = 1, u1 = −1, un+1 = kun − un+1 , n ∈ N∗ khơng dãy tuần hồn Lời giải Khi |k| > |un+1 | ≥ |k| |un | − |un−1 | > |un | − |un−1 | Nếu luôn xảy |un | < |un−1 | với n ∈ N∗ ta có điều phải chứng minh Nếu xảy |um | ≥ |um−1 | > suy |um | < |um−1 | < dãy {un } khơng dãy số tuần hồn p Xét |k| ≤ với k = , (p, q) = 1, ≤ q ∈ Z∗, p ∈ Z Bằng phép quy q nạp theo n ta thu pj uj = j−1 , pj ∈ Z, (pj , q) = 1, ∀j ∈ {1, , n} q Từ suy p pn+1 un+1 = un − un−1 = n , q q pn+1 = ppn − q pn−1 ∈ Z (pn+1 , q) = Do q ≥ nên un = um n = m dãy {un } khơng dãy số tuần hồn Bài tốn 3.45 Xác định giá trị k ∈ Q để dãy số {un } xác định theo công thức u0 = 1, u1 = −1, un+1 = kun − un+1 , n ∈ N∗ 60 dãy tuần hồn p Lời giải Theo kết tốn 3.43, |k| > |k| ≤ 2, k = q p với k = , (p, q) = 1, ≤ q ∈ Z∗, p ∈ Z dãy {un } khơng dãy số tuần q hồn Xét |k| ≤ 2, k ∈ Z Với k = {un } cấp số cộng với công sai −2 nên hiển nhiên dãy {un } khơng dãy tuần hồn Với k = {un } dãy tuần hoàn với chu kỳ 6: u0 = 1, u1 = −1, u2 = −2, u3 = −1, u4 = 1, u5 = 2, u6 = 1, u7 = −1, Với k = {un } dãy tuần hồn với chu kỳ 4: u0 = 1, u1 = −1, u2 = −1, u3 = 1, u4 = 1, u5 = −1, Với k = −1 {un } dãy tuần hoàn với chu kỳ 3: u0 = 1, u1 = −1, u2 = 0, u3 = 1, u4 = −1, Với k = −2 {un } dãy tuần hồn với chu kỳ 2: u0 = 1, u1 = −1, u2 = 1, u3 = −1, u4 = 1, Định nghĩa 3.12 ([4]) a) Dãy số {un } gọi dãy phản tuần hồn (cộng tính) tồn số nguyên dương un+ = −un , ∀n ∈ N cho (3.56) Số nguyên dương nhỏ để dãy {un } thỏa mãn (3.56) gọi chu kỳ sở dãy b) Dãy số {un } gọi dãy tuần hồn nhân tính tồn số nguyên dương s (s > 1) cho usn = −un , ∀n ∈ N (3.57) 61 Số nguyên dương s nhỏ để dãy {un } thỏa mãn (3.57) gọi chu kỳ sở dãy Nhận xét 3.8 a) Dãy phản tuần hoàn chu kỳ dãy tuần hoàn chu kỳ b) Dãy phản tuần hồn nhân tính chu kỳ s dãy tuần hồn nhân tính chu kỳ 2s Bài toán 3.46 Xác định dãy số phản tuần hồn chu kì un+2 = −un , n = 0, 1, 2, Lời giải Phương pháp liệt kê: Ta có − u0 = u2 ⇔ u0 = −u2 = u4 − u1 = u3 ⇔ u1 = −u3 = u5 Do un+4 = − (un+2 ) = − (un ) = un , n = 0, 1, 2, Suy u0 = u4 = u8 = u12 = u1 = u5 = u9 = u15 = u2 = u6 = u10 = u14 = u3 = u7 = u11 = u15 = Vậy    a n = (mod4) b n=1 (mod4) un = −a n = (mod4)   −b n = (mod4) a, b tùy ý 62 Bài tốn 3.47 Chứng minh dãy {un } phản tuần hồn chu kỳ r có dạng un = (vn − vn+r ) (3.58) với vn+2r = Lời giải Giả sử un+r = −un , ∀n ∈ N Khi đó, ta thấy dãy {un } phản tuần hoàn chu kỳ 2r un = (vn − vn+r ) , tức có dạng (3.58) Ngược lại, kiểm tra trực tiếp, ta thấy dãy xác định theo (3.58) dãy phản tuần hồn chu kỳ 2r Bài tốn 3.48 Cho f (x) đa thức với deg f = k ≥ 1, f (x) ∈ Z ứng với x ∈ Z Ký hiệu r (k) = {2s |s ∈ N∗ , 2s > k} Chứng minh dãy số (−1)f (k) (k = 1, 2, ) dãy tuần hoàn với chu kỳ r (k) Lời giải Ta có k!f (x) ∈ Z [x] Biểu diễn f (x) dạng x x f (x) = a0 + a1 + · · · + ak k , x (x − 1) (x − k + 1) x = k k! Ta cần chứng minh f (x + r (k)) − f (x) chia hết cho với x ∈ Z Nhận xét Mi = x + 2s x − i i chia hết cho với i ∈ N∗ , 2s ≥ i, x ∈ Z Thật vậy, ta có Mi = s [(2 + x) (2s + x − 1) (2s + x − i + 1) − x (x − 1) (x − i + 1)] i! 63 Tử số hiển nhiên chia hết cho 2s Mặt khác, số mũ khai triển i! ∞ j=1 i < 2j ∞ j=1 i = i ≤ 2s , j nên Mi chia hết cho với i ∈ N∗, 2s ≥ i, x ∈ Z Từ suy Ti = x x + r (k) − i i chia hết cho với i ∈ Z, i ≤ k, ∀x ∈ Z Do aj ∈ Z nên k f (x + r (k)) − f (x) = aj Tj j=0 chia hết cho 2, điều phải chứng minh 3.2 Ứng dụng phương trình hàm để xác định dãy số Bài tốn 3.49 Xác định dãy số {un } thỏa mãn điều kiện un+3 = un − 2, ∀n > Lời giải Đặt un = − n + yn , vào (3.59) ta được: 2 (n + 3) + yn = − n + yn − 2, n = 0, 1, 2, 3 ⇔ yn+3 = yn , n = 0, 1, 2, − Vậy {yn } dãy tuần hồn cộng tính chu kỳ Khi theo tốn 3.39, ta có yn = a, b, c tùy ý Kết luận: un = − n + yn , a n = (mod3) b n=1 (mod3) c n=2 (mod3) (3.59) 64 yn = a n = (mod3) b n=1 (mod3) c n=2 (mod3) a, b, c tùy ý Bài tốn 3.50 Xác định dãy số {un } thỏa mãn điều kiện un+2 = 3un , ∀n > (3.60) Lời giải n Đặt un = yn , vào (3.60) ta n+2 n yn+2 = 3.3 yn , n = 0, 1, 2, ⇔ yn+2 = yn , n = 0, 1, 2, Vậy {yn } dãy tuần hồn cộng tính chu kỳ Khi theo tốn 3.39, ta có yn = a n = (mod2) b n = (mod2) với a, b tùy ý n Kết luận: un = yn , yn = a n = (mod2) b n = (mod2) với a, b tùy ý Bài toán 3.51 Xác định dãy số {un } thỏa mãn điều kiện un+2 = 5un − 2, n = 0, 1, 2, (3.61) + yn , vào (3.61) ta được: 1 + yn+2 = + yn − 2, n = 0, 1, 2, 2 ⇔ yn+2 = −5yn , n = 0, 1, 2, (3.62) Lời giải Đặt un = 65 n Đặt yn = zn , vào (3.62) ta n+2 n zn+2 = 5.5 zn , n = 0, 1, 2, ⇔ zn+2 = zn , n = 0, 1, 2, Vậy {zn } dãy tuần hồn cộng tính chu kỳ Khi theo tốn 3.39, ta có zn = a n = (mod2) b n=1 (mod2) với a, b tùy ý n Kết luận: un = + zn , zn = a n = (mod2) b n=1 (mod2) với a, b tùy ý Bài toán 3.52 Xác định dãy số {un } thỏa mãn điều kiện un+2 = −5un + 3, n = 0, 1, 2, (3.63) Lời giải Đặt un = + yn , vào (3.63) ta được: 1 + yn+2 = −5 + yn + 3, n = 0, 1, 2, 2 ⇔ yn+2 = −5yn , n = 0, 1, 2, n Đặt yn = zn , vào (3.64) ta n+2 n zn+2 = −5.5 zn , n = 0, 1, 2, ⇔ zn+2 = −zn , n = 0, 1, 2, (3.64) 66 Vậy {zn } dãy phản tuần hồn cộng tính chu kỳ Khi theo tốn 3.45, ta có    a n = (mod4) b n=1 (mod4) zn = −a n = (mod4)   −b n = (mod4) với a, b tùy ý n Kết luận: un = + zn ,    a n = (mod4) b n=1 (mod4) zn = −a n = (mod4)   −b n = (mod4) với a, b tùy ý Bài toán 3.53 Xác định dãy số {xn }thỏa mãn điều kiện xn+3 = −2xn + 7, n = 0, 1, 2, (1) Lời giải Đặt xn = (3.65) + yn , vào (3.65) ta được: 7 + yn+3 = −2 + yn + 7, n = 0, 1, 2, 3 ⇔ yn+3 = −2yn , n = 0, 1, 2, n Đặt yn = zn , vào (3.66) ta được: n+3 n zn+3 = −2.2 zn , n = 0, 1, 2, ⇔ zn+3 = −zn , n = 0, 1, 2, Vậy {zn } dãy phản tuần hồn cộng tính chu kỳ Khi theo tốn 3.45, ta có    a n = (mod4) b n=1 (mod4) zn = −a n = (mod4)   −b n = (mod4) (3.66) 67 n với a,b tùy ý Kết luận: xn = + zn ,    a n = (mod6) b n=1 (mod6) zn = −a n = (mod6)   −b n = (mod6) với a,b tùy ý Bài toán 3.54 Xác định dãy số {xn } thỏa mãn điều kiện x2−n = 3xn − 5, n = 0, 1, 2, (3.67) Lời giải Đặt − n = m n = − m vào (3.67) ta được: xm = 2x2−m − 5, ∀m ∈ N∗ Hay xn = 2x2−n − 5, ∀n ∈ N∗ (3.68) Từ (3.67) (3.68) cho ta hệ phương trình để xác định xm Suy xn = [3xn − 5] − 5, ∀n ∈ N∗ ⇒ xn = Thử lại ta thấy thỏa mãn Kết luận: xn = Bài toán 3.55 Xác định dãy số {xn } thỏa mãn điều kiện x3−n = 5xn + n2 − 1, n = 0, 1, 2, (3.69) Lời giải Đặt − n = m ⇔ m = − n Khi từ (3.69) trở thành: xm = 5x3−m + (3 − m)2 − Hay xn = 5xn + (3 − n)2 − (3.70) 68 Từ (3.69) (3.70) cho ta hệ phương trình xác định xn Suy xn = 5xn + n2 − + (3 − n)2 − 1 1 ⇒ xn = − n2 + n − 4 1 Vậy xn = − n2 + n − 4 Bài toán 3.56 Xác định dãy số {xn } thỏa mãn điều kiện x2n = xn − 3, n = 1, 2, (3.71) Lời giải Vì n > nên đặt xn = log √31 n + yn vào (3.71) ta log √31 2n + y2n = log √31 n + yn − 3, ∀n > 2 ⇔ y2n = yn , ∀n > (3.72) Dãy {yn } hàm tuần hồn nhân tính chu kì Khi theo tốn 3.39 ta có yn = tùy ý với n lẻ y2k+1 với n = 2m (2k + 1) ,m ∈ N*,k ∈ N Kết luận: xn = log √31 n + yn , yn = tùy ý với n lẻ y2k+1 với n = 2m (2k + 1) ,m ∈ N*,k ∈ N Bài toán 3.57 Xác định dãy số {xn } thỏa mãn điều kiện x2n = 5xn − 3, n = 1, 2, (3.73) Lời giải Đặt xn = + yn , vào (3.73) ta 3 + y2n = + yn − 4 ⇔ y2n = 5yn , ∀n ∈ N (3.74) 69 Đặt yn = nlog2 zn , vào (3.74) ta được: ⇔ z2n = zn , ∀n ∈ N (3.75) Từ (3.75) chứng tỏ {zn } hàm tuần hồn nhân tính chu kì Khi theo tốn 3.41 ta có zn = Vậy xn = tùy ý, n lẻ z2k+1 n = 2m (2k + 1) ,m ∈ N∗ , k ∈ N + nlog2 zn zn = tùy ý, n lẻ z2k+1 n = 2m (2k + 1) ,m ∈ N∗ , k ∈ N Bài toán 3.58 Xác định dãy số {xn } thỏa mãn điều kiện u2n+1 = 3un , ∀n ∈ N (3.76) Lời giải Đặt n + = m, ∀m = 1, 2, 3, Khi 2n + = (m − 1) + = 2m − vào (3.76) ta được: u2m−1 = 3um−1 , ∀m ∈ N∗ (3.77) v2m = 3vm , ∀m ∈ N∗ (3.78) vm = um−1 , ∀m ∈ N∗ (3.79) hay với Từ (3.78) ta đặt vm = mlog2 ym , m ∈ N∗ , vào (3.78) ta y2m = ym , m ∈ N∗ Vậy {ym } dãy tuần hồn nhân tính chu kỳ Khi theo tốn 3.41 ta có yn = tuỳ ý n lẻ y2k+1 n = 2m (2k + 1) , m ∈ N*, k ∈ N 70 Từ suy um = vm+1 = (m + 1)log2 ym+1 , với yn = tuỳ ý n lẻ y2k+1 n = 2m (2k + 1) , m ∈ N*, k ∈ N Bài toán 3.59 Xác định dãy số {xn } thỏa mãn điều kiện x2n−3 = 5xn + 3, n = 1, 2, (3.80) Lời giải Đặt xn = − + yn , vào (3.80) ta 3 − + y2n−3 = − + yn + 3, ∀n ∈ N 4 ⇔ y2n−3 = 5yn , ∀n ∈ N (3.81) Đặt n = + m, ∀m ∈ N∗ Khi 2n − = + 2m vào (3.81) ta được: y3+2m = 5y3+m , ∀m ∈ N∗ ⇔ z2m = 5zm , ∀m ∈ N∗ (3.82) zm = y3+m , ∀m ∈ N∗ Đặt zm = mlog2 um , vào (3.82) ta được: u2m = um , ∀m ∈ N∗ Vậy {um } dãy tuần hồn nhân tính chu kỳ Khi theo tốn 3.41 ta có um = tuỳ ý m lẻ y2k+1 m = 2n (2k + 1) , n ∈ N*, k ∈ N Vậy xn = − + (n − 3)log2 un−3 , ∀n > 3, n ∈ N um = tuỳ ý m lẻ y2k+1 m = 2n (2k + 1) , n ∈ N*, k ∈ N Bài toán 3.60 Xác định dãy số {un } thỏa mãn điều kiện u2n+1 = −3un + 4, ∀n ∈ N (3.83) 71 Lời giải Đặt n + = m, ∀m = 1, 2, 3, Khi 2n + = (m − 1) + = 2m − vào (3.83) ta được: u2m−1 = −3um−1 + 4, ∀m ∈ N∗ hay v2m = −3vm + 4, ∀m ∈ N∗ (3.84) với vm = um−1 , ∀m ∈ N∗ Từ (3.84) ta đặt vm = + xm , vào (3.84) ta được: x2m = −3xm , ∀m ∈ N∗ Đặt xm = mlog2 ym , m ∈ N∗ Khi (3.85) có dạng: y2m = −ym , m ∈ N∗ Vậy {ym } dãy phản tuần hồn nhân tính chu kỳ Khi theo tốn 3.45 ta có    a n = (mod4) b n=1 (mod4) yn = −a n = (mod4)   −b n = (mod4) a, b tùy ý Từ suy um = vm+1 = + (m + 1)log2 ym+1 , với a, b tùy ý    a n = (mod4) b n=1 (mod4) yn = −a n = (mod4)   −b n = (mod4) (3.85) 72 KẾT LUẬN - Luận văn tổng quan số tính chất dãy số trình bày dạng tốn theo cách giải hướng mở rộng từ tập dãy số cách thức giải tập - Luận văn sử dụng dạng tốn mang tính hệ thống theo dạng dãy số phương pháp giải chúng từ đề thi học sinh giỏi quốc gia Olympic toán quốc tế - Tác giả mong muốn luận văn phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy chuyên đề dãy số nhà trường phổ thông 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đồn Quỳnh (Chủ biên),2000, Tài liệu chun tốn Đại số Giải tích 11, NXB Giáo Dục [2] Phan Huy Khải, 1997, 10.000 Bài toán sơ cấp: Dãy số giới hạn, NXB Hà Nội [3] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh, 2002, Giới hạn dãy số hàm số, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu, 2003, Một số toán chọn lọc dãy số, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), 2008, Chuyên đề chọn lọc dãy số áp dụng, NXB Giáo dục [6] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), 2010, Một số chuyên đề Giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi Trung học phổ thông NXB Giáo dục [7] Vũ Dương Thụy (Chủ biên), 2002, 40 năm Olympic Toán học Quốc tế, NXB Giáo dục [8] Lê Đình Thịnh (Chủ biên), 2001, Phương trình sai phân số ứng dụng, NXB Giáo dục [9] B J Venkatachala, 2002, Functional Equations, Prism Books PVT LTD ... ứng dụng dãy số cách tiếp cận phương pháp dãy số Tuy nhiên, tất vấn đề dãy số đề cập luận văn phần dãy số bất đẳng thức, toán đồng dư, Đề tài "Phương pháp hàm số khảo sát dạng toán dãy số" nhằm... NẴNG ————————– NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG KHẢO SÁT CÁC DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn... 1.2 Một số tính chất dãy số Chương Một số phương pháp thiết lập số dãy số 2.1 Thiết lập dãy số hội tụ từ phương trình 2.2 Thiết lập dãy số từ phương trình bậc hai 2.3 Thiết lập dãy số dãy số nguyên