BỘ GIÁO D C VÀ ĐÀO TẠO ĐẠIăH CăĐÀăN NG LÊăANHăDŨNGă MỘTăS ăPH NGăPHÁPăGIẢIăTỐNă HÌNHăH CăKHỌNGăGIAN LU NăV NăTHẠCăSĨăKHOAăH C ĐƠăN ngă- N mă2016 BỘ GIÁO D C VÀ ĐÀO TẠO ĐẠIăH CăĐÀăN NG LÊăANHăDŨNGă MỘTăS ăPH NGăPHÁPăGIẢIăTỐNă HÌNHăH CăKHỌNGăGIAN ChuyênăngƠnh:ăăPh ngăphápăToán s ăcấp Mƣăs :ăă60.46.01.13 LU NăV NăTHẠCăSĨăKHOAăH C Ng iăh ngăd năkhoaăh c:ăăTS.ăNGUYỄNăNG CăCHÂU ĐƠăN ngă- N mă2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Những nội dung trình bày luận văn tơi thực hướng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Ngọc Châu Mọi tài liệu dùng luận văn trích dẫn rõ ràng trung thực tên tác giả, tên cơng trình, thời gian địa điểm cơng bố Nếu có chép khơng hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo tơi xin chịu hồn tốn trách nhiệm Tác giả Lê Anh Dũng MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VNG GĨC 1.1.1 Quan hệ song song 1.1.2 Quan hệ vng góc 1.2 HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES TRONG KHÔNG GIAN 1.2.1 Giới thiệu hệ tọa độ Descartes không gian 1.2.2 Phương trình mặt phẳng 1.2.3 Phương trình đường thẳng khơng gian 1.2.4 Phương trình mặt cầu 1 1 3 7 10 11 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ 2.1 QUY TRÌNH GIẢI MỘT BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ 2.2 BÀI TOÁN CHỨNG MINH HỆ THỨC VECTƠ, CHỨNG MINH THẲNG HÀNG, CHỨNG MINH ĐỒNG PHẲNG 2.3 BÀI TOÁN CHỨNG MINH SONG SONG, VNG GĨC 2.4 BÀI TỐN VỀ GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH 2.5 BÀI TOÁN VỀ DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH 12 12 13 21 28 35 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 40 3.1 MỘT SỐ DẤU HIỆU NHẬN BIẾT BÀI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GIẢI ĐƯỢC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 40 3.2 QUY TRÌNH GIẢI MỘT BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 40 3.3 BÀI TOÁN CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY 3.4 BÀI TỐN CHỨNG MINH SONG SONG, VNG GĨC 3.5 BÀI TỐN VỀ GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH 3.6 BÀI TỐN VỀ DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH 3.7 BÀI TOÁN VỀ QUỸ TÍCH CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG QUAN HỆ SONG SONG, QUAN HỆ VNG GĨC 4.1 QUY TRÌNH GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN SỬ DỤNG QUAN HỆ SONG SONG, QUAN HỆ VNG GĨC 4.2 BÀI TOÁN CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY 4.3 BÀI TỐN CHỨNG MINH SONG SONG, VNG GĨC 4.4 BÀI TỐN VỀ GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH 4.5 BÀI TỐN VỀ DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) 41 46 51 57 59 63 63 63 66 74 81 87 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU (ABC) (P) : Mặt phẳng (ABC) : Mặt phẳng (P) ∆ABC d(a, b) d(M, (P)) a // b a⊥b : Tam giác ABC : Khoảng cách hai đường thẳng a b : Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) : Đường thẳng a song song với đường thẳng b : Đường thẳng a vng góc với đường thẳng b DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT VTCP : Vectơ phương VTPT : Vectơ pháp tuyến MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, Hình học khơng gian mơn học khó địi hỏi học sinh phải có tính tư trừu tượng cao, quan hệ song song quan hệ vng góc nội dung Các phương pháp giải tốn hình học khơng gian thường dùng là: Phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ, phương pháp dùng quan hệ song song, quan hệ vng góc, phương pháp tổng hợp, Để giải tốn nói chung, tốn hình học khơng gian nói riêng, có nhiều cách giải khác Vấn đề phải phân tích kỹ liệu giả thiết yêu cầu kết luận để chọn phương pháp giải thích hợp, rõ ràng, ngắn gọn dễ hiểu Nhằm mục đích tìm hiểu cách giải tốn hình học khơng gian để phục vụ cho cơng việc giảng dạy, chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ “Một số phương pháp giải tốn hình học khơng gian” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ không gian quan hệ song song, quan hệ vng góc giải tốn hình học khơng gian Định hướng việc ứng dụng phương pháp cho lớp toán cụ thể Hệ thống phân loại tốn hình học khơng gian giải phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ sử dụng quan hệ song song, quan hệ vng góc Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ không gian quan hệ song song, quan hệ vng góc giải tốn hình học khơng gian Các tốn hình học không gian giải phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ, phương pháp sử dụng quan hệ song song, quan hệ vng góc Phương pháp nghiên cứu Thu thập, tổng hợp, hệ thống tài liệu có nội dung liên quan đến đề tài luận văn, đặc biệt tài liệu liên quan đến hình học khơng gian Phân tích, nghiên cứu tài liệu để thực đề tài luận văn Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn, chuyên gia đồng nghiệp Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận nội dung Luận văn chia thành chương: Chương – Các kiến thức chuẩn bị Chương – Phương pháp vectơ Chương – Phương pháp tọa độ Chương – Phương pháp sử dụng quan hệ song song, quan hệ vng góc CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày sơ lược kiến thức sở hệ tọa độ không gian, quan hệ song song quan hệ vng góc để làm tiền đề cho chương sau Các chi tiết liên quan xem [9], [11], [16] 1.1 QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VNG GĨC Mục nhắc lại số khái niệm kết quan hệ song song, quan hệ vng góc 1.1.1 Quan hệ song song Định nghĩa 1.1.1 Trong không gian, hai đường thẳng gọi song song với chúng đồng phẳng khơng có điểm chung Định lý 1.1.1 (9) Trong không gian, cho đường thẳng d điểm A nằm ngồi đường thẳng d Lúc tồn đường thẳng a qua A song song với đường thẳng d Định lý 1.1.2 (9) Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với Định lý 1.1.3 (Định lý ba giao tuyến ba mặt phẳng) [9] Nếu ba mặt phẳng đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đơi song song Hệ 1.1.1 Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến giao tuyến song song với hai đường thẳng trùng với chúng Định nghĩa 1.1.2 Trong không gian, đường thẳng d mặt phẳng (P) gọi song song với chúng khơng có điểm chung, kí hiệu d // (P) Định lý 1.1.4 (9) Điều kiện cần đủ để đường thẳng song song với mặt phẳng đường thẳng khơng nằm mặt phẳng song song với đường thẳng mặt phẳng Hệ 1.1.2 Nếu đường thẳng d // (P) mặt phẳng (Q) chứa d mà cắt (P) theo giao tuyến đường thẳng a d // a Định lý 1.1.5 (9) Nếu hai mặt phẳng song song chứa đường thẳng chúng cắt giao tuyến chúng song song trùng với đường thẳng Định lý 1.1.6 (9) Cho điểm A hai đường thẳng a, b chéo Lúc tồn phẳng (P) qua A cho (P) song song chứa a song song chứa b Hệ 1.1.3 Cho hai đường thẳng a, b chéo Lúc tồn mặt phẳng (P) qua a song song với b Định lý 1.1.7 (9) Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) Nếu đường thẳng b song song với đường thẳng a b song song thuộc mặt phẳng (P) Hệ 1.1.4 Cho đường thẳng mặt phẳng song song với Nếu đường thẳng qua điểm thuộc mặt phẳng cho song song với đường thẳng cho đường thẳng phải thuộc mặt phẳng Định nghĩa 1.1.3 Trong không gian, hai mặt phẳng (P) (Q) gọi song song với chúng khơng có điểm chung Định lý sau cho phép đưa việc chứng minh hai mặt phẳng song song chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Định lý 1.1.8 (9) Cho hai mặt phẳng (P), (Q) Lúc (P) (Q) song song với mặt phẳng (Q) tồn hai đường thẳng a, b cắt cho a b song song với (P) Định lý 1.1.9 (9) Qua điểm nằm ngồi mặt phẳng có mặt phẳng song song với mặt phẳng Định lý cho hệ sau: Hệ 1.1.5 Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) Lúc tồn mặt phẳng qua d song song với (P) 75 Bước Rõ ràng M O//SA, OM B = α góc SA BM Vì ABCD hình thoi, nên BD ⊥ AC Mặt khác BD ⊥ SO, suy BD ⊥ (SAC), suy BD ⊥ OM OB Bước Trong tam giác vng MOB O, ta có tan α = (1) OM √ √ 1√ SO + OA2 = 3, OB = BC − OC = Do OM = SA = 2 Từ thay vào (1), ta có tan α = √ , suy α = 300 Vậy (SA, SM ) = 30 Bài toán 4.4.2 [6] Trong mặt phẳng (P) cho hình vng ABCD cạnh a Đoạn thẳng SA cố định vng góc với (P) A M, N hai điểm di động cạnh BC CD Đặt M = u, DN = v Chứng minh 4(u + v) + uv = a2 điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng (SAM) (SAN) tạo với góc 450 GIẢI Ta có (SAM ) ∩ (SAN ) = SA Do SA ⊥ (ABCD), suy AM ⊥ SA, AN ⊥ SA Suy M AN góc tạo hai mặt phẳng (SAM) (SAN) Đặt DAN = α, M AB = β Khi M AN = 450 ⇔ α + β = 450 ⇔ tan(α + β) = v u + tan α + tan β a a = ⇔ a(u + v) + uv = a2 =1⇔ ⇔ uv − tan α tan β 1− a Suy điều phải chứng minh 76 Bài tốn 4.4.3 [4] Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = AB = a Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (SBD) GIẢI Gọi O = AC ∩ BD, ta có BD ⊥ CA, suy BD ⊥ (SAC), suy BD ⊥ SO Dựng CH ⊥ SO, (H ∈ SO) Vì BD ⊥ (SAC), suy BD ⊥ CH , nên CH ⊥ (SBD) Hay góc tạo SC mặt phẳng (SBD) CSO SO √ a SA = = Suy CH = √ Ta có ∆SAO ∽ ∆CHO, suy CH CO 1 CH = , suy CSO = arcsin Khi đó: sin CSO = SC 3 Bài toán 4.4.4 [9] Cạnh huyền tam giác vuông ABC nằm mặt phẳng (P) cạnh góc vng tạo với (P) hai góc α, β Tính góc mặt phẳng chứa tam giác ABC mặt phẳng (P) Tìm mối liên hệ α, β để (ABC) vng góc với (P) GIẢI Giả sử ABC tam giác vuông C 77 Kẻ CH ⊥ (P ), kẻ CK ⊥ AB Khi HK ⊥ AB CKH góc (ABC) (P); CBH, CAH góc tạo hai cạnh góc vng với (P) Theo giả thiết, ta có CAH = α, CBH = β h h Đặt CH = h CA = , CB = sin α sin β 1 + AB = CA2 + CB = h2 sin2 α sin2 β sin2 α + sin2 β Suy AB = h sin α sin β Xét tam giác ABC ta có AB.CK = CA.CB , từ CK = CA.CB = AB h sin2 α + sin2 β CH = sin2 α + sin2 β (1) CK Vậy góc (ABC) (P) tính (1) Từ (1) ta thấy (ABC) ⊥ (P ) ⇔ sin CKH = ⇔ sin2 α + sin2 β = ⇔ sin2 α = cos2 β ⇔ sin α = cos β ⇔ α + β = 900 Xét tam giác vng CHK, có: sin CKH = Bài tốn 4.4.5 [4] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng, √ ABC = BAD = 900 ; BA = BC = a; AD = 2a Giả sử SA = a vng góc với đáy (ABCD) Gọi H hình chiếu A lên SB Tính khoảng cách từ H đến (SCD) GIẢI √ √ Dễ thấy hình thang ABCD, ta có: AC = a Do AB = a 2, suy ∆ABC tam giác vuông cân C Do ta có BC ⊥ AC 78 Theo Định lý ba đường vng góc, ta có: SC ⊥ CD Giả sử CD ∩ AB = E Ta có B trung điểm AE Vì BC ⊥ (SAC), suy (SDC) ⊥ (SAC) Do (SDC) ∩ (SAC) = SC , nên kẻ AK ⊥ SC , suy AK ⊥ (SCD) Suy d(A, (SCD)) = AK (1) Ta có AB ∩ (SCD) = E , suy d(A, (SCD)) = 2.d(B, (SCD)) (do AB = BE ) (2) Kẻ AH ⊥ SB Ta có tam giác vng SAB: SA2 = SH.SB , √ √ √ 2a SA2 2 = SB = SA + AB = a 3, nên SH = SB BS d(B, (SCD)) Theo Định lý Ta-lét, ta có: = = d(H, (SCD)) HS 2 Suy ra: d(H, (SCD)) = d(B, (SCD)) (3) 1 (4) Từ (1), (2), (3) suy ra: d(H, (SCD)) = d(A, (SCD)) = AK 3 √ Do SA = AC = a 2, suy AK = a (5) a Từ (4) (5) suy d(H, (SCD)) = Bài toán 4.4.6 [14] Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M, N hai điểm nằm hai cạnh B’C’, CD cho B ′ M = B ′ C ′ ; CN = CD Chứng minh AM ⊥ BN tính khoảng cách AM BN GIẢI Kẻ M E//CC ′ , (E ∈ BC), gọi I = BN ∩ AE Khi đó, ta có: ∆ABE = ∆BCN (c.c.c), suy BN C = AEB , suy tứ giác INCE nội tiếp, suy N IE = 900 79 Hay BN ⊥ AE (1) ′ CC ⊥ (ABCD) , suy M E ⊥ (ABCD) Mặt khác: M E//CC ′ Suy M E ⊥ BN (2) Từ (1) (2) suy ra: BN ⊥ (AM E), suy BN ⊥ AM AM ⊂ (AM E) Ta có: , (AME), từ I kẻ IH ⊥ AM BN ⊥ (AM E), (I ∈ BN ) với H ∈ AM Suy ra: d (AM, BN ) = IH (3) √ √ a 13 , Xét ∆ABE vng A, ta có: AE = AB + BE = 3a AB = AI.AE , suy ra: AI = √ 13 √ √ a 22 Xét ∆AM E vuông E, ta có AM = AE + M E = IH AI Mặt khác, ta có ∆AIH ∽ ∆AM E(g.g.g), suy = ME AM 9a M E.AI =√ Suy IH = AM 286 9a Từ (3) ta có: d (AM, BN ) = √ 286 Bài tốn 4.4.7 [6] Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC (ABC) 600 Tính khoảng cách SA BC theo a GIẢI Ta có: SCH = (SC, (ABC)) = 600 Kẻ Ax//BC , HN ⊥ Ax HK ⊥ SN 80 Do: BC//(SAN ), nên d (BC, SA) = d (BC, (SAN )) = d (B, (SAN )) (1) Từ HA = 2HB ta suy BA = HA (2) Do vậy: d (B, (SAN )) = d (H, (SAN )) Từ HN ⊥ Ax Ax ⊥ SH (vì SH ⊥ (ABC)) Suy Ax ⊥ (SN H) nên Ax ⊥ HK Kết hợp với HK ⊥ SN suy HK ⊥ (SAN ) Do d (H, (SAN )) = HK (3) √ 2a a Mặt khác: AH = AB = ; HN = AH sin 600 = 3 Trong tam giác vng SNH, ta có HK.SN = SH.N H SH.N H SH.N H Suy ra: HK = =√ (4) SN SH + HN √ Trong ∆SHC vng H có: SH = HC tan 60 , HC = CD2 + HD2 , √ a D trung điểm AB, đó: CH = √ a 42 Thay lại vào (4) ta có HK = (5) 12 √ a 42 Từ (1), (2), (4), (5) ta có d (BC, SA) = Các toán tương tự Bài tốn 4.4.8 √ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a mặt phẳng (SAB) vng góc với đáy (ABCD) Gọi M, N trung điểm AB, BC Tính cosin góc tạo hai đường thẳng SM, DN Bài tốn 4.4.9 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ đáy hình vng cạnh a a, cạnh bên AA′ = b Gọi M trung điểm CC’ Tìm tỉ số để (A’BD) b (MBD) hai mặt phẳng vng góc với Bài tốn 4.4.10 Cho hình vng ABCD tam giác SAB cạnh a hai mặt phẳng vng góc với Gọi I trung điểm cạnh AB Tìm góc SA, SB, SC, SD với (ABCD) Tìm góc SI (SCD) Tìm góc SC, SD (SAB) 81 Bài tốn 4.4.11 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M, N tương ứng trung điểm AE BC Tính khoảng cách theo a hai đường thẳng MN AC Bài tốn 4.4.12 Cho hình chóp tam giác S.ABC đáy tam giác vuông ABC B AB = 3a, BC √ = 4a Biết mặt phẳng (SBC) vng góc với (SAC) Giả sử SB = 2a 3; SBC = 300 Tìm khoảng cách từ B đến (SAC) 4.5 BÀI TỐN VỀ DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH Bài tốn 4.5.1 [6] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thang, ABC = BAD = 900 , BA √ = BC = a, AD = 2a Giả sử SA vng góc với đáy ABCD SA = a Gọi H hình chiếu A SB Tìm thể tích tứ diện SHCD GIẢI Bước Ta có hình vẽ: Bước 2.√Trong hình thang vng ABCD dễ thấy BCD = 1350 cạnh CD = a Kẻ HK BE vng góc với (SCD), suy HK//BE S, K, E thẳng hàng SH HK = (1) Bước Theo Định lí Talet, ta có: SB √ √ BE Ta có: SB = SA2 + AB = a Trong tam giác vng SAB, ta có: √ 3a SA2 = SA = SH.SB nên SH = SB 82 SH.BE Do đó, từ (1) suy ra: HK = = BE SB Từ đó, ta có VH.SCD = VB.SCD 1 Lại có: VB.SCD = VS.BCD = SBCD SA = BC.CD sin 1350 SA √ a3 Vậy: VB.SCD = √ a3 Từ (2) (3) suy ra: VSHCD = VH.SCD = (đvtt) (2) (3) Bài toán 4.5.2 [6] Cho lăng trụ tam giác ABC.A B1 C1 có đáy ABC √ tam giác vuông cân với cạnh huyền AB = a Mặt phẳng (AA1 B1 B) √ vng góc với mặt phẳng (ABC) Giả sử AA1 = a 3, góc A1 AB nhọn mặt phẳng (ACC1 A1 ) tạo với đáy (ABC) góc 600 Tìm thể tích lăng trụ GIẢI Kẻ A1 H ⊥ AB , suy A1 H ⊥ (ABC) Kẻ HK ⊥ AC HK//BC AKH tam giác vuông cân đỉnh K Ta có A1 K ⊥ AC (Định lí ba đường √ vng góc) Đặt KA = KH = x, suy AH = x Do A1 KH = 600 (vì A1 KH góc tạo √ hai mặt phẳng (AA1 C1 C ) (ABC)) Suy A1 K = 2x A1 H = x 2 Trong tam giác vng A1 AH , ta có: √ √ A1 A = AH + A1 H √ 15 3a a ⇔ 3a2 = 2x2 + 3x2 ⇔ x = Từ A1 H = x = 5 √ 3a3 Ta có: VABC.A1 B1 C1 = SABC A1 H = CA.CB.A1 H = 10 Bài toán 4.5.3 [6] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ đáy hình vng cạnh a, chiều cao AA′ = b Gọi M trung điểm cạnh 83 CC’ Tìm thể tích tứ diện BDA’M GIẢI Trong ACC’A’ ta có A′ M ∩AC = E Vì M C = M C ′ suy AC = CE Do đó: VBDA′ M = VA′ BM D = VA′ BDE −VM.BDE = (AA′ −M C).SBDE 3√ √ √ a 3a2 = Mà: SBDE = BD.CO = a a + 2 2 b b Mặt khác: AA′ − M C = b − = 2 a2 b (đvtt) Thay (2) (3) vào (1) ta được: VBDA′ M = (1) (2) (3) Bài toán 4.5.4 [6] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy góc 600 Mặt phẳng qua CD vng góc với mặt bên (SAB) cắt SA, SB M N Tìm thể tích hình chóp S.CDMN GIẢI 84 Gọi E, F tương ứng trung điểm AB CD Ta có AB ⊥ EF ; SE ⊥ AB; AB ⊥ (SEF ), suy (SAB) ⊥ (SEF ) Do (SAB) ∩ (SEF ) = DE , nên từ F kẻ F I ⊥ SE Suy F I ⊥ (SAB), suy (IDC) ⊥ (SAB) Ta có DC//AB , suy DC//(SAB), suy (IDC) ∩ (SAB) = M N , MN qua I M N//DC (tức M N//AB ) Vậy DCMN mặt phẳng qua DC vng góc với (SAB) Ta có F I ⊥ (SAB), suy F I ⊥ SI Lại có SI ⊥ M N (do MN // AB SE ⊥ AB ) Suy SI ⊥ (DCM N ), nên SI đường cao hình chóp S.DCMN Vậy VS.DCM N = SI.SDCN M (1) Do mặt bên tạo với đáy góc 600 , suy SEO = 600 , O tâm đáy ABCD Ta có√SEF tam giác cạnh a Suy I trung điểm AB a SE a a Ta có M N = = ; SI = = SE có IF = 2 √2 2 (DC + M N )IF 3a Suy SDCM N = = √ √ 3a2 a a3 = (đvtt) Thay vào (1) ta có: VS.DCM N = 16 Bài tốn 4.5.5 [3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB tam giác vuông cân A, M điểm cạnh AD (M khác A D) Mặt phẳng (α) qua M song song với (SAB) cắt BC, SC, SD N, P, Q Đặt AM = x Tính diện tích MNPQ theo a x GIẢI Trong mặt phẳng (ABCD) qua M dựng đường thẳng song song với AB cắt BC N Trong (SAD), qua M dựng đường thẳng song song với SA 85 cắt SD Q Trong (SDC) qua Q dựng đường thẳng song song với DC cắt SC P Theo cách dựng P Q//CD M N//AB//CD, suy M N//P Q QM//SA nên MNPQ hình thang (M N P Q)//(SAB) Do M N//AB QM//SA, suy QM N = SAB = 900 Vậy MNPQ hình thang vng (1) Do SM N P Q = (M N +P Q).M Q M Q DM Theo giả thiết M N = AB = a Do M Q//SA, suy = SA DA a(2a − x) 2a − x SA.DM = nên M Q = (2) ⇔ MQ = DA 2a QP SQ AM DC.AM x Do P Q//DC , nên = = ⇔ PQ = = (3) DC SD AD AD 4a2 − x2 Thay (2), (3) vào (1) ta có SM N P Q = Bài tốn 4.5.6 [4] Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng A, cạnh SB vng góc với đáy (ABC) Qua B kẻ BH ⊥ √ SA; BK ⊥ SC √ Tính diện tích tam giác BHK, biết AC = a; BC = a 3; SB = a GIẢI Theo giả thiết ta có AC ⊥ AB AC ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABC)) suy AC ⊥ SA AC ⊥ (SAB) Mà BH ⊂ (SAB), nên AC ⊥ BH (1) Mặt khác SA ⊥ BH (2) Từ (1) (2) suy BH ⊥ (SAC) Do BH ⊥ HK (3) BH ⊥ SC (4) Xét ∆BHK vuông H 1 1 = + = , suy BH = a Từ ∆SAB , ta có BH SB AB a2 Ta lại có BK ⊥ SC (5) Từ (4) (5) ta suy SC ⊥ (BHK), SC ⊥ HK SH HK = (6) Xét ∆SHK ∽ ∆SCA có CA SC √ √ (a 2) =a Với ∆SBA vuông cân B có SH = √ SH a Từ (6) suy HK = CA = SC 86 √ a2 Vây diện tích ∆BHK là: S = BH.HK = (đvdt) 10 Các toán tương tự Bài tốn 4.5.7 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi S, S1 , S2 , S3 diện tích mặt (ABC); (OAB); (OBC); (OCA) Chứng minh S = S12 + S22 + S32 Bài toán 4.5.8 Cho tứ diện ABCD M điểm tùy ý cạnh CD (với M khác C D) Chứng minh MC VM ABC = VM ABD MD Biết thêm (AMB) mặt phẳng phân giác (C, AB, D) Chứng minh MC S∆ABC = rằng: S∆ABD MD Bài tốn 4.5.9 Đáy hình chóp S.ABCD hình chữ nhật, có AB = a; AD = b; SA ⊥ (ABCD) SA = 2a Lấy điểm M ∈ SA thỏa mãn AM = x, (0 ≤ x ≤ 2a) Tìm diện tích thiết diện mà MBC cắt hình chóp Xác định x để (MBC) chia hình chóp thành hai phần tích 87 KẾT LUẬN Luận văn "Một số phương pháp giải tốn hình học khơng gian" đạt mục đích nhiệm vụ đề ra, cụ thể luận văn thực vấn đề sau: Tìm hiểu trình bày phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ, quan hệ song song, quan hệ vuông góc giải tốn hình học khơng gian Hệ thống phân loại tốn hình học khơng gian giải phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ, phương pháp dùng quan hệ song song quan hệ vng góc Định hướng việc ứng dụng phương pháp cho lớp toán cụ thể Đối với phương pháp có tốn minh họa rõ ràng, với toán tương tự Hy vọng nội dung luận văn tiếp tục hoàn thiện phát triển nữa, nhằm tài liệu tham khảo tốt cho học sinh, sinh viên quan tâm đến giải tốn hình học khơng gian TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Vũ Quốc Anh (2001), Tuyển tập 230 tốn Hình học khơng gian chọn lọc, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Bùi Văn Bình (2010), Nâng cao phát triển hình học 12, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [3] Đào Văn Dũng (2007), Ba phương pháp giải tốn Hình học khơng gian, Nhà xuất Giáo dục [4] Nguyễn Đức Đồng (2009), Tuyển tập 500 tốn Hình học khơng gian chọn lọc , Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Minh Đức (2012), Phương pháp tọa độ ứng dụng vào giải toán sơ cấp chương trình tốn phổ thơng, luận văn thạc sĩ khoa học, Đại học Đà Nẵng [6] Phan Huy Khải (Chủ biên), Chử Xuân Dũng, Hoàng Văn Phủ, Cù Phượng Anh, Ơn luyện bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học khơng gian, Nhà xuất tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh [7] Cam Duy Lễ, Lê Khắc Bảo, Trần Lưu Cường, Phương pháp luyện thi tú tài đại học chun đề Hình học khơng gian, Nhà xuất Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh [8] Nguyễn Hồng Minh (2013), Quan hệ song song quan hệ vng góc giải tốn hình học khơng gian, luận văn thạc sĩ khoa học, Đại học Đà Nẵng [9] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Văn Như Cương, Nguyễn Đăng Phất, Lê Bá Khánh Trình, Tài liệu chuyên tốn Hình học 11, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [10] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Văn Như Cương, Nguyễn Đăng Phất, Lê Bá Khánh Trình, Tài liệu chun tốn tập Hình học 11, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [11] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Hạ Vũ Anh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Vũ Đình Hịa, Tài liệu chun tốn Hình học 12, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [12] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Hạ Vũ Anh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Vũ Đình Hịa, Tài liệu chun tốn tập Hình học 12, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [13] Lê Thị Sơn (2014), Phương pháp vectơ giải tốn hình học phổ thơng, luận văn thạc sĩ, Đại học Đà Nẵng [14] Trần Văn Tấn, Bài tập nâng cao số chuyên đề Hình học 11, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [15] Lê Mậu Thống (1995), Hướng dẫn giải tốn hình học khơng gian 11, Nhà xuất trẻ [16] Võ Thanh Văn (Chủ biên), TS Lê Hiển Dương, Nguyễn Ngọc Giang, Chuyên đề ứng dụng Vectơ giải tốn Hình học khơng gian, Nhà xuất Đại học sư phạm [17] Đề thi Đại học, Cao đẳng Việt Nam từ năm 1999 đến 2014 ... CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 40 3.1 MỘT SỐ DẤU HIỆU NHẬN BIẾT BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN GIẢI ĐƯỢC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 40 3.2 QUY TRÌNH GIẢI MỘT BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA... dung Các phương pháp giải tốn hình học không gian thường dùng là: Phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ, phương pháp dùng quan hệ song song, quan hệ vng góc, phương pháp tổng hợp, Để giải tốn... quan hệ vng góc giải tốn hình học khơng gian Các tốn hình học khơng gian giải phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ, phương pháp sử dụng quan hệ song song, quan hệ vng góc Phương pháp nghiên cứu