BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ N NG NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN MỘT S PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN TAM GIÁC U N V N THẠC S HOA HỌC Đà N ng - Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ N NG NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN MỘT S PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN TAM GIÁC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã s : 60.46.01.13 U N V N THẠC S Ngư i hư ng HOA HỌC n ho h c: TS TRỊNH ĐÀO CHIẾN Đà N ng - Năm 2016 ▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆ ổ ữợ sỹ ữợ ❚rà♥❤ ✣➔♦ ❈❤✐➳♥✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✏▼ët sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔ →♣ ❞ư♥❣✑ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤✱ ❦❤ỉ♥❣ trị♥❣ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔♦ ❦❤→❝✳ ❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ tæ✐ ✤➣ ❦➳ t❤ø❛ ♥❤ú♥❣ t❤➔♥❤ tü✉ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❤➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈ỵ✐ sü tr➙♥ trå♥❣ ✈➔ ❜✐➳t ì♥✳ ❚→❝ ❣✐↔ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❚❍❆◆❍ ệ ệ é ỵ t➔✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳ ▼ö❝ t✐➯✉ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳ ✣è✐ t÷đ♥❣ ✈➔ ♣❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✳ Þ ♥❣❤➽❛ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ t❤ü❝ t✐➵♥ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ✻✳ ❈➜✉ tró❝ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❈❍×❒◆● ✶✳ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚ ✶✳✶✳ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❍⑨▼ P❊❳■❉❊❘ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳ ❈⑩❈ ✣➃◆● ❚❍Ù❈ ❱⑨ ❇❻❚ ✣➃◆● ❚❍Ù❈ ❈❒ ❇❷◆ ❚❘❖◆● ❚❆▼ ●■⑩❈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳✶✳ ❈→❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷✳✷✳ ❈→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❣â❝ ✈➔ ✤ë ❞➔✐ ❝→❝ ❝↕♥❤ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✸✳ ❇❻❚ ✣➃◆● ❚❍Ù❈ ❊❘❉❖❙✲▼❖❘❉❊▲▲ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ✶ ✷ ✷ ✸ ✸ ✸ ✹ ✺ ✻ ✻ ✼ ✽ ❈❍×❒◆● ✷✳ P❍➆P ❇■➌◆ ✣✃■ ❇❷❖ ❚❖⑨◆ ❨➌❯ ❚➮ ●➶❈✱ ❈❸◆❍ ❚❘➊◆ ❚❆▼ ●■⑩❈ ❱⑨ ⑩P ❉Ö◆● ✶✸ ✷✳✶✳ P❍➆P ❇■➌◆ ✣✃■ ❇❷❖ ❚❖⑨◆ ❨➌❯ ❚➮ ●➶❈ ❚❘➊◆ ❚❆▼ ●■⑩❈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✶✳✶✳ ▼ët sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❜↔♦ t♦➔♥ ②➳✉ tè ❣â❝ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝ ✳ ✷✳✶✳✷✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ö →♣ ❞ö♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳ P❍➆P ❇■➌◆ ✣✃■ ❇❷❖ ❚❖⑨◆ ❨➌❯ ❚➮ ❈❸◆❍ ❚❘➊◆ ❚❆▼ ●■⑩❈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✶✸ ✸✷ ✸✾ ✷✳✷✳✶✳ ▼ët sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❜↔♦ t♦➔♥ ②➳✉ tè ❝↕♥❤ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝ ✷✳✷✳✷✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ö →♣ ❞ö♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾ ✺✶ ❈❍×❒◆● ✸✳ ▼❐❚ ❙➮ P❍➆P ❇■➌◆ ✣✃■ ❑❍⑩❈ ❚❘➊◆ ❚❆▼ ●■⑩❈ ✺✻ ✸✳✶✳ P❍➆P ❇■➌◆ ✣✃■ ❚❍Ù ◆❍❻❚ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✷✳ P❍➆P ❇■➌◆ ✣✃■ ❚❍Ù ❍❆■ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✸✳ ▼❐❚ ❙➮ ❱➑ ❉Ö ⑩P ❉Ö◆● ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✻ ✺✽ ✻✶ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ✻✼ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ◗❯❨➌❚ ✣➚◆❍ ●■❆❖ ✣➋ ❚⑨■ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ✭❜↔♥ s❛♦✮ é ỵ t ❚❛♠ ❣✐→❝ ❧➔ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ q✉❡♥ t❤✉ë❝ ✈➔ q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❚♦→♥ ♣❤ê t❤ỉ♥❣✳ ◆❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ t❛♠ ❣✐→❝ t❤÷í♥❣ ①✉➜t ❤✐➺♥ tr♦♥❣ ❝→❝ ✤➲ t❤✐ ❚èt ♥❣❤✐➺♣ ❚r✉♥❣ ❤å❝ ♣❤ê t❤æ♥❣✱ t✉②➸♥ s✐♥❤ ✈➔♦ ✤↕✐ ❤å❝✱ ❝❤å♥ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ❝→❝ ❝➜♣ ✈➔ ❝→❝ tr ữợ ỹ qố t ❈→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ t❛♠ ❣✐→❝ ❝❤♦ ✤➳♥ ♥❛② ✤➣ r➜t ♣❤♦♥❣ ♣❤ó✱ ✤á✐ ❤ä✐ ♥❤ú♥❣ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ s❛✉ ♣❤↔✐ ✈ø❛ tứ ổ tr trữợ õ ứ ❝➟♣ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ❝❤✉②➯♥ s➙✉ ❤ì♥✱ ✈ỵ✐ ♠ët ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❤➭♣ ♥➔♦ ✤â ✈➲ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❱ỵ✐ ②➯✉ ❝➛✉ tr t s tr ữợ ✤➣ ✤➲ ❝➟♣ ♥❤ú♥❣ ❦❤➼❛ ❝↕♥❤ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✈➲ t❛♠ ởt số ữợ t❛♠ ❣✐→❝✱ ❝á♥ ✤÷đ❝ ✤➲ ❝➟♣ ❦❤→ ➼t✿ ✲ ❈→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❜↔♦ t♦➔♥ ②➳✉ tè ❣â❝ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳ ✲ ❈→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❜↔♦ t♦➔♥ ②➳✉ tè ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳ ✲ ⑩♣ ❞ö♥❣ ♠ët sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➸ t↕♦ r❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♠ỵ✐✳ ●✐↔ sû✱ t❛ ❝â ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ f, g, h ♥➔♦ ✤â ✤è✐ ✈ỵ✐ ❜❛ ❣â❝ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳ f (A) = A1 , g(B) = B1 , h(C) = C1 ❱ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ♥➔♦ t❤➻ A1, B1, C1 ❝ô♥❣ ❧➔ sè ✤♦ ❜❛ ❣â❝ ❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝ ♠ỵ✐❄ ◆➳✉ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤â ✤÷đ❝ t➻♠ r❛ t❤➻✱ tø ♠ët ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭❤♦➦❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝✮ ✈➲ ❜❛ ❣â❝ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✱ t❛ ❝â t❤➸ t↕♦ r❛ ♥❤✐➲✉ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭❤♦➦❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝✮ ❝↔♠ s✐♥❤✳ ✣➙② ❝ơ♥❣ ✤÷đ❝ ①❡♠ ❧➔ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ t♦→♥✱ ♥➳✉ t❛ ♣❤→t ❤✐➺♥ r❛ ✧❝→✐ ❣è❝✧ t↕♦ r t tữỡ tỹ ợ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝✳ ✷ ●✐↔ sû✱ t❛ ❝â ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ f, ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳ g, h ♥➔♦ ✤â ✤è✐ ✈ỵ✐ ❜❛ ❝↕♥❤ a, b, c f (a) = a1 , g(b) = b1 , h(c) = c1 ❱ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ♥➔♦ t❤➻ a1, b1, c1 ❝ô♥❣ ❧➔ ✤ë ❞➔✐ ❜❛ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠ët t ợ õ ữủ t r t❤➻✱ tø ♠ët ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭❤♦➦❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝✮ ✈➲ ❜❛ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✱ t❛ ❝â t❤➸ t↕♦ r❛ ♥❤✐➲✉ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭❤♦➦❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝✮ ❝↔♠ s✐♥❤✳ ✣➙② ❝ơ♥❣ ✤÷đ❝ ①❡♠ ❧➔ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ t♦→♥✱ ♥➳✉ t❛ ♣❤→t ❤✐➺♥ r❛ ✧❝→✐ ❣è❝✧ t↕♦ r❛ ❜➔✐ t♦→♥ ➜②✳ ❈✉è✐ ❝ò♥❣ ❧➔✱ tø ♠ët ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭❤♦➦❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝✮ ✈➲ ❝→❝ ②➳✉ tè ♥➔♦ ✤â ❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝ ✭❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❊r❞♦s✲▼♦r❞❡❧❧✮✱ ❧➔♠ t❤➳ ♥➔♦ →♣ ❞ö♥❣ ♠ët ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤ ♥➔♦ ✤â ✭❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ❧➔ ♣❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦✮ ✤➸ s→♥❣ t→❝ r❛ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭❤♦➦❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝✮ ♠ỵ✐❄ ▲✉➟♥ ✈➠♥ s➩ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ❜❛ ✈➜♥ ✤➲ tr➯♥✱ ❣✐ó♣ t❛ ❝â t ữủ ởt số ợ t q✉❛♥ ✤➳♥ t❛♠ ❣✐→❝ ❤♦➦❝ s→♥❣ t→❝ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ tø ♠ët ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➣ ❜✐➳t✳ ❉♦ ✤â✱ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝ ❧➔ ❝➛♥ t❤✐➳t✱ õ ỵ t tỹ t ũ ủ ợ Pữỡ sỡ ✷✳ ▼ö❝ t✐➯✉ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ▲✉➟♥ ✈➠♥ s➩ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ♠ët sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔ →♣ ❞ư♥❣ ❝❤ó♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❞↕♥❣ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ t❛♠ ❣✐→❝✱ ♠ët sè ❞↕♥❣ t♦→♥ tê♥❣ ❤ñ♣✱ ❧➔ ✤➲ t❤✐ tr♦♥❣ ❝→❝ ❦ý t❤✐ ❝❤å♥ ❤å❝ s✐♥❤ ọ ữợ ỹ t qố t ✈➠♥ ❝ô♥❣ s➩ ✤➲ ①✉➜t ♠ët sè ❜➔✐ t➟♣ tü s→♥❣ t→❝✱ ♥❤➡♠ ♣❤ư❝ ✈ư ❝❤♦ ❝ỉ♥❣ t→❝ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ỗ ữù s ọ tổ t ố ợ ố tữủ ♣❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✲ ✣è✐ t÷đ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✿ ▼ët sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝✳ ✲ P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✿ ❚❤✉ë❝ ❝❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t♦→♥ ❝➜♣✳ ✸ ✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❚ø ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ sữ t ữủ ữợ sỹ ữợ ữớ ữợ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ s➩ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ♠ët sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔ ❝→❝ →♣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳ ✺✳ Þ ♥❣❤➽❛ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ t❤ü❝ t✐➵♥ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❱ỵ✐ ♠ư❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥➯✉ tr õ ỵ ❦❤♦❛ ❤å❝✱ ♠❛♥❣ t➼♥❤ t❤ü❝ t✐➵♥ ✈➔ ♣❤ị ❤đ♣ ✈ỵ✐ ❝❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❚♦→♥ ❝➜♣✳ ❈â t❤➸ sû ❞ư♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥❤÷ ❧➔ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❝❤♦ ❣✐→♦ ✈✐➯♥✱ ❤å❝ s✐♥❤ ✈➔ ❜↕♥ ✤å❝ q✉❛♥ t➙♠ ✤➳♥ ổ t ỗ ữù s ọ trú ❧✉➟♥ ✈➠♥ ◆❣♦➔✐ ♣❤➛♥ ♠ð ✤➛✉✱ ❦➳t ❧✉➟♥ ✈➔ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ✸ ❝❤÷ì♥❣✿ ❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥✱ sû ❞ư♥❣ ❝❤♦ ♥❤ú♥❣ ❝❤÷ì♥❣ t✐➳♣ t❤❡♦ ♥❤÷ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ P❡①✐❞❡r❀ ❝→❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❊r❞♦s✲▼♦r❞❡❧❧✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❜↔♦ t♦➔♥ ❣â❝✱ ❝↕♥❤ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔ →♣ ❞ư♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ♠ët sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❜↔♦ t♦➔♥ ②➳✉ tè ❣â❝✱ ❝↕♥❤ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔ →♣ ❞ư♥❣ ❝❤ó♥❣ ✤➸ tø ♠ët ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❤♦➦❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➣ ❜✐➳t ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❝→❝ ❣â❝✱ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝✱ t❛ ❝â t❤➸ →♣ ❞ö♥❣ ❦➳t q✉↔ ✤â ✤➣ ♥➯✉ ✤➸ s→♥❣ t→❝ r❛ ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→ ♣❤♦♥❣ ♣❤ó✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✤â ❝â t❤➸ ❝â ♥❤✐➲✉ ❝→❝❤ ❣✐↔✐✱ ♥❤÷♥❣ ➼t ♥❤➜t ♠ët ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ✤➣ ✤÷đ❝ t➻♠ r❛ tø ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ s→♥❣ t→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔②✳ ❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ▼ët sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❦❤→❝ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ✈✐➺❝ →♣ ❞ư♥❣ ♠ët sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❦❤→❝ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝✱ ✤➸ tø ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➣ ❜✐➳t ✭❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❊r❞♦s✲ ▼♦r❞❡❧❧✮ t❛ t↕♦ r❛ ♥❤✐➲✉ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♠ỵ✐ t❤➸ ❤✐➺♥ ❝→❝ ②➳✉ tè ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳ ✹ ì ữỡ ✤➳♥ ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥✱ sû ❞ư♥❣ ❝❤♦ ♥❤ú♥❣ ❝❤÷ì♥❣ t✐➳♣ t❤❡♦✳ ❑➼ ❤✐➺✉ △, △i ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ABC, AiBiCi (i = 0, 1, 2, 3)✳ ✣➸ t❤✉➟♥ t✐➺♥✱ ✤ë ❧ỵ♥ ❝→❝ ❣â❝ ù♥❣ ✈ỵ✐ ❝→❝ ✤➾♥❤ Ai, Bi, Ci ❝ơ♥❣ ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ Ai, Bi, Ci✳ ✣ë ❞➔✐ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ a, b, c ữớ ự ợ ha, hb, hc ữớ tr t ự ợ ma, mb, mc✳ ❇→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ ✈➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣✿ R ✈➔ r✳ ❇→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➔♥❣ t✐➳♣✿ ra, rb, rc✳ ▲➜② M ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✱ t❛ ❦➼ ❤✐➺✉✿ ❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø M ✤➳♥ ❝→❝ ✤➾♥❤✿ Ra, Rb, Rc✳ ❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø M ✤➳♥ ❝→❝ ❝↕♥❤✿ da, db, dc✳ ❍➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛ M ❧➯♥ ❝→❝ ❝↕♥❤✿ A1, B1, C1✳ ❉✐➺♥ t➼❝❤ ❝→❝ △ABC, △M BC, △M CA, △M AB ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ S, Sa, Sb, Sc✳ ❚ê♥❣ ❤♦→♥ ✈à✿ a, Ra, ✳ ❈ö t❤➸ ❧➔✿ a = a + b + c✱ Ra = Ra + Rb + Rc, ✳ ✺ Pì P Pữỡ tr Pr ởt tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤② ❝ê ✤✐➸♥✱ ❝â ❞↕♥❣ f (x + y) = g(x) + h(y), x, y ∈ R ✭✶✳✶✮ tr♦♥❣ ✤â f, g, h ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ sè ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ R✳ ✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳ ◆❣❤✐➺♠ ❧✐➯♥ tư❝ ❝õ❛ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ P❡①✐❞❡r ❧➔✿    f (x) = ax + c1 + c2   g(x) = ax + c1    h(x) = ax + c , x ∈ R ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚r♦♥❣ (1.1)✱ ❝❤♦ x = 0✱ t❛ ✤÷đ❝ f (y) = g(0) + h(y) ❤❛② h(y) = f (y) − c1 , ∀y ∈ R, ❈❤♦ y = t ữủ ợ c1 = g(0) f (x) = g(x) + h(0) ❤❛② g(x) = f (x) − c2 , ∀x ∈ R, ❚ø (1.1), (1.2) ✈➔ (1.3)✱ s✉② r❛ ✈ỵ✐ c2 = h(0) ✭✶✳✸✮ f (x + y) = f (x) + f (y) − c1 − c2 , ∀x, y ∈ R ✭✶✳✹✮ ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), ∀x, y ∈ R ✭✶✳✺✮ ✣➦t f (x) = ϕ(x) + c1 + c2✱ t❤❛② ✈➔♦ (1.4) t❛ ✤÷đ❝ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (1.5) ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❤➔♠ ❈❛✉❝❤② ♥➯♥ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ (1.5) ❧➔ ϕ(x) = ax, a Rtũ ỵ r f (x) = ax + c1 + c2   g(x) = ax + c1 , ∀x ∈ R    h(x) = ax + c ❚❤û ❧↕✐✱ t❛ t❤➜② ♥❣❤✐➺♠ tr➯♥ t❤ä❛ ♠➣♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (1.1)✳ ✺✹ ❝ơ♥❣ ❧➔ ❜❛ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✸✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♥➳✉ a, b, c ❧➔ ❜❛ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔ , hb , hc ❧➔ ❜❛ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ t÷ì♥❣ ù♥❣✱ t❤➻ 1 , , + + hb + hc ❝ô♥❣ ❧➔ ❜❛ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳ ●✐↔ sû k ❧➔ sè trữợ tọ < k t ❤➔♠ f (x) = xk , x > 0✳ ❚❛ ❦✐➸♠ tr❛ ❜❛ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ F ✳ ❚❛ t❤➜②✿ ✲ ❘ã r➔♥❣✱ f (x) > 0, ∀x > 0✳ ✲ ❱ỵ✐ < x < y ✱ t❛ ❝â xk < y k ✳ ❱➟② f (x) < f (y) ✲ ❱ỵ✐ x, y > 0✱ t❛ ❝â ❱➼ ❞ö ✷✳✶✾✳ f (x + y) ≤ f (x) + f (y) ⇔ (x + y)k ≤ xk + y k k y x + ⇔ x+y x+y k ≥ ❚❛ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ♥➯✉ tr➯♥✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❞➵ t❤➜② r➡♥❣ 0< x < x+y ❉♦ ✤â✱ ❜ð✐ < k ≤ 1✱ t❛ ❝â x x+y k y x+y k y x+y k ❚÷ì♥❣ tü✱ t❛ ❝â ≥ x x+y ≥ y x+y ≥ x y + =1 x+y x+y ❙✉② r❛ x x+y k + ❱➟② t❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✺✺ ❉♦ ✤â✱ f ∈ F ⑩♣ ❞ö♥❣ ✣à♥❤ ❧➼ 2.11✱ t❛ ❝â ak , ❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝✳ ❚❛ ❝â ❜➔✐ t♦→♥ s❛✉✿ ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✹✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♥➳✉ ❣✐→❝✱ t❤➻ ak , bk , ck ✱ ◆❤➟♥ ①➨t✳ ✷✳✻ ✤➣ ❜✐➳t✳ ❱ỵ✐ a, b, c bk , ck ❝ô♥❣ ❧➔ ❜❛ ❝↕♥❤ ❧➔ ❜❛ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠ët t❛♠ < k ≤ 1✱ ❝ô♥❣ ❧➔ ❜❛ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳ k = ✱ ữỡ t q n ợ ✣à♥❤ ❧➼ ❳➨t t❛♠ ❣✐→❝ ❝â ✤ë ❞➔✐ ❜❛ ❝↕♥❤ ❧➔ a, b, c ✈➔ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ❝â ✤ë ❞➔✐ ❝↕♥❤ ❧➔ 1✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ✣à♥❤ ❧➼ 2.8✱ t❛ ❝â ❜➔✐ t♦→♥ s❛✉ ❱➼ ❞ö ✷✳✷✵✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✺✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♥➳✉ ❣✐→❝✱ t❤➻ √ a2 + 1, √ b2 + 1, √ c2 + a, b, c ❧➔ ❜❛ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♠ët t❛♠ ❝ô♥❣ ❧➔ ❜❛ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❱ỉ ✈➔♥ ❜➔✐ t♦→♥ ♠ỵ✐ s➩ ✤÷đ❝ t↕♦ r❛ ♥➳✉ t❛ t✐➳♣ tư❝ →♣ ❞ư♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧➼ ✤➣ ♥➯✉✱ ♠➔ ❝→❝ ✈➼ ❞ư tr➯♥ ❝❤➾ ♠ỵ✐ ❧➔ ♠ët sè ➼t ❦➳t q✉↔ ♠✐♥❤ ❤å❛✳ ✺✻ ❈❍×❒◆● ✸ ▼❐❚ ❙➮ P❍➆P ❇■➌◆ ✣✃■ ❑❍⑩❈ ❚❘➊◆ ❚❆▼ ●■⑩❈ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ✈✐➺❝ →♣ ❞ö♥❣ ♠ët sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❦❤→❝ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝✱ ✤➸ tø ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤➣ ❜✐➳t ✭❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❊r❞♦s✲ ▼♦r❞❡❧❧✮ t❛ t↕♦ r❛ ♥❤✐➲✉ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♠ỵ✐ t❤➸ ❤✐➺♥ ❝→❝ ②➳✉ tè ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ✤÷đ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tr♦♥❣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ [1] ✈➔ [2]✳ ✸✳✶✳ P❍➆P ❇■➌◆ ✣✃■ ❚❍Ù ◆❍❻❚ ❍↕ M H ⊥ C1 B1 , (H ∈ C1 B1 ) ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ a1 , b1 , c1 ❧➔ ✤ë ❞➔✐ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ A1 B1 C1 ✳ Ra1 , Rb1 , Rc1 ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø M ✤➳♥ ❝→❝ ✤➾♥❤ A1 , B1 , C1 ✳ da1 , db1 , dc1 ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø M ✤➳♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ B1 C1 , C1 A1 , A1 B1 ✳ ✺✼ ❚❛ s➩ t❤➔♥❤ ❧➟♣ sü ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❤❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ A1 B1 C1 ✳ ❘ã r➔♥❣ R a = d a , R b1 = d b , R c = d c db dc M C1 = ❚❛ ❝â M H = M B1 sin α = M B1 MA Ra ✭✸✳✶✮ ❚÷ì♥❣ tü t❛ ❝â ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ d a1 = db dc dc da da db , d b1 = , d c1 = Ra Rb Rc Ra = db dc dc da da db , Rb = , Rc = d a1 d b1 d c1 ✭✸✳✷✮ ❚ø (3.2) t❛ ❝â ❤❛② R b1 R c Rc Ra Ra Rb , R b = 1 , Rc = 1 d a1 d a1 d c1 aRa BC = ✳ ❚❛ ❧↕✐ ❝â✿ B1 C1 = AM sin C1 AB1 = AM 2R 2R Ra = ✭✸✳✸✮ ❚÷ì♥❣ tü✱ t❛ ❝â ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ a1 = aRa bRb cRc , b1 = , c1 = 2R 2R 2R ✭✸✳✹✮ ❚ø (3.3) ✈➔ (3.4) t❛ s✉② r❛ a=λ a1 d a b1 db1 c1 d c , b=λ , c=λ R b1 R c Rc Ra R a R b1 ✭✸✳✺✮ tr♦♥❣ ✤â λ = 2R ❱➟② t❛ ❝â sü ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❤❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ A1 B1 C1 ♥❤÷ s❛✉ ✰✮ ❚ø (3.1), (3.2), (3.4)✱ ❝→❝ ②➳✉ tè tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ A1 B1 C1 ✤÷đ❝ t➼♥❤ t❤❡♦ ❝→❝ ②➳✉ tè tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ♥❤÷ s❛✉ R a = d a , R b1 = d b , R c = d c , dc da da db db dc , d b1 = , dc1 = , d a1 = Ra Rb Rc aRa bRb cRc a1 = , b1 = , c1 = , 2R 2R 2R tr♦♥❣ ✤â R ❧➔ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳ ✺✽ ✰✮ ❚ø (3.1), (3.3), (3.5)✱ ❝→❝ ②➳✉ tè tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✤÷đ❝ t➼♥❤ t❤❡♦ ❝→❝ ②➳✉ tè tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ A1 B1 C1 ♥❤÷ s❛✉✿ Rc Ra Ra Rb R b1 R c , Rb = 1 , Rc = 1 , d a1 d a1 d c1 d a = R a , d b = R b1 , d c = R c , b d b1 c1 d c1 a1 da1 , b=λ , c=λ , a=λ R b1 R c Rc Ra R a R b1 Ra = tr♦♥❣ ✤â λ = 2R✳ ✸✳✷✳ P❍➆P ❇■➌◆ ✣✃■ ❚❍Ù ❍❆■ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ♥➔② →♣ ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♣❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦✳ ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ a2 , b2 , c2 ❧➔ ✤ë ❞➔✐ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ A2 B2 C2 ✳ Ra2 , Rb2 , Rc2 ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø M ✤➳♥ ❝→❝ ✤➾♥❤ A2 , B2 , C2 ✳ da2 , db2 , dc2 ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø M ✤➳♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ B2 C2 , C2 A2 , A2 B2 ✳ ✺✾ ❑➨♦ ❞➔✐ ❝→❝ ✤♦↕♥ M A1, M B1, M C1 ✈➔ ❧➜② tr➯♥ ✤â ❝→❝ ✤✐➸♠ A2, B2, C2 t❤ä❛ ♠➣♥ M A1 M A2 = M B1 M B2 = M C1 M C2 = k tr õ k ổ trữợ ✭❝â t❤➸ ✤✐➸♠ A2 t❤✉ë❝ ✤♦↕♥ M A1✮✳ ❈→❝ ✤÷í♥❣ M A, M B, M C ❝➢t ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ A2B2C2 ❧➛♥ ❧÷đt t↕✐ ❝→❝ ✤✐➸♠ D1, E1, F1✳ ❉➵ t❤➜② r➡♥❣ D1, E1, F1 ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❝❤➙♥ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ ❤↕ tø M ①✉è♥❣ ❝→❝ ❝↕♥❤ B2C2, C2A2, A2B2✳ ❍ì♥ ♥ú❛ t❛ ❝â ✤➥♥❣ t❤ù❝ M A.M D1 = M B.M E1 = M C.M F1 = k ✭✸✳✼✮ ✣➥♥❣ t❤ù❝ (3.7) ❝❤♦ t❛ M A = MkD ❤❛② Ra = ✣➥♥❣ t❤ù❝ (3.6) ❝❤♦ t❛ ❤❛② k d a2 ✭✸✳✽✮ k2 M A1 = M A2 k2 da = Ra ✭✸✳✾✮ ❚❛ ❝â △M BC ✈➔ △M F1E1 ỗ ợ MB EBCF = M F 1 M A2 ❞♦ (3.4) ◆❤÷♥❣ E1F1 = B2C2R Rb a2 Ra2 M B B2 C2 M A2 = ❱➟② BC = M F1 2R2 dc2 2R2 k2 ❚❤❡♦ (3.8) t❤➻ Rb = d ✱ t❤❛② ✈➔♦ ✤➥♥❣ t❤ù❝ b2 k a2 Ra2 a= 2R2 db2 dc2 ❈→❝ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ♥❣÷đ❝ ❝õ❛ (3.8), ❚ø (3.9) s✉② r❛ (3.9) k2 Ra = da tr➯♥ t❛ ✤÷đ❝ ✭✸✳✶✵✮ ✈➔ (3.10) ✤÷đ❝ t➼♥❤ ♥❤÷ s❛✉ ✭✸✳✶✶✮ ✻✵ ❚ø (3.8) s✉② r❛ d a2 = ❚ø (3.10) s✉② r❛ a2 = k2 Ra ✭✸✳✶✷✮ adb2 dc2 2R2 k Ra ❚❤❛② (3.11), (3.12) t❛ ❝â a2 = a k k da ada 2R = 2R 2 k2 Rb Rc k Rb Rc ❱➟② a2 = λ2 ada Rb Rc ✭✸✳✶✸✮ tr♦♥❣ ✤â λ2 = 2R2 ▼ët ❝→❝❤ t÷ì♥❣ tü t❛ ❝â ❝→❝ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ✤è✐ ✈ỵ✐ b2 , c2 ✳ ❈❤å♥ k = 1✱ t❛ ❝â sü ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❤❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ A2 B2 C2 ♥❤÷ s❛✉ ✰✮ ❈→❝ ②➳✉ tè tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ A2 B2 C2 ✤÷đ❝ t➼♥❤ t❤❡♦ ❝→❝ ②➳✉ tè tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ♥❤÷ s❛✉ Ra = 1 , R b2 = , R c = , da db dc 1 , d b2 = , d c2 = , Ra Rb Rc ada bdb cdc , b2 = 2R2 , c2 = 2R2 a2 = 2R2 Rb Rc Rc Ra Ra Rb d a2 = ✭✸✳✶✹✮ ✭✸✳✶✺✮ ✭✸✳✶✻✮ ✰✮ ❈→❝ ②➳✉ tè tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✤÷đ❝ t➼♥❤ t❤❡♦ ❝→❝ ②➳✉ tè tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ A2 B2 C2 ♥❤÷ s❛✉ Ra = 1 , Rb = , Rc = , d a2 d b2 d c2 1 , db = , dc = , Ra R b2 Rc b R b2 c Rc a2 R a , b= , c= a= 2R2 db2 dc2 2R2 dc2 da2 2R2 da2 db2 da = ✭✸✳✶✼✮ ✭✸✳✶✽✮ ✭✸✳✶✾✮ ✻✶ ✸✳✸✳ ▼❐❚ ❙➮ ❱➑ ❉Ö ⑩P ❉Ö◆● ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ ✤✐➸♠ M ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ỵ 1.8 t tự rsr ố ✈ỵ✐ t❛♠ ❣✐→❝ A1 B1 C1 ✱ t❛ ❝â✿ ✭✸✳✷✵✮ da Ra ≥ ⑩♣ ❞ö♥❣ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t❤ù ♥❤➜t✱ t❛ t❤❛② ❝→❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ (3.1) ✈➔ (3.2) ✈➔♦ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (3.20)✱ t❛ ❝â ❱➼ ❞ö ✸✳✶✳ 1 db dc Ra da ≥ ✭✸✳✷✶✮ ❚ø ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (3.21)✱ t❛ rót ❣å♥ ✈➔ ♣❤è✐ ❤ñ♣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❦❤→❝ ❝õ❛ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝✱ ❣✐ó♣ t❛ t↕♦ r❛ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♠ỵ✐ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✈ỵ✐ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (1.29)✳ ❈ư t❤➸✿ ❚ø (3.21)✱ t❛ ❝â Ra R b Rc da ≥ Rb R c d b d c t ữủ t tự ợ ứ (3.21) ❤❛✐ ✈➳ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝❤♦ da.db.dc > t❛ ✤÷đ❝ ≥2 db dc ❤❛② Ra d a Ra d a ≥2 d b2 d c ✭✸✳✷✷✮ ⑩♣ ❞ö♥❣ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t❤ù ❤❛✐✱ t❛ t❤❛② ❝→❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ (3.11) ✈➔ (3.12) ✈➔♦ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (3.22)✱ t❛ ❝â ⇔ ≥2 1 Rb Rc Rb Rc ≥ ❱➟②✱ t❛ ữủ t tự ợ 1 db dc Ra d a ✻✷ ⑩♣ ❞ö♥❣ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t❤ù ♥❤➜t✱ t❛ t❤❛② ❝→❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ (3.1) ✈➔ (3.3) ✈➔♦ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (1.29)✱ t❛ ❝â R b1 R c ≥2 d a1 ≥2 Ra1 d a ⇔ ❤❛② ≥2 Ra d a Ra 1 R b1 R c 1 Rb Rc ✭✸✳✷✸✮ ⑩♣ ❞ö♥❣ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t❤ù ❤❛✐✱ t❛ t❤❛② ❝→❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ (3.8), (3.9) ✈➔ (3.10) ✈➔♦ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (3.23)✱ t❛ ❝â 1 d a Ra ≥2 Ra d a ≥ 1 d b2 d c d b2 d c ❤❛② Ra d a ≥ db dc õ ữủ t ợ s t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ ✤✐➸♠ M ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ●å✐ A1, B1, C1 ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ❝❤➙♥ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ❤↕ tø M ✤➳♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ BC, CA, AB ✳ ✣➦t ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✳ M A = Ra , M B = Rb , M C = Rc , M A1 = d a , M B = d b , M C1 = d c ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉ ❛✮Ra Rb Rc (da + db + dc ) ≥ 2(Rb Rc db dc + Rc Ra dc da + Ra Rb da db ) ❜✮Rb Rc + Rc Ra + Ra Rb ≥ 2(Ra da + Rb db + Rc Rdc ) ❝✮Ra da + Rb db + Rc dc ≥ 2(db dc + dc da + da db ) ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ ✤✐➸♠ M ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❱➼ ỵ 1.9 ố ợ t❛♠ ❣✐→❝ A1B1C1✱ t❛ ❝â✿ a1 R a ≥ ✭✸✳✷✹✮ a1 da1 ⑩♣ ❞ö♥❣ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t❤ù ♥❤➜t✱ t❛ t❤❛② ❝→❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ (3.1), (3.4) ✈➔♦ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (3.24)✱ t❛ ❝â ⇔ (3.2) ✈➔ db dc aRa da ≥ aRa R R Ra aRa da ≥ adb dc ⑩♣ ❞ö♥❣ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t❤ù ❤❛✐✱ t❛ t❤❛② ❝→❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ (3.17), ✈➔ (3.19) ✈➔♦ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥✱ t❛ ❝â ⇔ ⇔ (3.18) a2 R a 1 a2 Ra2 1 ≥2 2R2 db2 dc2 da2 R2 2R2 db2 dc2 Rb2 Rc2 a2 a2 Ra2 ≥2 d a d b2 d c R b2 R c d b2 d c a2 Ra2 da2 a2 ≥ R b2 R c ❤❛② a≥ aRa da Rb Rc ❚❛ ❝â ✤÷đ❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♠ỵ✐ s❛✉✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ ✤✐➸♠ M ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ●å✐ A1, B1, C1 ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ❝❤➙♥ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ ❤↕ tø M ✤➳♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ BC, CA, AB ✳ ✣➦t M A = Ra , M B = Rb , M C = Rc , M A1 = d a , M B = d b , M C1 = d c ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉ a+b+c≥2 ❱➼ ❞ö ✸✳✸✳ aRa da bRb db cRc dc + + R b Rc R c Ra Ra Rb ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ ✤✐➸♠ M ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ✻✹ ⑩♣ ❞ö♥❣ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t❤ù ❤❛✐✱ t❛ t❤❛② ❝→❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ (3.17), (3.18) ✈➔ (3.19) ✈➔♦ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (1.31)✱ t❛ ❝â ⇔ a2 Ra2 (1/da2 ) a2 Ra2 ≥2 2R2 db2 dc2 (1/Ra2 ) 2R2 db2 dc2 a2 R a a2 Ra2 da2 ≥2 d a d b2 d c d a d b2 d c ⇔ a2 Ra22 ≥ a2 R a d a ❤❛② aRa2 ≥ aRa da ⑩♣ ❞ö♥❣ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t❤ù ♥❤➜t✱ t❛ t❤❛② ❝→❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ (3.1), (3.3) ✈➔ (3.5) ✈➔♦ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥✱ t❛ ❝â ⇔ ⇔ ⇔ a1 da1 Rb22 Rc22 a1 da1 Rb1 Rc1 2R Ra ≥ 2R Rb1 Rc1 d2a1 R b1 R c d a a1 Rb1 Rc1 ≥2 a1 R a d a1 a1 Ra1 Rb1 Rc1 a1 Ra1 Rb1 Rc1 ≥2 Ra d a R b1 R c a1 a1 ≥2 Ra d a R b1 R c ❤❛② a ≥2 Ra d a a Rb Rc õ ữủ t ợ s t ABC ✈➔ ✤✐➸♠ M ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ●å✐ A1, B1, C1 ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ❝❤➙♥ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ ❤↕ tø M ✤➳♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ BC, CA, AB ✳ ✣➦t ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✸✳ M A = Ra , M B = Rb , M C = Rc , M A1 = d a , M B = d b , M C1 = d c ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉ a b c b c a + + ≥2 + + Ra d a R b d b Rc d c Rb Rc Rc Ra Ra Rb ✻✺ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ ✤✐➸♠ M ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t❤ù ♥❤➜t✱ t❛ t❤❛② ❝→❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ (3.1), (3.3) ✈➔ (3.5) ✈➔♦ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (1.31)✱ t❛ ❝â ❱➼ ❞ö ✸✳✹✳ ⇔ a1 d a a1 d a R b R c ≥2 2R R b1 R c d a R a R b1 R c a1 a1 d a ≥2 Ra R b1 R c a1 R b R c a1 R a d a ≥2 R a R b1 R c R a R b1 R c ⇔ a1 R b R c ≥ 2R ⇔ a1 Ra1 da1 ❤❛② aRb Rc ≥ aRa da õ ữủ t ợ s t ABC ✈➔ ✤✐➸♠ M ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ●å✐ A1, B1, C1 ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ❝❤➙♥ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ ❤↕ tø M ✤➳♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ BC, CA, AB ✳ ✣➦t ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✹✳ M A = Ra , M B = Rb , M C = Rc , M A1 = d a , M B = d b , M C1 = d c ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉ aRb Rc + bRc Ra + cRa Rb ≥ 2(aRa da + bRb db + cRc dc ) ❱➼ ❞ö ✸✳✺✳ ❚❤❡♦ ❇ê ✤➲ 1.2✱ t❛ ❝â b c Ra ≥ d c + d b ⇒ Ra α ≥ a a b c dc + db a a α ✭✈ỵ✐ α > 0✮ ⑩♣ ❞ư♥❣ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ (1.32)✱ ✈ỵ✐ α ≥ 1✱ t❛ ❝â c b dc + db a a ❱➟② Ra α ≥ α bα α cα α ≥ α dc + α db a a bα α c α α dc + α db aα a ✻✻ ❚÷ì♥❣ tü aα α cα α dc + α da , bα b α b α aα α ≥ α da + α db c c Rb α ≥ Rc α ❈ë♥❣ t❤❡♦ ✈➳ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥✱ t❛ ❝â Ra α bα cα aα b α α dc + α + α + ≥ b α aα c b ≥ 2(da α + db α + dc α ) α da + aα aα + cα aα db α ❚❛ ❝â ❜➔✐ t♦→♥ s❛✉✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✺✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ ✤✐➸♠ M ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ●å✐ A1, B1, C1 ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ❝❤➙♥ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ ❤↕ tø M ✤➳♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ BC, CA, AB ✳ ✣➦t M A = Ra , M B = Rb , M C = Rc , M A1 = d a , M B = d b , M C1 = d c ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉ ❛✮ Raα + Rbα + Rcα ≥ 2(daα + dbα + dcα)✱ ✈ỵ✐ α ≥ 1✳ ✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✤➲✉ ✈➔ M ❧➔ trü❝ t➙♠ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳ ❜✮ Raα + Rbα + Rcα ≥ 2α(daα + dbα + dcα)✱ ✈ỵ✐ < α ≤ 1✳ ✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✤➲✉ ✈➔ M ❧➔ trü❝ t➙♠ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳ ổ t ợ s ữủ t r t❛ t✐➳♣ tö❝ →♣ ❞ö♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❝→❝ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➣ ♥➯✉✱ ♠➔ ❝→❝ ✈➼ ❞ư tr➯♥ ❝❤➾ ♠ỵ✐ ❧➔ ♠ët sè ➼t ❦➳t q✉↔ ♠✐♥❤ ❤å❛✳ ✻✼ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ ✤↕t ✤÷đ❝ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ s❛✉✿ ✶✮ ❚r➻♥❤ ❜➔② ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ ♥❤ú♥❣ ❜ê ✤➲✱ ✤à♥❤ ❧➼ ❝õ❛ ♠ët sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❜↔♦ t♦➔♥ ②➳✉ tè ❣â❝✱ ❝↕♥❤ ✈➔ ♠ët sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❦❤→❝ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝✳ ✷✮ ✣÷❛ r❛ ❝→❝ ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝â ✤÷đ❝ ✈➔ tø ♠ët ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭❤♦➦❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝✮ ✈➲ ❣â❝ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➣ s→♥❣ t↕♦ r❛ ♥❤✐➲✉ t tự tự ợ ụ ữủ ①❡♠ ❧➔ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥✱ ♥➳✉ t❛ ♣❤→t ❤✐➺♥ r❛ ✧❝→✐ ❣è❝✧ t↕♦ r❛ ❜➔✐ t♦→♥ ➜②✳ ◗✉❛ ✤â✱ ❣✐ó♣ t❛ t❤➜② ✤÷đ❝ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝→❝ ❤➺ t❤ù❝ ❧÷đ♥❣ ❣✐→❝ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳ ✸✮ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❜↔♦ t♦➔♥ ②➳✉ tè ❝↕♥❤ tr➯♥ t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔ ♠ët sè ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❦❤→❝✱ tø ♠ët ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭❤♦➦❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝✮ ✈➲ ❜❛ ❝↕♥❤ ✈➔ ❝→❝ ②➳✉ tè ❦❤→❝ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➣ t↕♦ r❛ ♥❤✐➲✉ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭❤♦➦❝ tự ợ õ t s t ữủ t ợ ụ ữủ ởt ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥✱ ♥➳✉ t❛ ♣❤→t ❤✐➺♥ r❛ ✧❝→✐ ❣è❝✧ t↕♦ r❛ ❜➔✐ t♦→♥ ➜②✳ ❑➳t q✉↔ ❝õ❛ õ ỵ t tỹ t ũ ủ ợ Pữỡ ❝➜♣✳ ❈â t❤➸ sû ❞ư♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥❤÷ ❧➔ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤✱ ❣✐→♦ ✈✐➯♥ ♣❤ê t❤æ♥❣ ✈➔ ♥❤ú♥❣ ❛✐ q✉❛♥ t➙♠ ✤➳♥ t❛♠ ❣✐→❝ ♥â✐ ❝❤✉♥❣ ✈➔ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ♥â✐ r✐➯♥❣ ♠➔ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ ✤➲ ❝➟♣✳ ✻✽ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ❚✐➳♥❣ ❱✐➺t ❬✶❪ ❚rà♥❤ ✣➔♦ ❈❤✐➳♥ ✭✷✵✶✸✮✱ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❣è❝ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ♣❤ê t❤ỉ♥❣✱ ❑✛ ②➳✉ ✣↕✐ ❤ë✐ ❚♦→♥ ❤å❝ ❱✐➺t ◆❛♠ ❧➛♥ t❤ù ❱■■■ ✲ ◆❤❛ ❚r❛♥❣✳ t tự ỵ ✈➔ →♣ ❞ö♥❣✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ●✐→♦ ❞ö❝✳ ❚✐➳♥❣ ❆♥❤ ❬✸❪ ❉✳ ❙✳ ▼✐t❛✐♥♦✈✐❝✱ ❏✳ ❊✳ P❡❝❛r✐❝ ❛♥❞ ❱✳ ❱♦❧❡♥❡❝✳ ✭✶✾✽✽✮✱ ❘❡❝❡♥t ❛❞✈❛♥❝❡s ✐♥ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✱ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ❛♥❞ ✐ts ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❑❧✉✇❡r ❆❝❛❞❡♠✐❝ P✉❜❧✐s❤❡rs✳ ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ N NG NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN MỘT S PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN TAM GIÁC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã s : 60.46.01.13 U N V N THẠC S Ngư... r❛ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭❤♦➦❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝✮ ♠ỵ✐❄ ▲✉➟♥ ✈➠♥ s➩ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ❜❛ ✈➜♥ ✤➲ tr➯♥✱ ú t õ t ữủ ởt số ợ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ t❛♠ ❣✐→❝ ❤♦➦❝ s→♥❣ t→❝ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❦❤→❝ ♥❤❛✉... t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ A1 = kA + lπ, B1 = kB + mπ, C1 = kC + nπ, tr♦♥❣ ✤â k + l + m + n = ữợ ởt số ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛✳ ❱➼ ❞ö ✷✳✶✳ ❈❤å♥ k = −2, l = 1, m = 1, n = 1✳ ❑❤✐ ✤â    A = −2A + π,   B1