ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  LÊ THỊ MINH THUYỀN VỀ C3-MÔĐUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐÀ NẴNG – NĂM 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  LÊ THỊ MINH THUYỀN VỀ C3-MÔĐUN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS TS LÊ VĂN THUYẾT ĐÀ NẴNG – NĂM 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nêu luận văn "Về C3mơđun"là trung thực, nội dung có dẫn chứng cụ thể, rõ ràng Tác giả Lê Thị Minh Thuyền NHỮNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN Ký hiệu: N Z Q, R R M ≤N M ≤⊕ N K ≤e M K M E(M ) J(R) M ⊕N M ×N M∼ =N M od − R End(M ) Nghĩa ký hiệu tập hợp số tự nhiên vành số nguyên trường số hữu tỷ, số thực (tương ứng) vành có đơn vị = M môđun N M hạng tử trực tiếp N K môđun cốt yếu M K môđun đối cốt yếu M bao nội xạ M Jacobson vành R tổng trực tiếp hai mơđun M N tích trực tiếp hai môđun M N M đẳng cấu với N tập R môđun nội xạ vành tự đồng cấu M MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN TÓM TẮT ĐỀ TÀI CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Các định nghĩa tính chất 1.2 Các kết liên quan 11 CHƯƠNG VỀ C3-MƠĐUN 15 2.1 C3-Mơđun 15 2.2 -C3-môđun 24 2.3 Bao C3 28 2.4 Phủ C3 30 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết môđun quan trọng nghiên cứu Đại số nhiều vấn đề cần quan tâm nghiên cứu Chúng ta biết lớp môđun quan trọng M od − R mơđun nội xạ Một môđun phải Q vành R gọi nội xạ cho đơn cấu i từ NR vào MR , đồng cấu f từ N vào Q, tồn đồng cấu g từ M vào Q cho gi = f Môđun nội xạ suy tính chất sau mà ta gọi điều kiện (C1), (C2), (C3) định nghĩa sau: (C1): Tất môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M (C2): Tất môđun đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M hạng tử trực tiếp M (C3): Nếu M1 M2 hạng tử trực tiếp M mà M1 ∩ M2 = 0, M1 M2 hạng tử trực tiếp M Một mơđun nghiệm tính chất Ci (i = 1, 3) gọi môđun Ci (hay Ci-môđun) Nếu môđun M nghiệm với hai điều kiện (C1) (C2) M gọi mơđun liên tục Nếu M nghiệm (C1) (C3), gọi môđun tựa liên tục Mỗi môđun nội xạ liên tục và, C2-môđun C3-môđun nói chung, khơng phải C3-mơđun C2-mơđun Vì ta có: Nội xạ ⇒ liên tục ⇒ tựa liên tục Ngồi ra, C3-mơđun cịn có mối quan hệ chặt chẽ với mơđun đều, mơđun khơng phân tích được, mơđun nửa đơn, mơđun đối ngẫu Rickart, mơđun có SSP, Nhằm tìm hiểu vấn đề mơđun giới thiệu trên, chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ là: “VỀ C3-MƠĐUN” 2 Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu C3 môđun môđun liên quan, vành liên quan - Tổng quan kết từ các báo, sách sau chứng minh, trình bày lại vấn đề cách có hệ thống - Tìm cách mở rộng số kết (nếu được) Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu định nghĩa, tính chất C3-mơđun, -C3-mơđun, phủ C3, bao C3 - Nghiên cứu mối liên hệ mơđun đều, mơđun khơng phân tích được, mơđun nửa đơn, mơđun Rickart đối ngẫu mơđun có SSP với C3-môđun - Đặc điểm vành nửa đơn, V -vành, vành di truyền phải vành FGC phải quy liên quan đến C3-môđun - Mối liên quan -C3-môđun với vành Nơte phải, môđun nội xạ Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết: Dựa sở biết môđun, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, với nghiên cứu tài liệu công bố đặc biệt báo khoa học liên quan đến Ci-môđun, i = 1, - Nghiên cứu thực tiễn: Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn Trao đổi thơng qua xêmina nhóm Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn đượcchia thành chương Chương 1: Kiến thức sở Chương trình bày số khái niệm kết liên quan đến môđun để làm sở cho chương sau 1.1 Các định nghĩa 1.2 Các kết liên quan Chương 2: Về C3-mơđun Chương trình bày nội dung luận văn, trình bày C3-mơđun, quan -C3-mơđun vành C3 bao C3, môđun vành liên 2.1 C3-môđun 2.2 −C3-môđun 2.3 Bao C3 2.4 Phủ C3 Do thời gian thực có hạn, lực thân nhiều hạn chế nên dù em cố gắng nhiên không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong q Thầy/ Cơ, bạn đọc thơng cảm góp ý cho luận văn em hoàn chỉnh 31 (5) R vành hoàn chỉnh phải rR (I) = với I iđêan trái hữu hạn sinh R Chứng minh (1) ⇒ (2) Hiển nhiên (2) ⇒ (3) Gọi F mơđun tự Theo (2), F có phủ C3 Giả sử ψ : P → F phủ C3 F Do F R-môđun tự do, sơ đồ sau giao hoán F ∃ϕ P   ψ id /F / đồng cấu ϕ : F → P với ψϕ = id Do P = Imϕ Do Kerψ Kerψ P , P = Imϕ Vậy ϕ đơn cấu, P ∼ = F F C3-môđun (3) ⇒ (4) Hiển nhiên (4) ⇒ (5) Giả sử R-môđun xạ ảnh C3-môđun Theo hệ 2.1.5 R-môđun tự C2-môđun Do theo mệnh đề 1.2.5 R vành hồn chỉnh phải rR = O với I Iđêan trái hữu hạn sinh R (5) ⇒ (1) Gọi R vành hồn chỉnh phải Khi R-mơđun có vành xạ ảnh C3-mơđun Do rR (I) = với I Iđêan trái hữu hạn sinh R Theo Mệnh đề 1.2.4 R-môđun tự C2-mơđun C3-mơđun Vậy R-mơđun xạ ảnh C3-môđun 32 KẾT LUẬN Trong luận văn tơi trình bày số định nghĩa, tính chất C3-mơđun, -C3-mơđun, bao C3 phủ C3, tóm tắt sau: Tơi nêu định nghĩa môđun hữu hạn sinh, môđun hữu hạn đối sinh, môđun cốt yếu, môđun đối cốt yếu, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, vành Nơte, vành FGC, V-vành, Và nêu số kết liên quan đến Ci-môđun, vành Nơte, vành nửa đơn Tôi tổng quan đưa số tính chất C3-môđun, C3-môđun không thiết C2-mơđun thơng qua Ví dụ 2.1.2 Bên cạnh cịn nêu lên điều kiện để mơđun C3-mô đun, mối liên hệ V-vành môđun đối hữu hạn sinh (Định lý 2.1.13) Tơi trình bày lại định nghĩa tính chất -C3-mơđun, rõ vành khơng Nơte tổng trực tiếp mơđun nội xạ khơng C3 (Ví dụ 2.2.3) Trong 2.3, tơi trình bày định nghĩa điều kiện bao C3 Nêu tính chất phủ C3 rõ phủ C3 không Dĩ nhiên cịn nhiều tính chất C3-mơđun chưa khảo sát, cịn nhiều đặc trưng lớp vành thơng qua C3-mơđun chưa tìm thấy, ngồi ví dụ minh họa cho kết cịn Bản thân tơi có điều kiện tiếp tục nghiên cứu vấn đề nêu 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phan Thế Hải (2016), Một số mở rộng lớp môđun giả nội xạ vành liên quan, Luận án Tiến sĩ Toán học, Đại học Huế [2] Trương Công Quỳnh, Lê Văn Thuyết (2013), Lý thuyết vành môđun, NXB Đại học Huế [3] Lê Văn Thuyết, Lê Đức Thoang (2017),Vành với điều kiện hữu hạn, NXB Đại học Huế Tiếng Anh [4] Byrd, K A (1972), Rings whose quasi-injective modules are injective, Proc Amer Math Soc, 235-240 [5] Kourki, F (2008), When maximal linearly independent subsets of a free module have the same cardinality?, Modules and Comodules , Trends in Mathematis, Birkhăauser Verlag, Basel, 281-293 [6] Shahabaddin Ebrahimi Atani, Mehdi Khoramdel, Saboura Dolati Pish Hesira (2016), C3-modules, Warsaw University of Technology, 282292 [7] Wisbauer, R.(1991), Foundation of Module and Ring Theory, Philadelphia: Gordon and Beach ... định nghĩa, tính chất C3- môđun, -C3- môđun, phủ C3, bao C3 - Nghiên cứu mối liên hệ mơđun đều, mơđun khơng phân tích được, môđun nửa đơn, môđun Rickart đối ngẫu môđun có SSP với C3- mơđun - Đặc điểm... Mỗi R -môđun phải có bao C3, (2) Mỗi C3- mơđun nội xạ, (3) Tổng trực tiếp hai C3- môđun C3- môđun, (4) R vành nửa đơn Chứng minh (1) ⇒ (2) Gọi M C3- môđun, ta chứng minh M nội xạ Giả sử βM bao C3 M... nghĩa, tính chất C3- mơđun, -C3- mơđun, bao C3 phủ C3, tóm tắt sau: Tôi nêu định nghĩa môđun hữu hạn sinh, môđun hữu hạn đối sinh, môđun cốt yếu, môđun đối cốt yếu, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, vành