ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM - LÊ THỊ THANH TÂM NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ SYLOW TRONG LÝ THUYẾT NHÓM HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐÀ NẴNG, NĂM 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM - LÊ THỊ THANH TÂM NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ SYLOW TRONG LÝ THUYẾT NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU ĐÀ NẴNG, NĂM 2018 LỜI CẢM ƠN Đề tài “ Những ứng dụng Định lý Sylow lý thuyết nhóm hữu hạn ” nội dung chọn để nghiên cứu làm luận văn tốt nghiệp sau hai năm theo học chương trình cao học chuyên ngành Đại số lý thuyết số trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng Để hồn thành q trình nghiên cứu hồn thiện luận văn này, lời xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn TS Nguyễn Ngọc Châu tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu để tơi hồn thiện luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất quý thầy cô giáo, người truyền đạt kiến thức quý báu cho suốt thời gian học tập vừa qua Cuối cùng, xin cảm ơn người thân, bạn bè ln bên tơi, động viên tơi hồn thành khóa học luận văn Trân trọng cảm ơn! Lê Thị Thanh Tâm LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn khoa học T.S Nguyễn Ngọc Châu Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Nếu khơng tơi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm luận văn Người cam đoan Lê Thị Thanh Tâm CÁC KÍ HIỆU ĐƢỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN ℕ : Tập số tự nhiên ℕ∗ : Tập số nguyên dương 𝐴≤𝐵 : 𝐴 nhóm 𝐵 𝐴⊲𝐵 : 𝐴 nhóm chuẩn tắc 𝐵 𝐺 : Cấp nhóm 𝐺, số phần tử tập 𝐺 [𝐴: 𝐵] : Chỉ số nhóm 𝐵 nhóm 𝐴 𝐴≅𝐵 : Nhóm 𝐴 đẳng cấu với nhóm 𝐵 𝑝|𝑛 : 𝑝 chia hết 𝑛 hay 𝑝 ước 𝑛 𝑝∤𝑛 : 𝑝 không chia hết 𝑛 𝑛⋮𝑝 : 𝑛 chia hết cho 𝑝, hay 𝑛 bội 𝑝 𝑛  𝑝 : 𝑛 không chia hết cho 𝑝, hay 𝑛 không bội 𝑝 𝑥 : Nhóm xyclic sinh phần tử 𝑥 𝐶𝐺 (𝑆) : Nhóm tâm hóa 𝑆 𝐺 𝑁𝐺 (𝑆) : Nhóm chuẩn hóa 𝑆 𝐺 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾) : Nhóm ma trận vng khả nghịch cấp 𝑛 trường 𝐾 𝐼𝑛 : Ma trận đơn vị cấp 𝑛 𝐷𝑛 : Nhóm nhị diện cấp 2𝑛 𝑆𝑛 : Nhóm đối xứng 𝑛 phần tử 𝐴𝑛 : Nhóm thay phiên 𝑛 phần tử ℤ𝑛 : Nhóm xyclic cấp 𝑛 với phép tốn cộng 𝐶𝑛 : Nhóm xyclic cấp 𝑛 với phép tốn nhân 𝐾4 : Nhóm ℤ2 × ℤ2 , 𝑠𝑝 : Số 𝑝- nhóm Sylow nhóm hữu hạn MỤC LỤC Lời cam đoan Một số kí hiệu Mở đầu Chƣơng 1: Cấu trúc nhóm định lý Sylow 1.1 Một số khái niệm kết cấu trúc nhóm 1.1.1 Một số kết cấu trúc nhóm 1.1.2 Một số nhóm quen thuộc 1.2 Các Định lý Sylow kết liên quan 1.3 Tích trực tiếp hai nhóm 12 Chƣơng 2: Những ứng dụng Định lý Sylow 15 2.1 Khảo sát tính chất số lớp nhóm hữu hạn 15 2.1.1 Nhóm hữu hạn 15 2.1.2 Nhóm có cấp 𝑝𝑞, với 𝑝, 𝑞 hai số nguyên tố 16 2.1.3 Nhóm cấp 𝑝2 𝑞, với 𝑝, 𝑞 hai số nguyên tố 17 2.1.4 Nhóm có cấp 𝑝2 𝑞2 , với 𝑝, 𝑞 hai số nguyên tố 19 2.2 Xác định phân loại đẳng cấu số lớp nhóm hữu hạn 19 2.2.1 Nhóm có cấp 𝑝𝑞, với 𝑝, 𝑞 hai số nguyên tố 19 2.2.2 Nhóm có cấp 𝑝2 𝑞, với 𝑝, 𝑞 hai số nguyên tố 23 2.2.3 Nhóm có cấp 𝑝2 𝑞2 , với 𝑝, 𝑞 hai số nguyên tố 33 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong lý thuyết nhóm hữu hạn, định lý quan trọng tiếng Định lý Lagrange: “ Với nhóm hữu hạn 𝐺 cấp 𝑛, nhóm 𝐺 có cấp ước 𝑛 ” Ngược lại, 𝑑 ước nguyên dương cấp nhóm hữu hạn 𝐺, có ln tồn nhóm cấp d nhóm 𝐺 hay khơng? Trả lời cho câu hỏi khơng, chẳng hạn nhóm thay phiên 𝐴4 có cấp 12, khơng có nhóm cấp Tuy nhiên, d lũy thừa số nguyên tố 𝑝, Định lý Sylow khẳng định tồn nhóm cấp d Các Định lý Sylow với 𝑝-nhóm Sylow có nhiều ứng dụng sâu sắc hiệu lý thuyết nhóm, chẳng hạn: xác định phân loại đẳng cấu nhóm hữu hạn, khảo sát số tính chất nhóm tính giao hốn, tính đơn, tính giải được,… Nhằm tìm hiểu ứng dụng Định lý Sylow, chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ là: “ Những ứng dụng Định lý Sylow lý thuyết nhóm hữu hạn ” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cấu trúc nhóm p- nhóm hữu hạn - Tìm hiểu p- nhóm Sylow Định lý Sylow - Các ứng dụng Định lý Sylow nhóm hữu hạn Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Nhóm p- nhóm hữu hạn - Các ứng dụng Định lý Sylow nhóm hữu hạn Phƣơng pháp nghiên cứu - Thu thập hệ thống tài liệu lý thuyết nhóm có liên quan đến nội dung đề tài Đặc biệt tài liệu Định lý Sylow ứng dụng chúng - Phân tích, khảo sát tài liệu thu thập - Trao đổi với người hướng dẫn chuyên gia để thực đề tài Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành chương: Chƣơng 1: Cấu trúc nhóm định lý Sylow Để làm sở cho chương sau, chương nhắc lại khái niệm, kết cấu trúc nhóm, đặc biệt Định lý Sylow hệ liên quan 1.1 Một số khái niệm kết cấu trúc nhóm 1.2 Các Định lý Sylow kết liên quan 1.3 Tích trực tiếp hai nhóm Chƣơng 2: Những ứng dụng Định lý Sylow Chương phần luận văn, trình bày số ứng dụng Định lý Sylow nhóm hữu hạn 2.1 Khảo sát tính chất số lớp nhóm hữu hạn 2.2 Xác định phân loại đẳng cấu số lớp nhóm hữu hạn CHƢƠNG CẤU TRÚC NHÓM VÀ CÁC ĐỊNH LÝ SYLOW Để làm sở cho chương sau, chương nhắc lại khái niệm, kết cấu trúc nhóm, đặc biệt Định lý Sylow hệ liên quan Các chứng minh chi tiết xem [1], [3], [4] 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CỦA CẤU TRÚC NHÓM 1.1.1 Một số kết cấu trúc nhóm Mệnh đề 1.1.1.1 [3] Cho nhóm 𝐺, kí hiệu 𝑍 𝐺 = {𝑎 ∈ 𝐺 ∶ 𝑎𝑥 = 𝑥𝑎 ∀𝑥 ∈ 𝐺} 𝑍 𝐺 nhóm giao hốn chuẩn tắc 𝐺 Nhóm 𝑍 𝐺 gọi nhóm tâm 𝐺 Mệnh đề 1.1.1.2 [1] Cho 𝐺 nhóm 𝑆 nhóm 𝐺 Khi hai tập 𝐶𝐺 𝑆 = 𝑔 ∈ 𝐺 𝑔𝑠𝑔−1 = 𝑠, ∀𝑠 ∈ 𝑆 } 𝑁𝐺 𝑆 = 𝑔 ∈ 𝐺 𝑔𝑆𝑔−1 = 𝑆} hai nhóm 𝐺 Định nghĩa 1.1.1.3 [1] Hai nhóm 𝐶𝐺 𝑆 𝑁𝐺 𝑆 gọi nhóm tâm hóa nhóm chuẩn hóa 𝑆 𝐺 Định nghĩa 1.1.1.4 [1] Một nhóm 𝐺 gọi nhóm xyclic chứa phần tử 𝑎 cho phần tử 𝐺 lũy thừa ngun 𝑎 Phần tử 𝑎 có tính chất gọi phần tử sinh nhóm xyclic 𝐺 22 Hơn phép chứng minh cho thấy sai khác đẳng cấu có nhiều nhóm cấp 2𝑝, với 𝑝 số nguyên tố lẻ Đồng thời theo Hệ 1.1.1.5, số 𝑛 nguyên dương tồn nhóm xyclic cấp 𝑛 Mặt khác nhóm nhị diện 𝐷𝑛 có cấp 2𝑛 𝐷𝑛 khơng phải xyclic với 𝑛 > Do đó, kết luận sai khác đẳng cấu có nhóm cấp 2𝑝, với 𝑝 số nguyên tố lẻ, nhóm xyclic cấp 2𝑝 nhóm nhị diện 𝐷𝑝 Định lý chứng minh Định lý 2.2.1.2 [4] Giả sử 𝑝, 𝑞 hai số nguyên tố, 𝑝 < 𝑞 𝑞 ≠ + 𝑘𝑝, với 𝑘 số nguyên dương Mọi nhóm 𝐺 có cấp 𝑝𝑞 nhóm xyclic Chứng minh: Theo Mệnh đề 2.1.2.1, 𝐺 có 𝑞- nhóm Sylow chuẩn tắc 𝐻 cấp 𝑞 Theo Định lý 1.2.14 giả thiết 𝑞 ≠ + 𝑘𝑝 𝑠𝑝 = Do 𝐺 có 𝑝- nhóm Sylow chuẩn tắc 𝐾 cấp 𝑝 Vì 𝑝 𝑞 hai số nguyên tố nên 𝐻, 𝐾 nhóm xyclic, 𝐻 ∩ 𝐾 = {1} Đặt 𝐻 = 1, 𝑕, 𝑕2 , … , 𝑕𝑞 −1 , 𝐾 = {1, 𝑘, 𝑘 , … , 𝑘 𝑝−1 } Theo Định lý 1.1.1.8, 𝑕𝑘 có cấp 1, 𝑝, 𝑞 𝑝𝑞 - Nếu 𝑜𝑟𝑑 𝑕𝑘 = 𝑝, nhóm xyclic sinh 𝑕𝑘 trùng với 𝐾 Khi đó, 𝑕𝑘 = 𝑘 𝑖 với 𝑖 = 0, 𝑝 − 1, suy 𝑕 = 𝑘 𝑖−1 Vậy, 𝑕 ∈ 𝐾 Khi đó, 𝑕 ∈ 𝐾 ∩ 𝐻 hay 𝑕 = (mâu thuẫn) - Nếu 𝑜𝑟𝑑(𝑕𝑘) = 𝑞 nhóm xyclic sinh 𝑕𝑘 trùng với 𝐻 Khi đó, 23 𝑕𝑘 = 𝑕𝑖 với 𝑖 = 0, 𝑞 − 1, suy 𝑘 = 𝑕𝑖−1 Vậy, 𝑘 ∈ 𝐻 Khi đó, 𝑘 ∈ 𝐾 ∩ 𝐻 hay 𝑘 = (mâu thuẫn) - Nếu 𝑜𝑟𝑑(𝑕𝑘) = 𝑕𝑘 = 1𝐺 , suy 𝑕 = 𝑘 −1 Do 𝑕 ∈ 𝐾 (mâu thuẫn) Vậy 𝑜𝑟𝑑(𝑕𝑘) = 𝑝𝑞, nghĩa 𝐺 nhóm xyclic có cấp 𝑝𝑞 Định lý chứng minh Chú thích 2.2.1.3 (i) Áp dụng Định lý 2.2.1.2 nhóm có cấp 15 cấp 33 nhóm xyclic (ii) Nếu 𝑞 = + 𝑘𝑝 khơng thiết 𝐺 nhóm xyclic, chẳng hạn với nhóm đối xứng 𝑆3 , ta có: 𝑆3 = 3! = = 2.3 = + 1.2, 𝑆3 khơng phải nhóm xyclic 2.2.2 Nhóm có cấp 𝒑𝟐 𝒒, với 𝒑, 𝒒 hai số nguyên tố Định lý 2.2.2.1 [7] Mọi nhóm có cấp 𝑝2 𝑞, với 𝑝, 𝑞 hai số nguyên tố, 𝑞 < 𝑝 𝑝2 ≢ (mod 𝑞), nhóm giao hốn Chứng minh: Giả sử 𝐺 nhóm có cấp 𝑝2 𝑞, với 𝑝, 𝑞 hai số nguyên tố, 𝑞 < 𝑝 𝑝2 ≢ (mod 𝑞) Theo Định lý 1.2.14, 𝑠𝑝 = + 𝑘𝑝, 𝑠𝑝 | 𝑞 Vì 𝑞 < 𝑝 nên 𝑠𝑝 = nghĩa 𝐺 có 𝑝- nhóm Sylow chuẩn tắc 𝑃 cấp 𝑝2 Tương tự 𝑠𝑞 = + 𝑘𝑞, 𝑠𝑞 | 𝑝2 Theo giả thiết 𝑞 không chia hết 𝑝2 − nên 𝑠𝑞 = 1, 𝐺 có 𝑞- nhóm Sylow chuẩn tắc 𝑄 cấp 𝑞 Ta có 𝑃, 𝑄 hai nhóm chuẩn tắc, giao hoán 𝐺, 𝑃 ∩ 𝑄 = {1} 24 Do theo Định lý 1.3.5, 𝐺 = 𝑃 × 𝑄 𝐺 nhóm giao hoán Định lý chứng minh Hệ 2.2.2.2 Cho 𝑝, 𝑞 hai số nguyên tố, 𝑞 < 𝑝 𝑝2 ≢ (mod 𝑞) Khi sai khác đẳng cấu có hai nhóm cấp 𝑝2 𝑞 ℤ𝑝 𝑞 ℤ𝑝 × ℤ𝑝𝑞 Chứng minh: Giả sử 𝐺 nhóm có cấp 𝑝2 𝑞, với 𝑝, 𝑞 hai số nguyên tố, 𝑞 < 𝑝 𝑝2 ≢ (mod 𝑞) Theo Định lý 2.2.2.1, 𝐺 = 𝑃 × 𝑄 nhóm giao hốn, với 𝑃 nhóm cấp 𝑝2 𝑄 nhóm xyclic cấp 𝑞 Theo Định lý 1.1.1.14 Mệnh đề 1.3.7, 𝐺 = ℤ𝑝 × ℤ𝑞 ≅ ℤ𝑝 𝑞 , 𝐺 = ℤ𝑝 × ℤ𝑝 × ℤ𝑞 ≅ ℤ𝑝 × ℤ𝑝𝑞 Hơn hai nhóm ℤ𝑝 𝑞 ℤ𝑝 × ℤ𝑝 × ℤ𝑝𝑞 khơng đẳng cấu với Hệ chứng minh Định lý 2.2.2.3 Mọi nhóm 𝐺 có cấp 𝑝2 𝑞, với 𝑝, 𝑞 hai số nguyên tố, 𝑝 < 𝑞 𝑞 ≢ (mod 𝑝), nhóm giao hốn Chứng minh: Giả sử 𝐺 nhóm có cấp 𝑝2 𝑞, với 𝑝, 𝑞 hai số nguyên tố, 𝑝 < 𝑞 𝑞 ≢ (mod 𝑝) Theo Định lý 1.2.14 điều kiện 𝑞 ≢ (mod 𝑝), ta có 𝑠𝑝 = Do 𝐺 có 𝑝 -nhóm Sylow chuẩn tắc 𝑃 cấp 𝑝2 Vì 𝑝 < 𝑞 theo chứng minh Mệnh đề 2.1.3.5, ta có 𝑠𝑞 = Nghĩa 𝐺 chứa 𝑞- nhóm Sylow chuẩn tắc 𝑄 cấp 𝑞 Ta có 𝑃, 𝑄 hai nhóm chuẩn tắc, giao hoán 𝐺 𝑃 ∩ 𝑄 = {1} 25 Do theo Định lý 1.3.5, 𝐺 = 𝑃 × 𝑄 𝐺 nhóm giao hoán Định lý chứng minh Hệ 2.2.2.4 Cho 𝑝, 𝑞 hai số nguyên tố, 𝑝 < 𝑞 𝑞 ≢ (mod 𝑝) Khi sai khác đẳng cấu có hai nhóm cấp 𝑝2 𝑞 là: ℤ𝑝 𝑞 ℤ𝑝 × ℤ𝑝𝑞 Chứng minh: Giả sử 𝐺 nhóm có cấp 𝑝2 𝑞, với 𝑝, 𝑞 hai số nguyên tố, 𝑝 < 𝑞 𝑞 ≢ (mod 𝑝) Theo Định lý 2.2.2.1, 𝐺 = 𝑃 × 𝑄 nhóm giao hốn, với 𝑃 nhóm cấp 𝑝2 𝑄 nhóm xyclic cấp 𝑞 Theo Định lý 1.1.1.14 Mệnh đề 1.3.7, 𝐺 = ℤ𝑝 × ℤ𝑞 = ℤ𝑝 𝑞 , 𝐺 = ℤ𝑝 × ℤ𝑝 × ℤ𝑞 = ℤ𝑝 × ℤ𝑝𝑞 Hơn hai nhóm ℤ𝑝 𝑞 ℤ𝑝 × ℤ𝑝 × ℤ𝑝𝑞 không đẳng cấu với Hệ chứng minh Chú thích 2.2.2.5 Nếu điều kiện 𝑞 ≢ (mod 𝑝) Định lý 2.2.2.3 không thỏa mãn nhóm G khơng giao hốn Chẳng hạn với 𝐺 = 12 = 23 3, ta có định lý sau: Định lý 2.2.2.6 [4] Sai khác đẳng cấu, có năm nhóm cấp 12, nhóm: ℤ12 , ℤ6 × ℤ2 , 𝐴4 , 𝐷6 𝑆𝐺𝐿(2, ℂ) Chứng minh: Giả sử 𝐺 nhóm cấp 12 Ta có 12 = 22 Gọi 𝑠2 số 2- nhóm Sylow 𝐺 𝑠3 số 3- nhóm Sylow 𝐺 26 Áp dụng Định lý 1.2.14, ta có: 𝑠2 |3 𝑠2 ≡ (mod 2), suy 𝑠2 = 𝑠2 = Tương tự, 𝑠3 = 𝑠3 = Như có trường hợp xảy ra: (i) 𝑠2 = 𝑠3 = (ii) 𝑠2 = 𝑠3 = (iii) 𝑠2 = 𝑠3 = (iv) 𝑠2 = 𝑠3 = Theo Mệnh đề 2.1.3.1, trường hợp (iv): 𝑠2 = 𝑠3 = không xảy Ta xét trường hợp lại:  Trường hợp (i) : 𝑠2 = 𝑠3 = Gọi 𝐹 2- nhóm Sylow 𝑇 3- nhóm Sylow 𝐺 Khi 𝐹 ⊲ 𝐺, 𝑇 ⊲ 𝐺, 𝐹 ∩ 𝑇 = {1} Hơn nữa, 𝐹 𝑇 = 12 Theo Định lý 1.3.5, ta có 𝐺 ≅ 𝐹 × 𝑇 Mà 𝐹 = nên 𝐹 ≅ 𝐾4 = ℤ2 × ℤ2 𝐹 ≅ ℤ4 , 𝑇 = nên 𝑇 ≅ ℤ3 Vậy, 𝐺 ≅ ℤ4 × ℤ3 ≅ ℤ12 𝐺 ≅ 𝐾4 × ℤ3 ≅ ℤ2 × ℤ6 hai nhóm nhóm giao hốn, khơng đẳng cấu với Vì nhóm nhóm giao hốn nhóm chuẩn tắc, nên 𝐺 nhóm giao hốn cấp 12 𝑠2 = 1, 𝑠3 = Do 𝐺 ≅ ℤ12 𝐺 ≅ ℤ2 × ℤ6 Trong trường hợp cịn lại, ta giả sử 𝐺 nhóm khơng giao hốn cấp 12 Hơn nữa, giả sử 𝐹 2- nhóm Sylow cấp 𝑇 3- nhóm Sylow cấp 𝐺, 𝐹 ∩ 𝑇 = {1} Áp dụng Mệnh đề 1.3.4, ta có: 𝐹𝑇 = 𝐹.𝑇 𝐹∩𝑇 = 𝐹 𝑇 = 𝐺 Suy 𝐺 = 𝐹𝑇 Với 𝑔1 , 𝑔2 ∈ 𝐺, tồn 𝑓1 , 𝑓2 ∈ 𝐹 𝑡1 , 𝑡2 ∈ 𝑇 cho 𝑔1 = 𝑓1 𝑡1 , 𝑔2 = 𝑓2 𝑡2 Giả sử 𝑓𝑡 = 𝑡𝑓 với 𝑓 ∈ 𝐹 𝑡 ∈ 𝑇, ta có: 27 𝑔1 𝑔2 = 𝑓1 𝑡1 𝑓2 𝑡2 = 𝑡1 𝑓1 𝑓2 𝑡2 = 𝑡1 𝑓2 𝑓1 𝑡2 (vì 𝐹 nhóm giao hốn) = 𝑓2 𝑡1 𝑡2 𝑓1 = 𝑓2 𝑡2 𝑡1 𝑓1 (vì 𝑇 nhóm giao hốn) = 𝑓2 𝑡2 𝑓1 𝑡1 = 𝑔2 𝑔1 Do đó, 𝐺 nhóm giao hốn Vậy 𝐺 khơng phải nhóm giao hốn khơng xảy trường hợp 𝑓𝑡 = 𝑡𝑓 với 𝑓 ∈ 𝐹 𝑡 ∈ 𝑇  Trường hợp (ii): 𝑠2 = 𝑠3 = Ta có: 𝐹 = nên 𝐹 ≅ 𝐾4 𝐹 ≅ 𝐶4 , a) 𝐹 ≅ 𝐶4 𝐹 = {1, 𝑎, 𝑎2 , 𝑎3 } với 𝑎4 = 1, 𝑇 = {1, 𝑏, 𝑏2 } với 𝑏 = Vì 𝐹 2- nhóm Sylow nên 𝐹 ⊲ 𝐺 , suy 𝑏−1 𝑎𝑏 ∈ 𝐹 - Nếu 𝑏 −1 𝑎𝑏 = 𝑎 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 (mâu thuẫn với điều giả sử 𝐺 khơng phải nhóm giao hốn) - Nếu 𝑏 −1 𝑎𝑏 = 𝑎2 𝑏 −1 𝑎𝑏𝑏−1 𝑎𝑏 = 𝑎4 = Suy 𝑏−1 𝑎2 𝑏 = 1, hay 𝑎2 𝑏 = 𝑏, nghĩa 𝑎2 = (vô lý) - Nếu 𝑏 −1 𝑎𝑏 = 𝑎𝑏 = 𝑏 Suy 𝑎 = (vô lý) Vậy 𝑏 −1 𝑎𝑏 = 𝑎3 hay 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎3 Xét 𝑏𝑎 nhóm xyclic sinh phần tử 𝑏𝑎, ta có: (𝑏𝑎)2 = 𝑏𝑎𝑏𝑎 = 𝑏 𝑎𝑏 𝑎 = 𝑏 𝑏𝑎3 𝑎 = 𝑏2 𝑎4 = 𝑏2 (𝑏𝑎)3 = (𝑏𝑎)2 𝑏𝑎 = 𝑏2 𝑏𝑎 = 𝑏3 𝑎 = 𝑎 𝑏𝑎 = 𝑏𝑎 𝑏𝑎 = 𝑎𝑏𝑎 = 𝑎𝑏 𝑎 = 𝑏𝑎3 𝑎 = 𝑏𝑎4 = 𝑏 Ta thấy 𝑏𝑎 chứa phần tử 𝑎 𝑏, suy 𝑏𝑎 = 𝐹𝑇 hay 28 𝐺 = 𝑏𝑎 Do đó, 𝐺 nhóm giao hốn (mâu thuẫn với điều giả sử ) Vậy, khơng có nhóm cấp 12 với 𝑠2 = 𝑠3 = 2- nhóm Sylow đẳng cấu với 𝐶4 b) 𝐹 ≅ 𝐾4 Đặt 𝐹 = 1, 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑇 = {1, 𝑐, 𝑐 } với 𝑐 = Tương tự phần a), 𝐹 ⊲ 𝐺 nên 𝑐 −1 𝑓𝑐 ∈ 𝐹 với 𝑓 ∈ 𝐹 Theo giả thiết, tồn 𝑓 ∈ 𝐹 cho 𝑐 −1 𝑓𝑐 ≠ 𝑓 Khơng tính tổng quát, giả sử 𝑐 −1 𝑥𝑐 ≠ 𝑥, suy 𝑐 −1 𝑥𝑐 = 𝑦 𝑐 −1 𝑥𝑐 = 𝑧 𝑐 −1 𝑥𝑐 = 𝑦 (trường hợp 𝑐 −1 𝑥𝑐 = 𝑧 lập luận tương tự) Đặt Với 𝑥 = 𝑎, 𝑦 = 𝑏 𝑧 = 𝑎𝑏, 𝑐 −1 𝑎𝑐 = 𝑏 hay 𝑎𝑐 = 𝑐𝑏 Suy 𝑎 = 𝑐𝑏𝑐 −1 Giả sử 𝑐 −1 𝑏𝑐 = 𝑎, 𝑐 −1 𝑏𝑐 = 𝑐𝑏𝑐 −1 hay 𝑏 = 𝑐 𝑏𝑐 −2 Mà 𝑐 ∈ 𝐺, 𝑏 ∈ 𝐹 𝐹 ⊲ 𝐺 nên 𝑐 = 𝑐 −1 , 𝑐 −2 = 𝑐 𝑏 = 𝑐 −1 𝑏𝑐 Do 𝑏 = 𝑎 (vô lý) Vậy 𝑐 −1 𝑏𝑐 ≠ 𝑎 Tương tự, ta chứng minh đó, Từ kết luận 𝑐 −1 𝑏𝑐 ≠ 1, 𝑐 −1 𝑏𝑐 ≠ 𝑏 𝑐 −1 𝑏𝑐 = 𝑎𝑏, 𝑐 −1 𝑎𝑏 𝑐 = 𝑐 −1 𝑎𝑐𝑐 −1 𝑏𝑐 = 𝑐 −1 𝑎𝑐 𝑐 −1 𝑏𝑐 = 𝑏𝑎𝑏 = 𝑏 𝑎 = 𝑎 Vì vậy, 𝑎𝑏𝑐 = 𝑐𝑎 Chứng minh tương tự, cuối ta có hệ thức: 𝑎𝑐 = 𝑐𝑏, 𝑏𝑐 = 𝑐𝑎𝑏, 𝑎𝑏𝑐 = 𝑐𝑎, 𝑎2 = 𝑏 = 1, 𝑐 = 1, 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 Các phần tử 1, 𝑐, 𝑐 xác định lớp kề phân biệt 𝐹 𝐺 Do đó, phần tử 𝐺 là: 1, 𝑐, 𝑐 , 𝑎, 𝑏, 𝑎𝑏, 𝑐𝑎, 𝑐𝑏, 𝑐𝑎𝑏, 𝑐 𝑎, 𝑐 𝑏, 𝑐 𝑎𝑏 Dùng hệ thức 𝐺 trên, ta có Bảng 2.1 sau minh họa kết tích hai phần tử nhóm 𝐺 Ta thấy, tích phần tử 29 𝐺 phần tử 𝐺, Bảng 2.1 xác định nhóm khơng giao hốn cấp 12 𝑐 𝑐2 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑐𝑎 𝑐𝑏 𝑐𝑎𝑏 𝑐2𝑎 𝑐 𝑏 𝑐 𝑎𝑏 1 𝑐 𝑐2 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑐𝑎 𝑐𝑏 𝑐𝑎𝑏 𝑐2𝑎 𝑐 𝑏 𝑐 𝑎𝑏 𝑐 𝑐 𝑐2 𝑐𝑎 𝑐𝑏 𝑐𝑎𝑏 𝑐 𝑎 𝑐2 𝑐2 𝑐 𝑐2𝑎 𝑐 𝑏 𝑐 𝑎𝑏 𝑎 𝑎 𝑐𝑏 𝑐 𝑎𝑏 𝑎𝑏 𝑏 𝑏 𝑐𝑎𝑏 𝑐 𝑎 𝑎𝑏 𝑎𝑏 𝑎𝑏 𝑐𝑎 𝑐2𝑏 𝑐𝑎 𝑐𝑎 𝑐2𝑏 𝑐𝑏 𝑐𝑏 𝑐 𝑎𝑏 𝑐𝑎𝑏 𝑐𝑎𝑏 𝑐 𝑎 𝑐 𝑏 𝑐 𝑎𝑏 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑐𝑎 𝑐𝑏 𝑐𝑎𝑏 𝑏 𝑐𝑎𝑏 𝑐 𝑐𝑎 𝑐2𝑏 𝑐2𝑎 𝑐2 𝑎 𝑐𝑏 𝑐𝑎 𝑐 𝑐2 𝑐 𝑎𝑏 𝑐 𝑏 𝑏 𝑎 𝑐 𝑐𝑎𝑏 𝑐𝑏 𝑎𝑏 𝑐 𝑐𝑎𝑏 𝑐𝑏 𝑐 𝑎𝑏 𝑐 𝑐2𝑎 𝑏 𝑎 𝑎 𝑐𝑎𝑏 𝑐 𝑐𝑎 𝑐2𝑏 𝑐2𝑎 𝑐2 𝑎𝑏 𝑏 𝑏 𝑐𝑏 𝑐𝑎 𝑐 𝑐2 𝑐 𝑎𝑏 𝑐 𝑏 𝑎𝑏 𝑎 𝑐2 𝑐2𝑎 𝑐2𝑎 𝑏 𝑐𝑎𝑏 𝑐 𝑎𝑏 𝑐 𝑏 𝑐2𝑏 𝑐2𝑏 𝑎𝑏 𝑐𝑎 𝑐 𝑎𝑏 𝑐 𝑐 𝑎𝑏 𝑐 𝑎𝑏 𝑎 𝑐𝑏 𝑐2𝑏 𝑐2𝑎 𝑐 𝑎𝑏 𝑐 𝑐2𝑎 𝑎𝑏 𝑎 𝑐𝑏 𝑐𝑎 𝑐 𝑐2𝑎 𝑏 𝑎 𝑐 𝑐𝑎𝑏 𝑐𝑏 𝑐2 𝑎𝑏 𝑏 𝑐𝑎𝑏 𝑐 𝑐𝑎 Bảng 2.1 Bằng lập luận tương tự chứng minh Định lý 2.2.1.1 (nhóm có cấp 2𝑝) ta có: nhóm có cấp 12, với 𝑠2 = 1, 𝑠3 = 2- nhóm Sylow đẳng cấu với 𝐾4 đẳng cấu với nhóm 𝐺 xác định Bảng 2.1 Nhóm 30 nhóm thay phiên 𝐴4 Nói cách khác, 𝑠2 = 1, 𝑠3 = 2- nhóm Sylow đẳng cấu với 𝐾4 , 𝐺 ≅ 𝐴4  Trường hợp (iii) : 𝑠2 = 𝑠3 = Gọi 𝐹 2- nhóm Sylow 𝑇 = 1, 𝑐, 𝑐 , với 𝑐 = 1, 3- nhóm Sylow Xét trường hợp nhóm 𝐹 a) 𝐹 = 1, 𝑎, 𝑎2 , 𝑎3 ≅ 𝐶4 Vì 𝑇 ⊲ 𝐺 ( 𝑇 3- nhóm Sylow ) nên 𝑎−1 𝑐𝑎 ∈ 𝑇 - Nếu 𝑎−1 𝑐𝑎 = 𝑐𝑎 = 𝑎, suy 𝑐 = 1(vơ lý) - Nếu 𝑎−1 𝑐𝑎 = 𝑐 𝑐𝑎 = 𝑎𝑐 (mâu thuẫn với điều giả sử 𝐺 khơng phải nhóm giao hốn) Suy 𝑎−1 𝑐𝑎 = 𝑐 hay 𝑐𝑎 = 𝑎𝑐 Đồng thời 𝑐 𝑎 = 𝑐𝑐𝑎 = 𝑐𝑎𝑐 = 𝑎𝑐 = 𝑎𝑐 ( 𝑐 = 1) Vậy ta có hệ thức sau: 𝑐𝑎 = 𝑎𝑐 , 𝑐 𝑎 = 𝑎𝑐, 𝑐 = 1, 𝑎4 = Hơn nữa, phần tử 1, 𝑐, 𝑐 xác định lớp kề phân biệt 𝐹 𝐺 Khi đó, phần tử phân biệt 𝐺 là: 1, 𝑎, 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑐, 𝑎𝑐, 𝑎2 𝑐, 𝑎3 𝑐, 𝑐 , 𝑎𝑐 , 𝑎2 𝑐 , 𝑎3 𝑐 Dùng hệ thức 𝐺 trên, ta có Bảng 2.2 sau đây, minh họa kết tích hai phần tử 𝐺 Ta thấy, tích phần tử nhóm 𝐺 phần tử 𝐺, Bảng 2.2 xác định nhóm khơng giao hốn cấp 12 (vì 𝑎𝑐 ≠ 𝑐𝑎) 31 𝑎 𝑎2 𝑎3 𝑐 𝑐2 𝑎𝑐 𝑎2 𝑐 𝑎3 𝑐 𝑎𝑐 𝑎2 𝑐 𝑎3 𝑐 1 𝑎 𝑎2 𝑎3 𝑐 𝑐2 𝑎𝑐 𝑎2 𝑐 𝑎3 𝑐 𝑎𝑐 𝑎2 𝑐 𝑎3 𝑐 𝑎 𝑎 𝑎2 𝑎3 𝑎𝑐 𝑎𝑐 𝑎2 𝑐 𝑎3 𝑐 𝑐 𝑎2 𝑐 𝑎3 𝑐 𝑐 𝑎2 𝑎2 𝑎3 𝑎 𝑎2 𝑐 𝑎2 𝑐 𝑎3 𝑐 𝑐 𝑎𝑐 𝑎3 𝑐 𝑐 𝑎3 𝑎3 𝑎 𝑎2 𝑎3 𝑐 𝑎3 𝑐 𝑎𝑐 𝑎2 𝑐 𝑐2 𝑎𝑐 𝑎2 𝑐 𝑐 𝑐 𝑎𝑐 𝑎2 𝑐 𝑎3 𝑐 𝑐 𝑎 𝑎2 𝑐 𝑎3 𝑎𝑐 𝑎2 𝑎3 𝑐 𝑐2 𝑐2 𝑎𝑐 𝑎2 𝑐 𝑎3 𝑐 𝑐 𝑎𝑐 𝑎2 𝑎3 𝑐 𝑎 𝑎2 𝑐 𝑎3 𝑎𝑐 𝑎𝑐 𝑎𝑐 𝑎 𝑎2 𝑎3 𝑐 𝑎2 𝑐 𝑎3 𝑐 𝑎2 𝑐 𝑎2 𝑐 𝑎3 𝑐 𝑐 𝑎𝑐 𝑎2 𝑐 𝑎2 𝑎3 𝑐2 𝑎 𝑎3 𝑐 𝑎𝑐 𝑎3 𝑐 𝑎3 𝑐 𝑐2 𝑎𝑐 𝑎2 𝑐 𝑎3 𝑐 𝑎3 𝑎𝑐 𝑎2 c 𝑎 𝑎2 𝑐 𝑎𝑐 𝑎𝑐 𝑎2 𝑐 𝑎3 𝑐 𝑎2 𝑐 𝑎3 𝑐2 𝑎2 𝑎3 𝑐 𝑎2 𝑐 𝑎3 𝑐 𝑐2 𝑐 𝑎 𝑎𝑐 𝑐 𝑎𝑐 𝑎2 𝑐 𝑎2 𝑐 𝑎3 𝑐 𝑐2 𝑎𝑐 𝑎2 𝑎2 𝑐 𝑎3 𝑐 𝑎𝑐 𝑎3 𝑐 𝑎 𝑎3 𝑐 𝑎3 𝑐 𝑎𝑐 𝑎2 𝑐 𝑎3 𝑎3 𝑐 𝑎 𝑎2 𝑐 𝑎𝑐 𝑎2 𝑐 𝑐2 Bảng 2.2 Bằng lập luận tương tự trường hợp (ii) (b), ta có nhóm cấp 12, với 𝑠2 = 3, 𝑠3 = có 2- nhóm Sylow nhóm xyclic cấp 4, đẳng cấu với 𝐺 Nhóm đẳng cấu với nhóm 𝑆𝐺𝐿(2, ℂ) (xem Mệnh đề 1.1.2.5) b) 𝐹 = {1, 𝑥, 𝑦, 𝑧} 𝑇 = {1, 𝑐, 𝑐 } 32 Vì 𝑇 ⊲ 𝐺 nên 𝑓 −1 𝑐𝑓 ∈ 𝑇 với 𝑓 ∈ 𝐹 Theo giả sử trên, ta có: tồn phần tử 𝑓 ∈ 𝐹 cho 𝑓 −1 𝑐𝑓 ≠ 𝑐 Do đó, ta giả sử 𝑥 −1 𝑐𝑥 ≠ 𝑐, suy 𝑥 −1 𝑐𝑥 = 𝑐 (vì 𝑥 −1 𝑐𝑥 = 𝑐𝑥 = 𝑥, tức 𝑐 = 1, vô lý ) Đặt 𝑥 = 𝑎, 𝑦 = 𝑏 𝑧 = 𝑎𝑏, 𝑐𝑎 = 𝑎𝑐 𝑐 𝑎 = 𝑎𝑐 Đặt 𝑆 = { 1, 𝑐, 𝑐 , 𝑎, 𝑐𝑎, 𝑐 𝑎 }, ta có:  ∈ 𝑆  Với 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 𝑥𝑦 ∈ 𝑆  𝑐 −1 = 𝑐 , (𝑐 )−1 = 𝑐, 𝑎−1 = 𝑎, (𝑐𝑎)−1 = 𝑐𝑎, (𝑐 𝑎)−1 = 𝑐 𝑎 Suy với 𝑥 ∈ 𝑆 𝑥 −1 ∈ 𝑆 Vậy, 𝑆 ≤ 𝐺, 𝑆 = 6, 𝑐𝑎 = 𝑎𝑐 ≠ 𝑎𝑐 ) Do 𝑆 khơng phải nhóm giao hốn (vì 𝑆 ≅ 𝐷3 Ta có: [ 𝐺 ∶ 𝑆 ] = 2, suy 𝑆 ⊲ 𝐺 (theo Mệnh đề 1.1.1.11) Khi đó: 𝑏−1 𝑐𝑏 ∈ 𝑆, 𝑜𝑟𝑑 𝑏 −1 𝑐𝑏 = = 𝑜𝑟𝑑 𝑐 = 𝑜𝑟𝑑(𝑐 ) Dễ dàng thấy phần tử cịn lại 𝑆 có cấp Tiếp theo, ta chứng minh tồn phần tử 𝑕 ∈ 𝐹, 𝑕 ∉ 𝑆 cho 𝑕−1 𝑐𝑕 = 𝑐 - Nếu 𝑏−1 𝑐𝑏 = 𝑐, chọn 𝑕 = 𝑏 - Nếu 𝑏−1 𝑐𝑏 = 𝑐 , ta có: 𝑎𝑏 −1 𝑐 𝑎𝑏 = 𝑏−1 𝑎−1 𝑐𝑎 𝑏 = 𝑏−1 𝑐 𝑏 = 𝑏−1 𝑐𝑏𝑏 −1 𝑐𝑏 = 𝑐 𝑐 = 𝑐 = 𝑐, chọn 𝑕 = 𝑎𝑏 Vậy, tồn phần tử 𝑕 ∈ 𝐹, 𝑕 ∉ 𝑆 cho 𝑕−1 𝑐𝑕 = 𝑐 Đặt 𝐻 = 𝑕 Khi 𝐻 ∩ 𝑆 = {1}, 𝐻 = 2, phần tử 𝑆 giao hoán với phần tử 𝐻, suy 𝑆 𝐻 = 𝐺 Do theo Định lý 1.3.2 𝐺 ≅ 𝑆 × 𝐻 Mà Mệnh đề 1.3.8) 𝑆 ≅ 𝐷3 𝐻 ≅ 𝐶2 nên 𝐺 ≅ 𝐷3 × 𝐶2 ≅ 𝐷6 (theo 33 Vậy, nhóm cấp 12 với 𝑠2 = 3, 𝑠3 = 2- nhóm Sylow đẳng cấu với 𝐾4 , đẳng cấu với 𝐷6 ( nhóm khơng giao hốn) Tóm lại: Với 𝐺 nhóm cấp 12, ta có Trường hợp (i): 𝑠2 = 𝑠3 = 1, 𝐺 ≅ ℤ12 𝐺 ≅ ℤ6 × ℤ12 Trường hợp (ii) (b): 𝑠2 = 1, 𝑠3 = 𝐺 có 2- nhóm Sylow 𝐾4 , 𝐺 ≅ 𝐴4 Trường hợp (iii) (a): 𝑠2 = 3, 𝑠3 = 𝐺 có 2- nhóm Sylow 𝐶4 , 𝐺 ≅ 𝑆𝐺𝐿(2, ℂ) Trường hợp (iii) (b): 𝑠2 = 3, 𝑠3 = 𝐺 có 2- nhóm Sylow 𝐾4 , 𝐺 ≅ 𝐷6 Vậy sai khác đẳng cấu, có nhóm cấp 12 Định lý chứng minh 2.2.3 Nhóm có cấp 𝒑𝟐 𝒒𝟐 , với 𝒑, 𝒒 hai số nguyên tố Định lý 2.2.3.1 Mọi nhóm có cấp 𝑝2 𝑞2 , với 𝑝, 𝑞 hai số nguyên tố phân biệt, 𝑞 ∤ 𝑝2 − 𝑝 ∤ 𝑞2 − 1, nhóm giao hốn Chứng minh: Giả sử 𝐺 nhóm có cấp 𝑝2 𝑞 , với 𝑝, 𝑞 hai số nguyên tố phân biệt, 𝑞 ∤ 𝑝2 − 𝑝 ∤ 𝑞2 − Gọi 𝑃 𝑝- nhóm Sylow 𝐺, 𝑃 = 𝑝2 Theo Định lý 1.2.14, 𝑠𝑝 = + 𝑘𝑝, 𝑠𝑝 | 𝑞 Các ước dương 𝑞2 là: 1, 𝑞 𝑞2 Nếu + 𝑘𝑝 = 𝑞 , 𝑘𝑝 = 𝑞 − Vì 𝑝 | 𝑞 − nên 𝑝 chia hết cho 𝑞 − = (𝑞 − 1)(𝑞 + 1) (mâu thuẫn) 34 Nếu 𝑠𝑝 = + 𝑘𝑝 = 𝑞2 , 𝑝 | 𝑞 − (mâu thuẫn) Nên 𝑠𝑝 = Do 𝐺 có 𝑝- nhóm sylow chuẩn tắc 𝑃 có cấp 𝑝2 Tương tự ta chứng minh 𝑠𝑞 = Vậy 𝐺 có 𝑞- nhóm sylow chuẩn tắc 𝑄 có cấp 𝑞2 Ta có 𝑃, 𝑄 hai nhóm chuẩn tắc giao hốn ( Định lý 1.3.5 ) 𝑃 ∩ 𝑄 = {1}, 𝐺 = 𝑃 × 𝑄 𝐺 nhóm giao hốn Định lý chứng minh Hệ 2.2.3.2 Cho 𝑝, 𝑞 hai số nguyên tố phân biệt, cho 𝑞 không chia hết 𝑝2 − 𝑝 không chia hết 𝑞2 − Khi sai khác đẳng cấu có nhóm cấp 𝑝2 𝑞2 là: ℤ𝑝 𝑞 , ℤ𝑝 × ℤ𝑝𝑞 , ℤ𝑝 𝑞 × ℤ𝑞 , ℤ𝑝 × ℤ𝑝 × ℤ𝑞 × ℤ𝑞 Chứng minh: Giả sử 𝐺 nhóm có cấp 𝑝2 𝑞2 , với 𝑝, 𝑞 hai số nguyên tố phân biệt, cho 𝑞 ∤ 𝑝2 − 𝑝 ∤ 𝑞 − Theo Định lý 2.2.5.1 𝐺 = 𝑃 × 𝑄, với 𝑃 = 𝑝2 𝑄 = 𝑞2 Theo Định lý 1.1.1.14, 𝑃 ≅ ℤ𝑝 𝑃 ≅ ℤ𝑝 × ℤ𝑝 ; 𝑄 ≅ ℤ𝑞 𝑄 ≅ ℤ𝑞 × ℤ𝑞 Vậy 𝐺 ≅ ℤ𝑝 × ℤ𝑞 ≅ ℤ𝑝 ×𝑞 , 𝐺 ≅ ℤ𝑝 × ℤ𝑞 × ℤ𝑞 ≅ ℤ𝑝 𝑞 × ℤ𝑞 , hoặc ℤ𝑝 × ℤ𝑝 × ℤ𝑞 × ℤ𝑞 (Mệnh đề 1.3.7) Vậy hệ chứng minh 𝐺 ≅ ℤ𝑝 × ℤ𝑝 × ℤ𝑞 ≅ ℤ𝑝 × ℤ𝑝𝑞 , 35 KẾT LUẬN Luận văn “ Những ứng dụng Định lý Sylow lý thuyết nhóm hữu hạn ” thực mục tiêu đề ra, cụ thể ứng dụng Định lý Sylow, để: Khảo sát tính chất số lớp nhóm hữu hạn, chẳng hạn tính chuẩn tắc, tính giao hốn, tính đơn tính giải 𝑞- nhóm com Sylow có cấp 𝑝𝑞, 𝑝2 𝑞, 𝑝2 𝑞 , với 𝑝, 𝑞 hai số nguyên tố Xác định phân loại đẳng cấu số lớp nhóm hữu hạn có cấp 12, cấp 2p với 𝑝 số nguyên tố lẻ Hy vọng kỹ thuật sử dụng luận văn, tiếp tục khai thác mở rộng hơn, nhằm chứng tỏ tầm quan trọng tính hiệu Định lý Sylow lý thuyết nhóm hữu hạn 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, NXB Giáo dục [2] Lê Thị Thanh Nhàn, Vũ Mạnh Xn (2009), Giáo trình lý thuyết nhóm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Hồng Xn Sính (1999), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục Tiếng Anh [4] B Baumslag and B Chandler (1968), Theory and problems of group theory, Mc Graw hill book company [5] D S Dummit, R M Foote (Third Edition, 2004), Abstract algebra, John Wiley & Son, Inc [6] D Gorenstein (Second Edition, 1980), Finite group, Chelsea Publishing Company [7] W Ledermann and A J Weir (1996), Introduction to group theory, Addison Wesley Lougman ... “ Những ứng dụng Định lý Sylow lý thuyết nhóm hữu hạn ” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cấu trúc nhóm p- nhóm hữu hạn - Tìm hiểu p- nhóm Sylow Định lý Sylow - Các ứng dụng Định lý Sylow. .. Định lý Sylow nhóm hữu hạn Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Nhóm p- nhóm hữu hạn - Các ứng dụng Định lý Sylow nhóm hữu hạn Phƣơng pháp nghiên cứu - Thu thập hệ thống tài liệu lý thuyết nhóm có liên... trực tiếp hai nhóm Chƣơng 2: Những ứng dụng Định lý Sylow Chương phần luận văn, trình bày số ứng dụng Định lý Sylow nhóm hữu hạn 2.1 Khảo sát tính chất số lớp nhóm hữu hạn 2.2 Xác định phân loại