ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ THANH VÂN CƠ SỞ GROEBNER VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Chánh Tú ĐÀ NẴNG - NĂM 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu thân Mọi số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Thị Thanh Vân LỜI CẢM ƠN Hoàn thành luận văn này, trước tiên tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Chánh Tú tận tâm hướng dẫn, bảo truyền dạy kinh nghiệm cho tác giả suốt trình thực Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo tận tình hướng dẫn truyền đạt kiến thức cho tác giả suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến anh chị em lớp Đại số Lý thuyết số K31 nhiệt tình giúp đỡ tác giả trình học tập lớp Tác giả Nguyễn Thị Thanh Vân MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG Lý thuyết sở Groebner 1.1 Vành đa thức 1.1.1 Các khái niệm vành đa thức 1.1.2 Iđêan đơn thức 1.1.3 Định lí Hilbert 1.1.4 Tập đại số 1.2 Cơ sở Groebner 1.2.1 Thứ tự đơn thức 1.2.2 Hạng tử dẫn đầu, iđêan dẫn đầu 1.2.3 Định nghĩa sở Groebner 1.2.4 Tiêu chuẩn Buchberger, Thuật toán Buchberger 10 CHƯƠNG Ứng dụng sở Groebner giải hệ phương trình đa thức với hỗ trợ phần mềm Maple 16 2.1 Hệ phương trình đa thức 16 2.2 Ứng dụng sở Groebner giải hệ phương trình đa thức 16 2.3 Tìm sở Groebner với hỗ trợ phần mềm Maple 19 2.4 Giải hệ phương trình đa thức với hỗ trợ phần mềm Maple 23 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn phổ thơng, giải hệ phương trình đa thức biến ta thường sử dụng phép chia có dư thuật tốn Euclide Vậy hệ phương trình đa thức nhiều biến ta cịn sử dụng phép chia có dư thuật tốn Euclide không hay sử dụng phép chia thuật toán tương tự ? Cách chia thuật toán có đặc biệt có ứng dụng rộng rãi không ? Khi học môn đại số giao hoán, ta giải đáp câu hỏi dựa vào lý thuyết sở Groebner với phần ứng dụng Cơ sở Groebner nhà tốn học Bruno Buchberger giới thiệu luận án tiến sĩ vào năm 1965 hướng dẫn giáo sư Wolfgang Groebner Sử dụng thuật tốn Buchberger giúp ta tìm sở Groebner cho đa thức nhiều biến Và từ giúp ta hình thành phương pháp giải hệ phương trình đa thức nhiều biến Ngồi lý thuyết sở Groebner mở ứng dụng khác thực phong phú từ Với lý hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Chánh Tú, chọn nghiên cứu đề tài: Cơ sở Groebner hệ phương trình đa thức Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết sở Groebner, tiêu chuẩn Bucheberger, thuật toán Buchberger ứng dụng sở Groebner vào việc giải hệ phương trình đa thức nhiều biến 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Nắm khái niệm đa thức, thứ tự đơn thức, iđêan dẫn đầu, sở Groebner, tiêu chuẩn thuật toán Buchberger Sử dụng thuật toán Buchberger tìm sở Groebner đa thức nhiều biến ứng dụng vào giải hệ phương trình đa thức nhiều biến Đối tượng phạm vi nghiên cứu Cơ sở Groebner ứng dụng giải hệ phương trình đa thức nhiều biến Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận: thu thập, đọc nghiên cứu tài liệu, báo, giáo trình vấn đề: đa thức, thứ tự đơn thức, iđêan dẫn đầu, sở Groebner, tiêu chuẩn thuật toán Buchberger, số toán ứng dụng Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên hướng dẫn giảng viên khác thuộc khoa Toán trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn giúp thân hiểu rõ lý thuyết sở Groebner, nắm ứng dụng nghiên cứu toán học đặc biệt việc ứng dụng vào giải hệ phương trình đa thức nhiều biến biết số loại hệ phương trình đa thức nhiều biến giải thơng qua việc tìm sở Groebner Ngồi luận văn cịn tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày theo cấu trúc gồm 02 chương: Chương I Lý thuyết sở Groebner Trong chương này, khái niệm, tính chất rõ ràng kèm chứng minh ví dụ thể nội dung liên quan đến sở Groebner Chương II Ứng dụng sở Groebner giải hệ phương trình đa thức với hỗ trợ phần mềm Maple Nội dung chương nêu số phương trình đa thức giải có dùng sở Groebner kèm ví dụ minh họa Đồng thời luận văn nhược điểm sở Groebner ứng dụng để giải hệ phương trình đa thức nhiều biến CHƯƠNG LÝ THUYẾT VỀ CƠ SỞ GROEBNER Trong chương này, chúng tơi nêu khái niệm, tính chất iđêan đơn thức, thứ tự đơn thức, hạng tử dẫn đầu, sở Groebner, tiêu chuẩn thuật toán Buchberger Tất khái niệm, kết chương này, lấy từ tài liệu tham khảo [1], [4], [5] 1.1 Vành đa thức 1.1.1 Các khái niệm vành đa thức Cho k vành x biến số Ta gọi biểu thức f có dạng c0 + c1 x + + cα xα với c0 , c1 , , cα ∈ k đa thức biến x với hệ số k Nếu cα = α gọi bậc, ký hiệu degf , cα hệ số đầu f Nếu f = ta quy ước degf = −∞ Vành đa thức k[x] biến x k tập hợp tất đa thức, phép cộng phép nhân thực thông thường Vành đa thức n biến k định nghĩa quy nạp sau: k[x1 , , xn ] := k[x1 , , xn−1 ][xn ], có nghĩa k[x1 , , xn ] vành đa thức biến xn vành k[x1 , , xn−1 ] Sau ta ln kí hiệu k[X] = k[x1 , , xn ] Các phần tử k[X] gọi đa thức n biến f Vành k[X] không phụ thuộc vào thứ tự biến đa thức n biến f có dạng cα1 , ,αn xα1 xαnn f (X) = α1 + +αn ≤α với α số tự nhiên cα1 , ,αn ∈ k Các phần tử cα1 , ,αn gọi hệ số, c0, ,0 hệ số tự f Các biểu thức xα1 xαnn gọi đơn thức Bậc đơn thức xα1 xαnn tổng α1 + + αn số mũ Bậc đa thức f = bậc lớn bậc đơn thức với hệ số khác khơng f Ta kí hiệu bậc f degf Ví dụ: f = x2 + 2y z − y + đa thức vành Q[x, y, z] có degf = 1.1.2 Iđêan đơn thức Định nghĩa 1.1.1 Iđêan I ⊂ k[x1 , , xn ] iđêan đơn thức có tập A ⊂ Zn≥0 mà I bao gồm tất đa thức tổng hữu hạn dạng α∈A hα xα , hα ∈ k[x1 , , xn ] Trong trường hợp này, ta viết I = xα : α ∈ A Ví dụ 1.1.2 Trong vành k[x, y], iđêan I = x3 , xy , x iđêan đơn thức Bổ đề 1.1.3 Cho iđêan I = xα : α ∈ A iđêan đơn thức Một đơn thức xβ ∈ I xβ chia hết cho xα với α ∈ A Bổ đề 1.1.4 Cho I iđêan đơn thức đa thức f ∈ k[x1 , , xn ] Các điều kiện sau tương đương: (i) f ∈ I (ii) Mọi hạng tử f thuộc I (iii) f tổ hợp tuyến tính k đơn thức I Chứng minh Hiển nhiên ta có (iii) ⇒ (ii) ⇒ (i) Ta cần chứng minh (i) ⇒ (iii) Ta có f ∈ I Vì I iđêan đơn thức nên theo Định nghĩa 1.1.1 α ta có I = xα : α ∈ A ,với hα ∈ k[x1 , , xn ] để f = α∈A hα x Theo Bổ đề 1.1.3, hạng tử f chia hết cho xα(i) Sau giản ước hai vế ta f = hα(j) xα(j) với hα(j) ∈ k Suy f tổ hợp tuyến tính đơn thức xα(j) với hệ số k Hệ 1.1.5 Hai iđêan đơn thức gọi tập đơn thức chúng Định lí 1.1.6 (Bổ đề Dickson) Mọi iđêan đơn thức I viết dạng I = xα(1) , , xα(s) , α(1), , α(s) ∈ A Đặc biệt, iđêan I có hệ sinh hữu hạn 1.1.3 Định lí Hilbert Định nghĩa 1.1.7 Vành k gọi vành Noether iđêan k hữu hạn sinh Bổ đề 1.1.8 Các điều kiện sau tương đương: (i) Vành k vành Noether, (ii) Mọi dãy tăng iđêan k : I1 ⊆ I2 ⊆ In ⊆ In+1 ⊆ dừng, tức tồn j ≥ để Ij = Ij+1 = (iii) Mọi hệ khác rỗng iđêan k có phần tử cực đại (khơng nằm iđêan khác hệ) Định lí 1.1.9 Nếu k vành Noether vành đa thức k[x] Noether Áp dụng định lí nhiều lần ta kết sau: Hệ 1.1.10 (Định lí Hilbert sở) Vành đa thức nhiều biến k[X] vành Noether 1.1.4 Tập đại số Trong phần quan tâm đến tập đại số, tức tập nghiệm họ đa thức vành đa thức k[x1 , , xn ] trường k Định lý sở Hilbert cho phép quy tập đại số tập nghiệm hữu hạn đa thức, nhờ việc nghiên cứu tập đại số bớt phức tạp Kí hiệu k n = {(a1 , , an )|ai ∈ k, ∀i = 1, , n} Ta gọi k n không gian affin n chiều Đặc biệt k = k gọi đường thẳng affin, k gọi mặt phẳng affin Với tập S k[x1 , , xn ], kí hiệu: Z(S) = {(a1 , , an ) ∈ k n |f (a1 , , an ) = 0, ∀f ∈ S} tập nghiệm (hay tập không điểm chung) S Định nghĩa 1.1.11 Một tập A k n gọi tập đại số (hay đa tạp affin) tồn S ⊆ k[x1 , , xn ] cho A = Z(S) Khi ta nói A tập đại số định nghĩa S Cho A = Z(S) tập đại số k n Nếu S = {f } ta viết A = Z(f ) Nếu f khác Z(f ) gọi siêu mặt k n Nếu S = {f1 , , fl } tập hữu hạn ta viết A = Z(f1 , , fl ) Chú ý tập đại số (khác ∅ khác k n ) giao họ siêu mặt, ta có A = Z(S) = ∩f ∈S Z(f ) Ví dụ 1.1.12 Trong mặt phẳng affin R2 , tập đại số Z(x2 + y − 1) đường trịn bán kính tâm gốc tọa độ Mệnh đề 1.1.13 Mỗi tập đại số k n tập nghiệm iđêan vành đa thức k[x1 , , xn ] Chứng minh Cho tập A ⊆ k n tập đại số Khi tồn họ đa thức S ⊆ k[x1 , , xn ] cho A = Z(S) Đặt I = S iđêan k[x1 , , xn ] sinh S Chú ý S ⊆ S phần tử S có dạng f1 h1 + + ft ht với f1 , , ft ∈ S h1 , , ht ∈ k[x1 , , xn ] Suy phần tử k n nghiệm họ S nghiệm iđêan S Do A tập nghiệm iđêan S Mệnh đề 1.1.14 Mỗi tập đại số tập nghiệm hữu hạn đa thức Chứng minh Cho A ⊆ k n tập đại số Khi tồn họ đa thức S ⊆ k[x1 , , xn ] cho A = Z(S) Suy A tập nghiệm iđêan S Theo Định lí sở Hilbert, S iđêan hữu hạn sinh, tức tồn f1 , , ft ∈ S cho S = f1 , , ft Khi A tập nghiệm họ hữu hạn đa thức f1 , , ft Chú ý 1.1.15 Việc quy tập đại số tập nghiệm hữu hạn đa thức vơ quan trọng Nó cho phép thực thuật tốn Buchberger để tìm sở Groebner iđêan xuất phát từ hệ sinh hữu hạn 1.2 Cơ sở Groebner Để tìm hiểu định nghĩa sở Groebner, trước hết ta cần tìm hiểu thứ tự đơn thức khái niệm liên quan 21 Để tìm sở Groebner theo thứ tự từ điển ngược, ta dùng câu lệnh: Basis([x2 − yz − 3, −xz + y − 4, −xy + z − 5], tdeg(x, y, z)) Và ta thu sở là: (Hình 2.2) g1 = −z + 13y; g2 = 11z + 13x; g3 = 36z − 169 Nếu muốn tìm sở Groebner iđêan I theo thứ tự từ điển, ta lại thay đổi câu lệnh thành câu lệnh sau: Basis([x2 − yz − 3, −xz + y − 4, −xy + z − 5], plex(x, y, z)) Hình 2.2: Tìm sở Groebner Một số lệnh khác gói Groebner Tìm hạng tử dẫn đầu, hệ số dẫn đầu đơn thức dẫn đầu Trong Maple 17, để tìm hạng tử dẫn đầu, hệ số dẫn đầu, đơn thức dẫn đầu đa thức ta sử dụng câu lệnh tương ứng là: LeadingTerm, LeadingCoefficient, LeadingMonomial 22 Ví dụ 2.3.3 Cho đa thức: f = 3x3 y z + 4x3 y − y z + 2x4 − 5y Tìm hạng tử dẫn đầu, hệ số dẫn đầu đơn thức dẫn đầu đa thức f theo thứ tự từ điển Tại cửa sổ tính tốn phần mềm, ta nhập câu lệnh: LeadingT erm(3x3 y z + 4x3 y − y z + 2x4 − 5y , plex(x, y, z)) LeadingCoef f icient(3x3 y z + 4x3 y − y z + 2x4 − 5y , plex(x, y, z)) LeadingM onomial(3x3 y z + 4x3 y − y z + 2x4 − 5y , plex(x, y, z)) Ta nhấn phím Enter thu kết là: LT (f ) = 2x4 , LC(f ) = 2, LM (f ) = x4 (Hình 2.3) Tương tự câu lệnh khác, muốn tìm hạng tử dẫn đầu, hệ số dẫn đầu, đơn thức dẫn đầu đa thức theo thứ tự từ điển ngược ta thay plex(x, y, z) thành tdeg(x, y, z) Hình 2.3: Tìm hạng tử dẫn đầu, hệ số dẫn đầu, đơn thức dẫn đầu Tìm S -đa thức hai đa thức Với hai đa thức f g , để tìm S(f, g) theo thứ tự từ điển thứ tự từ điển ngược gói lệnh Groebner ta nhập câu lệnh: SPolynomial 23 Ví dụ 2.3.4 Để tìm S -đa thức hai đa thức f = x2 y − 4x − 3y g = 5y + 2yz − 3x theo thứ tự từ điển, ta nhập câu lệnh sau: SPolynomial(x2 y − 4x − 3y, 5y + 2yz − 3x, plex(x, y, z)) Ta nhận kết là: −5xy − 2xy z + 12x + 9y (Hình 2.4) Hình 2.4: Tìm S-đa thức Để tìm S -đa thức f g theo thứ tự từ điển ngược, ta nhập câu lệnh sau: SPolynomial(x2 y − 4x − 3y, 5y + 2yz − 3x, tdeg(x, y, z)) Ta nhận kết là: −2x2 yz + 3x3 − 20xy − 15y 2.4 Giải hệ phương trình đa thức với hỗ trợ phần mềm Maple Khi giải hệ phương trình đa thức có ứng dụng sở Groebner, ta thấy trình thực phụ thuộc chủ yếu vào sở Groebner G tìm iđêan sinh đa thức hệ Cụ thể sở Groebner G phải có chứa đa thức mà từ ta tìm giá trị biến Và đa thức đa thức chứa biến xn , đa thức chứa tổ hợp biến xn−1 , xn mà phân tích tiếp ta tìm giá trị biến Ta xét số ví dụ ứng với trường hợp sở Groebner tìm nhờ hỗ trợ phần mềm Maple 24 Trường hợp 1: Cơ sở Groebner có đa thức chứa biến xn Ví dụ 2.4.1 Giải hệ phương trình: x2 y + xy + 3x 2xy − xy + 4y =0 ˙ =0 (2.1) Xét iđêan I = x2 y + xy + 3x, 2xy − xy + 4y ⊂ C[x, y] Ta có sở Groebner I theo thứ tự từ điển G = {g1 , g2 } đó: g1 = 2y + y − 3y; g2 = 4y + 3x + 8y  y=0  y=1 Xét: g1 = ⇐⇒ y(y − 1)(2y + 3) = ⇐⇒  −3 ˙ y= Thay y = vào g2 = ta x = Thay y = vào g2 = ta + 3x + = suy x = −4 Thay y = −3 −3 vào g2 = ta + 3x + = suy x = Vậy hệ phương trình (2.1) có nghiệm: (x, y) = (0; 0), (−4; 1), 1; −3 Ví dụ 2.4.2 Giải hệ phương trình: 2x2 − 3xy + y = ˙ x2 − x + 2y =0 (2.2) Xét iđêan I = 2x2 − 3xy + y, x2 − x + 2y ⊂ C[x, y] Ta có sở Groebner I theo thứ tự từ điển G = {g1 , g2 } đó: g1 = 9y − 3y + y; g2 = −3y + x − y  y=0  y=1+ Xét: g1 = ⇐⇒ y(9y − 3y + 1) = ⇐⇒    y= − Với y = thay vào g2 = ta x = √ i 3˙ √ i 25 1 √ + i thay vào g2 = ta được: 6 1 √ 1 √ −3( + i 3)2 + x − ( + i 3) = Suy x = 6 6 1 √ Với y = − i thay vào g2 = ta được: 6 1 √ 1 √ −3( − i 3)2 + x − ( − i 3) = Suy x = 6 6 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: Với y = (x, y) = (0; 0), √ i 3 −1 √ i 3 −1 √ 1 √ √ 1 √ i 3; + i , i 3; − i 3 6 6 Ví dụ 2.4.3 Giải hệ phương trình: x2 − 4xy + x + 2y =0 ˙ 2 x − 8x y + 3x + 4y = (2.3) Xét iđêan I = x2 − 4xy + x + 2y, x4 − 8x2 y + 3x2 + 4y ⊂ C[x, y] Ta có sở Groebner I theo thứ tự từ điển G = {g1 , g2 , g3 } với: g1 = 4y − 5y + y ; g2 = 4xy + 8y − 5xy − 10y + x − 2y; g3 = x2 − 4xy + x − 2y  y=0 y=1  Xét: g1 = ⇐⇒ y (4y − 5y + 1) = ⇐⇒  1˙ y= Với y = thay vào g3 = ta x = x=2 x = 1˙ √ x = i  1 ˙ Với y = thay vào g3 = ta được: x2 + = ⇐⇒   √ x=− i 2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: Với y = thay vào g3 = ta x2 − 3x + = ⇐⇒  (x, y) = (0; 0), (2; 1), (1; 1), √ 1 √ i 2; , − i 2; 4 26 Ví dụ 2.4.4 Giải hệ phương trình: x4 − 2x2 y + 3xy = ˙ 5x2 + 4xy − 6y = (2.4) Xét iđêan I = x4 − 2x2 y + 3xy, 5x2 + 4xy − 6y ⊂ C[x, y] Ta có sở Groebner I theo thứ tự từ điển G = {g1 , g2 , g3 } đó: g1 = 64y − 125y ; g2 = 25xy + 32y ; g3 = 125x2 − 128y − 150y y=0 125 ˙ Xét: g1 = ⇐⇒ y (64y − 125) = ⇐⇒ y= 64 Với y = thay vào g3 = ta x = 125 125 1252 Với y = thay vào g2 = ta được: 25x + 32 = suy 64 64 64 −5 x= Vậy hệ phương trình (2.2) có nghiệm: (x, y) = (0; 0), −5 125 ; 64 Nhận xét 2.4.5 Trong ví dụ này, sở Groebner gồm đa thức Ngoài đa thức g1 chứa biến y cịn có đa thức g2 , g3 chứa biến x, y Với y = thay vào g2 = ta không xác định giá trị cụ thể biến x x nhận giá trị tùy ý Vì ta phải thay y = vào g3 để tìm giá trị x = Ví dụ 2.4.6 Giải hệ  phương trình: =0 xy + yz − 2yz − 2xz + = ˙  6xy + xz − = (2.5) Xét iđêan I = xy + yz − 2, 2yz − 2xz + 3, 6xy + xz − ⊂ C[x, y, z] 27 Ta có sở Groebner I theo thứ tự từ điển G = {g1 , g2 , g3 } với: g1 = 15z − 272; g2 = −3z + 32y; g3 = −3z + 17x  51  z=3  Xét: g1 = ⇐⇒ 15z − 272 = ⇐⇒  ˙  51 z=− Với z = 51 thay vào g2 = ta được: y = 51 , thay vào g3 = ta được: x = 17 Với z = − 272 , thay vào g2 = ta y = − 15 51 51 , thay vào 51 17 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: g3 = ta x = − 17 51 ; 51 ; (x, y, z) = 51 51 , − ;− 17 Ví dụ 2.4.7 Giải hệ phương trình:  xyz − xy + 4z 2yz + xz − 2y  yz − x + 2y =0 = 0˙ =0 51 ;− 51 (2.6) Xét iđêan I = xyz − xy + 4z, 2yz + xz − 2y, yz − x + 2y ⊂ C[x, y, z] Ta có sở Groebner I theo thứ tự từ điển G = {g1 , g2 , g3 , g4 , g5 , g6 } 28 với: g1 = yz − x + 2y; g2 = xz + 2x − 6y; g3 = 3y − 2z − 8z; g4 = 3xy − 4z − 20z; g5 = x2 − 4z − 16z; g6 = z + 4z − 2z  z=0 √   z = −2 + Xét: g6 = ⇐⇒ z + 4z − 2z = ⇐⇒  ˙ √  z = −2 − Với z = thay vào g3 = ta 3y = hay y = thay vào g5 = ta x2 = hay x = √ 2√ 2√ y = − Với z = −2 + thay vào g3 = ta y = 3 √ √ thay vào g5 = ta x = 2 x = −2 √ 2√ 2√ Với z = −2 − thay vào g3 = ta y = y = − 3 √ √ thay vào g5 = ta x = 2 x = −2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: (x, y, z) = √ √ √ √ 2√ 2√ 3; −2 + , −2 2; − 3; −2 − (0; 0; 0), 2; 3 Trường hợp 2: Cơ sở Groebner có đa thức chứa tổ hợp biến xn−1 , xn Trong trường hợp này, ta cần phân tích tổ hợp biến đa thức gi phương pháp biến đổi thơng thường để giải phương trình đa thức gi = 29 Ví dụ 2.4.8 Giải hệphương trình: 4x2 − x2 z + 3xy 4yz + x2 − 6y  3x − 4y =0 = 0˙ =0 (2.7) Xét iđêan I = 4x2 − x2 z + 3xy, 4yz + x2 − 6y, 3x2 − 4y ⊂ C[x, y, z] Ta có sở Groebner I theo thứ tự từ điển G = {g1 , g2 , g3 , g4 } với: g1 = 6yz − 7y; g2 = 243y − 289y; g3 = 27xy + 34y; g4 = 3x2 − 4y Xét: g1 = ⇐⇒ y(6z − 7) = ⇐⇒ y=0 7˙ z= Với y = thay vào g4 = ta x = y=0 289 ˙ Xét: g2 = ⇐⇒ y(243y − 289) = ⇐⇒ y= 243 289 34 34 thay vào g4 = ta x = x = − Với y = 243 27 27 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: (x, y, z) = 0; 0; 34 289 7 34 289 , ; ; , − ; ; 27 243 27 243 Ví dụ 2.4.9 Giải hệ  phương trình: x2 + 3xy − 2x x2 y + 2xy  4y − 2yz + 2z =0 = 0˙ =0 (2.8) Xét iđêan I = x2 + 3xy − 2x, x2 y + 2xy, 4y − 2yz + 2z ⊂ C[x, y, z] Ta có sở Groebner I theo thứ tự từ điển G = {g1 , g2 , g3 , g4 } với: g1 = 2y − yz + z; g2 = 8xy − xz; g3 = 8x2 + 3xz − 16x; g4 = 3xz − 32xz 30  x=0  z=0 Xét: g4 = ⇐⇒ xz(3z − 32) = ⇐⇒  32 ˙ z= Với z = thay vào g1 = ta y = thay vào g3 = ta x=0 8x2 − 16x = ⇐⇒ 8x(x − 2) = ⇐⇒ x = ˙ y=4 32 32 32 4˙ thay vào g1 = ta 2y − y + = ⇐⇒ Với z = y= 3 3 thay vào g3 = ta được: x=0 8x2 + 32x − 16x = ⇐⇒ 8x(x + 2) = ⇐⇒ x = −2 ˙ 32 tiếp tục thay z = vào g2 = ta được: x=0 32 32 4˙ = ⇐⇒ 8xy − x = ⇐⇒ x 8y − y= 3 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: (x, y, z) = 32 32 , −2; ; (0; 0; 0), (2; 0; 0), 0; , 3 3 Ví dụ 2.4.10 Giải hệ phương trình:2 5x − 4xy + y x2 + xz − 6x  x y + 5xy − 4y =0 = 0˙ =0 (2.9) Xét iđêan I = −4xy + 5x + y , x2 + xz − 6x, x2 y + 5xy − 4y ⊂ C[x, y, z] Ta có sở Groebner I theo thứ tự từ điển G = {g1 , g2 , g3 , g4 , g5 } đó: g1 = y + 4yz + 5x − 24y; g2 = xy + yz − 6y; g3 = x2 + xz − 6x; g4 = yz − 17yz + 62y; g5 = xz − 17xz + 62x 31  x=0   z = 17 + √41 Xét: g5 = ⇐⇒ x(z − 17z + 62) = ⇐⇒  ˙ 2   17 √ z= − 41 2  y=0   z = 17 + √41 Xét: g4 = ⇐⇒ y(z − 17z + 62) = ⇐⇒  ˙ 2   17 √ z= − 41 2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: (x, y, z) = 0; 0; 17 √ 17 √ + − 41 , 0; 0; 41 2 2 Nhận xét 2.4.11 Các hệ phương trình ví dụ giải ứng dụng sở Groebner Việc tìm sở Groebner có chứa đa thức biến đa thức tổ hợp biến phân tích hỗ trợ ta nhanh chóng tìm nghiệm hệ Tuy nhiên, khơng phải hệ phương trình giải phương pháp ứng dụng sở Groebner Các ví dụ sau cho ta thấy điều Ví dụ 2.4.12 Giải hệphương trình: x2 + y + xy = 37 x2 + z + xz = 28 ˙  y + z + yz = 19 (2.10) Xét iđêan I = x2 + y + xy − 37, x2 + z + xz − 28, y + z + yz − 19 với I ⊂ C[x, y, z] Ta có sở Groebner I theo thứ tự từ điển G = {g1 , g2 , g3 , g4 } đó: g1 = x − 2y + z; g2 = 2yz + z − 16; g3 = 2y + z − 22; g4 = 3z + 32y − 60z Nhận xét 2.4.13 Ta thấy sở Groebner G ví dụ có 32 đa thức g1 , g2 , g3 , g4 Trong đa thức khơng có đa thức chứa biến chứa tổ hợp biến ví dụ 2.4.1 - 2.4.9 Do ta khơng thể tìm giá trị biến dẫn đến ta khơng tìm nghiệm hệ phương trình (2.10) Trong dạng hệ phương trình hốn vị, ta áp dụng phương pháp biến đổi tương đương đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình cho với kết tập nghiệm hệ là: (4; 3; 2) , (−4; −3; −2) , (x, y, z) = √ √ √ 10 3 −8 ; ; 3 Ví dụ 2.4.14 Giải hệphương trình: x6 − x2 y + y xz −  xy + 3x3 + z , √ √ √ −10 − ; ; 3 =0 = 0˙ =0 (2.11) Xét iđêan I = x6 − x2 y + y , xz − 2, xy + 3x3 + z ⊂ C[x, y, z] Ta có sở Groebner I theo thứ tự từ điển G = {g1 , g2 , g3 } đó: g1 = z 16 + 96z 12 + 3488z + 56064z + 1024z + 331776; g2 = −z 14 − 96z 10 − 3488z − 42240z + 27648y − 1024; g3 = z 15 + 96z 11 + 3488z + 56064z + 165888x + 1024z Nhận xét 2.4.15 Trong ví dụ trên, sở Groebner G vừa tìm có chứa đa thức biến g1 = z 16 + 96z 12 + 3488z + 56064z + 1024z + 331776 Khi giải phương trình đa thức g1 = ta gặp khó khăn tìm giá trị z Do ta khó giải phương trình ví dụ việc ứng dụng sở Groebner Ví dụ 2.4.16 Giải hệ phương trình: x2 − 2xy + y = x2 y − 3x − = ˙  xy − y + =0 (2.12) Xét iđêan I = x2 − 2xy + y, x2 y − 3x − 4, xy − y + ⊂ C[x, y] Ta có sở Groebner I theo thứ tự từ điển G = {1} Nhận xét 2.4.17 Cơ sở Groebner G ví dụ gồm phần tử Buchberger [3] chứng minh hệ phương trình 33 khơng giải ∈ G, với G sở Groebner sinh tập đa thức hệ phương trình 34 KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu, luận văn đạt mục đích đề Trước hết, luận văn giải vấn đề thuật toán chia đa thức nhiều biến, việc dùng tiêu chuẩn Buchberger để hình thành thuật toán chia Nắm tiêu chuẩn Buchberger thuật tốn Buchberger, ta tiếp tục tìm thấy sở Groebner iđêan I Từ luận văn trình bày vai trị sở Groebner việc giải hệ phương trình đa thức nhiều biến Tuy nhiên việc giải hệ phương trình đa thức nhiều biến ứng dụng sở Groebner gặp khó khăn khâu tính tốn dài dịng Luận văn đưa cơng cụ hỗ trợ đắc lực cho việc tìm sở Groebner Đó phần mềm Maple Nhờ phần mềm mà việc tìm sở nhanh chóng thuận tiện Để minh họa cho phần ứng dụng sở Groebner, luận văn trình bày 10 ví dụ giải hệ phương trình đa thức nhiều biến Ngồi ra, luận văn thêm ví dụ cho trường hợp hệ phương trình khơng giải áp dụng sở Groebner Luận văn khía cạnh chưa nhắc đến hệ phương trình giải sử dụng sở Groebner Đây hướng nghiên cứu luận văn 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Ngơ Việt Trung (2012), Nhập mơn Đại số giao hốn Hình học đại số, NXB Khoa học tự nhiên công nghệ Tiếng Anh [2] William Wirt Adams, Philippe Loustaunau (1994), An Introduction to Groebner Bases, American Mathematics Society [3] Bruno Buchberger (1986), Groebner Bases: An Algorithmic Method in Polynomial Ideal Theory, D.Reidel Publishing Company [4] David Archibald Cox, John Little, Donal O’Shea (2004), Using Algebraic Geometry, Springer-Verlag [5] David Archibald Cox, John Little, Donal O’Shea (1997), Ideal, varieties and Algorithms, second edition, Springer-Verlag [6] Ernst Kunz (1987), Introduction to commutative Algebra and Algebraic Geometry, Birhkhauser [7] Hideyuki Matsumura (1986), Commutative Ring Thoery, Cambridge University Press [8] Miles Reid(2013), Undergraduate Algebraic Geometry, Mathematics Institute, University of Warwick ... 2.1 Hệ phương trình đa thức Định nghĩa 2.1.1 Hệ phương trình đa thức P tập gồm phương trình fi (x1 , , xn ) = fi (x1 , , xn ) với i = 1, , m đa thức vành k[x1 , , xn ] Cho hệ phương trình đa thức. .. Buchberger tìm sở Groebner đa thức nhiều biến ứng dụng vào giải hệ phương trình đa thức nhiều biến Đối tượng phạm vi nghiên cứu Cơ sở Groebner ứng dụng giải hệ phương trình đa thức nhiều biến Phương. .. = Z(I) Theo Hệ 1.2.13, sở Groebner G hệ sinh I nên ta có Z(I) = Z(G) 2.2 Ứng dụng sở Groebner giải hệ phương trình đa thức Trước ứng dụng sở Groebner vào giải hệ phương trình đa thức nào, ta