CHUYÊN ĐỀ 5: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH LOẠI 1: BÀI TỐN LIÊN QUAN TỚI DIỆN TÍCH, TAM GIÁC, TỨ GIÁC A TĨM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢI I Các bước giải: Bước 1: Lập phương trình hệ phương trình: - Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn, điều kiện thích hợp cho ẩn - Biểu đạt đại lượng khác theo ẩn (chú ý thống đơn vị) - Dựa vào kiện, điều kiện toán để lập phương trình hệ phương trình Bước 2: Giải phương trình hệ phương trình Bước 3: Nhận định, so sánh kết tốn, dựa vào điều kiện tìm kết thích hợp, trả lời, nêu rõ đơn vị đáp số II Các công thức liên quan: Diện tích tam giác vng= tích hai cạnh góc vng Diện tích hình chữ nhật= dài nhân rộng B CÁC VÍ DỤ MẪU Diện tích hình vng= cạnh nhân cạnh Ví dụ 1: (Bắc Giang, 2015 – 2016) Nhà bạn Dũng ơng bà nội cho mảnh đất hình chữ nhật Khi bạn Nam đến nhà bạn Dũng chơi, Dũng đố Nam tìm kích thước mảnh đất biết: mảnh đất có chiều dài gấp lần chiều rộng giảm chiều rộng m, tăng chiều dài lên gấp đơi diễn tích mảnh đất tăng thêm 20 m2 Các em giúp bạn Nam tìm chiều dài chiều rộng mảnh đất nhà bạn Dũng Giải: Gọi chiều rộng mảnh đất x (m) (điều kiện: x > 2) Khi chiều dài mảnh đất là: 4x (m) Diện tích mảnh đất nhà bạn Dũng là: 4x2 (m2) Diện tích mảnh đất sau giảm chiều rộng 2m tăng chiều dài lên gấp đôi là: 8x.(x – 2) (m2) Theo ta có phương trình: 8x.(x – 2) – 4x2 = 20 Giải phương trình ta x = x = -1 Đối chiếu với điều kiện ta x = Vậy chiều rộng mảnh đất m chiều dài mảnh đất 20 m Ví dụ 2: (Bắc Ninh, 2015 – 2016) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 28 m Đường chéo hình chữ nhật dài 10 m Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật Giải: Gọi chiều dài mảnh đất hình chữ nhật a (m) ( < a < 28) Chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật b (m) (0 < a < b) Chu vi mảnh đất hình chữ nhật 28 m nên : (a + b).2 = 28  a + b = 14 (1) Đường chéo hình chữ nhật 10 m nên : a + b = 102 ⇔ a + b = 100(2)  a + b = 14  a + b = 100 Từ (1) (2) ta có hệ PT  Từ (1) => b = 14 – a thay vào (2) : a + (14 − a )2 = 100 ⇔ a + 196 − 28a + a = 100 ⇔ 2a − 28a + 96 = ⇔ a + 14a + 48 = ∆ ' = 49 − 48 = a = − = => b = 8(loai ) ⇒ a = + = => b = 6(tm) Vậy chiều dài HCN m Chiều rộng HCN m Ví dụ 3: (Yên Bái, 2016 – 2017) Từ miếng tơn phẳng hình chữ nhật có chiều dài 1,5 dm chiều rộng 1,4 dm Người ta tạo nên mặt xung quanh hộp hình trụ Trong hai cách làm, hỏi cách hộp tích lớn Giải: Cách 1: Chu vi đáy hình trụ 1,5 dm, chiều cao hình trụ h1 = 1,4 dm 1,5 r1 = = (dm), 2π 4π Hình trụ có bán kính đáy diện tích đáy   S1 = π r = π  ( dm ) ÷ = π 16 π   63 V1 = S1h1 = 1, = (dm3 ) 16π 80π Thể tích Cách 2: Chu vi đáy hình trụ 1,4 dm, chiều cao hình trụ h2 = 1,5 dm Hình trụ có 2 1, 49 49 147   = (dm); S = π r22 = π  ( dm );V2 = S h2 = 1,5 = (dm3 ) ÷ = 2π 10π 100π 200π  10π  100π Ta có V1 > V2 nên cách cho hình trụ tích lớn r2 = Ví dụ 4: (Bình Phước, 2014 – 2015) Cho mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 360 m2 Nếu tăng chiều rộng m giảm chiều dài m diện tích khơng thay đổi Tính chu vi mảnh vườn lúc ban đầu Giải: Gọi x(m) chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật (x >0) 360 ( m) Chiều dài mảnh vườn hình chữ nhật : x 360 Theo đề ta có pt: (x+2)( x -6)=360 -6x2-12x+720=0 x2+2x-120=0  x = 10(TM )   x = −12( L) Ví dụ 5: (Cà Mau, 2014 – 2015) Một hình chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng Nếu chiều dài chiều rộng tăng thêm cm hình chữ nhật có diện tích 153 cm2 Tìm chiều dài chiều rộng hình chữ nhật ban đầu 360 Với x=10=> x =36.Chu vi mảnh vườn : 2(10+36) = 92 (m2) Giải: Gọi x chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu (x > 0) (cm) Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu: 3x (cm) Chiều rộng hình chữ nhật lúc sau: x + (cm) Chiều dài hình chữ nhật lúc sau: 3x + (cm) Theo đề ta có phương trình: (x + 5)(3x + 5) = 153 −32 < 0( L)  3x2 + 20x – 128 =  x = (thỏa mãn) hay x = Vậy chiều dài chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là: 12 cm cm Ví dụ 6: (Đà Nẵng, 2015 – 2016) Một miếng bìa hình chữ nhật có chiều rộng chiều dài Nếu chiều rộng giảm 1cm chiều dài giảm 4cm diện tích nửa diện tích ban đầu Tính chu vi miếng bìa Giải: Gọi chiều dài hình chữ nhật x (cm) (x > 4) 3 Vì chiều rộng chiều dài nên chiều rộng hình chữ nhật x(cm) Diện tích hình chữ nhật ban đầu x2(cm2) Khi giảm chiều rộng 1cm giảm chiều dài 4cm diện tích hình chữ nhật ( x − 1)( x − 4)(cm ) Diện tích hình chữ nhật nửa diện tích ban đầu nên ta có phương trình: 3 ( x − 1)( x − 4) = x 5 17 x − x + = 10  x = 10(TM )   x = ( L)  Chiều dài chiều rộng hình chữ nhật ban đầu 10cm 10=6cm Ví dụ 7: (Hà Nội, 2016 – 2017) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720 m2 Nếu tăng chiều dài thêm 10 m giảm chiều rộng m diện tích mảnh vườn khơng đổi Tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn Chu vi miếng bìa 2.(10 + 6) = 32 (cm) Giải: Gọi chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật x (x>0; đơn vị: m) 720 Vì diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật 720 m2 nên chiều dài là: x (m) Sau thay đổi kích thước: Chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật là: x – (m) 720 Chiều dài của mảnh vườn hình chữ nhật là: x +10 (m) Vì diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật khơng đổi nên ta có phương trình: 720 (x-6).( x +10)=720 =>(x-6)(72+x)=72x x2-6x-432=0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=24 (thỏa mãn điều kiện); x2=-18 (loại) Vậy chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật 24 m; chiều dài mảnh đất hình chữ nhật là: 720:24 = 30 (m) Ví dụ 8: (Hải Phịng, 2013 – 2014) Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn chiều rộng m diện tích 270 m2 Tìm chiều dài, chiều rộng khu vườn Giải: Gọi chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật x (m) (x > 0) Vì chiều dài lớn chiều rộng m nên chiều dài hình chữ nhật x+3 (m) Lại có diện tích hình chữ nhật 270 m2 nên ta có phương trình: x(x+3)=270 x2+3x-270=0 (x-15)(x+18)=0 x = 15 (TMDK x > 0) x = -18 (loại x > 0) Vậy chiều rộng hình chữ nhật 15 m chiều dài hình chữ nhật 15 + = 18 (m) Ví dụ 9: (Hải Phịng, 2016 – 2017) Cho tam giác vng có cạnh huyền 20 cm Hai cạnh góc vng có độ dài cm Tính độ dài cạnh góc vng tam giác vng Giải: Gọi độ dài cạnh góc vng nhỏ tam giác vng x (cm) (x > 0) Cạnh góc vng lớn tam giác vng dài x + (cm) Theo Pitago, cạnh huyền tam giác vng dài Vì cạnh huyền 20cm nên x + ( x + 4) = 400 x + ( x + 4) 2 x + ( x + 4) (cm) =20 x + x − 384 = x = 12 (tm) x = –16 (loại) Vậy độ dài cạnh góc vng tam giác vng 12cm 12 + = 16cm Ví dụ 10: (Hưng Yên, 2014 – 2015) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 12 m Nếu tăng chiều dài thêm 12 m chiều rộng thêm m diện tích mảnh vườn tăng gấp đơi Tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn Giải: Gọi chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật x (m) ĐK : x > Thì chiều dài khu vườn hình chữ nhật : x + 12 (m) Diện tích khu vườn là: x(x + 12) ( m2) Nếu tăng chiều dài 12m chiều rộng lên 2m : Chiều dài : x + 12 + 12 = x + 24 (m) Chiều rộng : x + (m) Diện tích hình chữ nhật : ( x +2)( x + 24) (m2) Vì diện tích sau thay dổi gấp đơi diện tích ban đầu nên : (x +2)( x + 24) = 2x( x+ 12)  x2 -2x – 48 =  ∆ ' = (−1) − 1( −48) = 49 > => ∆ ' =  x1 =  x = −6  Vậy chiều rộng khu vườn hình chữ nhật 8(m), chiều dài khu vườn 20m C BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Bài toán 1: (Lạng Sơn, 2013 – 2014) Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng m Tính kích thước mảnh đất, biết diện tích mảnh đất 150 m Giải: Gọi chiều rộng mảnh đất a (m), a > Khi ta có chiều dài mảnh đất a + (m) Theo ta có diện tích mảnh đất 150 m2 nên: a(a-15)=150=>a=10(tm) ; a=-15 (loại) Vậy chiều rộng 10m, chiều dài 15 m Bài toán 2: (Nghệ An, 2013 – 2014) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 100 m Nếu tăng chiều rộng m giảm chiều dài m diện tích mảnh vườn giảm m2 Tính diện tích mảnh vườn Giải: Gọi x (m) chiều rộng mảnh vườn ( 0 0) Chiều rộng ban đầu ruộng b (m) (0 168 Thì chiều rộng mảnh vườn x (m) Nếu giảm chiều dài m tăng chiều rộng thêm m mảnh vườn có: -chiều dài x-1(m) 168 +1 -chiều rộng x (m) 168 +1 Vì mảnh vườn trở thành hình vng lên có phương trình x =x-1 => 168 + x = x − x x − x − 168 = ( x − 14)( x + 12) =  x = 14(TM )   x = −12( L) Vậy mảnh vườn có chiều dài 14m,chiều rộng 168:14=12 m Bài toán 6: (Vĩnh Phúc, 2015 – 2016) Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 360 m2 Nếu tăng chiều dài thêm m tăng chiều rộng thêm m diện tích mảnh vườn 400 m2 Xác định chiều dài chiều rộng mảnh vườn ban đầu Giải: Gọi chiều dài mảnh đất hình chữ nhật x (m); chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật y (m) (điều kiện: x > y > 0) Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu 360 m2 Khi tăng chiều dài thêm m, tăng chiều rộng thêm m diện tích mảnh vườn 400 m2 Tức là: Chiều dài: x +1 (m) ; chiều rộng: y + (m) Khi diện tích hình chữ nhật là: (x + 1)(y + 1) = 400  xy + x + y +1 = 400  x + y = 39 (2) Từ (1) (2) ta có hệ:  x + y = 39   xy = 360 Theo Vi-et x, y nghiệm phương trình: X2 – 39X + 360 = Giải phương trình ta hai nghiệm: X1 = 15; X2 = 24 Vậy chiều dài hình chữ nhật ban đầu 24 cm, chiều rộng 15 cm Bài tốn 7: (Phổ thơng khiếu, 2015 – 2016) Cho tam giác vuông Nếu ta tăng độ dài cạnh góc vng thêm cm diện tích tăng thêm 33 cm2; giảm độ dài cạnh góc vng cm tăng độ dài cạnh góc cịn lại thêm cm diện tích giảm cm2 Hãy tính độ dài cạnh tam giác vng Giải: Gọi độ dài cạnh góc vng tam giác vuông x, y (cm) (giả sử toán giảm 2cm cạnh x) (x > 2, y > 0) xy Diện tích tam giác vng ban đầu (cm2) ( x + 3)( y + 3)(cm ) Khi tăng cạnh góc vng thêm 3cm diện tích tam giác vng Theo ta có phương trình: 1 ( x + 3)( y + 3) − xy = 33 2 (1) ( x − 2)( y + 1)(cm ) Khi giảm cạnh x 2cm, tăng cạnh y thêm 1cm diện tích tam giác vng Theo ta có phương trình: 1 xy − ( x − 2)( y + 1) = 2(2) 2 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: 1  ( x + 3)( y + 3) − xy = 33  x + y = 19  x = 12    − x + y = y =  xy − ( x − 2)( y + 1) =  2 (thỏa mãn điều kiện) Độ dài cạnh góc vuông tam giác vuông 12cm 7cm 2 ⇒ Độ dài cạnh huyền 12 + = 193 (cm) Bài toán 8: (Đề đề xuất THCS Khánh Hịa, 2013 – 2014) Một hình chữ nhật có chiều rộng nửa chiều dài Biết giảm chiều m diện tích hình chữ nhật cho giảm nửa Tính chiều dài hình chữ nhật cho Giải: Gọi chiều dài hình chữ nhật cho x (m), với x > x Vì chiều rộng nửa chiều dài nên chiều rộng là: (m) x x2 x = => diện tích hình chữ nhật cho là: 2 (m2) Nếu giảm chiều m chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật là: x − va x −2 (m) đó, diện tích hình chữ nhật giảm nửa nên ta có phương trình: x x2 ( x − 2)( − 2) = ⋅ 2 2 x x2 ⇔ − 2x − x + = ⇔ x − 12 x + 16 = => x1 = + (thoả mãn x>4); x = − (loại khơng thoả mãn x>4) Vậy chiều dài hình chữ nhật cho + (m) Bài toán 9: (Đồng Nai, 2012 – 2013) Một đất hình chữ nhật có chu vi 198 m , diện tích 2430 m2 Tính chiều dài chiều rộng đất hình chữ nhật cho Bước 3: Nhận định, so sánh kết tốn, tìm kết thích hợp, trả lời, nêu rõ đơn vị đáp số II Các lưu ý thêm : - Toán nồng độ dung dịch: Biết m lít chất tan M lít dung dịchthì nồng độ phàn trăm m 100% M - Toán nhiệt lượng: + m Kg nước giảm t0C toả nhiệt lượng Q = m.t (Kcal) + m Kg nước tăng t0C thu vào nhiệt lượng Q = m.t (Kcal) A = A( + r) - Toán lãi suất : n chu kỳ ( năm, tháng, ) n với An : vốn sau n chu kỳ (năm, tháng, ); A : vốn ban đầu; n số B CÁC VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1: [Sở GD _ ĐT Ninh Thuận năm 2015 - 2016] Một phịng học có 10 băng ghế Học sinh lớp 9A xếp chỗ ngồi băng ghế Nếu bớt băng ghế, băng ghế phải bố trí thêm học sinh ngồi đảm bảo chỗ ngồi cho tất học sinh lớp Hỏi lớp 9A có học sinh Giải: Gọi số học sinh lớp 9A x (học sinh) ( x ∈ ¥ * ) x Nếu có 10 băng ghế băng có số học sinh 10 (học sinh) x Nếu bớt băng ghế, cịn băng băng có số học sinh (học sinh) Theo ta có phương trình: x x 1 − = ⇔ ( − )x = ⇔ x = ⇔ x = 40 10 10 40 Vậy lớp 9A có 40 học sinh Ví dụ 2: [Sở GD ĐT Cần Thơ năm 2015 - 2016] Nhân ngày quốc tế thiếu nhi, 13 HS ( nam nữ) tham gia gói 80 phần quà cho em thiếu nhi Biết tổng số quà mà HS nam gói tổng số quà mà HS nữ gói Số quà bạn nam gói nhiều số quà mà bạn nữ gói phần Tính số HS nam nữ Giải: Gọi x (HS) số HS nam ĐK: < x < 13, x nguyên Số HS nữ là: 13 – x ( HS) 40 Số phần quà mà HS Nam gói được: x (phần) 40 Số phần quà mà HS nữ gói được: 13 − x (phần) Theo tốn ta có phương trình: 40 40 − = ⇔ 40(13 − x ) − 40 x = x(13 − x ) ⇔ x − 119 x + 520 = x 13 − x Giải phương trình ta x = Vậy số HS nam 5, số HS nữ Ví dụ 3: [Sở GD _ ĐT TP HCM 2016 - 2017] : Ông Sáu gửi số tiền vào ngân hàng theo mức lãi suất tiết kiệm với kỳ hạn năm 6% Tuy nhiên sau thời hạn năm ông Sáu không đến nhận tiền lãi mà để thêm năm lãnh Khi số tiền lãi có sau năm ngân hàng cộng dồn vào số tiền gửi ban đầu để thành số tiền gửi cho năm với mức lãi suất cũ Sau năm ông Sáu nhận số tiền 112.360.000 đồng (kể gốc lẫn lãi) Hỏi ban đầu ông Sáu gửi tiền ? Giải: Gọi số tiền ông Sáu gửi ban đầu x ( đồng, x > ) Theo đề ta có: Số tiền lãi sau năm ơng Sáu nhận là: 0, 06x ( đồng) Số tiền có sau năm ơng Sáu là: x + 0, 06 x = 1, 06 x ( đồng) Số tiền lãi năm thứ ông Sáu nhận là: 1, 06 x.0, 06 = 0, 0636 x ( đồng) Do số tiền tổng cộng sau năm ông Sáu nhận là: 1, 06 x + 0, 0636 x = 1,1236 x ( đồng) Mặt khác: 1,1236 x = 112360000 nên x = 100000000 ( đồng) hay 100 triệu đồng Vậy ban đầu ông Sáu gửi 100 triệu đồng Ví dụ 4: [Chuyên Trần Hưng Đạo, 2015 – 2016] Một bác nông dân đem trứng chợ bán Tổng số trứng bán tính sau: Ngày thứ bán trứng 1/8 số trứng lại Ngày thứ hai bán 16 trứng 1/8 số trứng lại Ngày thứ ba bán 24 trứng 1/8 số trứng lại … Cứ ngày cuối bán hết trứng thật thú vị, số trứng bán ngày nhua Hỏi tổng số trứng bán bán hết ngày? Giải: Gọi x số trứng bán ( x ∈ N ) thì: * Số trứng bán ngày thứ : 8+ x −8 x −8  x − 16 + + ÷   16 + Số trứng bán ngày thứ hai : x −8  x − 16 + + ÷ x −8   16 + 8+ 8 = Theo đề tốn ta có phương trình: Giải phương trình ta x = 392 Vậy tổng số trứng bán 392 trứng x −8 8+ =56 Số trứng bán ngày Số ngày 392:56=7 ngày Ví dụ 5: [Sở GD _ ĐT Kiên Giang năm 2015 - 2016] Một tổ công nhân phải may xong 420 đồng phục khoảng thời gian định Nếu thêm công nhân vào tổ người may lúc ban đầu đồng phục Tính số cơng nhân có tổ lúc đầu Giải: Gọi số cơng nhân tổ lúc đầu x (cơng nhân) số công nhân tổ lúc sau x + (công nhân) 420 Suy số đồng phục người phải may lúc đầu x (bộ) 420 Suy số đồng phục người phải may lúc sau x + (bộ) 420 420 Theo đề ta có x = x + +7 ⇔ x + 3x − 180 = Vậy số công nhân tổ lúc đầu 12 người Ví dụ 6: [Sở GD _ ĐT Bình Dương 2016 - 2017] Một công ty vận tải dự định dùng loại xe lớn để chở 20 rau theo hợp đồng Nhưng vào việc, công ty khơng cịn xe lớn nên phải thay xe có trọng tải nhỏ Để đảm bảo thời gian hợp đồng, công ty phải dùng số lượng xe nhiều số xe dự định xe Hỏi trọng tải xe nhỏ tấn? Giải: ( x > 0) Gọi trọng tải xe nhỏ x (tấn) Trọng tải xe lớn x + (tấn) 20 20 Số xe (lớn) dự định phải dùng x + (xe); số xe (nhỏ) thực tế phải dùng x (xe) Vì số xe nhỏ thực tế phải dùng nhiều dự định xe nên: 20 20 − =1 x x +1 20 = ⇔ x( x + 1) = 20 ⇔ ( x + 5)( x − 4) = x ( x + 1)  x = 4(TM ) ⇔  x = −5( L) Vậy trọng tải xe nhỏ Ví dụ 7: [Chun Kiên Giang-2012-2013] Một phịng họp có 360 chỗ ngồi chia thành dãy có số chỗ ngồi Nếu thêm cho dãy chỗ ngồi bớt dãy số chỗ ngồi phịng khơng thay đổi Hỏi ban đầu số chỗ ngồi phòng họp chia thành dãy? Giải: Gọi x (dãy) số dãy ghế lúc đầu chia từ số chỗ ngồi phịng họp (Đk: x ∈ ¥ * x > 360 Số chỗ ngồi dãy lúc đầu: x (chỗ) Do thêm cho dãy chỗ ngồi bớt dãy số chỗ ngồi phịng khơng thay đổi nên ta  x = 18 360 ⇔ ( +4) ( x – 3) = 360 ⇔ x – 3x – 270 =  x = -15 (l) có phương trình: x Vậy lúc đầu số chỗ ngồi phòng họp chia thành 18 dãy Ví dụ 8: [Sở GD _ ĐT Nghệ An năm 2015 - 2016] Số tiền mua dừa long 25 nghìn đồng Số tiền mua dừa long 120 nghìn đồng Hỏi giá dừa giá long ? Biết dừa có long có Giải: Gọi x, y (nghìn) giá dừa long Điều kiện : < x ; y < 25 x + y =  Theo ta có hệ phương trình 5 x + y = 120 Giải ta : x = 20, y = (thỏa mãn điều kiện toán) Vậy : Giá dừa 20 nghìn Giá long nghìn Ví dụ 9: [Sở GD _ ĐT Hịa Bình năm 2015 - 2016] Năm học 2014 – 2015 hai trường A B có tổng số 390 học sinh thi đỗ vào đại học đạt tỉ lệ 78%, biết trường A có tỉ lệ đỗ đại học 75%, trường B có tỉ lệ đỗ đại học 80% Tính số học sinh dự thi đại học năm học 2014 – 2015 trường Giải: Gọi số học sinh dự thi đại học trường A trường B x y (học sinh) (x, y ∈ N *) Tổng số học sinh trường thi đỗ 390 tỉ lệ đỗ đại học hai trường 78% ⇒ Số học sinh dự thi đại học hai trường 390 : 78% = 500 (em) Suy x + y = 500 (1) Tỉ lệ đỗ đại học trường A 75% ⇒ Trường A có 0,75x học sinh đỗ đại học Tỉ lệ đỗ đại học trường B 80% ⇒ Trường A có 0,8x học sinh đỗ đại học Suy 0,75 x + 0,8 y = 390 (2) Từ (1) (2) giải hệ phương trình ta có x = 200; y = 300 Vậy số học sinh dự thi đại học trường A trường B 200 300 học sinh Ví dụ 10: [Sưu tầm] Khi thêm 200g Axít vào dung dịch Axít dung dịch có nồng độ A xít 50% Lại thêm 300gam nước vào dung dịch ,ta dung dịch A xít có nồng độ là40%.Tính nồng độ A xít dung dịch Giải: Khối lượng nước dung dịch x gam, khối lượng A xít dung dịch y gam Sau thêm, 200 gam A xít vào dung dịch A xít ta cólượng A xít là: ( y + 200) gam nồng y + 200 = độ 50% Do tacó: y + 200 + x ⇒ x − y = 200 (1) Sau thêm 300 gam nước vào dung dịch khối lượng nước là: (x + 300) gam nồng độ y + 200 = 40%(=2/5) nên ta có: y + 200 + x + 300 ⇒ x − y = (2) 400 = 40% Giải hệ (1) (2) ta x = 600; y = 400 Vậy nơng độ A xít là: 600 + 400 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Câu 1: [Sở GD _ ĐT Quảng Ninh năm 2014 - 2015] Một phòng họp có 360 ghế xếp thành hàng hàng có số ghế ngồi Một phịng họp có 360 ghế xếp thành hàng hàng có số ghế ngồi thêm ghế đủ chỗ Tính xem lúc đầu phịng họp có hàng ghế hàng có ghế? (Biết hàng ghế khơng có nhiều 20 ghế) Giải: Gọi số hàng ghế x ( x ∈ ¥ * , x < 360 ) Gọi số ghế hàng ban đầu y ( y ∈ ¥ *, y ≤ 20) Vì 360 ghế xếp thành x hàng hàng có y ghế nên ta có phương trình: xy = 360 ( 1) Phải kê thêm hàng ghế nên số hàng ghế sau x + (hàng) Mỗi hàng ghế phải kê thêm ghế nên số ghế hàng sau y + (ghế) Vì 400 người ngồi đủ x + hàng , hàng y + ghế nên ta có phương trình: ( x + 1) ( y + 1) = 400 ( ) Từ (1), (2) ta có hệ phương trình:  xy = 360  xy = 260 ⇔  ( x + 1)( y + 1) = 400  xy + x + y + = 400  x + y = 39 ( x; y ) = (24;15)(TM ) ⇔ ⇔  xy = 360  ( x; y ) = (15; 24)(L) Vậy có 15 hàng, hàng 24 ghế Câu 2: [ Sở GD _ ĐT Nghệ Anh 2016 - 2017] Trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Nghệ An, phịng có 24 thí sinh dự thi Các thí sinh làm tờ giấy thi Sau thu cán coi thi đếm 33 tờ giấy thi làm thí sinh gồm tờ tờ giấy thi Hỏi phịng thi có thí sinh làm gồm tờ giấy thi, thí sinh làm gồm hai tờ giấy thi? (Tất thí sinh nạp thi) Giải: Gọi số thí sinh làm gồm tờ giấy thi x (thí sinh) (x ∈N*, x < 24) Số học sinh làm gồm tờ giấy thi y (thí sinh) (y ∈N*, y < 24) phịng có 24 thi sinh dự thi ta có: x + y = 24 (1) Sau thu cán coi thi đếm 33 tờ giấy thi nên ta có phương trình: x + 2y = 33 (2)  x + y = 24  x = 15  (TM )  x + y = 33 y =   Từ (1) (2) ta có hệ Vậy số học sinh làm tờ tờ giấy thi 15 học sinh Câu 3: [ Sở GD _ ĐT Hịa Bình năm 2014 - 2015] Có hai can đựng dầu, can thứ chứa 38 lít can thứ hai chứa 22 lít Nếu rót từ can thứ sang cho đầy can thứ hai lượng dầu can thứ cịn lại nửa thể tích Nếu rót từ can thứ hai sang cho đầy can thứ lượng dầu can thứ hai cịn lại phần ba thể tích Tính thể tích can Giải: ( x > 38, y > 22 ) Gọi thể tích can thứ can thứ hai x y (lít) y – 22 (lít), nên can x = ( 60 – y ) ⇔ x + y = 120 Rót từ can sang cho đầy can 2, lượng rót 38 – ( y – 22 ) = 60 – y (lít), nửa thể tích can (1) 22 – ( x – 38 ) = 60 – x Rót từ can sang cho đầy can 1, lượng rót x – 38 (lít), nên can cịn (lít), phần ba thể tích can y = ( 60 – x ) ⇔ 3x + y = 180 Từ (1) (2), giải hệ ta có x = 48; y = 36 (tm) Vậy thể tích can thứ can thứ hai 48 lít 36 lít Câu 4: [ Sở GD _ ĐT Bắc Giang năm 2014 - 2015] (2) Hai lớp A 9B có tổng số 82 học sinh Trong dịp tết trồng năm 2014, học sinh lớp A trồng cây, học sinh lớp 9B trồng nên hai lớp trồng tổng số 288 Tính số học sinh lớp Giải: Gọi x, y số học sinh lớp A lớp 9B ( x, y ∈ ¥ , x , y < 82) Tổng số học sinh hai lớp 82 ⇒ x + y = 82 (1) Mỗi học sinh lớp A 9B trồng nên tổng số hai lớp trồng 3x + y (cây) Theo ta có 3x + y = 288 (2)  x = 40  Giải hệ hai phương trình (1) (2) ta có  y = 42 (thỏa mãn) Vậy số học sinh lớp A 9B 40 42 Câu 5: [Kiên Giang, 2012-2013] Trong đợt quyên góp ủng hộ người nghèo, lớp 9A 9B có 79 học sinh quyên góp 975000 đồng Mỗi học sinh lớp 9A đóng góp 10000 đồng, học sinh lớp 9B đóng góp 15000 đồng Tính số học sinh lớp Giải: *  x < 79) Gọi x số học sinh lớp 9A ( x ∈ ¥ va # ⇒ Số học sinh lớp 9B là: 79 – x (học sinh) Lớp 9A quyên góp được: 10000x (đồng) 15000 ( 79 – x ) Lớp 9B quyên góp được: (đồng) Do hai lớp quyên góp 975000 đồng nên ta có phương trình: 10000 x + 15000 ( 79 – x ) = 975000 ⇔ 10 x + 15 ( 79 – x ) = 975 − x = −210 x = 42 Vậy lớp 9A có 42 học sinh; lớp 9B có: 79 – 42 = 37 (học sinh) Câu 6: [Lạng Sơn, 2012-2013] Trong tháng niên Đoàn trường phát động giao tiêu chi đoàn thu gom 10kg giấy vụn làm kế hoạch nhỏ Để nâng cao tinh thần thi đua bí thư chi đồn 10A chia đoàn viên lớp thành hai tổ thi đua thu gom giấy vụn Cả hai tổ tích cực Tổ thu gom vượt tiêu 30%, tổ hai gom vượt tiêu 20% nên tổng số giấy chi đoàn 10A thu 12,5 kg Hỏi tổ bí thư chi đồn giao tiêu thu gom kg giấy vụn? Giải: Gọi số kg giấy vụn tổ bí thư chi đồn giao x (kg) ( Đk : < x 7) x−7 x ⇔ 420 x − 420( x − 7) = 3x ( x − 7) ⇔ 3x − 21x − 2940 = ⇔ x − x − 980 = ⇔ ( x − 35)( x + 28) =  x = 35(TM ) ⇔  x = −28( L) Vậy lớp 9A có 35 học sinh Câu 10: Phải dùng lít nước sơi 1000C lít nước lạnh 200C để có hỗn hợp 100lít nước nhiệt độ 400C Giải: Gọi khối lượng nước sơi x Kg khối lượng nước lạnh là: 100 – x (kg) Nhiệt lương nước sôi toả hạ xuống đến 400C là: 0 Nhiệt lượng nước lạnh tăng từ 20 C đến 40 C là: x ( 100 – 40 ) = 60 x   ( 100 – x ) 20 (Kcal) (Kcal) 60 x = ( 100 – x ) 20 Vì nhiệt lượng thu vào nhiệt lượng toả nên ta có : x = 25 25 75 Giải ta có: Vậy khơí lượng nước sơi Kg; nước lạnh Kg tương đương với 25 lít 75 lít Câu 11: Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trương Sa” đội tàu dự định chở 280 hàng đảo Nhưng chuẩn bị khởi hành số hàng hóa dẫ tăng thêm so với dự định Vì đội tàu phải bổ sung thêm tàu mối tàu chở dự định hàng Hỏi dự định đội tàu có tàu, biết tàu chở số hàng nhau? Giải: Gọi x (chiếc) số tàu dự định đội ( x ∈ ¥ *, x < 140) số tàu tham gia vận chuyển x + (chiếc) 280 Số hàng theo dự định: x (tấn) 286 Số hàng thực tế: x + (tấn) 280 286 − =2 x +1 Theo đề ta có pt: x 280 ( x + 1) − 286 x = x ( x + 1) ⇔ x + x − 140 =  x = 10  ⇔  x = −14(l ) Vậy đội tàu lúc đầu 10 Câu 12: Tìm hai số biết tổng 19 tổng bình phương chúng 185 Giải: ( < x < 19 ) Gọi số thứ x , Ta có số thứ hai 19 − x Vì tổng bình phương chúng 185 ta có phương trình : x + ( 19 − x ) = 185  x = 11 x + ( 19 − x ) = 185 ⇔ x − 19 x + 88 = ⇔  x = Giải phương trình ta Vậy hai số phải tìm 11 Câu 13: Trong dịp kỷ niệm 57 năm thành lập nước CHXHCNVN, 180 học sinh điều tham quan diễu hành, người ta tính : dùng loại xe lớn chuyên chở lượt hết số họ sinh phải điều động dùng loại xe nhỏ Biết ghế ngồi học sinh xe lớn nhiều xe nhỏ 15 chỗ ngồi Tính số xe lớn, loại xe huy động Giải: Gọi số xe lớn x ( ), x nguyên dương Ta có số xe nhỏ x + 180 Ta có số học sinh xe lớn chở x (hs) 180 Ta có số học sinh xe nhỏ chở x + (hs) Vì xe lớn nhiều xe nhỏ 15 chỗ ngồi, ta có phương trình : 180 180 − = 15 x x+2 Giải phương trình ta x = Vậy số xe lớn Câu 14: Năm ngoái dân số hai tỉnh A B triệu người Dân số tỉnh A năm tăng 1, 2% tỉnh B tăng 1,1% , tổng dân số hai tỉnh năm 4045000 người Tính dân số tỉnh năm ngoái năm Giải: Gọi dân số năm ngoái tỉnh A x ( x nguyên dương ), x < triệu Gọi dân số năm ngoái tỉnh B y ( y nguyên dương ), y < triệu Vì dân số năm ngối hai tỉnh triệu nên ta có phương trình (1) : x + y = Vì dân số năm tỉnh A tăng 1, 2% , tỉnh B tăng 1,1% ta có phương 1, x 1,1 y + = 0, 045 trình (2) : 100 100 x + y =  1, x 1,1 y + = 0, 045  Theo đề ta có hệ phương trình :  100 100 ;  x = 1012000  y = 3033000 Giải hệ phương trình ta :  Vậy dân số tỉnh A 1012000 người, tỉnh B 3033000 người Câu 15: Một phòng họp có 360 Ghế ngồi xếp thành dãy số Ghế dãy Nếu số dãy tăng thêm số Ghế dãy tăng thêm 1, phịng có 400 Ghế Hỏi phịng họp có dãy Ghế, dãy có ghế Giải: Gọi số dãy ghế phòng học x ( dãy), x nguyên dương 360 Ta có số người dãy là: x người Số dãy ghế sau tăng thêm dãy là: ( x + 1) 360 +1 x Số người sau tăng thêm người dãy là: Vì sau tăng số dãy tăng thêm số ghế dãy tăng thêm 1, phịng có 400 Ghế ( x + 1) ( +1) = 400 ; Giải PTBH ta : x1 = 15, x2 = 24 ta có phương trình: Vậy số dãy 15 số ghế dãy 24… Câu 16: Một đội máy kéo dự định ngày cày 40 Khi thực ngày cày 52 ha, đội cày xong trước thời hạn ngày mà cịn cày thêm Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch Giải: Gọi diện tích mà đội phải cày theo kế hoạch x , ( ), x Thời gian đội dự định cày là: 40 ( ) Diện tích mà đội thực cày là: ( x + 4) ( x > 0) ( ) x+4 Thời gian mà đội thực cày là: 52 ( giờ) x x+4 − =2 40 52 Vì thực đội đẵ cày xong trước thời hạn ngày ta có phương trình: x = 360 Giải PTBN ta Vậy diện tích mà đội dự định cày theo kế hoạch là: 360 Câu 17: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I sản xuất vượt mức kế hoạch 18% tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ Giải: Gọi x số sản phẩm tổ I hoàn thành theo kế hoạch (sản phẩm), đk < x < 600 Số sản phẩm tổ II hoàn thành theo kế hoạch 600 – x (sản phẩm) 18 x Số sản phẩm vượt mức tổ I 100 (sản phẩm) 21 (600 − x ) 100 (sản phẩm) Số sản phẩm vượt mức tổ II Vì số sản phẩm vượt mức kế hoạch hai tổ 120 sản phẩm ta có pt 18x 21(600 − x ) + = 120 100 100  x = 20 (thoả mãn yêu cầu toán) Vậy số sản phẩm theo kế hoạch tổ I 200 (sản phẩm) Vậy số sản phẩm theo kế hoạch tổ II 400 (sản phẩm) Câu 18: Người ta trộn 8g chất lỏng với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ 0,2g/cm để hỗn hợp có khối lượng riêng 0,7g/cm Tìm khối lượng riêng chất lỏng Giải: Gọi khối lượng riêng chất lỏng thứ x (g/cm3) Đk x > 0, Khối lượng riêng chất lỏng thứ x – 0, (g/cm3) (cm3 ) x Thể tích chất lỏng thứ (cm3 ) Thể tích chất lỏng thứ hai x − 0, + (cm3 ) Thể tích hỗn hợp x x + 0, 14 + = ⇔ 14x2 − 12, 6x + 1,12 = Theo ta có pt x x + 0, 0, Giải pt ta kết x1 = 0,1 (loại) ; x2 = 0,8 (t/m đk) Vậy khối lượng riêng chất lỏng thứ 0,8 (g/cm3) Khối lượng riêng chất lỏng thứ hai 0,6 (g/cm3) Câu 19: [THPT Chuyên Lương Văn Tụy - Ninh Bình năm 2014 - 2015] Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình: Một phịng họp có 440 ghế (mỗi ghế chỗ ngồi) xếp thành dãy, dãy có số ghế Trong buổi họp có 529 người tham dự nên ban tổ chức phải kê thêm dãy ghế dãy tăng thêm ghế so với ban đầu vừa đủ chỗ ngồi Tính số dãy ghế có phòng họp lúc đầu Giải: Gọi số dãy ghế ban đầu x (dãy) ( x ∈ ¥ *) Gọi số ghế dãy ban đầu y (ghế) ( y ∈ ¥ *) Số ghế phòng họp x y (ghế) Theo ta có phương trình xy = 440   (1) Khi kê thêm dãy ghế dãy tăng thêm ghế so với ban đầu tổng số ghế phòng họp ( x + 3) ( y + 1) (ghế) Số ghế vừa đủ chỗ ngồi cho 529 người nên: ( x + 3) ( y + 1) = 529 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình :  xy = 440  xy = 440  xy = 440 ⇔ ⇔  ( x + 3)( y + 1) = 529  xy + x + y + = 529  x + y = 86  x = 86 − y ⇔ (86 − y ) y = 440(*) (*) ⇔ y − 86 y + 440 = ⇔ ( y − 22)(3 y − 20) =  y = 22(TM ) ⇒ x = 20 ⇔ 20 y = ( L)  Vậy lúc đầu có 20 dãy ghế, dãy có 20 ghế Câu 20: [THPT Năng Khiếu HCM năm 2015 - 2016] Bạn An dự định khoảng thời gian từ ngày 1/3 đến ngày 30/4 giải ngày toán Thực kế hoạch thời gian, vào khoảng cuối tháng (tháng có 31 ngày) An bị bệnh, phải nghỉ giải toán nhiều ngày liên tiếp Khi hồi phục, tuần đầu An giải 16 bài; sau đó, An cố gắng giải ngày đến 30/4 An hồn thành kế hoạch định Hỏi An phải nghỉ giải toán ngày? Giải: Từ / đến 30 / có 61 ngày Số toán theo kế hoạch mà An phải giải 61.3 = 183 (bài) Gọi: số ngày An giải toán theo kế hoạch x (ngày) Trong thời gian này, An giải 3x (bài) số ngày An nghỉ giải toán y (ngày) ( x, y ∈ ¥ *, ≤ x ≤ 30, y bé nhất) Khi số ngày An giải ngày 61 – – x – y = 54 – x – y (ngày) Trong thời gian này, An giải ( 54 – x – y ) (bài) 3x + 16 + ( 54 – x – y ) Vậy tổng số An giải Theo ta có phương trình: x + 16 + 4(54 − x − y ) = 183 ⇔ x + y = 49 ⇔ y = Vì ≤ x ≤ 30 ⇒ y = 49 − x 49 − 30 19 ≥ = 4 (bài) 49 − x y số nguyên, bé ⇒ y = ⇒ x = 29 Vậy An phải nghỉ ngày D BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài toán : Một phịng họp có 360 Ghế ngồi xếp thành dãy số Ghế dãy Nếu số dãy tăng thêm số Ghế dãy tăng thêm 1, phịng có 400 Ghế Hỏi phịng họp có dãy Ghế, dãy có ghế ? Đáp số: 15 dãy; 24 ghế Bài toán : Cho số có hai chữ số Tìm số đó, biết tổng hai chữ số nhỏ số lần, thêm 25 vào tích hai chữ số số theo thứ tự ngược lạivới số đẵ cho Đáp số: 54 Bài toán : Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất 800 chi tiết máy Sang tháng thứ hai tổ vượt mức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 20%, cuối tháng hai tổ sản xuất 945 chi tiết máy Hỏi tháng đầu, tổ công nhân sản xuất chi tiết máy Đáp số: Tổ I : 300, tổ II : 500 Bài tốn : Tìm tất số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng đơn vị nhỏ chữ số hàng chục tích hai chữ số ln lớn tổng hai chữ số 34 Đáp số: 86 Bài tốn : Tìm hai số biết tổng hai số 17 đơn vị Nếu số thứ tăng thêm đơn vị, số thứ hai tăng thêm đơn vị tích chúng 105 đơn vị (trích Đề thi tuyển sinh THPT 2003-2004, tỉnh Vĩnh Phúc) Đáp số: 12 và 13 Bài toán : Một phịng họp có 100 người xếp ngồi ghế Nếu có thêm 44 người phải kê thêm hai dãy ghế dãy ghế phải xếp thêm hai người Hỏi lúc đầu phịng họp có dãy ghế? Đáp số: 10 dãy Bài toán : Người ta trộn kg chất lỏng loại I với kg chất lỏng loại II hỗn hợp có khối lượng riêng 700kg/m3 Biết khối lượng riêng chất lỏng loại I lớn khối lượng riêng chất lỏng loại II 200kg/m3 Tính khối lượng riêng chất lỏng Đáp số: 800kg/m3; 600kg/m3 Bài toán : Trong trang sách, tăng thêm dòng, dịng bớt chữ số chữ trang khơng đổi; bớt dịng, dịng tăng thêm chữ số chữ trang khơng đổi Tính số chữ trang sách Đáp số: 180 chữ Bài tốn : Một câu lạc có số ghế quy định.Nếu thêm hàng ghế hàng bớt ghế Nếu bớt ba hàng hàng phải thêm ghế Tính số ghế câu lạc Đáp số: 180 ghế Bài tốn 10 : Một phịng họp có số dãy ghế, tổng cộng 40 chỗ Do phải xếp 55 chỗ nên người ta kê thêm dãy ghế dãy xếp thêm chỗ Hỏi lúc đầu có dãy ghế phòng ? Đáp số: 10 Bài tốn 11 : Một tuyến đường sắt có số ga, ga có loại vé đến ga cịn lại Biết có tất 210 loại vé Hỏi tuyến đường có ga? Đáp số: 15 ga Bài toán 12 : Hai trường A B thị trấn có 210 học sinh thi đỗ hết lớp 9, đạt tỷ lệ trúng tuyển 84% Tính riêng trường A đỗ 80%, trường B đỗ 90% Tính xem trường có học sinh lớp dự thi ? Bài toán 13 : Đáp số: 126 84 Một phân xưởng theo kế hoạch phải may 1000 quần áo thời gian quy định Khi thực hiện, ngày xưởng may nhiều 10 hoàn thành kế hoạch trước ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày xưởng phải may quần áo? Bài toán 14 : Đáp số: 40 quần áo Dân số thành phố 408 040 người, hàng năm dân số tăng 1% Hỏi hai năm trước đây, dân số thành phố bao nhiêu? ` Bài toán 15 : Đáp số: 400000 Mức sản xuất xí nghiệp cách hai năm 75000 dụng cụ năm, 90750 dụng cụ năm Hỏi năm sau xí nghiệp làm tăng năm trước phần trăm? Bài toán 16 : Đáp số: 21% Có hai loại quặng chứa 75% sắt 50% sắt Tính khối lượng loại quặng đem trộn để 25 quặng chứa 66% sắt Bài toán 17 : Đáp số: 16 Tuổi hai anh em cộng lại 21 Tuổi anh gấp đôi tuổi em lúc anh tuổi em Tính tuổi người nay.? Bài tốn 18 : Đáp số:14 Tìm hai số biết bốn lần số thứ hai cộng với năm lần số thứ 18040, ba lần số số thứ hai lần số thứ hai 2002 Đáp số: 2004 Bài tốn 19 : 2005 Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng bàng 59, hai lần số bé ba lần số Tìm hai số Bài tốn 20 : Đáp số: 34 25 Vào kỷ thứ III trước Công Nguyên, vua xứ Xiracut giao cho Acsimét kiểm tra xem mũ vàng nhà vua có bị pha thêm bạc hay khơng Chiếc mũ có trọng lượng Niutơn (theo đơn vị nay), nhúng nước trọng lượng giảm 0,3 Niutơn Biết cân 1 nước, vàng giảm 20 trọng lượng, bạc giảm 10 trọng lượng Hỏi mũ chứa gam vàng, gam bạc? (Vật có khối lượng 100 gam có trọng lượng Niutơn) Đáp số: 400g vàng, 100g bạc ... (b+2)(a -5) =1 05 (2)  ab = 100 (1)  Từ (1) (2) ta có hpt: (b + 2)(a − 5) = 1 05( 2) Từ (2) ta có : ab-5b+2a -10= 1 05 ? ?100 -5b+2a -10= 1 05 -5b+2a= 15( *) Từ (1) ta có: a= 100 b thay vào (*) ta : Bài tốn 5: ... x x + 15 => 90 .2.( x + 15) − x ( x + 15) = 90 .2 x ⇔ 180 x + 2700 − x − 15 x = 180 x ⇔ x + 15 x − 2700 = Ta có : ∆ = 152 − 4.(−2700) = 110 25 > ∆ = 110 25 = 1 05 − 15 − 1 05 x1 = = −60 ( không thỏa... 1100 Số ngày theo kế hoạch là: x (ngày) 1100 Số ngày thực tế x + (ngày) 1100 1100 − =2 x x + Ta có phương trình: ⇔ 1100 ( x + ) − 1100 x = x ( x + ) ⇔ x + 10 x − 55 00 = ⇔ x = 50 (nhận) x = ? ?55