Tồn văn dự thi “Cuộc thi giải tốn vectơ nhiều cách” Từ 29/08 đến 08/09/2013 Gồm có 18 dự thi Mục lục Trần Thị Nguyệt Anh - Hà Nội 2 Đặng Thị Kiều Linh - Nam Định 3 Phạm Bắc Phú - Nam Định Trần Văn Tú - Nam Định 13 Đặng Ngọc Tuấn - Quảng Bình 15 Nguyễn Mạnh Đạt - Nam Định 17 Nguyễn Văn Đạt - Nam Định 18 Trần Thị Minh Tâm - Đồng Tháp 21 Vũ Ngọc Hòa - Đồng Nai 22 10 Nguyễn Hữu Dũng - Nam Định 23 11 Phạm Tuấn Nghĩa - Nam Định 25 12 Bùi Quốc Tuấn - Nam Định 26 13 Nguyễn Thị Thanh Thủy - Nam Định 27 14 Vũ Ngọc Ánh - Quảng Ninh 28 15 Nguyễn Đức Duy - Hà Nam 29 16 Nguyễn Hoàng Việt - Nam Định 30 17 Vũ Trà My - Nam Định 34 18 Trần Xuân Đắc - Nam Định 39 BBT http://www.thapsang.vn Page 1 Trần Thị Nguyệt Anh - Hà Nội 7G/4C Tiêu đề: Bài dự thi giải toán vectơ nhiều cách Họ tên người dự thi: Trần Thị Nguyệt Anh Địa chỉ: Tân Hội, Đan Phượng, Hà Nội Số điện thoại: …22 Tệp tin đính kèm: Chứng minh rằng: Với bốn điểm A, B, C D ta ln có Vectơ: AB → +CD → =AD → +CB → vectơ: AB + CD = AD + CB (1) -Cách 1: C1 (1)  AB – AD = CB – CD  DB = DB  ĐPCM C1 G2  (1)  AB + BD + CD = AD + CB +BD  AD + CD = AD + CD  ĐPCM C2 G3  (1)  AB – CB = AD – CD  AC = AC C3  ĐPCM G4  Có : VT= AB + CD = AC + CB + CD = ( AC + CD ) + CB = AD + CB = VP  ĐPCM  Có : VP= AD + CB = AD + CA + AB = CD + AB G5=G4  ĐPCM G1  -Cách 2: Áp dụng quy tắc hình bình hành Cho hbh ABCD G6  có VT= AB + AC = VP= AD + CB = SAI  ĐPCM G7  (1)  ( AB + AD ) +CD = AD + ( AD + CB )  AC + CD = AD  ĐPCM Page SAI C4 Đặng Thị Kiều Linh - Nam Định 19G/5C G1 C1 G2 C2 G3 C3 G4 C4 G5 C5 G6=G5 G7=G5 Page {G8, G9, G10, G11, G12, G13, G14, G15, G16} = {G4, G5} G8 G9 G10 G11 G12 G13 G14 G15 G16 G17 G18 G19 Page Phạm Bắc Phú - Nam Định 16G/13C BÀI DỰ THI GIẢI TOÁN VECTƠ BẰNG NHIỀU CÁCH Họ tên người dự thi: PHẠM BẮC PHÚ Địa chỉ: Giáo viên Toán – Trường THPT A Hải Hậu Số điện thoại: …20 Tệp tin đính kèm: duthi-PBP.doc Page Phần Những cách giải khác cho toán chứng minh đẳng thức vectơ Đề bài: Chứng minh với bốn điểm A, B, C, D, ta ln có: AB  CD  AD  CB Phạm vi kiến thức dùng để giải: Chỉ dùng kiến thức ở: Bài Các định nghĩa Bài Tổng hiệu hai vectơ Sách giáo khoa Hình học 10, NXB Giáo dục, từ 2006 trở lại Bài Các định nghĩa, Bài Tổng vectơ Bài Hiệu hai vectơ Sách giáo khoa Hình học 10 Nâng cao, NXB Giáo dục, từ 2006 trở lại Cách 1: [Thực biến đổi vế, biến vế thành vế kia] Phương án 1.1- Biến đổi vế trái thành vế phải G1 Với bốn điểm A, B, C, D bất kì, ta có: AB  CD  (AD  DB)  (CB  BD) (theo quy tắc ba điểm)  AD  CB  (DB  BD) (theo tính chất giao hốn, phân phối)  AD  CB  DD  AD  CB   AD  CB (theo tính chất tổng vectơ với vectơ-khơng) Vậy có điều phải chứng minh C1 Phương án 1.2-Biến đổi vế phải thành vế trái G2=G1Với bốn điểm A, B, C, D bất kì, ta có: AD  CB  (AB  BD)  (CD  DB)  AB  CD  (BD  DB)  AB  CD  BB  AB  CD   AB  CD (Đpcm) Cách 2: [Biến đổi hai vế biểu thức giống nhau] Phương án 2.1-Dùng quy tắc ba điểm, “chen điểm A” (làm xuất vectơ có điểm đầu A) G3 * Ta có: AB  CD  AB  (CA  AD)  AB  AD  CA (1) * Lại có: AD  CB  AD  (CA  AB)  AB  AD  CA (2) * Từ (1) (2) suy AB  CD  AD  CB (Đpcm) C2 Phương án 2.2-Dùng quy tắc ba điểm, “chen điểm O bất kì” G4 Với O điểm tùy ý: * Ta có: AB  CD  (AO  OB)  (CO  OD)  AO  CO  OB  OD (3) Page * Lại có: AD  CB  (AO  OD)  (CO  OB)  AO  CO  OB  OD (4) * Từ (3) (4) suy AB  CD  AD  CB (Đpcm) C3 Phương án 2.3-Dùng quy tắc hiệu, làm xuất vectơ chung điểm đầu O Với O điểm tùy ý: G5 * Ta có: AB  CD  (OB  OA)  (OD  OC)  OB  OD  OA  OC (5) * Lại có: AD  CB  (OD  OA)  (OB  OC)  OB  OD  OA  OC (6) * Từ (5) (6) suy AB  CD  AD  CB (Đpcm) C4 Nhận xét: i) ii) Bản chất phương án 2.1, 2.2, 2.3 Chúng ta chọn O ba điểm cụ thể cịn lại B, C, D tốn (ta chọn O A phương án 2.1); kết hợp với việc dùng hai quy tắc ba điểm, quy tắc hiệu tạo phương án giải có hình thức thể khác nữa, đề nghị bạn đọc tự trình bày tiếp Ta để ý thấy điều: Ở biểu thức vế trái có A C hai điểm đầu, B D hai điểm cuối vectơ, chuyển sang vế phải điều bảo toàn! Đây sở để ta có tốn khái qt toán tương tự! Chúng ta bàn thêm điều phần hai! Phương án 2.4-Sử dụng cặp điểm có tính chất tựa trung điểm * Với hai điểm A, C cho trước, tồn điểm M cho AM  CM  Thật vậy: Nếu A trùng C chọn M A; A C phân biệt ta chọn M trung điểm đoạn thẳng AC Tương tự, tồn điểm N thỏa mãn NB  ND  G6 * Ta có: AB  CD  (AM  MN  NB)  (CM  MN  ND)  (AM  CM)  (NB  ND)  MN  MN    MN  MN  MN  MN (7) Lại có: AD  CB  (AM  MN  ND)  (CM  MN  NB)  (AM  CM)  (NB  ND)  MN  MN    MN  MN  MN  MN (8) * Từ (7), (8) suy đpcm: AB  CD  AD  CB C5 Cách 3: [Dùng phương pháp xét hiệu, để chứng minh hai vectơ ta chứng minh hiệu chúng vectơ-không] Phương án 3.1-Xét hiệu biểu thức vế trái biểu thức vế phải G7 Ta có: (AB  CD)  (AD  CB)  (AB  AD)  (CD  CB)  DB  BD  DD  Page Suy AB  CD  AD  CB (Đpcm) C6 Phương án 3.2- Xét hiệu biểu thức vế trái biểu thức vế phải G8 Ta có: (AB  CD)  (AD  CB)  (AB  CB)  (CD  AD)  (AB  BC)  (CD  DA)  AC  CA  AA  Suy AB  CD  AD  CB (Đpcm) C7 Phương án 3.3-Xét hiệu biểu thức vế phải biểu thức vế trái G9=G7 Ta có (AD  CB)  (AB  CD)  (AD  AB)  (CB  CD)  BD  DB  BB  Suy AB  CD  AD  CB (Đpcm) Phương án 3.4-Xét hiệu biểu thức vế phải biểu thức vế trái G10=G8 Ta có: (AD  CB)  (AB  CD)  (CB  AB)  (AD  CD)  (CB  BA)  (AD  DC)  CA  AC  CC  Suy AB  CD  AD  CB (Đpcm) Cách 4: [Biến đổi tương đương đẳng thức cần chứng minh đẳng thức đúng] Xét đẳng thức cần chứng minh: AB  CD  AD  CB (*) Phương án 4.1-Cộng đồng thời vế (*) với DB ta có: G11 (*)  AB  CD  DB  AD  CB  DB  AB  (CD  DB)  (AD  DB)  CB  AB  CB  AB  CB (**) Thấy (**) đẳng thức nên (*) đẳng thức đúng, có Đpcm C8 Phương án 4.2-Trừ đồng thời vế (*) với AB ta có: G12 (*)  AB  CD  AB  AD  CB  AB  CD  (AD  AB)  CB  CD  BD  CB  CD  CB  BD  CD  CD (***) Thấy (***) đẳng thức nên (*) đẳng thức đúng, có Đpcm C9 Những phương án tương tự khác bạn đọc trình bày tương tự, chẳng hạn: Page - Ta cộng đồng thời vế với vectơ sau thu đẳng thức tương đương: BA, BC, BD, DA, DB, DC, CA, AC Ta trừ đồng thời vế với vectơ sau thu đẳng thức tương đương: AB, AC, AD, CA, CB, CD, DB, BD Cách 5: [Biến đổi tương đương biến đổi hệ đẳng thức đẳng thức cần chứng minh] Thực chất cách trình bày ngược lại biến đổi cách 4, sử dụng đẳng thức thu phương án nêu cách 4, đẳng thức khác, biến đổi tương đương biến đổi hệ đẳng thức (*) cần chứng minh Ta minh họa ba phương án sau: G13 Phương án 5.1 Với bốn điểm A, B, C, D bất kì, ln có: AB  BC  CD  DA  Suy ra: AB  CD  (DA  BC)  DA  BC  AD  CB (Đpcm) C10 G14 Phương án 5.2 Với bốn điểm A, B, C, D bất kì, ln có: AC  AC hay AB  BC  AD  DC Suy ra: AB  DC  AD  BC hay AB  CD  AD  CB (Đpcm) C11 G15 Phương án 5.3 Với bốn điểm A, B, C, D bất kì, ln có: DB  DB hay AB  AD  CB  CD Suy ra: AB  CD  AD  CB (Đpcm) C12 Ta xuất phát từ đẳng thức khác, ví dụ CB  CD  DA  AB , …bạn đọc tự trình bày G16 BM  CD Cách 6: Gọi M N điểm thỏa mãn điều kiện (9):  DN  CB AB  AD  DC  CB ; Khi có vế trái (*): AB  CD  AB  BM  AM , vế phải (*): AD  CB  AD  DN  AN Để chứng minh (*), ta chứng minh AM  AN hay chứng minh M  N Thật vậy, từ (9) (cộng chéo vế) suy CB  BM  CD  DN  CM  CN  M  N Vậy (*) chứng minh xong C13 Page Phần hai Một số vấn đề bàn luận thêm từ lời giải A Từ phương án giải 2.3 ta đến toán khái quát: Cho 2n điểm tùy ý A1, A2, …, An, B1, B2, …, Bn Gọi I = {1; 2; 3; …; n} tập số Khi vectơ tổng có dạng  Ai B j i, jI Chứng minh: Xét O điểm bất kì, theo quy tắc hiệu ta có: Ai B j  OB j  OAi , i  I, j  I Do  AiBj   (OBj  OAi )   OBj   OAi  (OB1  OB2   OBn )  (OA1  OA2   OAn ) i,jI i,jI jI Vậy vectơ tổng dạng  Ai B j iI i, jI Xét trường hợp riêng cho điểm, ta có kết tập 20 – Trang 18 – SGK Hình học Nâng cao 10 sau: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh rằng: AD  BE  CF  AE  BF  CD  AF  BD  CE B Việc nắm “nguyên tắc bảo toàn” điểm đầu điểm cuối vectơ chuyển từ vế sang vế giúp học sinh trả lời nhanh tập trắc nghiệm, ví dụ Bài – Trang 36 – SGK Hình học Nâng cao 10 sau: Cho bốn điểm A, B, C, D Đẳng thức đúng? (A) AB  CD  AC  BD (B) AB  CD  AD  BC (C) AB  CD  AD  BC (D) AB  CD  DA  BC - Học sinh thuộc sẵn đẳng thức biết (B) đáp án - Học sinh biết dấu hiệu loại trừ (A), (C), (D) Chẳng hạn (A), điểm C điểm đầu bên vế trái sang vế phải điểm cuối, đẳng thức xảy cho bốn điểm A, B, C, D được! C Thực chất phương án giải 2.4 dẫn ta tới kết sau: C1Cho bốn điểm A, B, C, D với M trung điểm đoạn thẳng AC, N trung điểm đoạn thẳng CD Ta có: AB  CD  AD  CB  2MN C2- Đặc biệt hóa: Chứng minh AB  DC trung điểm hai đoạn thẳng AC BD trùng (Đây toán phát biểu tương tự Bài tập 19 – Trang 18 – SGK HH Ncao 10) Page 10 12 Bùi Quốc Tuấn - Nam Định 4G/3C Đề bài: Chứng minh rằng: Với bốn điểm A, B, C D ta ln có + Cách giải 1: = + G1 Thật vậy, lấy điểm O tùy ý ta ln có: + = + + + = + + + = + Vậy đẳng thứ chứng minh C1 Cách giải 2: G2 Giả sử: + = +  =  + = + luôn ) Vậy đẳng thứ ho > dp m C2 Cách giải 3:  G3 Thật vậy, lấy điểm O tùy ý ta có: AB  CD  OB  OA  OD  OC  (OB  OC )  (OD  OA)  CB  AD Vậy đẳng thứ đượ chứng minh C3 Cách giải 4: G4=G2 Ta có: AB  CD  AD  CB  AB  CB  AD  CD  AC  AC Điều luôn , suy điều phải chứng minh Page 26 = ( điều 13 Nguyễn Thị Thanh Thủy - Nam Định G1 Ta có: vectoAB+vectoCD=vectoAD+vectoDB+vectoCD+vectoDD =vectoAD+(vectoDB-vectoDc) =vectoAD+vectoCB (Đpcm) C1 Page 27 1G/1C 14 Vũ Ngọc Ánh - Quảng Ninh 5G/2C Họ tên người dự thi: Vũ Ngọc Ánh Địa chỉ: Tổ 4- Khu Vĩnh Tuy 1, Thị trấn Mạo Khê, Huyện Đông Triều, tỉnh Quảng Ninh Số điện thoại: …57 * Đề bài: Chứng minh rằng: Với bốn điểm A, B, C D ta ln có ⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ Cách 1: G1 AALấy điểm O tùy ý, theo quy tắc hiệu véc tơ, ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ So sánh đẳng thức ta suy ra: ⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ C1 Cách 2: G2 +, Dùng quy tắc điểm viết: ⃗⃗⃗⃗⃗ Do đó: ⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C2 G3=G2 +, Dùng quy tắc điểm viết: ⃗⃗⃗⃗⃗ Do đó: ⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ Cách 3: Biến đổi vế trái: G4=G2 ⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = VP Biến đổi vế phải: G5=G2 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ = VT Page 28 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 15 Nguyễn Đức Duy - Hà Nam 9G/5C G1 C1 C2 G2 G3 C3 G4=G3 G5=G3 G6=G3 G7 C4 G8 C5 I=? G9 Page 29 16 Nguyễn Hoàng Việt - Nam Định 24G/8C Họ tên Nguyễn Việt Hoàng Địa 10A3 THPT Trần Hưng Đạo ,TP Nam Định Số điện thoại: …36 BÀI LÀM     Đề Với điểm A,B,C,D ta có AB  CD  AD  CB (đã       G1 Cách AB  CD  AO  OB  CO  OD AD  CB  AO  OD  CO  OB  AO  OB  CO  OD  VT  AB  CD  AD  CB C1 G2 Cách2 / AB  CD  AD  DB  CD  AD  (CD  DB)  AD  CB  AB  CD  AD  CB C2 G3=G2 Cách3 / AB  CD  AB  CB  BD  ( AB  BD)  CB  AD  CB  AB  CD  AD  CB G4 Cách4 / AB  CD  AD  CB  AB  AD  CB  CD  DB  DB(đúng )  đpcm C3     G5 Cách5 / AB  CD  AD  CB      AB  CB  AD  CD    AC  AC ( ĐÚNG)  đpcm C4 G6=G2 Cách6 / AD  CB  AB  BD  CB  AB  (CB  BD)  AB  CD  đpcm G7=G2 Cách7 / AD  CB  AD  CD  DB  AD  DB  CD  AB  CD  đpcm G8=G4 Cách8 / AB  CD  AD  CB  AB  CD  AD  CB   ( AB  AD)  (CD  CB )   DB  BD   DD  0(đúng )  đpcm G9 Cách9 / AB  CD  AD  CB  AB  AD  CD  AD  AD  CB  DB  CD  CB  CB  CB(đúng )  đpcm C5 Page 30 làm 24 cách) G10 Cách10 / AB  CD  AD  CB  AB  DC  CD  AD  DC  CB  AB  DD  AC  CB  AB   AB  AB  AB(đúng ) C6 G11=G10Cách11/ AB  CD  AD  CB  AB  BC  CD  AD  CB  BC  AC  CD  AD  BB  AD  AD   AD  AD(đúng ) G12=G9 Cách12 / AB  CD  AD  CB  AB  CB  CD  AD  CB  CB  AC  CD  AD  AD  AD(đúng )  đpcm G13=G9 Cách13 / AB  CD  AD  CB  AB  CD  AB  CD  AD  CB  AB  CD  ( AB  AB)  (CD  CD)  ( AD  AB)  (CB  CD)   BD  DB   BB(đúng )  đpcm G14=G8 Cách14 / AB  CD  AD  CB Sau chen them vecto MN, ta thu duoc dang thuc ban dau!!!  AM  MN  NB  CD  AM  MN  ND  CB  NB  CD  ND  CB  NB  ND  CB  CD  DB  DB(đúng 0)  đpcm Cách15 / AB  CD  AD  CB G15=G14, N=M  AM  MB  CD  AM  MD  CB  MB  CD  MD  CB  MB  MD  CB  CD  DB  DB(đúng )  đpcm Cách16 / AB  CD  AD  CB G16=G14  AB  CM  MD  AD  CM  MB  AB  MD  AD  MB  AB  AD  MB  MD  DB  DB(đúng )  đpcm Page 31 Cách17 / AB  CD  AD  CB G17  AM  MN  NB  CM  MN  ND  AM  MN  ND  CM  MN  NB  AM  MN  NB  CM  MN  ND  AM  MN  NB  CM  MN  ND (đúng ) C7  đpcm Cách18 / AB  CD  AD  CB G18=G14  MB  MA  CD  MD  MA  CB  MB  CD  MD  CB  MB  MD  CB  CD  DB  DB(đúng )  đpcm Cách19 / AB  CD  AD  CB G19=G18  AB  ( ND  NC )  AD  ( NB  NC )  AB  ND  NC  AD  NB  NC  AB  ND  AD  NB  AB  AD  NB  ND  DB  DB(đúng )  đpcm G20 Cách20 / AB  CD  AD  CB  MB  MA  MD  MC  MD  MA  MB  MC  MD  MA  MB  MC  MD  MA  MB  MC (đúng ) C8  đpcm Cách21/ AB  CD  AD  CB G21=G20, viec them diem N khong can thiet  MB  MN  NA  MD  MN  NC  MD  MN  NA  MB  MN  NC  MD  MN  NA  MB  MN  NC  MD  MN  NA  MB  MN  NC (đúng )  đpcm Cách 22 / AB  CD  AD  CB G22=G18, viec them diem N khong can thiet  MB  MN  NA  CD  MD  MN  NA  CB  MB  CD  MD  CB  MB  MD  CB  CD  DB  DB(đúng )  đpcm Cách 23 / AB  CD  AD  CB G23=G22  AB  MD  MN  NC  AD  MB  MN  NC  AB  MD  AD  MB  AB  AD  MB  MD  DB  DB(đúng )  đpcm Page 32 G24=G20 G24 Cách 24 / AB  CD  AD  CB  ( MB  MA)  ( ND  NC )  ( MD  MA)  ( NB  NC )  MB  MA  ND  NC  MD  MA  NB  NC  MB  ND  MD  NB  MB  MD  NB  ND  DB  DB(đúng )  đpcm Page 33 17 Vũ Trà My - Nam Định 12G/4C G1 C1 G2 C2 G3 C3 G4=G3 Page 34 G5=G3 Page 35 G6=G3 G7 C4 G8=G7 G9=G7 Page 36 G10=G7 Page 37 G11 SAI G12=G7 SAI Page 38 18 Trần Xuân Đắc - Nam Định 4G/3C G1 C1 G2 C2 G3 C3 Page 39 G4 KHONG HOP LE Page 40