Bài 4: Lý thuyết ước lượng Vinh Lương University of Economics and Finance vinhlx@uef.edu.vn September 2018 Xác suất Vinh Lương September 2018 / 39 Contents Khoảng tin cậy cho trung bình 𝜇 Giới thiệu ước lượng Cơng thức tìm khoảng tin cậy cho trung bình 𝜇 Cơng thức tìm khoảng tin cậy cho trung bình 𝜇 mẫu lớn mẫu bé Khoảng tin cậy cho tỷ lệ p tổng thể Bài tập tổng hợp Xác suất Vinh Lương September 2018 / 39 Contents Khoảng tin cậy cho trung bình 𝜇 Giới thiệu ước lượng Cơng thức tìm khoảng tin cậy cho trung bình 𝜇 Cơng thức tìm khoảng tin cậy cho trung bình 𝜇 mẫu lớn mẫu bé Khoảng tin cậy cho tỷ lệ p tổng thể Bài tập tổng hợp Xác suất Vinh Lương September 2018 / 39 Giới thiệu ước lượng - Estimation Process Ước lượng trình suy luận thông tin tổng thể (không biết trước) biết thông tin mẫu ngẫu nhiên Giả sử bạn cần thơng tin tuổi trung bình toàn người tham dự lễ hội âm nhạc ngồi trời Vì số lượng người lớn, ta khảo sát hết Ta chọn số người để hỏi tuổi (ví dụ: 𝑛 = 100) tính trung bình 𝑥 ¯ = 29.6 tuổi Bạn đến kết luận tuổi trung bình toàn người nằm khoảng: 29.6 − 2.1 < 𝜇 < 29.6 + 2.1 ? Hoặc đến kết luận tuổi trung bình tồn người nằm khoảng: 29.6 − < 𝜇 < 29.6 + ? Hoặc đến kết luận 𝜇 = 29.6 ? Xác suất Vinh Lương September 2018 / 39 Point estimation interval estimation A point estimate is a specific numerical value estimate of a parameter The best point estimate of the population mean 𝜇 is the sample mean 𝑥 ¯ For example, an point estimate for the average age of all people might be: 𝜇 = 𝑥 ¯ = 29.6 An interval estimate of a parameter is an interval or a range of values used to estimate the parameter This estimate may or may not contain the value of the parameter being estimated For example, an interval estimate for the average age of all people might be: 29.6 − 2.1 < 𝜇 < 29.6 + 2.1 QUIZ: WHICH ONE IS BETTER ? Xác suất Vinh Lương September 2018 / 39 Giới thiệu ước lượng Tại ta cần phải ước lượng ? Giúp bạn đưa khoảng ước lượng cho tham số tổng thể phù hợp với mục đích người làm nghiên cứu Giúp bạn lựa chọn kích thước mẫu phù hợp Giúp bạn tính tốn xác suất tham số tổng thể rơi vào khoảng ước lượng Xác suất Vinh Lương September 2018 / 39 Khoảng tin cậy cho trung bình 𝜇 Phần trước biết: theo định lí giới hạn trung tâm (Central ) Limit Theorem) 𝑋 ∼ 𝑁 (𝜇𝑋¯ , 𝜎𝑋 ¯ Nếu ta biết trước 𝜇 𝜎 thì: 𝜎 𝜎 𝑃 (𝜇 − 1.96 √ < 𝑋 < 𝜇 + 1.96 √ ) = 95% 𝑛 𝑛 Hoặc ta coi chưa biết 𝜇 thì: 𝜎 𝜎 𝑃 (𝑥 − 1.96 √ < 𝜇 < 𝑥 + 1.96 √ ) = 95% 𝑛 𝑛 Xác suất Vinh Lương September 2018 / 39 Khoảng tin cậy cho trung bình 𝜇 Proof: Ta đặt 𝑍 = Xác suất 𝑋 −𝜇 Z có phân phối chuẩn tắc 𝑁 (0, 1) 𝜎 Vinh Lương September 2018 / 39 Khoảng tin cậy cho trung bình 𝜇 TRƯỜNG HỢP 1: Phương pháp tìm khoảng tin cậy cho trung bình 𝜇 (Khi biết 𝜎 tổng thể) Với độ tin cậy 95 % thì: 𝜎 𝜎 𝑥 − 1.96 √ < 𝜇 < 𝑥 + 1.96 √ 𝑛 𝑛 Tổng quát với độ tin cậy (1 − 𝛼) thì: 𝜎 𝜎 𝑥 − 𝑧 𝑐 √ < 𝜇 < 𝑥 + 𝑧𝑐 √ 𝑛 𝑛 Trong 𝑧𝑐 gọi giá trị tới hạn tương ứng với độ tin cậy (1 − 𝛼) cho trước Khoảng tin cậy rộng độ tin cậy cao Các giá trị độ tin cậy hay sử dụng là: Xác suất Vinh Lương 90%, 95% 99% September 2018 / 39 Khoảng tin cậy cho trung bình 𝜇 Cách tính giá trị tới hạn 𝑧𝑐 : Giá trị 𝑧𝑐 tính cách sử dụng phân phối chuẩn tắc 𝑍 ∼ 𝑁 (0, 1) Excel: 𝑧𝑐 = 𝑁 𝑂𝑅𝑀.𝑆.𝐼𝑁 𝑉 (1 − 𝛼/2) Độ tin cậy (1 − 𝛼) 𝑧𝑐 Xác suất 90% 1.64 Vinh Lương 95% 1.96 99% 2.58 September 2018 10 / 39 Khoảng tin cậy cho trung bình 𝜇 Exercise A college admissions director wishes to estimate the mean age of all students currently enrolled In a random sample of 20 students, the mean age is found to be 22.9 years From past studies, the standard deviation is known to be 1.5 years, and the population is normally distributed Construct a 90% confidence interval of the population mean age Xác suất Vinh Lương September 2018 25 / 39 Exercise A survey of a random sample of 1000 smartphone owners found that the mean daily time spent communicating on a smartphone was 131.4 minutes From previous studies, it is assumed that the population standard deviation is 21.2 minutes What would be 95% confidence interval for the population mean daily time spent communicating on a smartphone? Xác suất Vinh Lương September 2018 26 / 39 Exercise (Distance Traveled to Work) A recent study of 28 employees of XYZ company showed that the mean of the distance they traveled to work was 14.3 miles The standard deviation of the sample mean was miles Find the 95% confidence interval of the true mean If a manager wanted to be sure that most of his employees would not be late, how much time would he suggest they allow for the commute if the average speed were 30 miles per hour? ĐS: 13.5 < 𝜇 < 15.1 and about 30 minutes Xác suất Vinh Lương September 2018 27 / 39 Exercise The data represent a sample of the number of home fires started by candles for the past several years (Data are from the National Fire Protection Association.) 5900 ; 6090 ; 6310 ; 7160 ; 8440 ; 9930 Find the 99% confidence interval for the mean number of home fires started by candles each year Solution: Between 4785.2 and 9297.6 Xác suất Vinh Lương September 2018 28 / 39 Contents Khoảng tin cậy cho trung bình 𝜇 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ p tổng thể Bài tập tổng hợp Xác suất Vinh Lương September 2018 29 / 39 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ p tổng thể Điều kiện: Gọi p tỷ lệ tổng thể (ta không biết) f tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên (ta tính tốn được) Ta khảo sát kích thước mẫu lớn n≥30 Khi cơng thức tìm khoảng tin cậy tỷ lệ tổng thể p là: √︂ 𝑓 − 𝑧𝑐 √︂ 𝑓 (1 − 𝑓 ) 𝑓 (1 − 𝑓 ) < 𝑝 < 𝑓 + 𝑧𝑐 𝑛 𝑛 Trong 𝑧𝑐 gọi giá trị tới hạn tương ứng với độ tin cậy (1 − 𝛼) cho trước Excel: 𝑧𝑐 = 𝑁 𝑂𝑅𝑀.𝑆.𝐼𝑁 𝑉 (1 − 𝛼/2) Xác suất Vinh Lương September 2018 30 / 39 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ p tổng thể Example Thăm dò ý kiến 100 cử tri chọn ngẫu nhiên địa phương cho thấy có 80% số ủng hộ ứng cử viên A Với độ tin cậy 99%, ước lượng tỷ lệ tất cử tri địa phương ủng hộ ứng cử viên A Xác suất Vinh Lương September 2018 31 / 39 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ p tổng thể Gọi p tỷ lệ cử tri bầu cho A địa phương f = 80% tỷ lệ cử tri bầu cho A 𝑛 = 100 người khảo sát Công thức tìm khoảng tin cậy tỷ lệ tổng thể p là: √︂ √︂ 𝑓 (1 − 𝑓 ) 𝑓 (1 − 𝑓 ) 𝑓 − 𝑧𝑐 < 𝑝 < 𝑓 + 𝑧𝑐 𝑛 𝑛 Ứng với độ tin cậy 99%, suy ra: 𝑧𝑐 = 2.58 √︂ 𝑓 (1 − 𝑓 ) Sai số 𝜀 = 𝑧𝑐 = 10.3% 𝑛 Khoảng tin cậy: 69.7% < p < 90.3% Kết luận : Với độ tin cậy 99%, tỷ lệ tất cử tri địa phương ủng hộ ứng cử viên A ước lượng khoảng 69.7% đến 90.3% Xác suất Vinh Lương September 2018 32 / 39 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ p tổng thể Example Khảo sát mẫu gồm 100 người, cho thấy có 25 người thuận tay trái Với độ tin cậy 95%, cho biết khoảng tin cậy tỷ lệ người thuận tay trái tổng thể Tìm n để có độ xác khơng q % 𝑛 = 100 𝑓 = 25% Ứng với độ tin cậy 95%, suy ra: 𝑧𝑐 = 1.96 √︂ 𝑓 (1 − 𝑓 ) = 8.487% Sai số 𝜀 = 𝑧𝑐 𝑛 Khoảng tin cậy: 16.51% < 𝑝 < 33.49% √︂ 𝑓 (1 − 𝑓 ) Ta cần tìm n cho sai số 𝜀 = 𝑧𝑐 ≤ 5% 𝑛 Suy 𝑛 ≥ Xác suất Vinh Lương September 2018 33 / 39 Exercise Bài 6.10 : Một lô hàng chứa nhiều sản phẩm loại A sản phẩm loại B Lấy mẫu ngẫu nhiên gồm 60 sản phẩm chọn có hồn lại từ lơ hàng thấy có 70% sản phẩm loại A Tìm khoảng tin cậy tỷ lệ sản phẩm loại A thực có lơ hàng, với độ tin cậy 95%, 99% Hãy tìm kích thước mẫu n cho tỷ lệ thực tỷ lệ mẫu không khác 5%, với độ tin cậy 95%, 99% Xác suất Vinh Lương September 2018 34 / 39 Exercise DVD Players A survey of 85 families showed that 36 owned at least one DVD player Find the 99% confidence interval of the true proportion of families who own at least one DVD player If another survey in a different location found that the proportion of families who owned at least one DVD player was 0.52, would you consider that the proportion of families in this area was larger than in the area where the original survey was done? Xác suất Vinh Lương September 2018 35 / 39 Contents Khoảng tin cậy cho trung bình 𝜇 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ p tổng thể Bài tập tổng hợp Xác suất Vinh Lương September 2018 36 / 39 BÀI TẬP TỔNG HỢP Exercise 10 Điểm thi môn XSTK mẫu gồm 50 sinh viên tổng hợp lại thành bảng sau: Với độ tin cậy 95%, uớc lượng điểm trung bình mơn XSTK tồn thể sinh viên Học sinh 44 điểm bị rớt môn XSTK Với độ tin cậy 90%, ước lượng tỷ lệ sinh viên rớt môn XSTK tổng thể 51.83 < 𝜇 < 57.84 5.93% < p < 22.07% Xác suất Vinh Lương September 2018 37 / 39 BÀI TẬP TỔNG HỢP Exercise 11 Khảo sát chiều cao số nam sinh viên, ta có bảng: Với độ tin cậy 99%, uớc lượng chiều cao trung bình tồn thể sinh viên Những sinh viên nam có chiều cao từ 1m75 cho sinh viên có chiều cao tốt Với độ tin cậy 90%, ước lượng tỷ lệ sinh viên có chiều cao tốt tổng thể Xác suất Vinh Lương September 2018 38 / 39 References Tài liệu tham khảo Phạm Đắc Thắng, Nguyễn Cơng Trí, Đồn Thiện Ngân Giáo trình Xác suất thống kê Murray R Spiegel, John Schiller, R Alu Srinivasan Schaum’s Outlines - Probability and Statistics Anderson, Sweeney, Williams Statistics for Business and Economics 11 edition Ron Larson, Betsy Farber Elementary Statistics, Picturing the world edition Xác suất Vinh Lương September 2018 39 / 39