ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: KHƠNG GIAN VỚI HỌ HCP Sinh viên thực hiện: VÕ THỊ ANH THƯ Giảng viên hướng dẫn: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: KHƠNG GIAN VỚI HỌ HCP Sinh viên thực hiện: VÕ THỊ ANH THƯ Giảng viên hướng dẫn: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN Chuyên ngành: Sư phạm Toán Lớp: 14ST ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển tận tình hướng dẫn, động viên, nhắc nhở tác giả suốt trình thực để tác giả hồn thành luận văn Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Chủ nhiệm khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập trường Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, bạn bè tất người động viên, giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tác giả Võ Thị Anh Thư MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Không gian mêtric 1.2 Không gian tôpô 1.3 Không gian khả mêtric 1.4 Các tiên đề tách 1.5 Một vài không gian mêtric suy rộng CHƯƠNG KHÔNG GIAN VỚI HỌ HCP .13 2.1 Họ HCP tính chất 13 2.2 Mối quan hệ họ HCP với họ khác không gian tôpô 2.3 Không gian với mạng σ-HCP 21 26 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích chuyên ngành quan trọng toán học Giải tích đại chuyên nghiên cứu vấn đề mang tính chất lý thuyết, việc nghiên cứu họ có tính chất đặc biệt khơng gian tơpơ ý Họ bảo tồn bao đóng di truyền HCP với không gian k -mạng σ HCP có vai trị quan trọng việc nghiên cứu không gian mêtric tổng quát Những vấn đề nhiều người quan tâm như: L Foged giới thiệu đặc trưng không gian Fréchet với k -mạng σ -HCP, Junniala Ziqiu Yun đưa mối quan hệ ℵ-không gian không gian k -mạng σ -HCP, Bởi lý với góp ý hướng dẫn tận tình thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài nghiên cứu là: “Không gian với họ HCP” Mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, nghiên cứu vấn đề sau: (1) Họ HCP tính chất (2) Mối quan hệ họ HCP với họ khác không gian tôpô (3) Không gian với mạng σ -HCP Đối tượng nghiên cứu Họ CP, CF, HCP σ -HCP Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tính chất họ HCP, mối quan hệ với họ khác tính chất mạng σ -HCP khơng gian mêtric suy rộng, thuộc lĩnh vực Tôpô đại cương Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trình thực đề tài thực theo quy trình sau: (1) Tham khảo tài liệu hệ thống lại kiến thức tôpô đại cương (2) Thu thập báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến họ HCP mạng σ -HCP mối quan hệ với họ khác không gian tôpô (3) Phân tích, đánh giá, tổng hợp trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu để hoàn chỉnh luận văn Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng tài liệu tham khảo dành cho quan tâm nghiên cứu mêtric hóa khơng gian tơpơ Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Chương 1, Trong chương này, hệ thống lại số khái niệm kiến thức không gian mêtric, không gian tôpô nhằm phục vụ cho Chương Chương 2, Trình bày khái niệm số tính chất của họ HCP mạng σ -HCP mối quan hệ với họ khác không gian tôpô Trong tồn viết, khơng gian giả định T1 -khơng gian quy Sau vài kí hiệu quy ước tồn viết N tập hợp số nguyên dương Giả sử X không gian P ⊂ X , bao đóng P kí hiệu P Giả sử P họ tập X x ∈ X Khi đó, P= {P : P ∈ P}, P= {P : P ∈ P} Giả sử F họ tập X K tập compact X Khi đó, K ∧ F = {K F : F ∈ F} CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Không gian mêtric Định nghĩa 1.1.1 Cho X = ∅ hàm d : X×X → R thỏa mãn tiên đề sau: Với x, y, z ∈ X , ta có (1) d(x, y) với x, y ∈ X d(x, y) = x = y (tiên đề đồng nhất) (2) d(x, y) = d(y, x) (tiên đề đối xứng) (3) d(x, z) (tiên đề bất đẳng thức tam giác) d(x, y) + d(y, z) Khi đó, • d gọi mêtric X • Cặp (X, d) gọi khơng gian mêtric • Mỗi phần tử X gọi điểm X • d(x, y) gọi khoảng cách x y 1.2 Không gian tôpô Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X tập hợp τ họ gồm tập X thỏa mãn (1) ∅ ∈ τ , X ∈ τ ; (2) Nếu {Uα }α∈λ ⊂ τ , Uα ∈ τ ; α∈λ (3) Nếu U, V ∈ τ , U V ∈ τ Khi đó, • τ gọi tơpơ X • Cặp (X, τ ) gọi không gian tôpô, viết tắt X • Mỗi phần tử τ gọi tập hợp mở Nhận xét 1.2.2 Đối với khơng gian tơpơ X , ta có (1) ∅, X tập hợp mở (2) Hợp tùy ý tập hợp mở tập hợp mở (3) Giao hai tập mở tập mở Do vậy, U1 , U2 , , Un tập n Ui mở mở, i=1 Định nghĩa 1.2.3 Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, • U gọi lân cận A tồn V ∈ τ cho A ⊂ V ⊂ U; • Nếu U mở U gọi lân cận mở x; • Nếu A = {x} U gọi lân cận x Định nghĩa 1.2.4 Cho (X, τ ) không gian tôpô, x ∈ X , Ux họ gồm tất lân cận x Khi đó, họ Vx ⊂ Ux gọi sở lân cận điểm x với U ∈ Ux , tồn V ∈ Vx cho: V ⊂ U Định nghĩa 1.2.5 Cho (X, τ ) không gian tôpô B ⊂ τ Khi đó, B gọi sở τ phần tử τ hợp phần tử B , nghĩa ∀U ∈ τ , ∃{Vα }α∈I ⊂ B : U = Vα α∈I Nhận xét 1.2.6 Giả sử B sở τ Khi đó, • Mỗi phần tử B tập mở X • Mỗi tập mở X không thuộc B Bổ đề 1.2.7 Cho (X, τ ) không gian tôpô B ⊂ τ Khi đó, B sở khơng gian tôpô (X, τ ) với U ∈ τ với x ∈ U , tồn V ∈ B cho: x ∈ V ⊂ U Chứng minh (1) ⇒ (2): Giả sử B sở không gian tôpô (X, τ ), U ∈ τ , x ∈ U Ta phải chứng minh ∃V ∈ B : x ∈ V ⊂ U Thật vậy, U ∈ τ B sở nên ∃{Vα }α∈I ⊂ B : U = Vα α∈I Ta có: x ∈ U = Vα nên α∈I ∃α0 ∈ I : x ∈ Vα0 Suy tồn V = Vα0 ∈ B cho x ∈ Vα0 ⊂ U (2) ⇒ (1): Giả sử ∀U ∈ τ , ∀x ∈ U , ∃V ∈ B : x ∈ V ⊂ U Phải chứng minh B sở không gian tôpô (X, τ ) Thật vậy, lấy W ∈ τ Khi đó, ∀x ∈ W , ∃Vx ∈ B : x ∈ Vx ⊂ W Suy {x} ⊂ W = x∈W Kéo theo W = Vx ⊂ W x∈W Vx x∈W ⇒ W hợp phần tử B Định nghĩa 1.2.8 Giả sử P phủ khơng gian X (P ) tính chất phủ X Ta nói P phủ có tính chất σ -(P ) biểu diễn dạng 21 S họ đếm {Pk : k ∈ N} ⊂ F cho với k ∈ N, Pk chứa phần tử xk dãy {xk : k ∈ N} Từ tính chất HCP P y∈ {xk : k ∈ N} ta suy y∈ Điều mâu thuẫn với y ∈ / X {xk : k ∈ N} ⊂ F F Do vậy, P họ đếm địa phương 2.2 Mối quan hệ họ HCP với họ khác không gian tôpô Định nghĩa 2.2.1 Giả sử F họ tập không gian X (1) F CF X với tập compact K ⊂ X , K∧F = {F1 , F2 , , Fk }, nghĩa |K ∧ F| < ω (2) F CF* X K ∧ F = {F1 , F2 , , Fk } |Fi | Fi = {F ∈ F : F ω K = Fi } họ hữu hạn (3) F = {Fα : α ∈ Λ} gọi HCF (tương ứng với HCF*) X với Eα ⊂ Fα , họ {Eα : α ∈ Λ} họ CF (tương ứng CF*) X Định nghĩa 2.2.2 Giả sử H = {Hλ : λ ∈ Λ} phủ tập hợp X Ta đưa vào quan hệ tương đương "∼" X sau x ∼ y ⇐⇒ {λ ∈ Λ : x ∈ Hλ } = {λ ∈ Λ : y ∈ Hλ } Khi đó, X phân hoạch lớp tương đương họ H lớp tương đương kí hiệu P = {P (δ) : δ ∈ ∆}, 22 ∆ ∈ 2Λ với δ ∈ ∆, ta có: {Hλ : λ ∈ δ}\ {Hλ : λ ∈ Λ\δ} P (δ) = Ta nói, P phân hoạch rời X H Định lí 2.2.3 Giả sử F họ tập không gian X Khi đó, khẳng định sau (1) Nếu F họ hữu hạn địa phương, F họ HCP (2) Nếu F họ compact-hữu hạn, F họ CF (3) Nếu F họ HCP, F họ CP (4) Nếu F họ HCP, F họ CF (5) Nếu F họ HCP, F họ CF* Chứng minh (1) Nếu F họ hữu hạn địa phương, F họ HCP Theo Mệnh đề 2.1.10 (2) Nếu F họ compact-hữu hạn, F họ CF Hiển nhiên (3) Nếu F họ HCP, F họ CP Hiển nhiên (4) Giả sử F họ HCP, ta chứng minh F họ CF Thật vậy, giả sử ngược lại F không họ CF Khi đó, giả sử tồn tập compact K ⊂ X cho |K ∧ F| ω Bây giờ, ta đặt F0 = K ∧ F = {Fλ : λ ∈ Λ}, Fλ = ∅ với λ ∈ Λ |Λ| ω Giả sử {P = P (δ) : δ ∈ ∆} phân hoạch rời K F0 Khi đó, Trường hợp 1: {δ ∈ ∆ : |δ| < ω} vơ hạn Lấy λ1 , δ1 , x1 cho: x1 ∈ P (δ1 ) ⊂ Hλ1 , λ1 ∈ δ1 23 Khi đó, tồn λ2 ∈ δ2 \δ1 x2 ∈ P (δ2 ) Tương tự thế, ta chọn dãy {xn : n ∈ N} {λn : n ∈ N} cho λn = λm , xn = xm với n = m xn ∈ Fλn Vì F họ HCP nên {xn : n ∈ N} đóng rời rạc X Vì {xn } ⊂ K nên điều mâu thuẫn với tính compact K Trường hợp 2: {δ ∈ ∆ : |δ| < ω} hữu hạn Khi đó, tập hợp: ∆0 = {δ ∈ ∆ : |δ| ≥ ω} vô hạn Lấy dãy {δn : n ∈ N} ⊂ ∆0 , x1 ∈ P (δ1 ) λ1 ∈ δ1 Với n ≥ 2, chọn xn ∈ P (δn ) λn ∈ δn \{λ1 , , λn−1 } Khi đó, hiển nhiên λn = λm , xn = xm với n = m xn ∈ Fλn Tương tự Trường hợp ta suy mâu thuẫn Vậy F họ CF (5) Giả sử F họ HCP, ta cần chứng minh F họ CF* X Thật vậy, giả sử K tập compact X Khi đó, F họ HCP nên từ (4) ta suy F họ CF, nghĩa K ∧ F = {F1 , F2 , , Fn } Bây giờ, giả sử Fi tập vô hạn Ta cần chứng minh họ Fi = {F ∈ F : K F = Fi } tập hữu hạn Thật vậy, giả sử ngược lại Fi tập vơ hạn Khi đó, ta chọn dãy {xn : n ∈ N} {F(n) : n ∈ N} ⊂ Fi cho xn ∈ F (n) K với n ∈ N Từ tính chất HCP F ta suy {xn } tập vơ hạn đóng rời rạc tập compact K Điều dẫn đến mâu thuẫn với tính compact K Bổ đề 2.2.4 Giả sử F họ tập k -không gian X Khi đó, F họ CF* F họ HCP Chứng minh (1) Điều kiện cần: Giả sử F họ CF*, ta cần chứng minh F họ HCP Ta chứng minh phản chứng Giả sử ngược lại 24 F khơng phải họ HCP Khi đó, tồn họ F = {Fα : α ∈ Λ} ⊂ F cho α ∈ Λ tồn thỏa mãn Eα = Eα α∈Λ α∈Λ Suy tồn x ∈ X cho x∈ Eα \ α∈Λ Eα ⊂ α∈Λ Eα \ Eα α∈Λ α∈Λ Eα không đóng X Mặt khác, X k -khơng gian nên Vì α∈Λ tồn tập compact K ⊂ X cho: x ∈ ( Eα ) ∩ K Ta đặt α∈Λ F1 = {F ∈ F : |F K| < ω} = {Fα : α ∈ Λ1 } F2 = {F ∈ F : |F K| ≥ ω} = {Fα : α ∈ Λ2 } R1 = {Eα : α ∈ Λ1 } R2 = {Eα : α ∈ Λ2 } Vì F họ CF* nên K ∧ F1 họ hữu hạn F2 họ hữu hạn Suy R2 hữu hạn Mặt khác, phần tử F1 hữu hạn nên ta suy K ∧ R1 hữu hạn Do đó, ta đặt K ∧ R1 = {G1 , , Gm }; R2 = {Gm+1 , , Gn } Vì ta có n x∈( K=K∧ Eα ) α∈Λ n = R=( i=1 n Gi K⊂ i=1 Gi ⊂ i=1 Điều dẫn đến mâu thuẫn x ∈ / Gi ) Eα α∈Λ Eα Vậy F HCP α∈Λ (2) Điều kiện đủ: Sử dụng Bổ đề 2.2.3 K 25 Bổ đề 2.2.5 Giả sử F họ tập đóng k-khơng gian X Khi đó, F họ CF F họ CP Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử ngược lại F họ CP Khi đó, tồn họ hữu hạn R ⊂ F cho R= R= R Suy R khơng đóng X Vì X k -không gian nên tồn tập compact K ⊂ X cho K ( R) khơng đóng K Mặt khác, phần tử F đóng X nên K Hơn R CF X nên K ( R) = K ( R) khơng đóng K ( {F1 , Fn }) Cuối cùng, F1 , , Fn tập đóng nên {F1 , Fn } đóng X Suy K ( {F1 , Fn }) đóng X , kéo theo K ( R) đóng K Điều dẫn đến mâu thuẫn K ( R) khơng đóng K Mệnh đề 2.2.6 Nếu X k -khơng gian, họ CF X CP X Chứng minh Giả sử H họ CF k -không gian Ta cần chứng minh H họ CP Thật vậy, giả sử ngược lại H họ CP X Khi đó, tồn H0 ⊂ H cho H0 = H0 Suy tồn p ∈ X cho p∈ H0 \ H0 Vì X k -khơng gian nên tồn tập compact K ⊂ X cho: p ∈ ( H0 ) K Mặt khác, H họ CF X nên H0 ∧ K = {H1 , , Hk } 26 Suy tồn H ∈ H0 cho p ∈ Hi ⊂ H (Mâu thuẫn) Vậy H CP X 2.3 Không gian với mạng σ -HCP Định nghĩa 2.3.1 Giả sử P họ gồm tập X Khi đó: (1) P gọi k-mạng với K compact với lân cận mở U K X , tồn họ hữu hạn F ⊂ P cho K⊂ F ⊂ U (2) P gọi mạng với x ∈ X , với lân cận mở U x, tồn P ⊂ P cho x ∈ P ⊂ U (3) P gọi cs-mạng với dãy {xn } hội tụ đến x ∈ X U lân cận x, tồn m ∈ N P ∈ P cho {x} {xn : n ≥ m} ⊂ P ⊂ U (4) P gọi wcs∗ -mạng với dãy {xn } hội tụ đến x ∈ X U lân cận x, tồn dãy {xni : i ∈ N} {xn } P ∈ P cho {xni : i ∈ N} ⊂ P ⊂ U (5) Giả sử P k -mạng X Ta nói P k-mạng đóng tất phần tử P tập đóng X Định lí 2.3.2 Nếu khơng gian X có cs-mạng σ -HCP, X có k-mạng σ -HCP Chứng minh Giả sử {Pn : n ∈ N} cs-mạng σ -HCP X với Pn HCP Từ Bổ đề 2.1.3 ta giả sử Pn ⊂ Pn+1 phần tử Pn tập đóng X Giả sử K ⊂ U với K tập compact U tập mở X Đặt 27 Pn = {P ∈ Pn : tồn dãy hội tụ Z ⊂ P ⊂ U }; Fn = ∪Pn Khi đó, tồn n ∈ N cho K ⊂ Fn Thật vậy, giả sử ngược lại với n ∈ N tồn xn ∈ K\Fn Ta thu dãy {xn : n ∈ N} dãy vơ hạn K Vì K không gian compact khả mêtric nên tồn dãy {xni } ⊂ {xn } hội tụ đến x ∈ K Vì P cs-mạng nên tồn m ∈ N P ∈ P cho {x} {xni : i ≥ m} ⊂ P ⊂ U Do đó, tồn n ∈ N cho P ∈ Pn Vì P ∈ Pn , P chứa dãy hội tụ nên suy P ∈ Pn {x} {xni : i ≥ m} ⊂ P ⊂ Fn Cuối cùng, lấy i ∈ N cho ni ≥ max{m, n} Khi xni ∈ (K \ Fni ) P Điều dẫn đến mâu thuẫn với (K \ Fni ) P = ∅ Vì vậy, tồn n ∈ N cho K ⊂ Fn , tức Pn phủ đóng HCP tập compact K X Khi đó, tồn họ hữu hạn Pn Pn cho K ⊂ đó, {Pn : n ∈ N} k -mạng σ -HCP X Pn ⊂ U Do Bổ đề 2.3.3 Giả sử P phủ đóng CP khơng gian X Khi đó, tập hơp X1 = {x ∈ X : Px = {x}} rời rạc X, Px = {P ∈ P : x ∈ P } Chứng minh Giả sử y điểm thuộc X , ta đặt U = X \ {P ∈ P : y ∈ / P } Vì P phủ đóng CP nên U lân cận mở y X Nếu x ∈ U X1 , ta có 28 ∅=U ( Px )=(X \ {P ∈ P : y ∈ / P }) ( {P ∈ P : x ∈ P }) kéo theo Py ⊂ Px Cuối cùng, x ∈ X1 nên y∈ Py ⊂ Px = {x} kéo theo y = x Suy ra, U chứa nhiều điểm X1 Từ ta suy tập vơ hạn X1 đóng Vậy X1 tập rời rạc Định lí 2.3.4 Giả sử khơng gian X có k-mạng σ -HCP Khi tồn ℵ-khơng gian Z X cho X\Z không gian σ -đóng rời rạc X, nghĩa ∞ X\Z = Yn , n=1 Yn tập đóng rời rạc X Chứng minh Giả sử {Pn : n ∈ N} k -mạng σ -HCP X Ta giả sử Pn họ HCP tập đóng X Ta giả thiết rằng: X ∈ Pn ⊂ Pn+1 , với n ∈ N Với n ∈ N, x ∈ X , ta đặt: Pn,x = {P ∈ Pn : x ∈ P } Yn = {x ∈ X : Pn,x = {x}} Sử dụng Bổ đề 2.3.3, suy Yn không gian đóng rời rạc X Đặt Z = X\ {Yn : n ∈ N} Khi đó, Pn,x hữu hạn với x ∈ Z Thật vậy, giả sử ngược lại Pn,x vơ hạn Vì x ∈ / Ym nên với m ∈ N, Pm,x \{x} = ∅ Bằng phương pháp quy nạp, ta chọn tập {xi : i ≥ n} X họ {Pi : i ≥ n} Pn cho 29 xi ∈ P i ( Px,i )\{x} Đặt V = X\{xi : i ≥ n} Khi đó, V lân cận mở x X Vì thế, tồn m n P ∈ Pm cho x ∈ P ⊂ V ⊂ X\{xm } Điều mâu thuẫn với xm ∈ ∩Pm,x Do đó, với n ∈ N z ∈ Z , Pn,x hữu hạn Cuối cùng, với n ∈ N, đặt Fn = {P Khi đó, Z : P ∈ Pn } {Fn : n ∈ N} k -mạng σ -hữu hạn địa phương Z Vì ∞ vậy, Z ℵ-không gian Z X và: X\Z = Yn , Yn n=1 tập đóng rời rạc X Mệnh đề 2.3.5 Trên khơng gian X, ta xét tính chất sau (1) X có k-mạng σ -HCP (2) X có k-mạng σ -compact-hữu hạn (3) X có k-mạng σ -cs-hữu hạn Khi đó: (1) ⇒ (2) ⇒ (3) Chứng minh (1) ⇒ (2): Giả sử P = Pn k -mạng σ -HCP X , X ∈ Pn ⊂ Pn+1 Pn họ HCP với n ∈ N Với n ∈ N, đặt Dn = {x ∈ X : Pn không điểm-hữu hạn x} Fn = {P \Dn : P ∈ Pn } {{x} : x ∈ Dn } ∞ đặt F = Fn Khi n=1 • F σ -compact-hữu hạn Giả sử K tập compact X Khi đó, K Dn hữu hạn với n ∈ N 30 Mặt khác, P họ HCP nên {P \Dn : P ∈ Pn } họ HCP điểm hữu hạn Do đó, K giao với hữu hạn họ {P \Dn : P ∈ Pn } Thật vậy, K giao với hữu hạn họ {P \Dn : P ∈ Pn } {P \Dn : P ∈ Pn } điểm hữu hạn nên ta chọn dãy phân biệt {xi : i ∈ N} ⊂ K cho xi ∈ Pαi \Dn , với i ∈ N Bởi {P \Dn : n ∈ N} họ HCP nên {xi : i ∈ N} phải tập rời rạc X Điều mâu thuẫn với {xi : i ∈ N} dãy vơ hạn khơng gian compact K • F k -mạng X Giả sử K tập compact, K ⊂ U U mở X Bởi P k -mạng Pn ⊂ Pn+1 nên tồn n ∈ N họ hữu hạn Pn ⊂ Pn cho K ⊂ Pn ⊂ U Đặt Fn = {P \Dn : P ∈ Pn } {{x} : x ∈ Dn K} Khi đó, hiển nhiên K ⊂ Fn ⊂ U Đồng thời, Pn họ hữu hạn nên ta suy Fn họ hữu hạn F Vậy F k -mạng X (2) ⇒ (3): Hiển nhiên Bổ đề 2.3.6 Mọi không gian compact với k-mạng điểm-đếm khả mêtric Mệnh đề 2.3.7 Các mệnh đề sau tương đương với k-không gian X (1) X có k-mạng σ -HCP (2) X có k-mạng σ -compact-hữu hạn (3) X có k-mạng σ -cs-hữu hạn Chứng minh (1) ⇒ (2) ⇒ (3): Theo Mệnh đề 2.3.5 ∞ (3) ⇒ (1): Giả sử P = Pn k -mạng σ -cs-hữu hạn X Khi đó, n=1 hiển nhiên P k -mạng điểm-đếm X Do đó, X khơng gian dãy 31 Cần chứng minh Pn họ HCP với n ∈ N Giả sử ngược lại, tồn n0 ∈ N cho: Pn0 = {Pα : α ∈ I} khơng họ HCP Khi đó, tồn J ⊂ I α ∈ J , tồn Bα ⊂ Pα cho Bα , suy Bα = α∈J α∈J Bα khơng đóng X α∈J Vì X khơng gian dãy nên tồn dãy {xn : n ∈ N} ⊂ Bα nên α∈J Bα chứa hữu hạn phần tử dãy xn Do {Bα : α ∈ J, Bα ({xn } {x}) = ∅} tập vô hạn Do đó, họ {Bα : α ∈ J} khơng cs-hữu hạn Vì Pn0 họ cs-hữu hạn nên họ {Bα : α ∈ J} cs-hữu hạn Từ mâu thuẫn suy Pn họ HCP Hệ 2.3.8 Các khẳng định sau tương đương với không gian dãy X (1) X có k-mạng σ -HCP (2) X có k-mạng σ -compact-hữu hạn (3) X có k-mạng σ -cs-hữu hạn Chứng minh Giả sử X không gian dãy nên nhờ Mệnh đề 1.5.4, ta suy X k -không gian Sử dụng kết Mệnh đề 2.3.7, ta suy điều phải chứng minh Hệ 2.3.9 Nếu X k-không gian với k-mạng σ -HCP, X khơng gian dãy Chứng minh Giả sử P k -mạng σ -HCP k -khơng gian X Khi đó, theo Mệnh đề 2.3.7, ta suy X có k -mạng điểm-đếm Áp dụng Bổ đề 2.3.6 ta suy tập compact X khả mêtric Do đó, X khơng gian dãy 32 Mệnh đề 2.3.10 Giả sử P phủ σ -HCP X Khi đó, P k-mạng P wcs*-mạng Chứng minh (1) Điều kiện cần: Giả sử P k -mạng σ -HCP X Khi đó, hiển nhiên P wcs∗-mạng X ∞ (2) Điều kiện đủ: Giả sử P = Pn wcs∗-mạng X , Pn ⊂ Pn+1 n=1 Pn họ HCP với n ∈ N Vì P mạng σ -HCP X nên điểm X Gδ -tập Do đó, tập compact X compact theo dãy Giả sử K tập compact K ⊂ U với U tập mở Đặt: Pn = {P ∈ Pn : Z ⊂ P ⊂ U , với Z dãy hội tụ K} Pn Khi đó, tồn n ∈ N cho K ⊂ Fn Thật vậy, giả sử ngược lại với n ∈ N, tồn xn ∈ K\Fn Do đó, ta dãy vơ hạn {xn : n ∈ N} ⊂ K Bởi K compact theo dãy P wcs∗-mạng nên tồn dãy {xni : i ∈ N} dãy {xn : n ∈ N}, hội tụ đến x ∈ K P ∈ P cho {xni : i ∈ N} ⊂ P ⊂ U Fn = Suy tồn m ∈ N cho P ∈ Pn Vì vậy, P ⊂ Fm Nếu lấy i ∈ N cho ni m xni ∈ (K\Fni ) P = ∅ Điều dẫn đến mâu thuẫn Vậy tồn n ∈ N cho K ⊂ Fn Bây giờ, ta chứng tỏ tồn họ hữu hạn F ⊂ Pn cho K ⊂ F Ta lấy P1 ∈ Pn x1 ∈ K P1 Vì giả thiết phản chứng nên K\P1 = ∅ Suy tồn x2 ∈ K\P1 Do K ⊂ Pn nên tồn P2 ∈ Pn cho x2 ∈ P2 Do đó, giả thiết phản chứng nên K\(P1 P2 ) = ∅ Bằng quy nạp, ta tìm dãy phân biệt {xn : n ∈ N} ⊂ K dãy phân biệt {Pn : n ∈ N} ⊂ Pn cho xn ∈ Pn với n ∈ N Bởi Pn họ HCP Pn ⊂ Pn nên Pn họ HCP Do đó, {xn : n ∈ N} tập đóng rời rạc Điều mâu thuẫn với {xn : n ∈ N} dãy vơ hạn tập compact K Vì tồn họ hữu hạn F ⊂ P cho K ⊂ X F ⊂ U Vậy P k -mạng 33 Bổ đề 2.3.11 Không gian X khả mêtric X không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ k-mạng σ -HCP Hệ 2.3.12 Các khẳng định sau tương đương không gian X: (1) X khơng gian Fréchet có k-mạng đóng σ -HCP (2) X khơng gian Fréchet có k-mạng σ -HCP (3) X khơng gian Fréchet có k-mạng điểm-hữu hạn σ -HCP (4) X không gian Fréchet có k-mạng compact-hữu hạn (5) X khơng gian Fréchet có k-mạng σ -CF* (6) X khơng gian Fréchet có k-mạng σ -CF 34 KẾT LUẬN Kết luận Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu, luận văn thu kết sau: (1) Hệ thống lại số kiến thức không gian mêtric tôpô đại cương (2) Trình bày số khái niệm tính chất họ HCP, CP, σ -HCP, mối quan hệ họ HCP với họ khác (3) Tìm hiểu chứng minh số tính chất họ HCP không gian đặc biệt như: k -không gian, khơng gian Fréchet, khơng gian dãy (4) Tìm hiểu khái niệm số tính chất mạng, k -mạng, csmạng, wcs∗ -mạng không gian mêtric suy rộng Do hạn chế mặt lực thời gian nghiên cứu luận văn nên chưa nghiên cứu sâu kết họ CF, HCF, Ngoài kết trình bày luận văn mặt tả khó tránh thiếu sót Do vậy, tơi mong nhận góp ý quý báu quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Một lần nữa, tác giả xin chân thành cảm ơn tất quý thầy giúp tơi q trình nghiên cứu hoàn thành luận văn 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Xuân Liêm (1994), "Tôpô đại cương, độ đo tích phân", Nhà xuất giáo dục [2] S Lin, "On a problem of K.Tamano", Question and Answer in General Topology, (1988), 99-102 [3] Yoshio Tanaka,"σ -hereditarily closure-preserving k -networks and g metrizability", Proceedings of the American Mathematical Society volum 112, Number May 1991 [4] J Kelley, "General topology", Van Nostrand , Princeton, N.J 1955 MR 16, 1136 [5] L Foged, "A characterization of closed images of metric space", Proc Amer Math Soc, 95 (1985), 487-490 ... Fréchet không gian dãy; (4) Mỗi không gian dãy k -không gian; (5) Mỗi không gian Fréchet k -không gian; (6) Mỗi k -không gian k -không gian Chứng minh (1) Giả sử X không gian mêtric Khi đó, với x... ? ?Không gian với họ HCP? ?? Mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, tơi nghiên cứu vấn đề sau: (1) Họ HCP tính chất (2) Mối quan hệ họ HCP với họ khác không gian tôpô (3) Không gian với mạng σ -HCP Đối... (1) Nếu F họ hữu hạn địa phương, F họ HCP (2) Nếu F họ compact-hữu hạn, F họ CF (3) Nếu F họ HCP, F họ CP (4) Nếu F họ HCP, F họ CF (5) Nếu F họ HCP, F họ CF* Chứng minh (1) Nếu F họ hữu hạn