TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ CÔNG THỊ KHÁNH HUYỀN CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN DAO ĐỘNG Chuyên ngành: Vật lý đại cương KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ CÔNG THỊ KHÁNH HUYỀN CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN DAO ĐỘNG Chuyên ngành: Vật lý đại cương KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS LÊ ĐÌNH TRỌNG HÀ NỘI, 2018 LỜI CẢM ƠN Lời em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo – PGS.TS Lê Đình Trọng người hướng dẫn, tận tình bảo, giúp đỡ em suốt q trình học tập nghiên cứu để hồn thành đề tài khóa luận Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô giáo khoa Vật lý trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ, tạo điều kiện cho em suốt thời gian thực khóa luận Trong q trình nghiên cứu em cố gắng nỗ lực để thực đề tài cách hoàn thiện Song làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên khơng tránh khỏi vài thiếu sót Em mong nhận góp ý thầy giáo bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày… tháng năm 2018 Sinh viên Công Thị Khánh Huyền i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Khóa luận xét tốt nghiệp với đề tài “Các phương pháp biểu diễn dao động ứng dụng giải tốn dao động” hồn thành với cố gắng thân với giúp đỡ tận tình thầy giáo PGS.TS Lê Đình Trọng, tơi xin cam đoan khóa luận khơng trùng khớp với kết cơng trình nghiên cứu khác cơng bố Trong q trình thực khóa luận, tơi có tham khảo thành tựu nhà nhà nghiên cứu trước với trân trọng biết ơn sâu sắc Hà Nội, ngày… tháng năm 2018 Sinh viên Công Thị Khánh Huyền ii MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU .2 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .2 ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI NỘI DUNG CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 DAO ĐỘNG 1.1.1 Một số khái niệm tổng quát dao động 1.1.2 Dao động điều hòa 1.2 CÁC HỆ DAO ĐỘNG 1.2.1 Hệ dao động điều hòa .5 1.2.2 Hệ dao động riêng tắt dần 1.2.3 Hệ dao động riêng trì .11 1.2.4 Hệ dao động cưỡng 11 1.3 CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG 12 1.3.1 Phương pháp lượng giác 12 1.3.2 Phương pháp hình học 12 1.3.3 Phương pháp số phức .13 CHƯƠNG 2: VẬN DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG VÀO GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG 15 2.1 BÀI TOÁN TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG CÙNG TẦN SỐ 15 2.1.1 Hai dao động phương, tần số biên độ pha ban đầu khác nhau: 15 2.1.2 Hai dao động tần số, phương vng góc nhau, biên độ pha iii ban đầu khác 27 2.2 BÀI TOÁN TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG KHÁC TẦN SỐ 30 2.2.1 Tổng hợp hai dao động điều hòa phương, tần số khác (hiện tượng phách) 31 2.2.2 Tổng hợp hai dao động có phương vng góc nhau, tần số bội ngun lần 35 KẾT LUẬN 37 TÀI TIỆU THAM KHẢO 38 iv MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Dao động học phần kiến thức quan trọng vật lý nói riêng khoa học kỹ thuật đời sống nói chung Kiến thức dao động nội dung lớn chương trình vật lý lớp 12, chiếm lượng lớn hệ thống kiến thức thi THPT Quốc gia, đồng thời học phần thiếu sinh viên khoa Vật lý, tầm quan trọng trọng Không vậy, hệ thống tập dao đông vô phong phú dạng lẫn cách biểu diễn, phương pháp giải tập Khi nghiên cứu dao động, nhiều phương pháp biểu diễn dao động sử dụng như: phương pháp lượng giác, phương pháp hình học, phương pháp số phức Mỗi phương pháp có ưu điểm hạn chế riêng Để giải toán dao động nhanh gọn, hiệu quả, phù hợp với xu đổi ngành giáo dục giảng dạy kiểm tra đánh giá theo hướng trắc nghiệm khách quan, đòi hỏi học sinh bên cạnh nắm kiến thức cần phải có phản ứng nhanh dạng tốn việc hiểu rõ vận dụng tốt phương pháp biểu diễn dao động vào giải toán dao động cụ thể cần thiết Qua trình học tập, nghiên cứu vật lý đại học, tìm hiểu phương pháp giải tập vật lý hiệu đặc biệt phần dao động, tơi cho để giải tốn nhanh gọn, hiệu cần phải chọn phương pháp phù hợp với trường hợp tốn cụ thể Bên cạnh đó, để có nhìn tổng quan dao động cần khai thác vấn đề theo nhiều khía cạnh Bằng trải nghiệm thực tế thân trường THPT xuất phát từ nhu cầu thực tiễn, chọn đề tài nghiên cứu: “Các phương pháp biểu diễn dao động ứng dụng giải tốn dao động” làm đề tài khóa luận xét tốt nghiệp đại học Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp biểu diễn dao động từ làm bật ưu nhược điểm phương pháp ứng dụng giải toán dao động Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Các phương pháp biểu diễn dao động: phương pháp lượng giác, phương pháp hình học, phương pháp số phức - Phạm vi nghiên cứu: Các phương pháp biểu diễn dao động ứng dụng phương pháp biểu diễn dao động việc giải toán dao động Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sở lý thuyết phương pháp biểu diễn dao động: phương pháp lượng giác, phương pháp hình học, phương pháp số phức - Tổng hợp kiến thức hệ thống tập dao động - Trên sở kiến thức toán học trang bị cấp học phổ thông đại học sư phạm vật lý, qua việc vận dụng phương pháp, ưu hạn chế đề xuất việc vận dụng phương pháp vào giải dạng toán dao động cho phù hợp Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chủ đạo lý thuyết: - Nghiên cứu, phân tích, tổng hợp tài liệu có liên quan đến dao động phương pháp biểu diễn dao động - Vận dụng phương pháp biểu diễn dao động nghiên cứu dao động sở phân tích, tổng hợp đưa nhận xét, đánh giá cách tổng quát Đóng góp đề tài - Nâng cao trình độ nhận thức, kỹ vận dụng kiến thức lý thuyết vào thực tiễn cho người học - Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành cử nhân sư phạm vật lý giáo viên giảng dạy trường phổ thông NỘI DUNG Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Dao động 1.1.1 Một số khái niệm tổng quát dao động Hiện tượng tuần hoàn: Trong thiên nhiên, đời sống, khoa học kỹ thuật có nhiều tượng diễn lặp lặp lại cũ sau khoảng thời gian định tượng tuần hồn Ví dụ: nhịp tim động vật, mùa năm, Quá trình tuần hồn q trình liên tục biến thiên số đại lượng đặc trưng cho trình biến đổi vận tốc, gia tốc, áp suất, nhiệt độ, khoảng cách,… lặp lại cũ sau khoảng thời gian xác định Dao động: Trong số q trình tuần hồn đại lượng biến thiên đặc trưng cho trình thay đổi giá trị xung quanh giá trị trung bình gọi dao động tuần hồn Mỗi lần đại lượng biến thiên trình lặp lại giá trị cũ ta nói thực dao động Chu kì dao động: Chu kì dao động (T) khoảng thời gian xác định khơng đổi để q trình biến đổi thực dao động Nếu f (t+T) =f (t) đại lượng biến đổi tuần hoàn theo thời gian với chu kì T ta ln có: f (t+T) =f (t) Chúng ta gặp dao động tuần hồn khơng q trình học mà trình điện học, nhiệt học, quang học, trình diễn nguyên tử hạt nhân,… 1.1.2 Dao động điều hòa 1.1.2.1 Khái niệm dao động điều hòa Dao động điều hòa loại dao động đơn giản quan trọng Các dao động tự nhiên kĩ thuật thường có tính chất gần với dao động điều hịa dao động biểu diễn tổng hợp dao động điều hịa Một dao động tuần hồn mà đại lượng biến đổi biểu diễn phương trình dạng sin cosin gọi dao động điều hịa 1.1.2.2 Phương trình động học dao động điều hòa Dao động điều hòa biểu diễn phương trình:  x = A sin(t +  ) = A cos(t +  − ) , đó: • Gốc tọa độ dược chọn vị trí cân bằng, tọa độ x gọi li độ dao động • Lượng (t + ) gọi pha dao động điều hòa, cho phép xác định li độ, vận tốc, gia tốc chất điểm t • Lượng α gọi pha ban đầu dao động điều hòa, cho phép xác định li độ, vận tốc, gia tốc thời điểm ban đầu t = (trạng thái ban đầu dao động) • Lượng T = 2  chu kì dao động điều hịa Trong dao động điều hòa, li độ, vận tốc, gia tốc biến thiên với chu kì chung T = 2  Nghịch đảo chu kì T, gọi tần số  dao động điều hòa Thứ nguyên tần số: [  ] = T-1 Đơn vị tần số (trong hệ SI) Hec (Hz): 1Hz = s-1 • Đại lượng  = 2 T = 2 gọi tần số vòng hay tần số góc dao động điều hịa Như ta đổi cách biểu diễn dạng sin thành dạng biểu diễn cosin cách Cho đoạn mạch hình 2.7 Trong mạch có dịng điện xoay chiều cường độ i = I0cos100t Khi (A) uMB uAN vng pha   u MB = 100 2cos 100t+  (V) Hãy viết biểu thức uAN tìm hệ số công suất 3  đoạn mạch MN Giải: Sử dụng giản đồ vectơ: Do pha ban đầu i nên : MB = uMB − i =  −0=  (rad) Dựa vào giản đồ vec-tơ, ta có giá trị hiệu dụng UL, UR, UC là: U R = U MB cosMB = 100.cos U L = U R tan  MB = 50 tan   = 50(V) = 50 (V) Vì uMB uAN vng pha nên:   MB −  AN =   AN = − 24 Ta có: tan  MB tan  AN = −1  U L −U C = −1 UR UR U R2 502 50 (V)  UC = = = U L 50 3 Ta có: U AN = UR = cos  AN 50   cos  −   6 = 100  U oAN = 100 (V) Vậy biểu thức u AN là: u AN = 100   cos 100 t −  (V) 6  Hệ số công suất đoạn mạch MN : cos  = R Z = UR U = UR U R2 + (U L − U C ) = 50 50   502 +  50 −  3  Đáp số: u AN = 100 cos 100 t −   (V); cos  = 6  = 7 Bài 8: Cho mạch điện hình 2.9 Điện áp hai đầu AB có biểu thức u = 200cos100 t (V) Cuộn dây cảm có L thay đổi được, điện trở R = 100, tụ điện có điện dung C = 10 Hình 2.9 −4  (F) Xác định L cho điện áp hiệu dụng hai điểm M B đạt giá trị cực đại, tính hệ số cơng suất mạch điện 25 Giải Sử dụng giản đồ Fresnel : Dung kháng : ZC = = C = 100 10−4 100  U = U R + UC + U L Ta có: Đặt U1 = U R + U C Mặt khác, ta có: tan 1 = U C IZC ZC 100 = = = =1 UR IR R 100  1 = Dựa vào giản đồ ta thấy:   + 1 =  =  (rad)  =  −   = − 1  rad Xét tam giác OPQ đặt  =  + 1 Theo định lý hàm số sin, ta có: U U U sin  = L  UL = sin  sin  sin  Vì U sin không đổi nên ULmax sin cực đại hay sin =   = Vì  =  + 1   =  − 1 = Hệ số công suất: cos  = cos   = −  =  (rad) 2 Mặt khác: tan  = Z L − ZC =  Z L = ZC + R = 100 + 100 = 200 R 26  L= ZL  Đáp số: L = 200 = (H) 100  =  H ; cos = 2 2.1.2 Hai dao động tần số, phương vng góc nhau, biên độ pha ban đầu khác Trong quang học, vơ tuyến điện, có trường hợp phải tổng hợp hai dao động điều hịa có phương vng góc Ta xét tốn vật đồng thời tham gia hai dao động có tần số theo hai phương vng góc Ox Oy Ta chọn thời điểm ban đầu t = lúc pha ban đầu theo trục x  pha ban đầu theo trục y độ lệch pha hai dao động Phương trình hai dao động thành phần là:  x = A1 cos t   y = A cos(t + ) (2.3) Cách 1: Phương pháp lượng giác Phương trình (2.3) phương trình quỹ đạo mà theo vật chuyển động dạng tham số Để nhận phương trình quỹ đạo dạng tắc ta phải khử t hai phương trình Ta có: x A1 y A2 = cost (2.4) = cos(t + ) = cos t.cos  − sin t.sin  (2.5) Nhân (2.4) với cos , sau trừ (2.5) ta được: x A1  cos − y A2 = sin t.sin  (2.6) Nhân (2.4) với sin , ta được: x A1  sin  = cost.sin  27 (2.7) Bình phương vế phương trình (2.6) (2.7) cộng phương trình ta được: x y2 2xy + 2− cos = sin  A1 A A1.A2 (2.8) Phương trình (2.8) phương trình quỹ đạo chuyển động có dạng phương trình elip có trục đối xứng nghiêng góc với trục tọa độ Ox Oy Dao động lúc dao động có tần số tần số ω dao động thành phần Sự định hướng elip độ lớn bán trục phụ thuộc cách phức tạp vào biên độ hiệu số pha dao động thành phần Cách 2: Phương pháp hình học Trong trường hợp ta không biểu diễn hai dao động phương pháp hình học, dao động thành phần biểu diễn hình chiếu vectơ biên độ hai trục tọa độ khác Ox Oy, vng góc với Việc tổng hợp lúc lại tổng hợp trường hợp tổng hợp hai dao động phương xét mục 2.1.1 Cách 3: Phương pháp số phức Từ (2.3) ta biến đổi thành:  x = A1 cos(t)     y = A sin(t +− )  (2.9) Theo lý thuyết mặt phẳng phức ta nhận thấy, dao động tổng hợp hai dao động biểu diễn dạng số phức : z = x + iy (2.10) Số phức z biểu diễn mặt phẳng phức điểm, giả sử ta gọi điểm M Tại thời điểm t tương ứng có giá trị dao động tổng hợp ứng với điểm M1, M2,… khác Quỹ tích điểm M, M1, M2,… cho ta quỹ đạo chuyển động dao động tổng hợp Tuy nhiên, phương trình quỹ đạo chuyển động có dạng phải biến đối toán học dùng phương pháp lượng giác để xác định nêu phần Ta sử dụng phương pháp lượng giác để tìm mơđun z (nghĩa biên 28 độ dao động tổng hợp) Từ (2.10) ta biểu diễn dạng số phức Ta có: i(t) z = A1.e i(t+−/2) + iA e z = eit (A1 + i.A ei.e−i/2 )  − −    z = eit  A1 + i.A ei. cos( ) + isin( )   2    z = eit  A1 + i.A ei.(−i)    z = eit  A1 + A ei    z = eit A1 + A2 ( cos + i.sin) z = eit  (A1 + A 2cos) + i.A 2sin()  (2.11) Từ (2.11) ta nhận biên độ dao động tổng hợp là: A2 = (A1 + A 2cos)2 + ( A 2sin) = A12 + A 22 + 2A1A 2cos (2.12) Nhận xét: Đến ta nhận thấy việc dùng phương pháp số phức để khai triển phương trình quỹ đạo chuyển động không khả quan Sử dụng lý thuyết mặt phẳng phức giúp ta phần việc tìm biên độ dao động tổng hợp nhiên cách nhanh Trong trường hợp này, ta nên sử dụng phương pháp lượng giác để tìm phương trình quỹ đạo tổng hợp Sau tùy theo biên độ độ lệch pha tương ứng với tập để biện luận giải tập cách cụ thể Bài tập vận dụng: Bài 1: Hai chất điểm dao động điều hoà hai trục tọa độ Ox Oy vng góc với (O vị trí cân hai chất điểm) Biết phương trình dao động hai chất điểm là: x = 2cos(5πt +π/2) cm y = 4cos(5πt – π/6) cm 29 Khi chất điểm thứ có li độ x = − cm theo chiều âm khoảng cách hai chất điểm là: A 3 cm B C cm cm D 15 cm Giải: Khi t = 0: x = 0, vx < chấ t điể m qua VTCB theo chiề u âm y = , vy > 0, chấ t điể m y từ biên Khi chấ t điể m x từ VTCB đế n vi ̣trí x = − hế t thời gian T/6 Trong thời gian T/6 đó, chấ t điể m y từ y = biên dương rồ i về la ̣i đúng y = Vi ̣trí của vâ ̣t hình 2.10: Dựa vào hình vẽ, khoảng cách giữa vâ ̣t là d= ( ) ( + ) = 15 (cm) Hình 2.10 Vậy chọn đáp án: D 2.2 Bài toán tổng hợp hai dao động khác tần số Xét vật tham gia đồng thời hai dao động phương, khác tần số, biên độ pha ban đầu:  x1 = A1 sin(1t + 1 )   x = A sin(2 t +  ) (2.13) Chuyển động vật tổng hợp hai dao động x = x1 + x = A1 sin(1t + 1 ) + A sin(2 t +  ) (2.14) Ta nhận thấy hai dao động điều hòa dao động với hai tần số khác nhau, hai vectơ biên độ quay với vận tốc khác nên góc chúng biến đổi theo thời gian, hình bình hành tạo hai vecto biên độ biến dạng theo thời gian Nếu 30 sử dụng phương pháp hình học để biểu diễn hai dao động điều hịa khác tần số ta nhận định cách định lượng vị trí dao động thời điểm Mặt khác, vận tốc góc quay biến đổi theo thời gian, biên độ tổng hợp số dao động lúc khơng dao động điều hòa Sau đây, ta xét số trường hợp đặc biệt 2.2.1 Tổng hợp hai dao động điều hòa phương, tần số khác (hiện tượng phách) Xét tổng hợp hai dao động điều hòa phương, biên độ, pha ban đầu, tần số khác không đáng kể:  x1 = A sin(1t +  )   x = A sin(2 t +  ) (2.15) Cách 1: Phương pháp lượng giác Chuyển động vật tổng hợp hai dao động x = x1 + x = A sin(1t +  ) + A sin(2 t +  ) = A [sin(1t +  ) + sin(2 t +  )]   1 + 2    − 2   t + 0   cos  t      = A0  2.sin    1 − 2   1 + 2  t  sin  t + 0      = 2A cos  Đặt 1 + 2 =  , ta có:  1 − 2  t  sin ( t +  )   x = 2A cos  Vì ω1 ≈ ω2 nên 1 − 2 (2.16)   − 2  t  biến đổi chậm theo   Do đó, số hạng cos    thời gian so với sin ( t +  ) Trong chu kỳ biến đổi sin ( t +  ) , 31  1 − 2  t  gần không đổi Như coi biên độ dao động tổng   xem cos  hợp là:  1 − 2  t   A = 2A0 cos  (2.17) Như vậy, biên độ dao động tổng hợp biến đổi tuần hoàn theo thời gian Hiện tượng biên độ dao động biến đổi chậm theo thời gian gọi tượng phách Tần số biến đổi biên độ theo thời gian gọi tần số phách, có giá trị lớn gấp hai lần tần số biểu thức đứng dấu môdun, tức hiệu tần số dao động thành phần Chu kì dao động biên độ: T= 4 1 − 2 (2.18) Cuối ta viết lại (2.17): x = A.sin ( t + 0 ) (2.19) Ta coi dao động tổng hợp dao động gần điều hòa biểu diễn phương trình (2.19) Trong thực tế, tượng phách giúp so dây đàn cho Tuy nhiên máy thu thanh, tượng làm cho âm phát lúc to lúc nhỏ khó chịu, nên máy thu thường có phận chống phách để khắc phục tượng Cách 2: Phương pháp số phức Hai dao động điều hòa x1, x2 biểu diễn phần thực hai số phức a1, a2: a = A ei( t + )  a = A ei( t + ) (2.20) Dao động tổng hợp x = x1 + x2 biểu diễn phần thực số phức a, ta có: a = a1 + a = A e 32 i(1t +0 ) i( t +0 ) + A e ( i( t + ) i( t + ) → a = A0 e + e → a = A0 e i 1t +0 e i 2 t +0 ) (2.21)  t +0  t +0 −i i  i 1t2+0 −i 2 t2+0  e +e e  e   Suy ra: a= A0 e i( 1 +2 t +0 )  − t) − i( t)   i( 1 − 2 e +e    Với biên độ dao động tổng hợp hai dao động có dạng:  − t) − i( t )   i( 1 − A = A e +e    Ta viết: i( a = A.e 1 +2 t +0 ) (2.22) (2.22) phương trình dao động tổng hợp dao động gần điều hòa biểu diễn dạng số phức Nhận xét: Đối với toán tổng hợp hai dao động phương khác tần số, dùng phương pháp số phức cho ta phương trình dao động tổng hợp Tuy nhiên biến đổi có đơi chút phức tạp Vậy nên trường hợp sử dụng phương pháp lượng giác ngắn gọn Bài tập vận dụng: Bài 1: Một vật dao động tổng hợp từ hai dao động thành phần có phương trình:   x1 = cos  10t −     x = cos 12t −  (cm) Hãy xác định phương trình dao 6 4  động, biên độ dao động tổng hợp Giải Phương trình tổng hợp từ hai dao động thành phần là: 33     x = x1 +x = 4cos 10t −  + 4cos 12t −  6 4    5      =  2.cos 11t −  cos  t −   24  24       5    = 8cos  t +  cos 11t −  24  24    Nhận xét: Thừa số cos 11t − 5  chứa tần số góc  = 11(1    2 ) nên tần 24   số góc chứa thừa số tần số góc chu kỳ dao động tổng hợp Vậy biên độ dao động tổng hợp có phương trình dao động:   x A = 8cos  t +  (cm) 24   Bài 2: Một vật tham gia đồng thời hai dao động thành phần có phương trình:   x1 =10 cos  49t −    (cm) x = 10 cos  51t −  (cm) 6 6   Hỏi biên độ dao động tổng hợp hoàn thành chu kỳ vật thực dao động Giải Phương trình tổng hợp từ hai dao động thành phần:     x = x1 + x = 10cos  49t −  + 10cos  51t −  6 6     → x = 20cos ( t ) cos  50t −   (cm) 6 Phương trình dao động biên độ: x A = 20 cos ( t ) (cm) Chu kỳ dao động biên độ: 34  = 1(s) A (2.23) 2 = 0,04(s)  (2.24) TA = Chu kỳ dao động tổng hợp: T= Từ (2.23) (2.24) dễ thấy biên độ hoàn thành chu kỳ dao động tổng  TA  = 25   T  hợp thực 25 dao động Vì  2.2.2 Tổng hợp hai dao động có phương vng góc nhau, tần số bội ngun lần Xét trường hợp vật tham gia đồng thời hai dao động có phương vng góc nhau, tần số khác Phương trình dao động thành phần có dạng:  x = A1 sin(1t+1 )   y = A 2sin(2 t+2 ) (2.25) đó: ω1 = qω, ω2 = pω; với p, q hai số nguyên Khi chuyển động vật coi phức tạp Quỹ đạo chuyển động đường cong phức tạp gọi đường Lixaju Ta gọi T1 , T2 chu kỳ hai dao động thành phần theo trục x y với T2 = T1 = 2 p 2 q (s) (s) , Hình dạng đường Lixaju phụ thuộc vào Hình 2.11 tỷ số tần số T1 hiệu pha (2 − 1 ) cho thấy hình 2.11 T2 35 Tương tự trường hợp tổng hợp hai dao động có phương vng góc có tần số, tùy thuộc vào kiện đề ta nên sử dụng phương pháp lượng giác để tìm phương trình quỹ đạo vật Bài tập vận dụng: Tìm phương trình quỹ đạo y(x) chất điểm, chất điểm chuyển động theo quy luật x = a sin(t) y = asin(2t) Giải Phương trình quỹ đạo hai dao động thành phần có dạng: x  a = sin(t)   y = sin(2t)  a (2.26) x  a = sin(t)   y = sin(2t)= 2.sin ( t ) cos ( t )  a (2.27) Suy Chia hai vế phương trình (2.27), sau lấy bình phương hai vế ta được: x2 y = 4cos (t) Suy y2 = 4cos (t).x y2 = 1 − sin (t)  x Kết hợp với (2.27) ta :  x2   a2  y = 4x 1 −  x2   a2  Đáp số: y = 4x  −  36  KẾT LUẬN Trong q trình thực khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Các phương pháp biểu diễn dao động ứng dụng giải tốn dao động” tơi hồn thành việc nghiên cứu vấn đề sau: Trình bày sở lý thuyết loại dao động phương pháp biểu diễn dao động: phương pháp lượng giác, phương pháp hình học, phương pháp số phức Trên sở lý thuyết trình bày, đề tài cịn làm bật ưu, nhược điểm phương pháp biểu diễn dao động ứng với trường hợp cụ thể, chia dạng áp dụng cách rõ ràng Bên cạnh đó, khóa luận đưa tập vận dụng mang tính chất điển hình có đáp án chi tiết hình thức tự luận trắc nghiệm khách quan để phát huy điểm mạnh phương pháp giải Đối với số trường hợp tổng hợp dao động khác phương phức tạp đề cập chương trình Vật lý phổ thơng khóa luận tơi chưa đưa nhiều dạng tập vận dụng Tuy nhiên, đề tài tiếp tục nghiên cứu mở rộng cho chương, phần khác thời gian sớm mong nhận ý kiến đóng góp độc giả để giúp khóa luận tốt nghiệp tơi hồn thiện 37 TÀI TIỆU THAM KHẢO [1] Lê Đình Trọng, Giáo trình Cơ học, Trường ĐHSP Hà Nội 2, 2013 [2] Lê Đình Trọng, Giáo trình Dao động sóng, Trường ĐHSP Hà Nội 2, 2013 [3] Phạm Quý Tư, Dao động sóng, NXB Giáo Dục 2000 [4] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Hàm biến phức, ĐHQG Hà Nội, 1997 [5] Trần Ngọc Hợi (chủ biên) - Phạm Văn Thiều, Vật lý đại cương nguyên lý ứng dụng (tập 2), NXB Giáo Dục 2006 38 ... cứu: Các phương pháp biểu diễn dao động ứng dụng phương pháp biểu diễn dao động việc giải toán dao động Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sở lý thuyết phương pháp biểu diễn dao động: phương pháp. .. nghiên cứu: ? ?Các phương pháp biểu diễn dao động ứng dụng giải toán dao động? ?? làm đề tài khóa luận xét tốt nghiệp đại học Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp biểu diễn dao động từ làm bật... .13 CHƯƠNG 2: VẬN DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG VÀO GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG 15 2.1 BÀI TOÁN TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG CÙNG TẦN SỐ 15 2.1.1 Hai dao động phương, tần số biên