phuong trinh he phuong trinh

C¸ch gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh bËc hai mét Èn.. Tæng vµ tÝch c¸c nghiÖm.[r]

Mục lục

Mở đầu

Chương Phương trình

1.1 Đại cương phương trình

1.1.1 Mét sè khái niệm

1.1.2 Điều kiện xác định phương trình

1.1.3 Phương trình tương đương, trình hệ

1.1.4 Phương trình nhiều ẩn:

1.1.5 Phương trình có chứa tham số:

1.1.6 Cách giải tổng quát phương trình:

Chương Phương trình bậc - phương trình bậc hai ẩn 2.1 Phương trình bậc

2.1.1 Dạng

2.1.2 Giải biện luận phương trình bậc

2.2 Phương trình bậc hai ẩn 11

2.2.1 Dạng 11

2.2.2 Cỏch giải biện luận phương trình bậc hai ẩn 11

2.2.3 Tổng tích nghiệm 13

2.2.4 DÊu cđa c¸c nghiƯm 13

2.2.5 Tam thøc bËc hai 13

Tãm t¾t giảng

Trong lch s ca Toỏn hc, phng trình đa thức vấn đề trung tâm Đại số Trong giảng đề cập đến vấn đề sau:

1 Đại cương phương trình

2 Phương trình bậc phương trình bậc hai Phương trình bậc cao

4 Hệ phương trình bậc hai ẩn, hệ đối xứng, hệ đẳng cấp,

Đây tài liệu số giảng trực tiếp dạy thử ôn luyện cho em học sinh lớp 10 Tuy cẩn thận q trình soạn giảng khơng tránh khỏi sai sót Mong bạn đồng nghiệp độc giả đóng góp thêm ý kiến cho tài liệu đầy đủ

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2010 Chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp

Nguyễn Đức Lợi

Chng 1

Phương trình

1.1 Đại cương phương trình 1.1.1 Một số khái niệm

a,Phương trình:

Định nghĩa 1.1 Cho hai hàm số y = f(x) y = g(x) có tập xác định Df Dg Đặt D = Df

Mệnh đề chứa biến f(x) = g(x) (1) gọi phương trình ẩn

x gäi lµ Èn sè (hay Èn)

D gọi tập xác định phương trình

b,Nghiệm, tập nghiệm phương trình:

Định nghĩa 1.2 Nếu tồn x0 ∈ D cho Mệnh đề " f(x0) = g(x0)"

mệnh đề x0 gọi nghiệm phương trình

+ Tập hợpS gồm tất nghiệm phương trình (1) gọi tập nghiệm

của phương trình (1)

Giải phương trình tìm tập tất nghiệm S

+ Nếu phương trình khơng có nghiệm tức S =6 hay D =6 ta nói phương trình vơ nghiệm

+ Nếu phương trình có vơ số nghiệm ( tức S có vơ số phần tử) ta nói

1.1.2 Điều kiện xác định phương trình

Điều kiện xác định phương trình hay gọi tắt điều kiện pt điều kiện ẩn x để biểu thức phương trình có nghĩa

Ví dụ 1.1 a, ĐKXĐ phương trình√x3 −2x2 + = 0làx3−2x2+1 ≥0

b, ĐKXĐ phương trình 3x−2

x2 −5x+ 6 =

4

x+ lµ

  

 

x2 −5x+ 6=

x+ 6=

1.1.3 Phương trình tương đương, trình hệ a, Phương trình tương đương

Hai phương trình f(x) =g(x) f1(x) = g1(x) gọi tương đương

nÕu chóng cã cïng mét tËp hỵp nghiƯm KH: f(x) =g(x) ⇔ f1(x) =g1(x)

b, Phương trình hệ quả:

Phương trình f1(x) = g1(x) phương trình hệ phương trình

f(x) = g(x) tập nghiệm chứa tập nghiệm phương trình

f(x) =g(x) KH: f(x) = g(x) ⇒f1(x) = g1(x)

c, Các phép biến đổi tương đương: Khi giải pt ta thường phải biến đổi phương trình đẫ cho thành pt khác tương đương dễ giải Phép biến đổi phải m bo iu kin:

i/ Không làm nghiƯm

ii/ Khơng làm xuất nghiệm ngoại lai Sau phép biến đổi tương đương:

Định lí 1.1 Cho pt f(x) = g(x) xác định D; h(x) hàm số xác đinh Dh cho Dh ⊇ D Khi đó:

Tøc lµ: "ta cã thĨ céng hay trõ hai vÕ cđa pt víi cïng mét sè hay mét biÓu thøc"

Thường áp dụng: Quy tắc chuyển vế:

i/ f(x) +h(x) =g(x) ⇔ f(x) =g(x)−h(x) ii/ f(x) = g(x) ⇔f(x)−g(x) =

Định lí 1.2 Cho f(x) = g(x) có tập xác định D h(x) 6= 0,∀x ∈ D

Khi đó:

f(x)

h(x) =

g(x)

h(x) ⇔f(x) = g(x)

f(x).h(x) =g(x).h(x) ⇔f(x) = g(x)

Tøc lµ: Ta cã thĨ nh©n hay chia vÕ cđa pt víi số hay biểu thức có giả trinh kh¸c

Định lí 1.3 Khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ vế pt ta pt tương đương với pt cho f(x) = g(x) ⇔[f(x)]n = [g(x)]n với n lẻ

Định lí 1.4 Khi bình phương hai vế pt ta pt hệ pt cho

Tổng quát: Khi nâng lên lũy thừa bậc chẵn ta pt hệ pt cho

1.1.4 Phng trỡnh nhiu n:

Ngoài pt có ẩn có pt có nhiều Èn VÝ dơ: 3x+y = 5x−3y + lµ pt Èn

Nghiệm pt ẩn cặp số thực (x0, y0) thỏa mãn pt cho

1.1.5 Phương trình có chứa tham số:

VÝ dô: 3m(x2 −2x) = 5mx+ 3, x lµ Èn, m lµ tham sè

1.1.6 Cách giải tổng quát phương trình: B1: Tìm điều kiện xác định phương trình

B2: Sử dụng phép biến đổi: chuyển vế, quy đồng khử mẫu, đặt ẩn phụ, để đưa pt dạng quen thuộc dễ giải hn

B3: giải tìm nghiệm x0 so sánh với điều kiện ban đầu xem có thỏa

mÃn không B4: Kết luận

Một số dạng toán

Dạng 1.1 Tìm điều kiện xác định phương trình Phương pháp:

-Tìm ĐKXĐ phương trìnhf(x) =g(x) tìm điều kiện xsao

cho f(x) vµ g(x) cïng cã nghÜa

- Chú ý: Ta thường gặp dạng sau: + Biểu thức f(x)

g(x) xác định + Biểu thức p

f(x) xác định f(x) ≥ + Biểu thức

Bài 1: Tìm điều kiện xác định phương trình sau: a, x

x−1 =

3x−5

x2 −4 §S: §K x 6= 1, x 6= ±2

b, √x−1−2√3−x = §S: §K ≤x ≤ c, √ x

x−2 =

5−x

x−4 §S: §K < x

Bài 2: Tìm điều kiện xác định phương trình sau suy tập nghiệm nó:

a,4x+

x−1 = +

x−1 §S: v« nghiƯm b,x+

x+ = +

c, √2x x−3 =

6x

x3 ĐS: ĐK < x, vô nghiệm d, p

(x2)2 = p

(2x)2 ĐS: vô số nghiệm

e, x1.x1 = 12x ĐS: vô nghiệm

f,x+ x3 = +x3 ĐS: vô nghiệm g,2x+

x2 −1 = +

5

x2 −1 §S: §K x 6= ±1, nghiƯm x =

h,x−√x−3 = +√3−x §S: x = nghiệm i,x2 + 4x4 = x2 4 ĐS:x = 2

k,x1x = x2 ĐS: vô nghiệm l, x+ 2x+ = 1x1 ĐS: vô nghiệm

Dng 1.2 Phương trình tương đương - phương trình hệ Phương pháp giải:

1 Muèn chøng minh hai pt f(x) = g(x) (1) vµ pt f1(x) = g1(x) (2) lµ hai

pt tương đương ta chứng minh chúng xác định tập D chúng có tập hợp nghiệm Hoặc chúng suy từ phép biến đổi tương ng

2 Muốn CM pt(2) hệ pt(1) ta CM tËp nghiƯm cđa (2) chøa tËp nghiƯm cđa (1)

Bµi 1: Cho hai pt (x + 1)2 = (1) vµ a.x2 −(2a + 1)x +a = (2) (a lµ

tham số) Tìm điều kiện a cho pt (1) tương đương với pt (2)

Gi¶i

⇒) G/sử (1)⇔(2) Khi nghiệm pt (1) x = −1 nghiệm pt (2) Vậy, a.(−1)2 −(2a+ 1).(−1) +a = ⇔a = −1

⇐) víi a = −14 ta cã:

(2) ⇔ −1

4 x

2 −

2x− =

⇔x2 + 2x+ =

⇔(x+ 1)2 =

⇔(1)

Vậy: pt (1) tương đương với pt(2) a = −41

Bài 2: Xác định m để cặp pt sau tương đương: a, x+ = mx

x+ = 3m−1 §S: m =

Chương 2

Phương trình bậc - phương trình bậc hai ẩn

2.1 Phương trình bậc nhất 2.1.1 Dạng

Định nghĩa 2.1 Pt bậc ẩn pt có dạng:ax+b = đóa, b

các số thực biết TXĐ: D = R

2.1.2 Giải biện luận phương trình bậc + Nếu a 6= 0: pt có nghiệm x = −ab + Nếu a = b 6= 0: pt vô nghiệm

+ Nếu a = b = 0: pt vô định (nghiệm với x ∈ R

Mét số dạng tập

Dng 2.1 Gii phng trỡnh bậc với hệ số Bài tập: Giải phương trình sau

1, (x+ 5)2 = (x−12)2 +x−1 §S:x = 11833 2, 5x−1

2 =

x+

6 + §S:x = 3,x + x + x 12 + x 20 + x 30 + x

42 = −6 §S:x = −7

4,x−9 −

x−1 +

1 8(

x−5 −

14−2x

5 ) =

7

8 §S:x = −7

5, x−a

bc +

x−b

ca +

x−c

ab = 2(

1 a + b + c) víi ab + bc +

6, x−3 +

x+ 12 =

3x+

20 + §S:x = 51 7,9x+

2 −(x− 2x

7 ) = 36 §S:x = 8,2x−1

3 −

5x+ 12 =

x−3

4 + ĐS:vô nghiệm Dạng 2.2 Giải biện luận phương trình bậc

Phương pháp: Biến đổi phương trình dang ax + b = Cần nhớ cách giải biện lun ó núi phn trờn

Bài 1: Giải biện luận pt trình sau:

a, m2(x2)3m = x+ (víi m lµ tham sè)

HD:

+Biến đổi pt dạng (m−1)(m+ 1)x = (m + 1)(2m + 1) + m 6= ±1 pt có nghiệm x = 2m −1

m−1 + m = pt v« nghiƯm

+ m = −1 pt vô định b, m2x+ = 4x+ 3m

HD:

+ Biến đổi pt dạng (m-2)(m+2)x=3(m-2) + m 6= ±2 pt có nghiệm x =

m+ + m = pt nghiệm ∀x ∈ R

+ m = −2 pt v« nghiƯm c, m2x+ = (m−1)x+m

HD:

+Biến đổi pt dạng (m2 −m+ 1)x = m−1

+ Ta có m2 − m+ = (m − 12)2 + 34 6= 0,∀m Do pt ln có nghiệm

x = m−1

m2 −m+ 1 d, m(x−m+ 3) = m(x−2) +

Kết luận: m = m = pt nghiệm ∀m ∈ R, cỏc TH

khác pt vô nghiệm

Bi 2: Giải biện luận pt trình sau, m tham số:

1/ (m + 1)2x = (2x+ 1)m + 5x+ 2/ m2x = m(x+ 2)−2

3/ (m2x−1)m = 1−x

4/ 2mx = 2x+m+ 5/ m(x+m) = x+ 6/ m(m−1)x = m2 −1

2.2 Phương trình bậc hai ẩn 2.2.1 Dng c bn

Định nghĩa 2.2 Pt bậc hai ẩn pt có dạng ax2 +bx+c = 0,(a 6= 0) + Khi b = ta cã pt: ax2 +c = ta nãi lµ pt bËc hai thiÕu b

+ Khi c = ta cã pt: ax2 +bx = ta nãi lµ pt bËc hai thiÕu c

2.2.2 Cách giải biện luận phương trình bậc hai ẩn 1/ Phương trình thiếu:

* ax2 +c = ⇔x2 = −ca

+ NÕu a.c < 0: pt cã hai nghiÖm x1,2 = ±

p

−c a

+ NÕu ac >0: pt v« nghiƯm * ax2 +bx = ⇔x(ax+b) = 0⇔

  

 

x1 =

x2 = −ab

2/ Phương trình bậc hai đủ

ax2 +bx+c = 0,(a 6= 0)

• B2: XÐt dÊu cña

+ NÕu < 0: pt v« nghiƯm

+ NÕu = 0: pt cã nghiÖm kÐp x1 = x2 = −2ba

+ NÕu > 0: pt cã hai nghiƯm ph©n biƯt

x1 =

−b−√4

2a ;x1 =

−b+√4

2a

3/ Phương trình bậc hai đặc biệt ( có hệ số b chẵn) ax2 +bx+c = 0,(a 6= 0), b = 2b0

• B1: TÝnh 40 = b02 −ac • B2: XÐt dÊu cđa 40

+ NÕu 40 < 0: pt v« nghiƯm

+ NÕu 40 = 0: pt cã nghiÖm kÐp x1 = x2 = −b

0

a

+ NÕu 40 > 0: pt cã hai nghiƯm ph©n biƯt

x1 =

−b0 −√40

a ;x1 =

−b0 +√40 a

Chú ý 2.1 Nếu phương trình ax2 +bx+c = có

• a+b+c = th× pt cã nghiƯm

  

 

x1 =

x2 = ca

ã ab+ c = pt có nghiệm

  

 

x1 = −1

x2 = ac

ã Nếu a.c < 0thì pt bậc hai có nghiệm phân biệt

2.2.3 Tổng tích nghiệm

1/ Định lý Viète (Thuận): Nếu pt ax2+bx+c = cã hai nghiƯm x1, x2

th×: 

 

 

S = x1 + x2 = −ab

P = x1.x2 = ca

2/ Định lý Viète (Đảo): Nếu hai số x, y có tæng x+y = S cã tÝch x.y = P

thì hai số nghiệm pt: X2 S.X + P = 2.2.4 DÊu cđa c¸c nghiƯm

NÕu pt bËc hai a.x2 + bx+c = 0,(a −0) cã hai nghiƯm x1 < x2 th×:

4 = b2 −4.a.c≥ 0,(40 = b02 −ac ≥ 0)

• P < ⇔x1 < 0< x2

• x1 < x2 < ⇔P > vµ S >0

• < 0x1 < x2 ⇔P > vµ S <

2.2.5 Tam thøc bËc hai

Tam thøc bËc hai lµ biĨu thøc cã dang: f(x) = a.x2 +bx+ c−0 1/ DÊu cña tam thøc

• f(x) < 0,∀x ∈ R ⇔

  

 

a <

4 <

• f(x) > 0,∀x ∈ R ⇔

  

 

a >

4 <

• NÕu = th× a.f(x) > 0,∀x6= − b

2a

ã Nếu > 0thì f(x) = có hai nghiÖm x1, x2

+ NÕu x < x1 x > x2 af(x) >

( Hay nhớ câu: "Trong trái cùng" )

2/ Công thức so sánh số α, β với hai nghiệm phương trình bậc

hai (α < β)

• x1 < α < x2 ⇔af(α) <

• x1 < x2 < α ⇔

          

4 >

a.f(α) <

S

2 −α <

• α < x1 < x2 ⇔

          

4 >

a.f(α) <

S

2 −α >

Mtsdngbitp

Dạng 2.3 Giải biện luận phương trình bậc hai Phương pháp:

1 Xét a = 0, biện luận phương trình bậc Xét a 6= Tính 40

+ Nếu < pt vô nghiệm

+ NÕu = th× pt cã nghiƯm kÐp x0 = −

b

2a

+ NÕu > pt có hai nghiệm phân biệt

x1 =

−b−√4

a ;x2 =

−b+√4

2a

Bài 1: Giải biện luận phương trình sau theo tham số m 1, mx2 −2(m−2)x+m−3 =

Hướng dẫn:

+ NÕu m = 0, pt cã nghiÖm nhÊt x= + NÕu m = 4, pt cã nghiÖm kÐp x1 = x2 =

1 + NÕu m >4, pt v« nghiƯm

+ NÕu06= m < 0, pt cã nghiƯm ph©n biƯt:x1,2 =

m −2±√4−m m

+ NÕu m = 1, pt cã nghiÖm nhÊt x= + NÕu m = 13

12, pt cã nghiÖm kÐp x1 = x2 = + NÕu m > 13

12, pt v« nghiƯm + NÕum < 13

12, pt cã nghiƯm ph©n biƯt:x1,2 =

3−2m±√13−12m

2(m−1) 3, x2 −2(m + 1)x+m2 + 4m =

Hướng dẫn:

+ NÕu m =

2, pt cã nghiÖm kÐp x1 = x2 = + NÕu m >

2, pt v« nghiƯm + NÕu m <

2, pt cã nghiƯm ph©n biƯt 4, mx2 + 2x+ =

5, x2 −2(m −2)x+m2 −4 = 6, mx2 −(2m+ 1)x+m−3 = 7, mx2 −2(m+ 3)x+m+ = 8, (m −1)x2 + (2−m)x−1 =

9, (m + 1)x2 −(2m+ 1)x+ (m−2) =

Bµi 2: Với pt sau, biết nghiệm, tìm tham số m nghiệm lại:

1, x2 +mx −9 = 0;x1 =

2, x2 −2(m + 1)x+m2 + 2m−3 = 0; cã nghiƯm lµx = −1 3, (m −4)x2 −2(m−2)x+m −1 = 0; cã nghiƯm lµ x1 =

4, (2m2 −7m + 5)x2 + 3mx−(5m2 −2m+ 8) = có nghiệm x = 5, (5m2 + 2m−4)x2 −2mx−(2m2 −m+ 4) = có nghiệm x = −1 Hướng dẫn:

C¸ch 1:

+ Thay nghiệm cho vao pt, ta pt ẩn m + Giải pt ẩn m, ta tìm m

+ Dùng định lý Viète S = x0 +x1 ⇒ x1 = S −x0 = −df racba−x0

§S: 1, m = 8, x1 = 2, m = 0, x2 = hc m = −4, x2 = −5

3, m = 9, x1 =

4

5 4, m = 6, x2 = − 88

35 hc m =

3, x2 = − 40 41 5, m = 1, x2 =

5

3 vµ m = −

3, x2 = 47 59 Dạng 2.4 Định Lý Viét ứng dụng Phương pháp:

i/ NÕu a.x2 +bx+c = cã nghiƯm x1, x2 th×:

  

 

S = x1 + x2 = −ab

P = x1.x2 = ca

ii/ NÕu hai sè x, ycã tæng x+y = S cã tÝchx.y = P hai số nghiệm

của pt: X2 S.X +P = Bài 1: Tìm hai số x, y biÕt:

1/ x+y = 29;xy = 198 §S: 18 vµ 11

2/ x + y = 14;xy = 33 3/x + y = −43;xy = 442 4/x+ y =

−12;xy = 11

Bµi 2: Cho pt bËc hai: x2 −2(m+ 1)x+ 4m−3 = i/ Chứng tỏ pt có hai nghiệm phân biệt víi mäi m

ii/ tìm m để tích hai nghiệm Hãy tính tổng hai nghiệm Hướng dẫn:

i/ TÝnh4 = (m−1)2 + > 0,∀m ∈ R

ii/ x1.x2 = 4m−3 = ⇔ m = ⇒ S =

Bµi 3: Cho pt bËc hai: 2x2−11x+ 13 = Gäi x1, x2 nghiệm pt

HÃy tính:

a, x31 +x32 b, x41 +x42

c, x41 −x42 c, x1 x2

(1−x22) + x2

x1

(1−x21)

dụng Viét ĐS: Ta có x1 +x2 =

11

2 ;x1.x2 = 13

2 đó: a, 473

8 b, 3409

16 c, x1 < x2 th× KQ:−

759 16

√

17 x1 > x2 th× KQ:

759 16

√

17 d,−269

26 Bµi 4: Cho pt bËc hai: x2 + 2mx+ = Gọi x1, x2 nghiệm pt

Hãy tìm tất giá trị m để có đẳng thức: A = (x1

x2

)2 + (x2

x1

)2 =

Gợi ý: ĐK để pt có nghiệm 40 = m2 −4 ≥0 + Theo Viét: x1 +x2 = −2m;x1.x2 =

+ Biến đổiA = (4m

2 −8)2

16 −2 = ⇔m

2 = 2+√5⇒ m = ±p2 +√5

tháa m·n

Bài 5: Cho pt bậc hai: x2 + 2(m+ 1)x+ 2m2 −m−3 = (1) Tìm m để pt có hai nghiệm x1, x2 t/m: 2x1 −x2 = m+

2 Tìm m để pt có hai nghiệm cho biểu thức: A = x21 +x22 −2x1.x2

đạt GTNN, GTLN

3 Tìm m để pt có hai nghiệm thỏa mãn: x31 +x32 = 54(x1 +x2)

Gỵi ý: Pt cã hai nghiÖm ⇔ 40 = −m2 + 3m + 4≥ 0 ⇔ −1≤ m ≤ 4

1 Theo ViÐt cã: x1 +x2 = −2(m + 1) vµ x1.x2 = 2m2 −m−3

+ x1 = 1− m3;x2 = −3−

5m

3 , thay vµo tìm m=0 m = 13

2 A= x21+x22−2x1.x2 = (x1+x2)2−4x1.x2 = −4m2+12m+16 =f(m)

+ LËp bảng biến thiên ta tìm được: minA = minf(x) = khim = −1∨ m = 4; maxA = maxf(m) = 25 khim = 32

Bài 5: Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình:x2 + 2mx+ = (1)

1 H·y tÝnh theo m c¸c biÓu thøc sau:

+ A = √x1 +

√ x2

+ B = pn

1 Hãy tìm m cho x41 +x42 ≤32 Hãy tìm m để: (x1

x2

)2 + (x2

x1

)2 ≥3

Hướng dẫn: Theo y/c đầu pt (1) phải có nghiệm dương:

⇔           

4 >

S >

P >

⇔           

m2 −4 ≥

−m >

4 >

⇔m ≤ −2

+T nhA : tacA2 = x1+x2+

√

x1.x2 råi ¸p dung Vi-et §S: A =

√

4−2m

+ TÝnh B: ta cã B4 = x1 + x2 + 4

√

x1.x2(

√ x1 +

√

x2) +

√

x1x2 §S:

B = p4 12−2m+ 4√2√4−2m

2 §S: m = ±2

3 §S |m| ≥ p2 +√5

Bµi 6: Cho pt: mx2 −2(m+ 2)x+ =

a, Định m để pt có nghiệm Tính nghiệm b, Định m để pt có nghiệm x1, x2, cho |x1| = |x2|

§S: 1/ m = 1;m = 2/ m = 1;m = 4;m = −2

Bài 7: Cho pt:(2m+ 1)x2−4mx+ 2m−3 = Định m để pt có hai nghiệm

x1, x2, cho:

1.x1 +x2 =

2 x1 +x2 = −1

Bài 7: Cho pt: (11−m2)x2+mx+ 2m−3 = Tìm m để pt có hai nghiệm

x1, x2, cho:

1

x1

+

x2

Dạng 2.5 Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai

Phương pháp chung: Dùng định lý Viét ta xét dấu nghiệm

x1, x2 cña pt a.x2 +bx+ c = Ta cã:

1 P = −a

b < hay a.c < 0⇔ x1 < < x2

2 Khi           

4 >

P >

S >

⇔0 < x1 < x2

2 Khi           

4 >

P >

S <

⇔x1 < x2 <

Bài 1: Xác định m để pt sau có hai nghiệm dương phân biệt: x2 −2(m + 1)x−m+ =

Gi¶i:

Pt có hai nghiệm dương phân biệt:

0< x1 < x2 ⇔

          

40 >

P >

S >0

⇔           

m2 + 3m >0 1−m > 2(m+ 1) >

⇔0 < m <

Bi2 :Xcnhmpt :x2 −2(m+ 7)x+ m2 −4 = 0: Cã hai nghiƯm tr¸i dÊu

§S: 1/ −2< m < 2/ −53

14 < −2∨m > Bài 3: Tìm m để pt sau có hai nghiệm trái dấu:

1 x2 −5x+ 1−3m = (m−1)x2 + x−m2 =

Bài 4: Tìm m để pt x2 −2(m+ 2)x+m2 có hai nghiệm âm

2.2.6 Các tốn quy phương trình bậc hai

Trong phần đề cập tới pt mà giải ta đưa phương trình bậc hai Tuy nhiên hạn chế chương trình Tốn 10 mà có phần mà tơi khơng đề cập phần này, bổ xung phần sau Hy vọng tài liệu cho bạn đồng nghiệp em học sinh ôn luyện xuyên suốt trình học tập

Phần gồm dạng sau: +Phương trình bậc cao

+ Phương trình phân thức hữu tỷ

+ Phương trình có dấu giá trị tuyệt đối + Phương trình trùng phương

+ Phương trình vơ tỷ ( Phương trình có số) +

1/ Phương trình bậc cao:

Để giải pt bậc cao ta dùng phép thử nghiệm đặc biệt (nhẩm nghiệm), dùng phương pháp phân tích đa thức thành tích đa thức có bậc thấp hoạc dùng phương pháp đặt ẩn phụ

Chú ý: Đối với pt bậc cao ta cần nhí c¸c tÝnh chÊt sau:

1/ NÕu tỉng c¸c hƯ sè b»ng 0, th× pt cã mét nghiƯm x = (Víi pt bËc 3:

nghiƯmx = −1 (Víi pt bËc 3: a.x3+bx2+cx+d = 0nÕua−b+c−d = th× cã nghiƯm x = −1)

3/ Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = f(x) = (x−α).g(x) víi bËc cđa

g(x) < bËc cđa f(x), (tøc lµ f(x) chia hÕt chog(x)) Bµi 1: Giải pt sau:

a, x3 +x2 10 + = + §S: TËp nghiƯm S = {1; 2;−4}

b, 2x3 + 7x2 + 7x+ = + §S: S = {−1;−2;−1 2}

c, x4 −8x3 + 7x2 + 36x−36 = + §S: S = {1;−2; 3; 6}

d, x4 +x3 + 3x2 −x−4 = e,x4 −2x3 −5x2 + 6x= f, x3 −13x2 + 42x−36 = g, x4 +x2 +

x2 =

x2 +x+

x

2/ Phương trình phân thức hữu tỷ: Để giải pt có chứa ẩn mẫu ta thực hiện: + Tìm ĐKXĐ pt

+ Quy đồng khử mẫu + Giải pt vừa tìm

+ KiĨm tra lại điều kiện, kết luận nghiệm Bài 2: Giải pt sau:

1,

2(x−1) +

x2 −1 =

1 2,

x+ +

x+ =

−3x−17

x3 + 4x2 + 3x

3, x+

x−1 =

4x−3

x−1 4, x+

x−2 = +

5x−25

x2 −7x+ 10

5, 5x 5x−6 −

x+ 12 5x2 −x−6 =

1

x+ 6,

6−x −

1

x2 −10x+ 24 =

2

Một số công thức giá trị tuyệt đối: i/ |A| =

  

 

A, A ≥

−A, A <

ii/|A|=|B|⇔A2 = B2 ⇔(A−B)(A+B) = iii/ |A| = B ⇔

  

 

B ≥

A2 = B2

iii/|A.B|=|A|.|B|v| A B| =

|A| |B|

iv/ |A+ B| ≤ |A|+|B|, đẳng thức xảy A.B ≥ Bài 3: Giải pt sau:

1, x2 − |x| −2 = + TËp nghiÖm S = {−2,2}

2, 7.|x|.(x−2) = x+ 18 + §S: x = 3, x2 −2.|x|+m =

+ chia thành trường hợp x ≥ 0, x < biến đổi dạng

|x|2 −2.|x|+ = 1−m ⇔(|x| − 1)2 = 1−m råi biÖn luËn.

4, |x−2| = 2x2 −6x+ + TËp nghiÖm S = {5

2,

5−√13 5, 2x2 − |5x−2| = + TËp nghiÖm S = {−2,1

2,

−5±√41 6, |x2 −1| = |x+ 3| + TËp nghiÖm S = {1±

√

17 7, |x2 −3x+ 2| = x−2 + TËp nghiÖm S = {2}

8, |x2 −3|x|+ 2| = x2 −2x + TËp nghiÖm S = {2,−2

5} 4/ Phương trình trùng phương:

Mét số kiến thức bản:

1/ Dạng: ax4 + bx2 +c = 0, a6= (1) 2/ Cách giải:

+ Đặt t= x2,(t ≥ 0) ta pt bậc hai theo t: at2 +bt+c = (2) + Giải pt (2) tìm t, suy x 5/ Phương trình vơ tỷ:

1/ D¹ng bản: A = B

 

B ≥

A = B2

2/iviccdngkhc :

+T rckhigiiphitmiukinxcnhcapt

+Khcnthcavdngcbn(bnhphnghaiv, tnph, ) +Giiptrikimtraiukinvktlunnghim