VIỆN NĂNG LƯỢNG NGUYÊN TỬ VIỆT NAM ĐINH THANH TÂM NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT VẬT LÝ MỘT SỐ MƠ HÌNH HẠT NHÂN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 62 44 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SỸ VẬT LÝ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH TRẦN HỮU PHÁT TS NGUYỄN TUẤN ANH HÀ NỘI 2011 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu thân tơi hướng dẫn khoa học GS.TSKH Trần Hữu Phát TS Nguyễn Tuấn Anh Các kết nghiên cứu nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2011 Tác giả luận án Đinh Thanh Tâm ii LỜI CẢM ƠN Qua luận án này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn khoa học - GS.TSKH Trần Hữu Phát - người Thầy dành nhiều năm hướng dẫn học tập, nghiên cứu, đưa ý tưởng khoa học định hướng nghiên cứu cho q trình tơi làm nghiên cứu sinh Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn thứ hai - Tiến sỹ Nguyễn Tuấn Anh, người Thầy dành nhiều năm truyền thụ kiến thức khoa học cho tôi, dạy nghiên cứu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy Ban Giám hiệu Trường Đại học Tây Bắc đặc biệt Nhà giáo Nhân dân, Phó Giáo sư Tiến sỹ Đặng Quang Việt- Bí thư Đảng ủy, Hiệu trưởng Nhà trường tạo điều kiện thuận lợi cho vừa công tác vừa học tập nghiên cứu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới giáo sư, tiến sĩ, nhà khoa học, bạn đồng nghiệp trường đại học viện nghiên cứu, cảm ơn thầy cô Bộ môn Vật lý lý thuyết Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện cho tham gia nghiên cứu, hội thảo, hội nghị khoa học, có lời góp ý bổ ích cho tơi q trình tơi nghiên cứu khoa học làm luận án tiến sỹ Tôi xin trân trọng cảm ơn Viện Năng lượng Nguyên tử Việt Nam tạo điều kiện cho dự thi, học tập, nghiên cứu bảo vệ luận án tiến sỹ Tôi xin trân trọng cảm ơn Viện Khoa học Kỹ thuật Hạt nhân, Trung tâm Nghiên cứu Tính tốn tạo điều kiện thuận lợi cho tơi có khơng gian đẹp, rộng rãi n tĩnh để tơi học tập, nghiên cứu, hồn thành luận án Xin chân thành cảm ơn người gia đình ln động viên, tạo điều kiện cho tơi cơng tác, học tập, nghiên cứu, hồn thành luận án Tác giả luận án iii Mục lục Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Các khái niệm liên quan vi Danh mục chữ viết tắt vii MỞ ĐẦU 1 MƠ HÌNH CHẤT HẠT NHÂN KHƠNG CHIRAL 10 1.1 Thế nhiệt động 1.2 Các tính chất bão hịa 18 1.3 Phương trình trạng thái 23 1.4 Cấu trúc pha 29 1.5 Sự đóng góp meson delta 39 1.6 Kết luận chương 41 13 MƠ HÌNH CHẤT HẠT NHÂN CHIRAL ĐỐI XỨNG TIỆM CẬN 2.1 43 Thế nhiệt động iv 47 2.2 Các tính chất bão hịa 55 2.3 Phương trình trạng thái 63 2.4 Cấu trúc pha 73 2.5 Sự đóng góp meson delta 78 2.6 Kết luận chương 82 MƠ HÌNH CHẤT HẠT NHÂN CHIRAL ĐỐI XỨNG CHÍNH XÁC 84 3.1 Thế nhiệt động 87 3.2 Các tính chất bão hòa 91 3.3 Phương trình trạng thái 95 3.4 Cấu trúc pha 105 3.4.1 Chuyển pha khí-lỏng mật độ mật độ bão hòa 105 3.4.2 Chuyển pha chiral 108 3.5 Sự đóng góp meson delta 112 3.6 Kết luận chương 116 KẾT LUẬN 116 Các cơng trình thực 118 Tài liệu tham khảo 119 PHỤ LỤC 130 v CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN Bất đối xứng isospin (Isospin Asymmetry) Boson hóa (Bosonization) Chất hạt nhân (Nuclear Matter) Cấu trúc pha (Phase Structure) Đối xứng chiral (Chiral Symmetry) Mơ hình Nambu–Jona-Lasinio (NJL Model) Năng lượng đối xứng (Symmetry Energy) Ngưng tụ (Condensation) Phương trình trạng thái (EoS) 10 Lý thuyết trường trung bình (Mean-Field Theory) 11 Tính chất bão hịa (Saturation Properties) 12 Tính khơng bền hóa (Chemical and Mechanical Instabilities) vi DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT BEC Bose-Einstein condensation (sự ngưng tụ Bose-Einstein) CEP critical end point (điểm cuối tới hạn) CFL color-flavor-locked (các số lượng tử màu hương bị khóa) EoS equation of state (phương trình trạng thái) ENJL extended Nambu–Jona-Lasinio model (mơ hình Nambu–Jona-Lasinio mở rộng) MFT mean-field theory (lý thuyết trường trung bình) NJL Nambu–Jona-Lasinio model ( mơ hình Nambu–Jona-Lasinio) NSE nuclear symmetry energy (năng lượng đối xứng hạt nhân) QCD quantum chromodynamics (sắc động lực học lượng tử) QGP quark-gluon plasma QHD quantum hadrondynamics (hadron động lực học lượng tử) SB symmetry breaking (sự phá vỡ đối xứng) SR symmetry restoration (sự khôi phục đối xứng) vii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giản đồ pha sắc động lực lượng tử (QCD) mặt phẳng hóa µ nhiệt độ T [89] phác họa Hình tập hợp trạng thái cân hệ Cho đến nay, người ta chưa biết vị trí xác hầu hết đường chuyển pha giản đồ Sở dĩ nghiên cứu chuyển pha vật chất với có mặt đồng thời nhiệt độ mật độ toán hóc búa Các vùng có µ (hoặc) T lớn, kết tính tốn lý thuyết chưa thể kiểm chứng thực nghiệm Các tính tốn dựa mơ hình mạng QCD có tiến nghiên cứu hệ trạng thái có mật độ baryon nhiệt độ cao Kết tính tốn mơ gần [58] tiên đốn chuyển pha chiral chuyển pha khơng giam cầm kiểu crossover nhiệt độ quanh 170 MeV Vùng có mật độ nhiệt độ thấp, tức vật chất nằm pha hadron nghiên cứu tới chừng mực Nhìn chung, vật chất mật độ nhiệt độ hữu hạn nhiều điều chưa biết đối tượng xây dựng mô hình nghiên cứu Nguyên nhân phương diện lý thuyết, vùng phức tạp so với vùng có nhiệt độ mật độ cao xử lý phương pháp nhiễu loạn hadron đối tượng phức tạp người ta cố gắng mô tả chúng theo phần tử hợp thành 1.a 1.b T RHIC QGP = color superconducting T E Plasma crystal? Hadrons gas nuclear CFL liq compact star 1.c µ E nuclear superfluid CFL 2SC Nuclear Matter exotics CFL-K LOFF µ 1.d Hình 1: Các giản đồ pha mặt phẳng hóa - nhiệt độ Tuy nhiên, hiểu theo nghĩa khác, vùng hấp dẫn thử thách nhiều vấn đề vật lý chưa biết sinh động khám phá, nhiều cơng cụ lý thuyết cần phát triển Hiện nay, thí nghiệm va chạm ion nặng lượng cao công cụ tốt tạo vật chất tương tác mạnh đông đặc, chúng cung cấp hội để khám phá tính chất thú vị vật chất điều kiện cực trị, kiểm chứng tính tốn lý thuyết đặc biệt tiên đốn chuyển pha mật độ nhiệt độ cao Nói cách khác, nghiên cứu tính chất vật lý hạt nhân đặc biệt cấu trúc pha cần thiết thích hợp phương diện lý thuyết thực nghiệm Chính vậy, luận án chọn nghiên cứu đề tài "Nghiên cứu tính chất vật lý số mơ hình hạt nhân" Lịch sử vấn đề Vật chất tương tác mạnh đậm đặc nhà vật lý hạt nhân quan tâm nghiên cứu từ lâu Chuyển pha chất hạt nhân khảo sát nhiều báo lý thuyết [8, 31, 38, 56, 70, 76, 85, 86, 102, 104, 115] Các cơng trình nghiên cứu dựa mơ hình tượng luận thiết lập trực tiếp từ bậc tự nucleon Các mơ hình hạt nhân phi tương đối tính sử dụng dạng khác tương tác nucleon-nucleon thu nhiều thành công nghiên cứu chất hạt nhân mật độ thấp lượng thấp Tuy nhiên, lý thuyết hạt nhân phi tương đối tính lại thất bại phản ánh tính chất vật lý vật chất đông đặc Cụ thể, mật độ chất hạt nhân cao, ρ 3ρ0 , với ρ0 mật độ chất hạt nhân trạng thái bão hịa, lý thuyết hạt nhân phi tương đối tính vi phạm nguyên lý nhân quả-một nguyên lý vật lý Khi nghiên cứu chất hạt nhân mật độ (hoặc) lượng cao hiệu ứng tương đối tính trở lên quan trọng cần phải sử dụng lý thuyết hạt nhân tương đối tính Có thể nói lý thuyết hạt nhân phi tương đối tính lý thuyết hạt nhân tương đối tính hai phần lý thuyết bổ sung cho thang lượng thang mật độ định Lý thuyết hạt nhân tương đối tính nghiên cứu chất hạt nhân mật độ (hoặc) lượng cao Khi đó, cấu trúc, người ta đơn coi nucleon hạt mà phải tính đến cấu trúc bên Tài liệu tham khảo 122 [23] B Borderie et al., Multifragmentation and phase transition for hot nuclei: recent progress, arXiv: 1003.4120 [24] M Brack, C Guet and H.-B Hakansson (1985), Phys Report 123, 275 [25] M Buballa (1996), Nucl Phys A611, 393 [26] M Buballa ( 2005), Phys Rept 407, 205 [27] C B Das, S Das Gupta, C Gale, and B A Li (2003), Phys Rev C67, 034611 [28] C H.Lee (1996), Kaon condensation in dense stellar matter, Phys Rep 275, 255 [29] G W Carter and P J Ellis (1998), Nucl Phys A628, 325 [30] L P Czernai et al (1986), Phys Rep 131, 223; H Muller and B D Serot (1995), Phys Rev C52, 2072 [31] G Chaudhuri and S DasGupta (2009), Phys Rev C80, 044609 [32] P Chomaz, arXiv:nucl-ex/0410024 [33] D H Boal (1987), Ann Rev Nucl Part Sci 37, [34] P Danielewicz, R Lacey, and W G Lynch (2002), Science 298, 1592 [35] Dao T Khoa, W von Oertzen, and A A Ogloblin (1996), Nucl Phys A602, 98 [36] C B Das et al (2005), Phys Rep 406, Tài liệu tham khảo 123 [37] J Diaz Alonso, J M Ibanez, and H Sivak (1989), Phys Rev C39, 671 [38] C Ducoin, Ph Chomaz, and F Gulminellei (2006), Nucl Phys A771, 68 [39] J M Eisenberg and W Greiner (1987), Nuclear Models (NorthHolland, Amsterdam) [40] J E Finn et al (1982), Phys Rev Lett 49, 1321 [41] B Friedman and V R Pandharipande (1981), Nucl Phys A361, 502 [42] M Fromm, J Langelage, S Lottini, O Philipsen, arxiv:1111.4953 [43] K Fukushima and T Hatsuda (2011), Rep Prog Phys 74, 014001 [44] M Gell-Mann and M Levy (1960), Nuovo Cimento 16, 705 [45] N K Glendenning (2001), Phys Rep 342, 393 [46] N K Glendenning (1988), Phys Rev C37, 2733 [47] D Gross, Bao-An Li and A.R DeAngelis (1992), Ann Phys 1, 467; Bao-An Li and D.H.E Gross (1993), Nucl Phys A554, 257 [48] F Gulminellei (2007), Nucl Phys A791, 165 [49] R S Hayamo and T Hatsuda (2010), Rev Mod Phys 82, 2949 [50] A S Hirsch et al., in Proceedings of the Corine II International Workshop on Multi-Particle Correlations and Nuclear Reactions, Nantes, France, Sept 5-9, 1994 Tài liệu tham khảo 124 [51] F.Hofmann , C M.Keil, and H Lenske (2001), Density dependent hadron field theory for asymmetric nuclear matter and exotic nuclei, Phys Rev C64, 034314 [52] C J Horowitz and J Piekarewicz (2001), Neutron star structure and the neutron radius of 208 Pb, Phys Rev Lett 86, 5674 [53] C J Horowitz and B D Serot (1987), Nucl Phys A464, 613 [54] H Huber, F Weber, and M K Weigel, Phys Rev C50, R1287 [55] H R Jaqaman, A Z Mekjian, and L Zamick (1983,1984), Phys Rev C27, 2782; C29, 2067 [56] M Jin, M Urban, and P Schuck (2010), Phys Rev C82, 024911 [57] K Huang, Statistical Mechanics, Wiley 1963 [58] F Karsch (2002), Nucl Phys A698, 199 [59] V Koch,T.S Biro,J.Kunz, and U Mosel (1987), Phys Lett.B185,1 [60] J B Kogut, D Toublan, and D K Sinclair (2001), Phys Lett B514, 77; S Hands, S Kim and J I Skullerud (2010), Phys Rev D81, 091502 (R) [61] D Kudzia, B Wilczynska , and H Wilczynski (2003), Phys Rev C68, 054903 [62] T.T.S Kuo, S Ray, J Shamanna and R.K Su (1996), Int Jour of Modern Phys E: Nucl Phys 5, 303; S Ray, J Shamanna and T.T.S Kuo (1996), Phys Lett B in press; T.T.S Kuo, S Ray, J Shamanna, R.K Su (1996), SUNY-preprint Tài liệu tham khảo 125 [63] L W.Chen et al (2005), Nuclear matter symmetry energy and the neutron skin thickness of heavy nuclei, Phys Rev C72, 064309 [64] L.W.Chen, C M Ko, and B A Li (2005), Phys Rev Lett 94, 032701 [65] L D Landau and E M Lifshitz, Statistical Physics (Pergamon, New York, 1969) [66] J M Lattimer and M Prakash (2000), Phys Rep 333, 121 [67] Lopez-Quelle, M Marcos, S Niembo, R.Bouyssy A and N Van Giai (1988), Asymmetric nuclear matter in the relativistic approach, Nucl Phys A483, 479 [68] W G Lynch, talk given at the 2nd International Symposium on Nuclear Symmetry Energy (NuSYM 11), June 17-22, 2011, Massachusetts, USA [69] M B Tsang et al (2004), Phys Rev Lett 92, 062701 [70] I N Mishustin, L M Satarov, and W Greiner (2004), Phys Rep 391, 363 [71] I.N Mishustin, J Bondorf, and M Rho (1993), Nucl Phys A555, 215 [72] I N Mishustin, in Proc Int Conf on Nuclear Physics at the Turn of Millenium (Wilderness, 1996), eds H Stăocker, A Gallman, and J H Hamilton (World Scientific, Singapure, 1997), p 499 [73] K Miura, T Z Nakano, A Ohnishi, N Kawamoto, arxiv:1012.1509 Tài liệu tham khảo 126 [74] L.G Moretto et al (1992), Phys Rev Lett 69, 1884 [75] L.G Moretto and G.J Wozniak (1993), Ann Rev Nucl Part Sci 43, 123 [76] H Muller and B D Serot (1995), Phys Rev C52, 2072 [77] H Muther, M Prakash, and T L Ainsworth (1987), Phys Lett B199, 469 [78] Y Nambu and G Jona-Lasinio (1961), Phys Rev 122, 345 and 124, 246 [79] P Papazoglou, S Schramm, J Schaffner-Bielich, H Stăocker, and W Greiner (1998), Phys Rev C57, 2576 [80] P Papazoglou, D Zschiesche, S Schramm, J Schaffner-Bielich, H Stăocker, and W Greiner (1999), Phys Rev C59, 411 [81] M Pichon et al (2006), Nucl Phys A779, 398 [82] T Pietrzak et al, Tracing a phase transition with fluctuation of the largest fragment size: Statistical Fragmentation models and the ALADIN S254 data, arXiv: 1003.2800 [83] M Prakash and K S Bedell (1985), Phys Rev C32, 1118 [84] O Philipsen, arxiv:1111.5370 [85] A Rios (2010), Nucl Phys A845, 58 [86] A Rios, A Polls, A Ramos, and H Muther (2008), Phys Rev C78, 044314 Tài liệu tham khảo 127 [87] D H Rischke and M Gyulassy ( 1996), Nucl Phys A608, 479; I N Mishustin (1999), Phys Rev Lett 82, 4779; I N Mishustin and O Scavenius (1999), Phys Rev Lett 83, 3134 [88] O Scavenius, A Mocsy, I N Mishustin, and D H Rischke (2001), Phys Rev C64, 045202; J Andersen and L Kyllingstad (2010), J Phys G37, 015003 [89] A Schmitt, Dense matter in compact stars,( Springer, 2010) [90] B.D Serot and J D Walecka (1985), Adv Nucl Phys 16, [91] B.D Serot and J D Walecka, Int.J.Mod Phys.E6,515 [92] B D Serot and J D Walecka (1997), Phys Lett B87, 172 [93] M M Sharma, W T A Borghols, S Brandenburg, S Crona, A vanderWoude, and M N Harakeh (1988), Phys Rev C38, 2562 [94] P J Siemens (1983), Nature 305, 110 [95] A W Steiner, M Prakash, J M Lattimer, and P J Ellis (2005), Phys Rep 411, 325 and references herein [96] A W Steiner, J M Lattimer, and E F Brown (2010), Astrophys J 722, 33 [97] J R Stone, J C Miller, R.Koncewicz , P D Stevenson, and M R.Strayer (2003), Nuclear matter and neutron-star properties calculated with the Skyrme interaction, Phys Rev C68, 034324 [98] Y Sugahara and H Toki (1994), Nucl Phys A579, 557 Tài liệu tham khảo 128 [99] K Sumiyoshi, H Toki , and R Brochmann (1992), Phys Lett B276, 393 [100] T D Lee and G.C Wick (1974), Phys Rev D9, 2291 [101] B Ter Haar and R Malfliet (1994), Phys Rev C50, 31 [102] G Torrieri and I Mishustin (2010), Phys Rev C82, 055202 [103] G Torrieri and I Mishustin, The nuclear liquid-gas phase transition at large Nc in the Van der Waals approximation, arXiv: 1006.2471 [104] Y Tsue, J da Providencia, C Providencia, and M Yamamura (2010), Prog Theor Phys 123, 1013 [105] S.Typel and B.A.Brown (2001), Neutron radii and the neutron equation of state in relativistic models, Phys Rev C64, 027302 [106] J Theis et al (1983), Phys Rev D28, 2286 [107] Tran Huu Phat, Nguyen Tuan Anh, Nguyen Van Long, and Le Viet Hoa (2007), Phys Rev C76, 045202 [108] Tran Huu Phat, Nguyen Tuan Anh, and Nguyen Van Long (2008), Phys Rev C77, 054321 [109] V E Viola et al (2006), Phys Rept 434, and references herein [110] V E Viola (2004), Nucl Phys A734, 487 [111] B D Waldhauser, J Theis, J A Maruhn, H Stocker, and W Greiner (1987), Phys Rev C36, 1019 [112] J D Walecka (1974), Ann Phys 83, 491 Tài liệu tham khảo 129 [113] J Wambach, e-print arXiv: 1101.4760; M Huang, e-print arXiv:1001.3216 [114] J Wambach , arxiv:1101.4760 [115] W Weise (2010), Prog Theor Phys Suppl 186, 390 [116] W Weise, Chiral symmetry in strongly interacting matter, Lectures presented at "New Frontiers in QCD", YITP, Kyota, 2010, Japan ArXiv: 1009.6201 [117] R B Wiringa, V Fiks, and A Fabrocini (1988), Phys Rev C38, 1010 [118] S Wolfram, The Mathematica Book, 5th edition, (Wolfram Media, Champaign, Illinois, USA, 2003) [119] W Zuo„ A Lejeune, U Lombardo, and J F Mathiot (2002), Eur Phys J A14, 469 PHỤ LỤC MỘT SỐ TÍNH TỐN TRONG LUẬN ÁN Trong phần Phụ lục, luận án trình bày số tính tốn thực Chương Các tính tốn chương cịn lại tương tự 1.1 Tính nhiệt động Ω Thế nhiệt động thể tích V nhiệt độ T hóa µ viết Ω(T, µ) = − T ln Z V Lấy định thức tồn khơng gian Dirac, khơng gian vị không gian spin không gian xung lượng, ta có V lnZ = − U (ρB , u, v) + Nf T K (k0 − E−− )(k0 + E+− )(k0 − E−+ )(k0 + E++ ) ln , T4 (A1.1) Thế nhiệt động thể tích V nhiệt độ T hóa µ viết Ω(T, µ) = U (ρB , u, v) (A1.2) Nf (−iωn +E+−) (−iωn − E−+ ) (−iωn +E++) (−iωn − E−−) − ln +ln +ln +ln Vβ T T T T k,n Tiến hành lấy tổng Matsubara Xét tổng β +∞ ln n=−∞ −iωn + z · T Tài liệu tham khảo 131 Tổng phân kỳ, bao gồm hai phần: phần hữu hạn phụ thuộc vào z phần vơ hạn khơng phụ thuộc vào z Ta tính lấy phần hữu hạn phần có ý nghĩa vật lý theo cách sau Đặt v(z) = β +∞ ln n=−∞ −iωn + z · T Lấy đạo hàm (một cách hình thức) v(z) theo z, ta có ∂v(z) = ∂z β ∞ · −iω + z n n=−∞ Ta biết, với hạt fermion β ∞ 1 = − f (z), −iωn + z n=−∞ với f (z) hàm phân bố Fermi-Dirac, f (z) = · eβz + Do ∂v(z) = ∂z β ∞ 1 = − f (z) −iωn + z n=−∞ Lấy tích phân hai vế theo z, ta z dz − eβz + z = − + T ln[1 + ez/T ] + số hạng không phụ thuộc z v(z) = Các số hạng không phụ thuộc z khơng có ý nghĩa vật lý, ta bỏ qua trình lấy giới hạn nhiệt động lực học thu v(z) = β +∞ ln n=−∞ −iωn + z z = − + T ln[1 + ez/T ] T Tài liệu tham khảo 132 Từ kết trên, ta suy β β β β +∞ − −E− (−iωn − E−− ) E−− T ln = + T ln[1 + e ], T n=−∞ +∞ − E+ (−iωn + E+− ) −E+− T ln = + T ln[1 + e ], T n=−∞ +∞ + −E− (−iωn − E−+ ) E−+ T ln = + T ln[1 + e ], T n=−∞ +∞ + E+ (−iωn + E++ ) −E++ T ln = + T ln[1 + e ] T n=−∞ (A1.3) Ta có phép biến đổi →V k d3 k (2π)3 (A1.4) Kết hợp (A1.2),(A1.3) (A1.4), ta có Ω(T, µ) = U (ρB , u, v) − −E− Nf d3 k − − + + − E − E+ + E− − E+ + 2T ln[1 + e T ] (A1.5) (2π)3 − + 2T ln[1 + e − E+ T ] + 2T ln[1 + e + −E− T ] + 2T ln[1 + e + E+ T ] Sau vài biến đổi, ta thu Ω = U (ρB , u, v) + Nf d3 k − + + + Ek− + T ln n− − n+ + Ek + T ln n− n+ , (A1.6) (2π) với ± E∓ /T n± +1 ∓ = e −1 (A1.7) hàm phân bố Fermi- Dirac 1.2 Tính mật độ lượng toàn phần E Mật độ lượng toàn phần xác định phép biến đổi Tài liệu tham khảo 133 Legendre P E = Ω + T ς + µB ρB + µI ρI , (A1.8) với ς, ρB , ρI mật độ entropy, mật độ baryon mật độ isospin, xác định biểu thức ς=− ∂Ω ; ∂T ρB = − ∂Ω ; ∂µB ρI = − ∂Ω · ∂µI (A1.9) Ta tiến hành tính ς, ρB ρI 1.2.1 Tính mật độ entropy ς Ta có Gs (u2 + v ) − Gv ρ2B + 3Gsv (u2 + v )ρ2B ; = [Gv − Gsv (u2 + v )]ρB , U (ρB , u, v) = Σv Ek± = ˜ 2s v , (Ek ± µI /2)2 + G Ek = k + M ∗2 ; M ∗ = m0 − G˜s u, G˜s = Gs + Gsv ρ2B Do ∂U = 0; ∂T ∂Ek± = 0; ∂T ∂Σv = ∂T Biểu thức mật độ entropy tính ∂Ω ς=− = −Nf ∂T = −Nf d3 k ∂ − + + + Ek− + T ln n− − n+ + Ek + T ln n− n+ , (2π) ∂T d3 k ∂ − + + T ln n− − n+ + T ln n− n+ (2π) ∂T Vì ∂ ∂ ∂ − − − {T ln n− (ln n− (ln n− − n+ } = ln n− n+ + T −) + T + ); ∂T ∂T ∂T ∂ E−− − T (ln n− ) = (1 − n− − ); ∂T T ∂ E+− − T (ln n+ ) = (1 − n− + ) ∂T T Tài liệu tham khảo 134 Do ∂ E−− E+− − − − − − {T ln n− n+ } = ln n− n+ + (1 − n− ) + (1 − n− + ) ∂T T T Tương tự ∂ E−+ E++ + + + + + {T ln n− n+ } = ln n− n+ + (1 − n− ) + (1 − n+ + ) ∂T T T Biểu thức mật độ entropy viết E−− E+− d3 k − − − ln n n + (1 − n ) + (1 − n− − + − +) (2π) T T E++ E−+ + + + (1 − n− ) + (1 − n+ + ln n− n+ + +) T T ς = −Nf Thực vài biến đổi biểu thức ς ς = −Nf d3 k E−− E+− − − − [ (1 − n− ) + ln n− ] + [ (1 − n− + ) + ln n+ ] (2π) T T E+ E++ + + (1 − n+ ) + ln n + [ − (1 − n+ ] + [ − + ) + ln n+ ] − T T Ta có E−− − (1 − n− − ) + ln n− T E+− − (1 − n− + ) + ln n+ T E−+ + (1 − n+ − ) + ln n− T E++ + (1 − n+ + ) + ln n+ T − − − = n− − ln n− + (1 − n− ) ln(1 − n− ) − − − = n− + ln n+ + (1 − n+ ) ln(1 − n+ ) + + + = n+ − ln n− + (1 − n− ) ln(1 − n− ) + + + = n+ + ln n+ + (1 − n+ ) ln(1 − n+ ) Do vậy, biểu thức mật độ entropy viết ς = −Nf d3 k − − − n− − ln n− + (1 − n− ) ln(1 − n− ) (2π) − − − +n− + ln n+ + (1 − n+ ) ln(1 − n+ ) + + + +n+ − ln n− + (1 − n− ) ln(1 − n− ) + + + +n+ + ln n+ + (1 − n+ ) ln(1 − n+ ) (A1.10) Tài liệu tham khảo 135 Ta thực vài biến đổi để thu biểu thức khác cho ς ς = −Nf = − Nf T E−− E+− d3 k − − − ln n− n+ + (1 − n− ) + (1 − n− +) (2π) T T E−+ E++ + + + + ln n− n+ + (1 − n− ) + (1 − n+ +) T T d3 k − − E−− + E+− + E−+ + E++ − E−− n− − − E+ n+ (2π) + + − − + + −E−+ n+ − − E+ n+ + T ln n− n+ + T ln n− n+ Hay ς = − d3 k Nf − + + + Ek− (1 − n− − − n+ )+Ek (1 − n− − n+ ) + (µB − Σv ) T (2π) − + + − − − + + + [(n− − − n+)+(n− − n+)]+Ek +T ln n− n+ +Ek +T ln n− n+ ( A1.11) 1.2.2 Tính mật độ baryon ρB Để tính mật độ baryon ρB ta coi Ek± , µB , µI biến số, T tham số tiến hành tính vi phân − − − − − E− /T E+ /T ∂(Ek− + T ln n− ∂E−− − (n− ∂E+− − n+ ) = ∂Ek − (n− )e + )e Vì − n− − e − E− /T = eE− /T + − − eE− /T +1 = (1 − n− −) Cho nên − − − − − − − − ∂(Ek− + T ln n− − n+ ) = [n− + n+ − 1]∂Ek + [−n− + n+ ]∂µB + [n− − n+ ]∂Σv + + + + + + + + ∂(Ek+ + T ln n+ − n+ ) = [n− + n+ − 1]∂Ek + [−n− + n+ ]∂µB + [n− − n+ ]∂Σv Ta có ∂U = 0; ∂µB ∂Ek± = 0; ∂µB ∂Σv =0 ∂µB Tài liệu tham khảo 136 Vậy ρB = − ∂Ω = Nf ∂µB d3 k − + + [(n− − − n+ ) + (n− − n+ )] (2π) (A1.12) 1.2.3 Tính mật độ isospin ρI Ta có ∂U = 0; ∂µI ∂Ek± µ = ± ± (Ek ± I ); ∂µI 2Ek ∂Σv =0 ∂µI Vậy ∂Ω (A1.13) ∂µI Nf d3 k Ek −µI /2 Ek +µI /2 − + − + = [(n )−(n )] +n +n −1)( −1)( − − + + (2π)3 Ek− Ek+ ρI = − Kết hợp (A1.8),(A1.11), (A1.12) (A1.13) ta có E = U (ρB , u, v)+Nf −(µB − Σv ) Nf d3 k − + + + Ek− (n− − +n+ − 1)+Ek (n− +n+ − 1) (2π) d3 k − + + [(n− − − n+ )+(n− − n+ )] +µB ρB +µI ρI (2π) Chú ý tới biểu thức U (ρB , u, v) ρB , biểu thức mật độ lượng toàn phần viết 1 Gv ρ2B + (Gs + Gsv ρ2B )u2 − (Gs + Gsv ρ2B )v (A1.14) 2 µ µ Ek − 2I − − Ek + 2I + + d3 k + Nf Ek (n− +n+ − 1)+ (n− +n+ −1) , (2π)3 Ek− Ek+ E= ... trình, tính giải tích tính số máy tính Đóng góp luận án Sử dụng mơ hình NJL mở rộng nghiên cứu, luận án có số đóng góp định nghiên cứu tính chất vật lý chất hạt nhân: + Tái thành cơng tính chất. .. bại phản ánh tính chất vật lý vật chất đông đặc Lý thuyết hạt nhân tương đối tính Walecka [90] thành cơng tái tính chất vật lý hạt nhân nặng trung bình Các mơ hình hạt nhân tương đối tính khác... khác, nghiên cứu tính chất vật lý hạt nhân đặc biệt cấu trúc pha cần thiết thích hợp phương diện lý thuyết thực nghiệm 3 Chính vậy, luận án chọn nghiên cứu đề tài "Nghiên cứu tính chất vật lý số