TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ LÊ THỊ MINH ANH ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI TRONG VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HÀ NỘI , 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ LÊ THỊ MINH ANH ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI TRONG VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Hà Thanh Hùng HÀ NỘI , 2018 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Vật lý trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội giúp đỡ em trình học tập trƣờng tạo điều kiện cho em đƣợc làm khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo PGS.TS Hà Thanh Hùng - ngƣời tận tình bảo, hƣớng dẫn em nghiên cứu hồn thành khóa luận Trong q trình em nghiên cứu làm khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót nhiều chỗ cịn hạn chế Kính mong nhận đƣợc đóng góp ý kiến thầy giáo để khóa luận em đƣợc hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Lê Thị Minh Anh LỜI CAM ĐOAN Khóa luận với đề tài “Ứng dụng tích phân bội vật lý” kết cá nhân em trình học tập nghiên cứu Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội Trong q trình làm khóa luận em có tham khảo số tài liệu đƣợc ghi phần “Tài liệu tham khảo” Em xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng em, không trùng lặp với kết tác giả khác Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Lê Thị Minh Anh MỤC LỤC MỞ ĐẦU .1 Lý chọn đề tài .1 Mục đ ch nghiên cứu .1 Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Giả thuyết khoa học Nhiệm vụ nghiên cứu hƣơng pháp nghiên cứu .1 Đóng góp đề tài .2 Các trúc khóa luận CHƢƠNG I: SƠ LƢỢC LÍ THUYẾT VỀ TÍCH PHÂN BỘI Tích phân bội 1.1 Tích phân kép .3 1.2 Tích phân ba Định l appus‟ Cách thay đổi biến tích phân bội 3.1 Thay đổi biến tích phân kép .8 3.2 Cách thay đổi biến tích phân ba .10 3.3 Đặc tính chung Jacobian 12 CHƢƠNG II: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI TRONG VẬT LÝ 14 2.1 Ứng dụng tính diện tích thể tích vật thể 14 2.2 Ứng dụng tính khối lƣợng, xác định khối tâm trọng tâm vật thể 22 2.3 Ứng dụng tính mơ men quán tính vật rắn 32 2.4 Ứng dụng tính giá trị trung bình đại lƣợng vật lý 37 2.5 Ứng dụng tích phân I   e  x2 dx để xác định đại lƣợng vật lý 43  KẾT LUẬN .48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lí học ngành triết học tự nhiên khoa học tự nhiên Vật lý học có liên quan chặt chẽ với môn khoa học khác Từ lâu phƣơng pháp toán học đƣợc sử dụng vật lý phát triển đặc biệt vật lý lý thuyết Các lý thuyết vật lý sử dụng ngơn ngữ tốn học để nhận đƣợc cơng thức xác miêu tả đại lƣợng vật lý thu đƣợc nghiên cứu xác hay giá trị ƣớc lƣợng tiên đốn hệ Những kết thí nghiệm hay thực nghiệm vật lý biểu giá trị số Càng sâu vào nghiên cứu ta thấy tốn học vật lý có giao thoa với Đƣợc định hƣớng thầy giáo hƣớng dẫn PGS.TS Hà Thanh Hùng nên định chọn đề tài “Ứng dụng tích phân bội trong vật lý” để nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp Mong đề tài tài liệu tham khảo giúp cho bạn sinh viên môn học vật lý Mụ đ h nghi n ứu - Nghiên cứu ứng dụng tích phân bội số đại lƣợng vật lý - Giải số tốn tích phân bội Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tƣợng nghiên cứu: Ứng dụng tích phân bội Vật lý - Phạm vi nghiên cứu: Tổ chức cho HS sử dụng kiến thức tích phân bội vào giải tập Vật lý Giả thuyết khoa học Nếu tăng cƣờng kiến thức tích phân bội vào mơn Vật lý phát triển lực giải vấn đề, nâng cao chất lƣợng nắm vững kiến thức môn liên hợp Nhiệm vụ nghiên cứu - Đƣa sở lý thuyết tích phân bội - Giới thiệu số tập dạng tích phân bội cách giải tập Phư ng ph p nghi n ứu - Đọc tra cứu tài liệu - hƣơng pháp vật lý lý thuyết vật lý tốn Đóng góp đề tài 7.1 Đóng góp mặt lí luận Hệ thống hóa số sở lí luận tích phân bội dạy học Vật lý 7.2 Đóng góp mặt thực tiễn Trang bị kiến thức cần thiết cho học sinh về: tích phân bội vật lý, phƣơng pháp giải tốn tích phân bội ứng dụng Vật lý…giúp cho giảng hiệu học sinh có nhìn tổng quan, hiểu đƣợc chất vấn đề đặt ra, từ có đƣợc phƣơng pháp giải phù hợp Các trúc khóa luận Chƣơng 1: Sơ lƣợc lý thuyết tích phân bội Chƣơng 2: Ứng dụng tích phân bội vật lý CHƯƠNG I: SƠ LƯỢC LÍ THUYẾT VỀ TÍCH PHÂN BỘI Tích phân bội Tích phân bội loại t ch phân xác định đƣợc mở rộng cho hàm có nhiều biến ví dụ f(x,y) f(x,y,z) Đầu tiên thảo luận tích phân kép tích phân ba sau xem xét thay đổi biến tích phân bội thảo luận số thuộc tính chung Jacobians 1.1 Tích phân kép Tích phân kép – tích phân có hai biến số- hàm f (x,y), đƣợc lấy tích phân theo x y giới hạn định Các giới hạn thƣờng đƣợc đại diện đƣờng cong kín C giới hạn vùng R mặt phẳng xy Chia vùng R thành N vùng nhỏ ΔRp có diện tích ΔAp, p = 1,2,3,…N (xp, yp) điểm vùng nhỏ ΔRp N Ta có tổng : S   f ( x p , y p )Ap p 1 Cho N→∞ diện t ch ΔAp →0 Nếu tổng S tiến tới giới hạn đơn trị đƣợc gọi tích phân kép f(x,y) vùng R đƣợc viết I  R f ( x, y)dA (1.1) dA nguyên tố diện tích mặt phẳng xy Nguyên tố diện tích dA diện tích hình chữ nhật nhỏ vùng R ΔA=ΔxΔy Δx, Δy tiến tới 0, ta viết t ch phân nhƣ sau: I  R f ( x, y)dxdy (1.2) (1.2) ta viết nguyên tố diện tích dA =dxdy với dx, dy hai vi phân tọa độ ( xem hình 1.1) Hình 1.1 Đường cong kín C giới hạn vùng R mặt phẳng xy Công thức (1.2) cho cách tính tích phân kép Trong hình 1.1, giới hạn phép tính tích phân đƣợc viết phƣơng trình c(x,y)=0 cho đƣờng biên đƣờng cong C Tuy nhiên giới hạn viết hai cách khác Cách thứ t nh t ch phân tổng hợp ngun tố diện tích hình chữ nhật nhỏ lại xếp thành dải ngang với chiều rộng dy sau hợp dải ngang trải toàn vùng R, trƣờng hợp ta viết tích phân nhƣ sau: y d I  y  c  x  x2 ( y ) x  x1 ( y )  f ( x, y )dx dy (1.3) x=x1 x=x2 phƣơng trình đƣờng cong TSV TUV tƣơng ứng Từ (1.3) ta thấy f(x,y) đƣợc lấy tích phân theo x ( y nhƣ số) giá trị x=x1(y) x=x2(y) sau kết đƣợc coi nhƣ hàm y đƣợc lấy tích phân giới hạn y=c, y=d Do t ch phân kép đƣợc t nh điều kiện hai t ch phân đơn gọi tích phân lặp Cách thứ hai để t nh t ch phân tổng hợp ngun tố diện tích hình chữ nhật nhỏ lại xếp thành dải dọc sau hợp dải dọc trải chúng toàn vùng R t ch phân đƣợc viết nhƣ sau: x b I  x a  y  y2 ( x ) y  y1 ( x )  f ( x, y )dy dx (1.4) Trong y=y1 (x) y=y2(x) phƣơng trình đƣờng cong STU SVU tƣơng ứng Từ (1.3) (1.4) ta thay đổi thứ tự phép tính tích phân cho Nói chung, hàm f(x,y) liên tục khắp nơi R đƣờng biên đƣờng cong C có hình dạng đơn giản cho ta kết quả, khơng phụ thuộc vào thứ tự phép tính tích phân Cịn trƣờng hợp vùng R có hình dạng phức tạp, ta chia thành vùng nhỏ có hình dạng đơn giản R1, R2,… Tích phân kép tồn R tổng tất tích phân kép vùng nhỏ chia Để tránh việc sử dụng dấu ngoặc biểu thức (1.3) (1.4) ta từ (1.4) viết đƣợc t ch phân kép nhƣ sau: I  c dy x ( y ) f ( x, y)dx d x2 ( y ) biểu thức ta hiểu kí hiệu t ch phân đƣợc tính bên phải thứ tự phép tính tích phân từ phải sang trái Vì ví dụ hàm lấy tích phân f(x,y) đƣợc lấy t ch phân theo y sau theo x Với tích phân kép đƣợc diễn tả cách trên, ta khơng phải viết dài biến độc lập cách rõ ràng giới hạn phép tính tích phân Sử dụng thứ tự phép tính tích phân (1.3) ta viết tích phân kép nhƣ sau: I  c dy x ( y ) f ( x, y)dx d x2 ( y ) Đôi thay đổi thứ tự phép tính tích phân tích phân kép khơng đƣợc phép cho kết khác Ví dụ vùng R khơng có đƣờng biên giới (vơ biên) với giới hạn vô hạn nhiều trƣờng hợp liên quan đến giới hạn vô hạn cho kết thu đƣợc thứ tự phép tính tích phân đƣợc sử dụng Việc tính tích phân trở lên khó hàm lấy tích phân f(x,y) bị gián đoạn R đƣờng biên giới C Chuyển sang hệ tọa độ trụ  x  r cos    y  r sin  z  z  0  r  a  Với 0    2 b  z  b  Momen quán tính hình trụ tâm O I    x  y  z   dxdydz I     r cos 2  r sin   z  rdrd dz I    d  dz  r  r  z  dr    d  dz   r  rz  dr 2 b a b I   2 2 b a b  r  2 b a r  a    d  dz   z    0 d b   z  dz b 0     a b b  a  2ba 2b3a  a2 z3    I    d   z          b       ba b3a   a b2   a b2  I   2     a b   M          3  3 2 Bài Tính momen qn tính hình phẳng vật chất D, giới hạn đƣờng y   x ; x=0; y=0 trục Oy tỉ khối mặt điểm y Giải: 35 Hình phẳng D hình có phần gạch chéo đƣợc biểu diễn hình vẽ Áp dụng công thức I y   x dM I y   x dxdy Với 0≤x≤1 ;  y   x Ta có momen quán tính vật D trục Oy là:  2 1 x x y   Iy     yx dy  dx    0 0   1 x  dx  x 1  x  dx  0 24   Bài Tính momen quán tính diện tích hình trịn (x-a)2+(y-b)2=2a2 trục Oy Giải: Áp dụng công thức I y   x2 dS   x2dxdy x  a  u  dxdy  dudv hay u  v2  2a2 Đặt  y  b  v  Chuyển sang hệ tọa độ cực u  r cos   dudv  rdrd Đặt  v  r sin  Ta có momen qn tính diện t ch hình trịn trục Oy : 36 I y    u  a  dudv    u  a  rdrd 2 I y   d  Iy   2 2a 2 r  r cos   a  dr   d  2a  r cos   2r a cos    dr 2 2a   r r3 r2    d  cos   2a cos   a   0     2  4 I y    a cos 2  a cos +a d   2 Iy   2 Iy    cos2 +1  4   a  sin 2   4  a cos  +a d      a sin  +a 4   a             2 0 a4 2  2 a  3 a 2.4 Ứng dụng tính giá trị trung bình đại lượng vật lý Ta xét ví dụ, hàm f(x,y) xác định vùng R mặt phẳng xy Giá trị trung bình f hàm đƣợc t nh nhƣ sau : f R dA  R f ( x, y)dA (2.2) Định nghĩa mở rộng cho chiều hàm f(x,y,z) đƣợc xác định vùng chiều khơng gian R giá trị trung bình f hàm f R dV  R f ( x, y, z )dV  (2.3) hƣơng pháp giải: - B1: Áp dụng công thức (2.2) (2.3) - B2: Biểu diễn vùng R hệ tọa độ Oxy Oxyz từ xác định dA dV cận x,y,z - B3: Thay vào cơng thức giải tích phân Ví dụ : Một tứ diện đƣợc giới hạn mặt tọa độ mặt phẳng x/a +y/b +z/c=1 có mật độ ρ(x,y,z)=ρ0(1+x/a) Tìm giá trị trung bình mật độ Giải: Từ (2.3) , giá trị trung bình mật độ 37  R dV  R  ( x, y, z )dV Tính  dV : R Ngun tố thể tích vùng bóng mờ dV=zdxdy ta phải lấy tích phân tam giác vùng R mặt phẳng xy giới hạn đƣờng thẳng x=0, y=0 y=b-bx/a Thể tích tồn phần tứ diện : b bx / a V  R zdxdy  0 dx 0 a c(1  y x  )dy b a y b bx / a y xy    = c 0 dx  y  2b a  y 0  a  bx bx b  abc    a a 2  = c 0 dx  a Tính    z, y, z  dV R b bx / a Từ V  0 dx 0 a c (1 y / b  x / a ) dy 0 dz , ta có khối lƣợng tứ diện a c (1 y / b  x / a ) x x bbx / a M  R 0 (1  )dV  0 dx0 (1  ) 0 dy 0 dz a a 38 bx b   bx a b  a   x y x x y xy        M   0 1    a c 1   dy   0 1   c  y     0 2b a    a  b a  a    a bx   bx  x  bx    x   M   0c 1    b     b     b    dx a  2b  a  a a    a   a  x  bc  x   x  bc  x  M  0  bc 1    1   1    x 1   dx  a   a  a  a  a  a a  x3   x x3 x4   x2 x4  M  0bc  x     x         3a   2a 3a 4a  a  4a     a3   a a3 a4   a2 a4  M  0bc  a     a        3a   2a 3a 4a  a  4a     2 M  0bc  a  a  a   0 abc 24  24 3 Vậy   M / V  0  Bài tập Bài Hãy tìm trị trung bình đại lƣợng x (∆x)2 hạt lƣợng tử chuyển động „giếng vô hạn‟ trạng thái  n x  sin   ; a>0, 0≤x≤a, n=1,2,3,… a  a   n ( x)  Giải *) Trị trung bình x Áp dụng công thức x  *n ( x) n ( x)dx   *n ( x) x  n ( x)dx (1) Tính  a *n ( x) n ( x)dx   a a 1 2 n x 2n x  sin dx    cos  dx a a a a   a 1 a 2n x   x sin    a  0  a 2n a 0 a 39 (*) Từ (1) ta có x a 2n x   n x  a x  x sin    0 1  cos dx a a   a  a 2  a a 2n x  a2 x   xdx   x cos dx    A  0 a a a a  Tính A : u  x du  dx   Đặt  2n x   a 2n x dv  cos dx v  sin  a 2n a   a a a 2n x  2n x  a A x sin sin dx   0 a 0 2n a  2n 2n x  a  A  0 0  cos a  2n  Vậy x  a a2 a  a 2 *) Trị trung bình (∆x)2 Ta có  x    x  x   x  xx  x  x  x 2 2 Áp dụng công thức x  *n ( x) n ( x)dx   *n ( x) x  n ( x)dx Với  a *n ( x)n dx  ( theo *) x2  a 2  n x  a  2n x  x sin  dx   x 1  cos   dx  a a  a   a  a  1 a 2n x   a3 x    x dx   x cos dx    B   0 a a  a  Tính B u  x du  xdx   a 2n x  2n x   sin dx v  dv  cos 2n a  a  a Suy B  2n a 2n x  a   x sin   a  n   a 40 x sin 2n x a dx   a n  a x sin 2n x dx a t  x dt  dx   Đặt  2n x   a 2n x dt  sin dx t   cos  a 2n a   Suy  a 2n x a x sin dx   a 2n a 2n x  a   x cos   a  2n   a cos 2n x dx a a a2  a  2n x a2   sin    2n  2n  a 2n 2 a3  a   a   Vậy B      2  n   2n  2n   a3 a3  a a2 Nên ta có x    2    2 a  2n   2n  Mà x    2 a  x  2 a2 a2 a2 a2 a2 a2    x x   2   2  1  2  2n  12 2n  12  n   2 Bài Hãy tìm trị trung bình đại lƣợng px (∆px) dao động tử điều hòa chiều trạng thái  ( x)  mw   mw x  exp   ;   x     Giải *) Trị trung bình px Áp dụng cơng thức px  *0 ( x) ( x)dx   *0 ( x) px  ( x)dx Tính     mw    ( x) ( x)dx   *  mw x  exp  dx   Áp dụng công thức tính tích phân poisson ta có    e  x2   mw2 x    dx    exp  dx    mw   41 (1)   px  w   Từ (1) ta có  *0 ( x) dx  mw     mw w mw   mw x   i   exp        x   mw x  px  w exp    i     m m  (*) mw   mw x  exp  dx    mw x    exp   dx x    mw x   mw   mw x  exp  2x     dx         i   exp    px  w mw px  w  i   m  mw x  dx   x exp    Vì hàm dƣới dấu tích phân hàm lẻ nên px  *)Trị trung bình (∆px)2 Ta có  px    px  px   px2  px px  px  px2  px 2 2 Tính trị trung bình px2 px2  *0 ( x) dx   *0 ( x) px2  dx Theo (*) có p  w x  p =w   x p w x 2   *0 ( x) dx    mw w mw   mw x    mw x  mw  exp    i   exp   dx  x       mw x    mw  mw x  m  exp   x exp      dx     x     px2  w      m   mw x   mw   mw x  mw  mw   mw x   exp      exp    x   2 x  exp  dx   mw x   mw    mw x   m  mw     dx    dx      exp    x exp             Áp dụng cơng thức tính tích phân poisson ta có    e x dx    mw2 x      exp  dx     mw   42 (2) Tính  mw x  x exp  dx     Áp dụng cơng thức tính tích phân poisson ta có    x n e-ax dx   2n  1!  n a n 1   mw 2    1!     x exp  x dx    2 m mw  mw        (3) Từ (2) (3) suy px2  mw    m   mw   m   m w       mw m mw    mw mw    px2  m w 2 Vậy  px2   px2  px  m w   m w2 2 2.5 Ứng dụng tích phân I   x  e dx để x định đại lượng vật lý  Tính tích phân  I   e x dx  Giá trị đƣợc tìm cách tính I2, nhƣ sau:     I   e x dx  e  y dy   dx  dye  ( x  y 2 2 )  R e ( x  y ) dxdy 2 I (a)   a e  x dx với a→∞ a Trong vùng R toàn mặt phẳng xy Tiếp theo ta chuyển sang hệ tọa độ cực, ta đƣợc: I  R e 2 2   d  d   0 d  0    e d   2   e       0 43 2  Vì hàm lấy tích phân hàm x, sau Do t ch phân ban đầu I  giá trị tích phân từ 0→∞ ta đƣợc  Ta ý không giống nhƣ nhƣ tất ví dụ, vùng phép lấy tích phân R R‟ phạm vi vơ hạn Do cẩn cẩn thận việc lấy kết Ta xét tích phân sau : I (a)   a e  x dx a Ta có I (a)  R e ( x  y ) dxdy, 2 Hình 2.4 Các vùng dùng để minh họa tính chất hội tụ tích phân Trong R cạnh hình vng có độ lớn 2a có tâm gốc tọa độ (ở hình 2.4) hàm lấy tích phân ln giá trị dƣơng tích phân lấy hình vng nằm giá trị tích phân vùng giới hạn đƣờng đƣờng trịn có bán kính a vá giá trị tích phân vịng trịn ngồi có bán kính 2a Chuyển sang hệ tọa độ cực, ta tính tích phân vịng trịn bên bên tƣơng ứng  (1  e  a2 )  I (a)   (1  e2 a ) Lấy giới hạn a→∞ ta tìm đƣợc I2→π Do I    Thay y   x vào I   e x dx  e y dy ta đƣợc:  2  44  nhƣ ta tìm thấy trƣớc   I   e x dx  e  y dy     I   e x dx  e  x     dx  I   e x dx   e  x dx         e x dx       e  x dx    Bài tập Bài Tính I      e   x2  y dydx Giải:  x   cos  dxdy   d  d Chuyển hệ tọa độ cực   y   sin      I    e    d  d   d   e  p d  0 Đặt X    dX  2 d   I   d  0  I   x  e dX  e X    4  e   e0  Bài Tính J    e-ax  ebx dx x Giải: Ta xét tích phân sau:   e- x dx   (  0) T ch phân đẳng thức giới hạn từ ∝=a đến ∝=b ta đƣợc    b  0 b d b e  x dx d    ln a   a Đổi thứ tự tích phân thứ nhất, đẳng thức có dạng: 45       0  b e  x d dx  ln b  a  a   x b  b    e  dx  ln a  a  x e-ax  e  bx b dx  ln x a Bài Trong học lƣợng tử, điện tử nguyên tử Hydro trạng thái riêng đƣợc mơ tả hàm sóng Ψ  dV xác suất tìm thấy điện tử thể tích cực nhỏ dV Trong tọa độ hình cầu   (r, , ) dV  r sin  drd d Hai trạng thái đƣợc mô tả nhƣ sau :   1 1       4   a0  1/2 3/2 2e r / a0 ,          sin  ei    8   2a0  1/2 3/2 re r /2 a0 a0 Chứng tỏ Ψi đƣợc chuẩn hóa tích phân tồn không gian  dV  , nghĩa điện tử phải Giải: - Xét hàm Ψ1 I   1 dV   1 I        4   a0  1/2 2   0 I   d  d  3/2 2   0 2e r / a0 r sin  drd d   d  d  1 2 r / a0 4e r sin  dr 4 a03 sin  2 r / a0 re dr  a03 Áp dụng tích phân poisson  J n     e r r n dr  2  0 I   d  n!  n1    r 2e2 r / a0 dr  2  sin  a03 sin  d   d  d 0 4  a0 46 2!  2    a0   a03 I  2   cos    2 d  d      0 2 2  4  2 I 1 Vậy hàm sóng Ψ1 đƣợc chuẩn hóa - Xét hàm sóng Ψ2 A    dV   *2  dV A   8  r / a0    i  i r e sin  e r sin  drd d   2 a a  0 2   0 A   d  d  8 3 2   sin    r 4e r / a0 sin  dr  d  d  r 4e r / a0 dr      0 3a0 64 a0  2a0  Áp dụng tích phân poisson  J n ( )   r n e r dr  2  0 A   d  n!  n 1    r 4e r / a0 dr  4! 1    a0   24a05 2  sin  24 a d   d   cos 2  sin  d    0 64 a0 8 Đặt u=cosθ→du=-sinθ Đổi cận   u -1 Suy    u3  1  cos   sin  d  1 1  u  du   u     23  34   1  A 2 2 d   d    2 8 2 Vậy Ψ2 đƣợc chuẩn hóa 47 2 1 KẾT LUẬN Với đề tài ‟Ứng dụng tích phân bội vật lý” tơi hoàn thành nội dung sau : Sơ lƣợc lý thuyết tích phân bội Các ứng dụng tích phân bội vật lý hƣơng pháp giải tập ứng dụng tích phân bội vật lý Tuy nhiên, thời gian có hạn sinh viên lần đầu làm quen với nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi nhiều sai sót Nhƣng tơi hi vọng đề tài tài liệu hữu ích cho bạn sử dụng học tập nghiên cứu ứng dụng tích phân bội vật lý Rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp q thầy bạn đọc Xin chân thành cảm n! 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Lê Hạnh,Trần Tráng, Phép tính vi phân tích phân, Nhà xuất giáo dục, 1971 Tiếng Anh K F RILEY, Mathemtical methods for physics and engineering 49 ... trúc khóa luận Chƣơng 1: Sơ lƣợc lý thuyết tích phân bội Chƣơng 2: Ứng dụng tích phân bội vật lý CHƯƠNG I: SƠ LƯỢC LÍ THUYẾT VỀ TÍCH PHÂN BỘI Tích phân bội Tích phân bội loại t ch phân xác định... trị 13 CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI TRONG VẬT LÝ 2.1 Ứng dụng tính diện tích thể tích vật thể Tích phân bội thƣờng đƣợc sử dụng việc tìm diện tích thể tích Ví dụ tích phân A  R dA ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ LÊ THỊ MINH ANH ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI TRONG VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Hà