Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 SỐ PHỨC Câu 1: Cho z1 , z2 hai số phức z Tập hợp điểm biểu diễn số phức có phương trình A ( x − 10) + ( y − 6) 2 w = z1 + z2 = 36 B z Cho số phức Câu 3: Cho số phức A Câu Gọi 53 z B z thỏa mãn Câu Cho số phức w= số thực 2 C thỏa mãn D ≈ 7,8 C 265 P= D 2z + i z , với M =2 C m z + z + z − z = Gọi M , m A A ∈  4;3 B A∈ ( 34 ;6 ) Tìm tập hợp tất giá trị tham số z + z + z − z = z2 C m ≈ 8,8 z số phức khác M = D m giá trị lớn nhỏ P = z − − 2i Đặt A = M + m Mệnh đề sau đúng? điều kiện z + z số thực Giá trị lớn ) = 16 2 giá trị lớn nhỏ z M thỏa mãn z ≥ Tính tỷ số m M M =3 = A m B m Câu z + − i + z − + i = Tìm giá trị lớn P = z − + 4i B M m ( x − 10 ) + ( y − ) đường tròn  5  3 x− ÷ + y− ÷ = D  2  2 M = z + 1− i biểu thức A thỏa mãn Oxy mặt phẳng tọa độ 2  5  3 x− ÷ + y− ÷ = C  2  2 Câu 2: z − − 3i = , đồng thời z1 − z2 = thỏa mãn điều kiện ( A∈ ; 33 ) để có số phức D z ( A∈ 6; 42 ) thỏa mãn đồng thời z = m Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC A Câu Cho số phức A Câu { 2;2 2}  2;2    B z z= có số phức Đề Trường A Lần X Năm 2019 C a b z=− − i Biết số phức c c (với a , b , D w c iz − (1 + 3i ) z = z tối giản) thỏa mãn Khi giá trị 1+ i A Câu 26 Cho số phức z thoả mãn A 10 Câu 10 số phức Câu 11 z, w thỏa mãn A 45 10 C H S = 4π D S = 16π a , biết phương trình z + az + = có bốn nghiệm 2 2 C D A z C ( thỏa mãn B z1 + 3z2 B ) D z − + z − z i + z + z i 2019 = ? Câu 14 Giả sử z1 , z2 hai số phức thỏa mãn giá trị nhỏ nhất M + m là: B Câu 13 Có số phức z1 , z2 , z thỏa mãn z ≥ Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z+i z tổng − 21 D ( z + 4) ( z + 4) ( z + 4) ( z + 4) = 441 ? A A 10 hình B Câu 12 Cho số phức T= S = 12π B Có số số thực D z = , z − w = Biết tập hợp điểm biểu diễn thay đổi thỏa mãn 90 C w hình phẳng H Tính diện tích S S = 20π z3 , z4 C a là: z − − i + z − − 2i = Giá trị lớn z + 2i B Cho hai số phức A B ( 2;2 ) 1 + = thỏa mãn z w z + w Tính mơ đun số phức w 1 C D a b , số tự nhiên khác c c phân số B { 2} C D ( z − ) ( + zi ) số thực Biết z1 − z2 = , 20 − 21 C 20 − 22 Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! D − 22 Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Câu 15 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn Đề Trường A Lần X Năm 2019 z1 − z2 − − 12i = S A lần Khi giá trị B 223 D 225 tập hợp số thực m để phương trình z + 3z + m2 − 2m = có nghiệm phức z0 z0 = Tổng tất phần tử S với M ,m A 220 C 224 Câu 16 Gọi Gọi P = z1 + z2 + 12 − 15i lượt giá trị lớn nhỏ biểu thức M − m2 z1 − − 20i = − z2 B Câu 17 Trong mặt phẳng C Oxy , gọi ( H ) D phần hình phẳng chứa điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z 16 16 z có phần thực phần ảo thuộc đoạn [ 0; 1] Biết diện tích ( H ) S = a − bπ ( a, b ∈ ¡ ) Tính P = a + b A P = 224 A, B, C Câu 18 Gọi phức z để B ∆ ABC a z1 , z2 , z3 Câu 20 Cho số phức C P = 256 z, z , z ( z ∈ £ ) Có số D z1 = z2 = z3 = a đôi khác thỏa mãn B C z − z1 = z − z2 = z1 − z2 b− a = Câu 21 Cho số phức B b− a = z = a + bi ( a, b ∈ ¡ z + − 3i + z − + i 9a B z ) Tính C a D (trong a, b ∈ ¡ , b > ) b− a b− a = thỏa mãn b− a = 3 D z − − 3i = Tính P = a+ b đạt giá trị lớn P = 10 Câu 22 Cho số phức 4a z = + i Biết tồn số phức z1 = a + 5i, z2 = b thỏa mãn A D S = z1 - z2 z2 - z3 + z2 - z3 z3 - z1 + z3 - z1 z1 - z2 Giá trị nhỏ S Đặt A P = 320 vuông B.Vô số Cho ba số phức A C điểm biểu diễn cho số phức A Câu 19 P = 160 thỏa mãn P = C P= D P = z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z − + z − + 2i Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC A P= B z Câu 23 Cho số phức P= thỏa mãn Đề Trường A Lần X Năm 2019 C P = z + 3i = z − + 5i P= D Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z + i + z − 3i A P = 2 Câu 24 Cho số phức B z = a + bi ( a, b∈ ¡ ) S = a+ b A S = − B Câu 25 Xét số phức z = giá trị lớn A P= B z1 z2 Câu 27 Cho số phức C P = D z− S = lớn Tính S = 11 D z = Tính P = 2a + 4b P = z3 − z + số phức z thỏa mãn z1 − z2 z1 , z2 , Câu 30 Cho ba số phức thỏa mãn D z = 18 + 26i Tính T = ( z − ) + ( − z ) C B z = z thỏa mãn B C D z = z1 − − 5i = z2 − = z + 4i = z − + 4i P = z − z1 + z − z2 41 z =2 2 D z  ( + 4i ) z − + 3i  − = Giá trị z biểu thức C B z = Tính đạt giá trị nhỏ C D z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 = z2 = z3 = z1 + z2 + z3 = Tính giá trị biểu thức K = z12 + z22 + z32 A K = đạt P = 2+ D z1 = 3, z2 = 4, z1 − z2 = 41 Xét thoả mãn z = x + yi , ( x, y ∈ ¡ ) Câu 29 Cho số phức A thỏa mãn P = 2− P = z − + z + = 10 C 3 B Câu 28 Cho số phức A S = − C z1 = a + bi, ( a, b ∈ ¡ ) z1 Khi b bằng: A A thoả mãn: a + bi,( a, b ∈ ¡ , b > 0) Câu 26 Cho hai số phức z= P = B K = − C K = Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! D K = Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: [2D4-3.1-3] Cho z1 , z2 z hai số phức thỏa mãn điều kiện thời z1 − z2 = Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z1 + z2 Oxy đường trịn có phương trình A ( x − 10) + ( y − ) 2 = 36 B ( x − 10) + ( y − ) 2  5  3 x− ÷ + y− ÷ = C  2  2 z − − 3i = , đồng mặt phẳng tọa độ = 16  5  3 x− ÷ + y− ÷ = D  2  2 Lời giải Chọn A z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ A, B Gọi bán kính ) z − − 3i = ⇔ ( x − 5) + ( y − 3) = 25 ( C ) điểm biểu diễn z1 , z2 Khi A , B thuộc đường tròn ( C) tâm I ( 5;3) tâm I ( 5;3) R = AB = z1 − z2 = Gọi H kính R1 = trung điểm AB ⇒ IH = ⇒ tập hợp H đường tròn ( C1 ) M tập hợp điểm biểu diễn cho số phức ⇒ Tập hợp M đường tròn ảnh ( C1 ) uuuur uuur uuur uuur w = z1 + z2 ⇒ OM = OA + OB = 2OH qua phép vị tự tâm O ( 0;0 ) tỉ số k=2 V( O;2) ( C1 ) = C ′ ⇒ R′ = 2R1 = V( O;2) I = I ′ ⇒ I ′ ( 10;6 ) ⇒ phương trình ( x − 10) + ( y − ) 2 = 36 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X bán Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Câu 2: [2D4-4.1-3] Cho số phức lớn biểu thức A z M = z + 1− i B z thỏa mãn Đề Trường A Lần X Năm 2019 w= số thực z + z số thực Giá trị 2 D C Lời giải Chọn B Cách w= Do ⇒ z + z số thực ⇒ w = w ( ) ( ) ( ⇔ z =2 (vì ) z không số thực nên z − z ≠ ) ⇔ z = Gọi z′ = z + − i ⇒ z = z ′ − + i = Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức ⇒ ( x − 1) + ( y + 1) = ⇒ )( z z = ⇔ z + z.z = z + z z ⇔ z − z = z.z z − z ⇔ z − z z − = 2 2+ z 2+ z Tập hợp điểm biểu diễn số phức Vậy z′ đường tròn tâm I = ( 1; − 1) , bán kính R = Max z ′ = Max z + − i = OI + R = 2 Cách w= Do z + z số thực ⇒ w= w ⇒ ( ) ( ) ( )( ) z z = ⇔ z + z z = z + z z ⇔ z − z = z z z − z ⇔ z − z z − = 2 2+ z 2+ z ⇔ z =2 Ta có (vì z khơng số thực nên z − z ≠ ) ⇔ z = z′ − + i ≤ z + − i = + = 2 ⇔ M ≤ 2 Cách Gọi P ( x; y ) Do z = x + yi ( x, y ∈ ¡ Do w= biểu diễn cho số phức ) z = x + yi ( x, y ∈ ¡ không số thực nên ) y≠ z z = ⇔ a.z = z + ( a ∈ ¡ số thực Gọi 2+ z 2+ z a Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! ) Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 a.z = z + ⇔ a ( x + yi ) = ( x + yi ) + ⇔ ax + ayi = x − y + xyi + 2  x − y + − ax =  x − y + − ax = ⇔ ⇔ xy − ay =  a = x ⇒ − x2 − y + = ⇔ x2 + y = ⇒ Tập hợp điểm biểu diễn số phức Gọi Câu 3: z đường tròn tâm O , bán kính R = N = ( − 1;1) Ta có z + − i = PN ⇒ Max z + − i = ON + R = 2 z [2D4-4.1-4]Cho số phức thỏa mãn z + 1− i + z − + i = Tìm giá trị lớn P = z − + 4i A 53 B ≈ 7,8 C 265 D ≈ 8,8 Lời giải Chọn B Đặt z= z0 + − − 2i Khi đó: z + 1− i + z − + i = ⇔ z0 z0 + 2− i + − + i = ⇔ z0 − 10 + z0 + 10 = 12 − − 2i − − 2i Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Nên với M ( x; y ) biểu diễn cho số phúc Đề Trường A Lần X Năm 2019 z0 M ∈ ( E ) nhận tiêu điểm A ( − 10;0 ) , B ( 10;0 ) 2a = 12 ⇒ a = , tiêu cự : AB = 2c = 20 ⇒ c = 10 , b = độ dài trục lớn : ( E) : Phương trình x2 + y2 ( 5) ( 5) 2 =1 z0 z + 20 − 10i z0 + 20 − 10i + − + 4i = = − − 2i − − 2i P = z − + 4i = Gọi C ( − 20;10 ) điểm biểu diễn số phức Vậy MCmax MC phải cắt trục lớn ( E ) − 20 + 10i cắt ⇒ P= ( E) MC đểm ( M 5;0 ) ⇒ MCmax ≈ 34,88 ⇒ Pmax ≈ 7,8 Câu [2D4-5.2-3] Gọi M m giá trị lớn nhỏ M phức khác thỏa mãn z ≥ Tính tỷ số m M M M =3 = =2 A m B m C m Lời giải P= 2z + i z , với z M = D m Chọn D Ta có: Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X số Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 P= 2z + i 2z + i z + i = ≤ = 2+ ≤ z z z z Dấu xảy P= 2z + i 2z + i z − i = ≥ = 2− ≥ z z z z Dấu xảy z = 2i Suy z = − 2i M= Suy m= M = Vậy m Câu [2D4-5.1-4] Cho số phức nhỏ A A ∈  4;3 z thỏa mãn z + z + z − z = Gọi M , m giá trị lớn P = z − − 2i Đặt A = M + m Mệnh đề sau đúng? ) B A∈ ( 34 ;6 ) C ( A∈ ; 33 Lời giải ) D ( A∈ 6; 42 ) Chọn B Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ Ta có z + z + z − z = ⇔ x + yi + x − yi + x + yi − x + yi = ⇔ x + y = Suy K hình vng khoảng cách từ Từ hình vẽ, ta thấy Câu thuộc ABDC P = z − − 2i Vậy ) , có điểm biểu diễn K ( x; y ) I ( 2;2 ) đến K P = IH = , max P = IC = ID = A= M + m= 5+ 2∈ ( 34;6 ) [2D4-5.1-3] Tìm tập hợp tất giá trị tham số đồng thời điều kiện z + z + z − z = z2 m để có số phức z thỏa mãn z = m Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC A { 2;2 2} B  2;2    Đề Trường A Lần X Năm 2019 C { 2} Lời giải D ( 2;2 ) Chọn A Gọi z = x + yi ( x, y∈ ¡ )  x + yi = z  2 Từ điều kiện đề ta có:  x + y = m ⇔  m2 x + y = ( 1)    x + y = m2 ( )  m2 Phương trình ( 1) phương trình hình vng có tâm gốc tọa độ độ dài cạnh , Phương trình ( 2) phương trình đường trịn có tâm gốc tọa độ bán kính m Số số phức cần tìm số giao điểm hình vng đường trịn Để có số phức thỏa mãn phải xảy hai trường hợp sau: TH1: Hình vng nội tiếp đường trịn hình vẽ m2 ⇔ m= ⇔ m= Yêu cầu toán (dễ thấy m ≠ 0) TH2: Hình trịn nội tiếp hình vng Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 10 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC * Xét điểm Gọi H trung điểm HA = HB = Ta có AB AB = MA = AB = ⇒ HM = MA − HA = HI = R − HB = 21 , IM = HI + HM = 22 , suy điểm M Từ ( C′ ) M uuur uuur r uuur uuur uuuur MA + 3MB = ⇔ OA + 3OB = 4OM AB thỏa thuộc đoạn Đề Trường A Lần X Năm 2019 I ( 3;4 ) , bán kính r = 22 uuur uuur uuuur z1 + 3z2 = OA + 3OB = 4OM = 4OM , z1 + 3z2 thuộc đường trịn tâm * Ta có Ta có OM = OM = OI − r = − 22 Vậy z1 + 3z2 = 4OM = 20 − 22 Câu 15 [2D4-5.1-4] Cho hai số phức M ,m z1 , z2 thỏa mãn m2 OM nhỏ z1 − z2 − − 12i = z1 − − 20i = − z2 giá trị lớn nhỏ biểu thức trị M − A 220 C 224 nhỏ Gọi P = z1 + z2 + 12 − 15i Khi giá B 223 D 225 Lời giải Chọn D  w − z2 = ⇒  w + − 8i + z2 = Đặt w = z1 − − 12i Gọi A, B với điểm hai điểm biểu diễn hai số phức M ( − 6;8 ) w  AB =  z2 Khi ta có  AM + OB = ⇒ AB + AM + OB = 10 = OM Suy A , B thuộc đoạn OM uuur uuuur uuur uuuur OA = xOM = − x ;8 x OB = yOM = ( −6 y;8 y ) với x , y∈ [ 0;1] ( ) Suy  w = − x + xi  Đặt  z2 = − y + yi với x , y∈ [ 0;1] Khi Hay P = − x + xi − 12 y + 16 yi + 21 − 3i P= ( − x − 12 y + 21) + ( 8x + 16 y − 3) 2 Đặt t = x + y, t ∈ [ 0;3] Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 18 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 P = 100t − 300t + 450 Khi f ( t ) = 100t − 300t + 450 Khảo sát hàm số đoạn [ 0;3] ta  3 max f ( t ) = f ( ) = 450 m[ 0;3in] f ( t ) = f  ÷ = 225 , [ 0;3]  2 Từ suy M = 450 , m = 15 Vậy M − m = 225 S Câu 16 [2D4-4.2-3] Gọi nghiệm phức A tập hợp số thực m để phương trình z0 với z0 = Tổng tất phần tử S B C z + 3z + m − 2m = có D Lời giải Chọn C Cách TH1: z0 số thực  m − 2m + 10 = 0( VN )  z0 = ⇒ z0 = ⇔  z = −  m − 2m − = ⇔ m = 1±  TH2: z0 số thực Vì phương trình z + 3z + m2 − 2m = ( *) nghiệm Theo Viet ta có ⇔ ∆ = 9− 4( m2 − 2m ) < ⇔ m − 2m > có hệ số thực (1) z0 nghiệm ( *) nên z0 ( *) z0.z0 = m − 2m ⇔ = z0 = m2 − 2m (thỏa (1)) ⇔ m2 − 2m − = ⇔ m = 1± Vậy tổng phần tử S Cách Gọi z0 = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) z0 = ⇔ a + b = (1) z0 nghiệm phương trình z + 3z + m2 − 2m = ⇔ ( a + bi ) + 3( a + bi ) + m − 2m =  a − b + 3a + m − 2m = (2) ⇔ a − b + 3a + m − 2m + (2ab + 3b)i = ⇔   2ab + 3b = (3) b = (3) ⇔  a = − Ta có  2 2 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 19 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Với Đề Trường A Lần X Năm 2019 b = Từ (1) ⇒ a = ⇔ a = ±2 b = 0, a = ⇒ ( 2) ⇔ m2 − 2m + 10 = (vô nghiệm) b = 0, a = −2 ⇒ ( 2) ⇔ m − 2m − = ⇔ m = 1± 3 a = − ⇒ ( 1) ⇔ b = ⇒ ( 2) ⇔ m − 2m − = ⇔ m = 1± Với Vậy tổng phần tử S Câu 17 [2D4-1.2-4] Trong mặt phẳng z Oxy , gọi ( H ) phần hình phẳng chứa điểm biểu diễn số phức z 16 thỏa mãn: 16 z có phần thực phần ảo thuộc đoạn [ 0; 1] Biết diện tích ( H ) S = a − bπ ( a, b∈ ¡ ) Tính P = a + b A P = 224 B P = 160 C P = 320 D P = 256 Lời giải Chọn A Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) z x y 16 = 16 z = 16 x + 16 y i = + i Khi đó: 16 16 16 , z z z x + y x + y x y   ≤ 16 , 16 ≤  ⇔  ≤ 16 x , 16 y ≤ x2 + y x2 + y Điều kiện:  Suy ( H) 0 ≤ x, y ≤ 16  ≤ x, y ≤ 16  2  2 ⇔  x + y − 16 x ≥ ( x − ) + y ≥ 64  x + y − 16 y ≥  x + ( y − ) ≥ 64   phần hình vng giới hạn đường điểm nằm hình trịn tâm hình) I ( 8;0 ) tâm K ( 0;8) x = 0, y = 0, x = 16, y = 16 có bán kính Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! trừ ( xem Trang 20 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 1  1  S = 162 −  S( I ) + S( K ) + SOITK ÷ = 162 −  π 82 + 82 ÷ = 192 − 32π Diện tích ( H ) 4  2  Suy a = 192, b = 32 P = a + b = 224 Ngày 28/ 2/ 2019 Câu 18 [2D4-1.2-4] Gọi A, B, C số phức z để A điểm biểu diễn cho số phức ∆ ABC z, z , z ( z ∈ £ ) Có vng B.Vơ số C D Lời giải Chọn B Ta có: AB = z − z = z z − , AC = z − z = z z − z + , BC = z − z = z z − Đặt a = z , b = z − , c = z + , a, b, c > Giả sử tam giác vuông A ta có AB + AC = BC ⇔ a 2b + a 2b 2c = a 4b ⇒ + c = a 2 + z + = z ⇔ + x + x + y = x + y ⇔ x = − (trong z = x + yi ( x, y ∈ ¡ )) 3 z = − + yi , z = − y − yi , z = ( − + y ) + ( y − y ) i uuur uuur uuur uuur r AB = ( − y ; − y ) , AC = ( y ;2 y − y ) suy AB AB = Thử lại ta có Khi Vậy đến kết luận có vơ số số phức thỏa mãn (loại điểm A ( − 1;0 ) z có điểm biểu diễn thuộc đường thẳng x = −1 c > 0) Ngày 28/ 2/ 2019 Câu 19 [2D4-5.1-4] Cho ba số phức a đôi khác thỏa mãn z1 = z2 = z3 = a S = z1 - z2 z2 - z3 + z2 - z3 z3 - z1 + z3 - z1 z1 - z2 Giá trị nhỏ S Đặt A z1 , z2 , z3 B 4a C 9a a D Lời giải Chọn C Gọi A, B, C Có z1 = z2 = z3 = a điểm biểu diễn số phức nên tam giác ABC z1, z2, z3 nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! R = a Trang 21 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 Cách 1: S = AB.BC + BC CA +CA.AB = 4R ( sinC sin A + sin A sin B + sin B sinC ) = R ( cos ( C − A) − cos ( C + A ) + cos ( A − B ) − cos ( A + B ) + cos (B − C ) − cos ( B + C ) ) ≤ R (3 + cos B + cos C + cos A) Lại có: cos A + cos B + cos C = cos A + 2cos B+C B−C cos 2 B−C  B−C  A = −  sin − cos +1≤ ÷ + cos  2  2  3 ⇒ S ≤ 2a  + ÷ = 9a ; S = 9a ⇔ A = B = C ⇔ z1 − z2 = z2 − z3 = z3 − z1  2 Cách 2: y A C O x B S = AB.BC + BC CA + CA.AB £ AB + BC +CA Đặt ·AOB = 2α , BOC · = 2β , COA · = 2ϕ , ta có < α , β , ϕ < 1800 , α + β + ϕ = 1800 Áp dụng định lý cosin tam giác, ta có: AB + BC +CA = 6a2 - 2a2 ( cos2a + cos2b + cos2j ) cos2a + cos2b + cos2j = 2cos2 a - 1- 2cosa cos( b - j )   1  =  cos α − cos ( β − ϕ )  −  cos ( β − ϕ ) + 1 ≥ − 2   2  Dấu "= " cos ( β − ϕ ) =  ⇔ ⇔ α = β = ϕ = 600 cos α = xảy  Vậy giá trị lớn S a + a = 9a Ngày 26/ 02 / 2019 Câu 20 [2D4-5.1-2] [2D4-5.1-3] Cho số phức (trong z = + i Biết tồn số phức z1 = a + 5i, z2 = b a, b ∈ ¡ , b > ) thỏa mãn z − z1 = z − z2 = z1 − z2 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Tính b− a Trang 22 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC A b− a = B Đề Trường A Lần X Năm 2019 b− a = C b− a = D b− a = 3 Lời giải Chọn D M ( 1;1) , N ( a;5) , P ( b;0 ) ( b > 1) Gọi điểm biểu diễn số phức z − z1 = z − z2 = z1 − z2 ⇔ 3.MN = 3.MP = NP Theo đề ta có:  ( a − 1) + 42 = ( b − 1) + ( − 1)  MN = MP  ⇔ 2 ⇔ b − a + − = a − + 42 ( ) ( ) ( )  NP = MN   ( x = a − 1, y = b − 1( y > ) Đặt z, z1 , z2 ) hệ phương trình trở thành:  x + 16 = y + ⇔  2  ( x + 16 ) = ( x − y ) + 25 2  x − y = − 15 ⇔  2  x + 2.xy − y = − 23 2 ( 1)  x − y = − 15  2  x + 30 xy + y = ( )  x = − y ( ) ⇔  x = − y  x = −4 y thay vào ( 1) ta thấy có thỏa mãn Khi y2 = 49 2 ⇒ y= ⇒ x = − y = − ⇒ b − a = ( y + 1) − ( x + 1) = y − x = 3 3 Ngày 26 / / 2019 Câu 21 Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ z + − 3i + z − + i A P = 10 ) thỏa mãn z − − 3i = Tính P = a+ b đạt giá trị lớn B P = C P= D P = Lời giải Chọn A +) Gọi M ( a; b ) z = a + bi ( a, b ∈ ¡ +) Có: z − − 3i = ⇔ ( a − ) + ( b − 3) = ⇒ M ∈ ( C ) : ( x − ) + ( y − 3) = điểm biểu diễn số phức ) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! 2 Trang 23 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC +) Gọi A ( − 1;3) điểm biểu diễn số phức z2 = − i Gọi I ( 0;1) trung điểm đoạn Đề Trường A Lần X Năm 2019 z1 = + 3i B ( 1; − 1) điểm biểu diễn số phức AB ⇒ z + − 3i + z − + i = MA + MB  AB  ( MA + MB ) ≤ ( + 1) ( MA + MB ) ≤  2MI + ÷  +) Có  2 ⇒ z + − 3i + z − + i ≤ 4MI + AB ⇒ z + − 3i + z − + i +) Gọi J đạt GTLN tâm đường tròn MI ( C ) , J ( 4;3) , +) Phương trình đường thẳng lớn ⇔ M ≡ F R= IJ : x − y + = Tọa độ giao điểm ( C ) đường thẳng IJ  x − y + =  x = 2, y = ⇔  2  x = 6, y = nghiệm hệ pt: ( x − ) + ( y − 3) = E ( 2;2 ) , F ( 6;4 ) , có IE > IF Vậy M ≡ F ( 6;4 ) ⇒ z = + 4i ⇒ P = 10 [2D4-5.1-4] Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị nhỏ +) Gọi Câu 22 biểu thức P = z − + z − + 2i A P= B P= C P = D P= Lời giải Chọn A Gọi M ( x; y ) Gọi A ( 4;0 ) , B ( 3; − ) , P = z − + z − + 2i = MA + 2MB điểm biểu diễn cho số phức 2 z , ta có z = ⇔ x + y = Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 24 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Ta có MA = ( x − 4) Đề Trường A Lần X Năm 2019 + y = x + y − 8x + 16 = x + y − 8x + + ( x + y ) = x + y − x + = ( x − 1) + y = 2ME Thấy E nằm B nằm ngồi đường trịn với E ( 1;0 ) ( C ) : x2 + y = P = MA + 2MB = 2ME + 2MB ≥ 2EB Dấu xảy E , M , B thẳng hàng Vậy giá trị nhỏ P EB = + = Ta Câu 23 [2D4-5.1-3] Cho số phức z thỏa mãn z + 3i = z − + 5i Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z + i + z − 3i A P = 2 B P = C P = D P = Lời giải Chọn B Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) Từ giả thiết ta có z + 3i = z − + 5i ⇔ x + yi + 3i = x + yi − + 5i ⇔ x + ( y + 3) i = ( x − 1) + ( y + ) i ⇔ 16 x + ( y + 3) = 16 ( x − 1) + ( y + 5) ⇔ x − y − = 2 Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn ∆ : x − y − = Gọi M ( x ; y ) ∈ ∆ , A ( 0; − 1) , B ( 0;3) z + 3i = z − + 5i đường thẳng P = MA + MB A , B nằm phía so với ∆ nên lấy điểm A ' đối xứng với A nhỏ M giao điểm A′ B ∆ Khi P = A′ B Dễ thấy Phương trình đường thẳng qua ∆ AA′ : x + y + = Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 25 Mã đề X P Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tọa độ giao điểm I = ∆ ∩ AA′ Đề Trường A Lần X Năm 2019   x = ⇒ x + 2y + = ⇔  y = −  nghiệm hệ  x − y − =   6 I  ;− ÷  5 uuur  22   7 ⇒ A′  ; − ÷ ⇒ A′ B =  − ; ÷  5  5  Vậy P = A′ B = Câu 24 [2D4-5.1-4] Cho số phức Tính A z = a + bi ( a, b∈ ¡ ) thoả mãn: z − + z + = 10 z− lớn S = a+ b S = − B S = − C S = D S = 11 Lời giải Chọn B y M Gọi M ( a ;b) F1 điểm biểu diễn số phức x F2 N O z , F1 ( − 4;0 ) , F2 ( 4;0 ) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 26 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Ta có ⇒ z − + z + = 10 ⇔ MF1 + MF2 = 10 Tập hợp điểm Gọi M đường Elip có độ dài trục lớn 10 hai tiêu điểm F1 , F2 N ( 6;0 ) ; z − = MN z− lớn  a = −5 ⇔ M ( −5;0 ) ⇒  ⇒ S = a + b = −5 b = lớn MN  ⇔ Câu 25 [2D4-5.2-3] Xét số phức z3 − z + A Đề Trường A Lần X Năm 2019 z = a + bi,( a, b ∈ ¡ , b > 0) thỏa mãn z = Tính P = 2a + 4b đạt giá trị lớn P= B P = 2− C P = D P = 2+ Lời giải Chọn C Có z = ⇒ a + b = z.z = 2 z − z + = z z − + = z − z + 2.z z z = 2bi + ( a − b − 2abi ) = ( a − b ) + ( b − 2ab ) i =2 (a =2 ( 2a − b ) + b ( − 2a ) 2 − 1) + ( − a ) ( − 2a ) 2 = 4a − a − a + Đặt f ( a ) = 4a − a − 4a + 2, − ≤ a ≤ Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 27 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019   a = − 13 ⇔  b2 = z − z + đạt giá trị lớn   1 P = 2a + 4b =  − ÷ + = Khi  2 Câu 26 [2D4-5.2-2] Cho hai số phức z= z1 z2 thoả mãn z1 = 3, z2 = 4, z1 − z2 = 41 Xét số phức z1 = a + bi, ( a, b ∈ ¡ ) z1 Khi b bằng: A 3 B C D Lời giải Chọn D z1 = 3, z2 = ⇒ Ta có z1 = z2 z  z 41 z1 − z2 = 41 ⇔ z2  − 1÷ = 41 ⇔ − = z2  z2  Do đó, ta có hệ phương trình:  z1  2   2  = a +b = a=− a +b =    z 4     16 ⇔ ⇔ ⇔   z1 − = 41  ( a − 1) + b = 41 ( a − 1) + b = 41 b = ± z  16   4  Vậy b= Câu 27 [2D4-5.2-3] Cho số T = ( z − 2) + ( − z ) A phức z = x + yi , ( x, y ∈ ¡ ) thỏa z = 18 + 26i mãn B C D Lời giải Chọn C Ta có ( x + yi ) = 18 + 26i Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 28 Mã đề X Tính Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 ⇔ x3 + 3x yi + 3x ( yi ) + ( yi ) = 18 + 26i  x3 − 3xy = 18 ⇔  3x y − y = 26 13 ( x3 − 3xy ) = ( x y − y ) Suy ⇔ 13x3 − 39 xy − 27 x y + y = t= y = không thỏa, đặt Nhận thấy x y ta 13t − 27t − 39t + =  t =  ⇔ t = − − 13 13   t = 13 − 13 Chọn t= Suy x =3 y , suy chọn T = ( 1+ i) + ( 1− i) = 2 z thỏa mãn B z = Câu 28 [2D4-2.2-2] Cho số phức A z = 3+ i z = z  ( + 4i ) z − + 3i  − = Giá trị z C z =2 D z = Lời giải Chọn D Ta có z  ( + 4i ) z − + 3i  − = ⇔ z  ( z − ) + ( z + 3) i  = Môđun hai vế ta z ( z − ) + ( z + 3) i = ⇔ z ( z − ) + ( z + 3) = 2 ( 2 ) ⇔ z 25 z + 25 = 50 Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 29 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ⇔ z Đề Trường A Lần X Năm 2019 ( z + 1) = 2 ⇔ z =1 ⇔ z = Thử lại: Với z=− z = , ta tìm + i 10 10 thỏa mãn Ngày 18 / / 2019 Câu 29 [2D4-5.1-4] Cho số phức z1 − z2 Tính A biểu thức z1 , z2 , z thỏa mãn P = z − z1 + z − z2 B z1 − − 5i = z2 − = z + 4i = z − + 4i đạt giá trị nhỏ C 41 D Lời giải Chọn A Gọi M, N, I điểm biểu diễn số phức z1 − − 5i = nên M z2 − = nên N thuộc đường tròn ( C1 ) :( x − ) + ( y − 5) thuộc đường tròn ( C2 ) : ( x − 1) Giả sử z = x + y.i ( x; y ∈ ¡ Ta có z + 4i = z − + 4i z , z1 , z2 2 = có tâm K1 ( 4;5) , R1 = + y = có tâm K ( 1;0 ) , R2 = ) ⇔ x + ( − y ) i = ( x − 8) + ( y + ) i ⇔ x2 + ( − y ) = ( x − 8) + ( y + ) 2 Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 30 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề Trường A Lần X Năm 2019 ⇔ x− y = Vậy I thuộc đường thẳng Gọi điểm K3 d :x − y − 4= đối xứng với điểm Do đó, đường tròn K2 qua đường thẳng ( C3 ) :( x − 4) + ( y + 3) 2 d : x − y = ⇒ K ( 4; − 3) = đối xứng với đường tròn ( C2 ) qua đường thẳng d Với điểm Ta có N ∈ ( C2 ) , gọi điểm N ′ đối xứng với điểm N qua d ⇒ N ′ ∈ ( C3 ) P = z − z1 + z − z2 = IM + IN = IM + IN ′ ≥ MN′ Mặt khác, ta lại có K1M + MN ′ + N ′K ≥ K1K ⇒ MN ′ ≥ K1K3 − K1M − N ′K = − − = Vậy P ≥ Dấu " = " xảy I , M , N ′ với hai đường tròn Xét giao điểm thẳng hàng với ( C1 ) , ( C3 ) M N′ giao điểm đoạn thẳng K1K3 I = K1K3 ∩ d ⇒ I ( 4;0 ) ,  M ( 4;6 ) M = K1K ∩ ( C1 ) ⇒   M ( 4; ) ,  N ′ ( 4; − ) ′ N = K1 K3 ∩ ( C3 ) ⇒   N ′ ( 4; − ) Dễ thấy Vậy MN ′ nhỏ M ( 4;4 ) N ′ ( 4; − ) Suy N ( 2;0 ) z1 − z2 = MN = 20 = Ngày 18 / / 2019 z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 = z2 = z3 = z1 + z2 + z3 = Tính giá Câu 30 [2D4-2.1-2] Cho ba số phức trị biểu thức K = A K = z12 + z22 + z32 B K = − C K = D K = Lời giải Chọn C Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 31 Mã đề X Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Vì z1 = nên z1.z1 = z1 = ⇒ Đề Trường A Lần X Năm 2019 = z1 z1 1 = z2 = z3 Tương tự z2 z3 Ta có = ( z1 + z2 + z3 ) = z12 + z22 + z32 + ( z1 z2 + z2 z3 + z1 z3 ) ⇒ K = z12 + z22 + z32 = − ( z1 z2 + z2 z3 + z1 z3 ) 1 1 = − z1 z2 z3  + + ÷  z1 z2 z3  ( = − z1 z2 z3 z1 + z2 + z3 ( ) ) = − z1 z2 z3 z1 + z2 + z3 = Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 32 Mã đề X